Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

240 Гпава 6

У. Замечательные пределы,

1 тт - - ,. sin д:

Первый замечательный предел lim = 1.

Второй замечательный предел

lim(l + V=lim(l + a)«=e = 2,718....

4°.

Некоторые важные пределы:

log,(l

a) а"-1 .

lim ^ = log

е\ lim =

а;

lim

fi-^ = //; lim^i^%^ = limjcMog,Jc = 0, (а>1Д>0).

5°.

Неопределенность вида

—

раскрывается, как правило,

делением числителя и знаменателя на множитель, стремящийся

к нулю, или с помощью первого замечательного предела.

оо

6°.

Неопределенность вида — раскрывается делением на х

оо

в старшей степени.

7°.

Неопределенность вида (оо-оо) и (О-оо) раскрывается

путем преобразования функции к неопределенностям

—

или —.

О оо

8°.

Неопределенность вида (р) раскрывается посредством

преобразования предела ко второму замечательному пределу.

9°.

Бесконечно малые функции а[х) и j8(x) называются

эквивалентными, если lim—у-— =

При раскрытии неопреде-

ленностей

—

можно пользоваться следующим правилом.

Предел отношения двух бесконечно малых не изменится,

если их под знаком предела заменить на эквивалентные. Обо-

ВВЕДЕНИЕ В MA ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 241^

значая эквивалентность бесконечно малых следующим образом

а (х) -

(х) при

X —> О 5

запишем наиболее известные

sina(x)~a(x), arctga(x)~a(x), а"^''^-1~а(х)1пй,

tga(x)~а(х),

1-COSQ:(X)

—а^(х),

е'^''^-1

~«(х),

arcsina(x)~a(x), ln(l+a(x))~a(x), ц\^а{х)-\ ^.

х^

—

4 . х^ + 5х + 4

4.1.

Найти пределы: а) Ит—г ; б) Нт

—-г

,,. x^-xV2x^~5x +

..^sinx-cosx

в) lini г :; ; г) к f а v 1 '

^ --i хЧ4х'-7х +

^--7 tgx-1

Решение, а) Разложим на множители числитель и знамена-

тель

^-^2 jc46x~16 ^-^2 (jc-2)(x + 8)

x +

Сокращая на x - 2, будем иметь lim = — = 0,4.

^-^2jc

б) Разлагаем числитель и знаменатель на множители

^->-1

(2х-1)(х +

1) ^-^-1

2х-1 3

в) Поскольку при

многочлены в числителе и знамена-

теле обращаются в ноль, то их можно разложить на множители,

причем одним из сомножителей будет (х -

1).

Тогда, деля много-

члены на (х -

получим

^. (х--1)(хЧ2х-3) о ^

lim ;—

—

= 0.

-^1(х-1)(хЧ5х-2) 4

242

Гпава

г) Выполнив очевидные преобразования, получим

,. sinx-cosx ,. (sin л:-cos х)

cos X

^. V2

lim =

Iim -^^

= lim

cos

—,

jc^l tgX-1 x-^- sin X-COS X x-^

4 ^ 4

ТГ - ^v V4-x-V4 + x

4.2.

Найти пределы: a) lim

^^0 3X

Vx +1-1 V^-1 Jl + tgx~Jl-tgx

6) lim ^ —-; в) bm-y=—; r) lim^^^ ^ ^ ^-.

Решение, a) Умножим числитель и знаменатель на выраже-

ние,

сопряженное числителю

(л/4-х-л/4 + х)(л/4-х +

л/4

+ х) _2х

lim^^ , , —.

= lim- -

jc-^O

Зх(л/4^

+л/4+х) "^^ Зх(л/4^ +V4+^)

= —

lim-7=

7== = —.

3 ^->о^4-х +

л/4

х 6

б)

Умножаем числитель

знаменатель на выражения сопря-

женные числителю

знаменателю

(A/X41-I)(VX41+I)(VX42

+ V2)

jc->0

(л/х' +2 -л/2)(л/л:Ч1 +I)(VJC' +2 + V2)

х^(л/?Т2+72) 7?Т2 +

л/2

/;г

= lim— ^ —г-^ = lim—. — = л/2.

^-^^ x^(V77l+l) ^-^^ л/хЧ1+1

в) Делаем замену t^ =х, тогда при х

—> 1 ^ —> 1

hm-7=— = lim-;— = lim—;—Vr г"^ = lim =

—.

^-^'Vx-l ^-^'r-1 ^^' (?-l)(? + l) ^^'

ВВЕПЕНИЕ В

ТЕМА

ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 243

г)

Умножаем числитель и знаменатель на выражение сопря-

женное числителю

(^l + tgx-Vl-tgx)(Vl + tgx + Vl-tgjc)

lim^^

T~F==

г=л

'-^^ sin 2х уф

+ 71-tgjc

x->0

sin2x(^/l + tgx

^/l-tgx) ^^cos^Jc(^lH-tgjcH->/l-tgx)

sin- 2tg —

• 9

4.3.

Найти пределы:

lim

—; 6)

lim—-—;

x-^O

X ' '

"""^^

1-COS2JC

. .. X' .

sin^(x-2)

в)

hm ; r) hm ; д)

^^^—i—;;

->o xtgjc "^"gsin^-

-^^ X

-4x-\-\

,. sin3x + sin4x

cosx-cos3x

xsinSx

hm ;

ж)

bm ^ ;

^^^ ,

. *.

Решение, a) Умножим

разделим знаменатель на 4

подве-

дем выражение под знаком предела к первому замечательному

пределу

X . X

sm—

. sm— .

lim

= —lim

— = —,

х-^о

^->о

X 4

б) Представим тангенс через синус и косинус и воспользу-

емся теоремами о пределах

2sin —

—

^1- 9 1- 1 А

hm ^^ = 21im

^lim

—.

x^o

X x-^o /

^-^0

X 2

cos

—

— COS —

^9 2

244

Гпава 6

в) По формулам половинных углов имеем

.. 2sin^jc ,. 2sinjccosjc ^,. sinx,.

lim = lim = 21im limcosx = 2.

r) Умножим и разделим числитель на 4 в кубе

lim

jc->0

8 sin

уХ

= 8 lim

л:-»0

= 8.

sin —

4 4

д) Сделаем замену x-l = t, тогда при х ^ 2

е) На основании второй теоремