Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

230 Г пава 6

Ассоциативность (сочетательность)

АА{ВАС)

{ААВ)АС\

AV{BVC)

{AVB)VC.

Дистрибутивность (распределительность)

AA{BVC)

= {AAB)V{AAC); AW{B AC) = {AV B)A{AVC).

2.1.

Используя логическую символику, записать утвержде-

ние:«число а есть точная верхняя грань множества X».

Решение. То, что число а есть точная верхняя грань множе-

ства X, записывается а

sup X и означает Ухе Х[х<а), при-

чем для сколь угодно малого £ справедливо условие

\/£>03хе X (х>а-'£).

63. Понятие о функции

р.

Если каждому значению одной переменной х по некото-

рому правилу ставится в соответствие определенное значение

другой переменной;;, то говорят, что между переменными суще-

ствует функциональная зависимость>^ =/(^)-

Переменную х называют независимой переменной или ар-

гументом,

г,

у — функцией. Функция может задаваться анали-

тически, графически и таблично.

Если функция задана уравнением, неразрешенным относи-

тельно

;;,

то говорят, что функция задана неявно, и записывают

f{x,y) =

Если соответствующие друг другу значения xviy выраже-

ны через третью переменную (например /), называемую пара-

метром, то говорят, что функция задана параметрически, и

записывают

/(0'

y =

(p{t).

ВВЕПЕНИЕ В MA ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 2^

Функция может быть задана также различными аналити-

ческими выражениями на разных участках, например функция

Дирихле

\х (^) -1? ^С'^и

рационально,

\х (•^) =

если

иррационально

или «сигнум

X»

|sgnjc = l, еслил:>0;

sgn

-1,

если

< 0;

[sgnO

= 0.

2^.

Если каждому значению у ставится в соответствие одно

или несколько значений

х,

то этим определяется однозначная или

многозначная функция

х-ц>{у)^

которая называется обрат-

ной функцией для функции у = /(х). Так для функции

у:=^а'

обратной фунукцией будет х = log^ у. В этом случае обратная

функция является однозначной. Для функции у

х^ обратная

функция будет двухзначной х = ±^у .

Для обратных функций справедливы соотношения:

?>(/W)=^' f{(p{y))=y-

Пусть каждому значению переменной х ставится в соответ-

ствие определенное значение переменной и

(р(х), а каждому

уже определенному знчению и ставится в соответствие опреде-

ленное значение y

f{u), тогда соответствие между значения-

ми х и

имеет вид y

f{(p{x)) и определяет у как слолсную

функцию от

т. е. функцию от функции.

3°.

Функция

>»

=/(х) называется четной, если при измене-

нии знака аргумента на противоположный значение функции не

меняется, т.

е./(х)

=/(-

х).

График четной функции симметри-

чен относительно оси ординат.

232 Гпава 6

Функция называется нечетной, если при изменении знака

аргумента на противоположный численное значение функции не

меняется, а знак функции меняется на противоположный, т. е.

f (-x)

-f (х). График нечетной функции симметричен относи-

тельно начала координат.

Функция называется периодической, если существует

такое число /, называемое периодом функции, что значе-

ние функции не меняется при прибавлении или вычитании

этого числа к любому значению аргумента, т. е.

/(jc) = /(x + /) = /(x + 2/) =

...

= /(jc +

A:/),

где к — любое

целое положительное или отрицательное число. График пери-

одической функции повторяется через равные интервалы.

4°.

Областью определения

функции является совокупность

всех значений аргумента, при которых данное аналитическое

выражение имеет смысл.

5^.

Преобразование графиков при некоторых простейших

изменениях функции;; =/(х):

а) график функции;; -f{x-d) получается из исходного пе-

реносом всех точек на а единиц по оси абсцисс вправо, если а

положительно, и влево, если а отрицательно;

б) график функции;; -f{x)-^b получается из исходного пе-

реносом всех точек на b единиц по оси ординат вверх, если Ь

положительно, и вниз, если

отрицательно;

в) график функции ;; = Af{x) {А > 0) получается из исход-

ного растяжением его вдоль оси ординат в А раз, если А> 1,3,

при А <1 сжатием в— раз, если же

У4

О,

то ординаты меняют

еще и знак;

г) график функции ;; =f(kx) {к

0) получается из исходно-

го при к>1 уменьшением абсцисс в к

раз,

а при к <\ увеличени-

ем абсцисс в т" раз, если же

А:

О,

то абсциссы меняют знак и

график функции симметричен относительно оси Оу,

ВВЕПЕНИЕ В MA ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 233

Последовательно выполняя рассмотренные сдвиги

дефор-

мации графика исходной фунцции, можно получить график и

функции более сложного вида f{x)

Af[k{x -a)]

x — l

3.1.

Дана функция f(x)

2х^ -х^ + 3

Найти част-

+ 4

ное значение функции при х = 1,

Решение. Чтобы найти частное значение функции при х = 1,

достаточно это значение аргумента подставить вместо х. По-

лучим

+ 4

3.2. Дана функция f(x)

х^

log^

х -f sin —. Найти значе-

ние функции при х =а.

Решение. Подставляем вместо х ее частное значение

f(a) =

а^

log^

а +

sin

— =

а^

3.3.

Функция задана параметрически

{

= acos/,

y-bsint.

Требуется записать эту функцию в неявном виде.

Решение. Чтобы записать функцию в неявном виде, следу-

ет исключить параметр /. Возводя в квадрат

г 2 1 2

\х =а cos t,

[y^=b^sm4

и преобразуя, получим —j+тт

"^ ^ •

а b

3.4.

Построить графики функций:

234 Гпава 6

[х при х>0\

\х^ при х<0;

б) /(x) = Jo при 0<jc<2;

-2х + 4 при х>2.

Решение, а) Строим график функции для

и для

л:

(рис.

6.1.).

б) Строим график функции последовательно для участков:

х<0;

0<х<2; х>2 (рис. 6.2.).

Рис. 6.1 Рис. 6.2

3.5.

Найти область определения следующих функций:

а) y

yll-ylu^; б)

= lg(2-Vb^); в)

= arcsin—^; г)

___! 1_ _-

Решение. а)Выражения под знаком радикала должны быть

неотрицательны, т. е. l + jc>0 и

1-VTHTJC

>О• Отсюда д:>

—1

Vr+jc <

JC<

< 0. Следовательно, хе [-1,0].

ВВЕПЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 235

б) Выражение под знаком логарифма должно быть больше

нуля, т. е. 2-л/1-х>0; >/l-x<2;

1-х<4;

х>3 и выражение

под знаком квадратного корня

- х > 0; х < 1. Поскольку нера-

венства одновременно не могут быть выполнены, то

в) Выражение имеет смысл, когда -1 < <

и х

т^

3. От-

х-3

сюда

Г-х

3<1;

или

> 2;

> 4

Таким образом х

[4,

^о).

г) Выражение имеет смысл при х-1>0и5-х>0. Решая

эту систему неравенств, имеем х >1 и х < 5. Отсюда

(1,5).

д) В силу свойств логарифмической и степенной функции

имеем следующую систему неравенств: sinx>0 и lgsinx>0.

Решением первого неравенства на периоде 2п является множе-

ство:

< л:, которое

учетом периодичности можно записать

в виде 2пк

<х<л{\

2к), ке z

Так как |sin

х|

< 1, то второму

неравенству удовлетворяет только равенство sin х =

откуда

— +

2яА:.

Таким образом, область определения функции оп-

ределяется значениями х = —

4А:),

ке z.

3.6. Путем деформации и сдвига графика исходной функ-

ции построить графики функций: а) j = 2sin(3x-2);

. 1 2 3 6х-1

Решение, а) За исходную функцию возьмем

= sin х, а дан-

Г 9Л

ную функцию представим в виде

sin 3

случае А =

к = 3; а

—.

X— . В данном

236 Гпава 6

Строим одну волну синусоиды

(рис.

6.3.).

^ r/=2sinA:

\*-*

» о Д / \ *- '' /

\ • \ / "^ /

,yf2n

* .^ _^

y-2sm3x

Рис. 6.3

Увеличиваем ординаты всех точек в два раза

з^

sin jc.

Уменьшаем в три раза абсциссы точек графика и строим

график функции

2 sin

3JC.

Переносим точки графика функции ;; =

sin Зх на

—

впра-

во по оси

абсцисс,

получаем график одной волны данной функции.

б) За исходную функцию возьмем у

= у[х . В

данном случае

У4 =-2; а =

-3;

b = 1.

Строим график функции у =

у[х -

(рис. 6.4.).

у=-24х+3

Рис. 6.4

ВВЕПЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ

237

Увеличивая ординаты в два раза, строим график функ-

ции у = 24х.

Меняем знак на противоположный у = -2л/х

•

График этой

функции симметричен графику у =

2У[Х

относительно

оси

абсцисс.

Переносим точки графика функции у = -2л/х на 3 еди-

ницы влево по оси абсцисс и строим график функции

7 = -2л/х7з .

Поднимаем график функции

д;

= -2л/хТз на 1 вверх и

строим график данной функции.

в) Преобразуем данную функцию к виду

= -(jc'-2jc

l)-2 = -(jc-ir-2.

За исходную функцию возьмем

jc^.

В данном случае

^ = 2,^=1,6 = -2.

Строим график исходной функции у^х^ (рнс. 6.5).

Рис. 6.5

Уменьшаем ординаты графика функции

два раза

стро-

им график функции

= — х^.

238

Гпава 6

Сдвигаем по оси абсцисс на

единицу вправо точки гра-

1 \ 2

фика функции у=:—х^ и строим график функции

JV'

= — (^ -1) .

2 ^

Опускаем точки графика функции на 2 единицы вниз и

строим график данной функции.

г) Преобразуем функцию к виду j =

2JC

+ 3

= 3-

х +

устанавливаем переход от функции j =

—

к заданной: —, —,

X XX

_^1

5_ 5_

х'

Ъ'^ 3-

х + -

2 2

Выполняем следующие последовательные преобразования

(рис.

6.6): строим пока только одну ветвь гиперболы; растягива-

ем по оси Оу в пять раз; заменяем графиком, симметричным от-

носительно оси Ох\ строим вторую ветвь гиперболы; делаем

горизонтальный сдвиг координатной системы на

—

единицы

вправо и вертикальный сдвиг на

единицы вниз.

Рис. 6.6

ВВЕПЕНИЕ В MA ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 239

4х-9 9+2v

3.7. Показать, что функции у = и х = являют-

ся

взаимно обратными.

Решение. Подставим во вторую функцию вместо у его вы-

4х-9

ражение через х, тогда получим

(р

(/ (^)) = = х, Ана-

логично, подставляя в первую функцию вместо х его выражение

через у имеем /

((р

(j;)) = ^

у .

6.4. Вычисление пределов.

Раскрытие неопределенностей

1°.

Число b называется

пределом функции

f{x) при х

—>

а,

если для любого в >

найдется такое 5 > О, что |/(х)-б| < £

как только

|х —

а| < 5

Обозначают предел

lim/(x) =

Z>.

дг->а

Предел функции/(х), если он существует, при стремлении

к д справа обозначают lim f{x).

Аналогично, предел функции при стремлении х к а слева

обозначают

^^^^/{^).

2°.

Теоремы о пределах.

Предел постоянной равен самой постоянной.

Ит(м

lim и

lim v.

lim(w

lim и

•

lim v,

,, и limu

lim—= , если limi; 9^0.

V limu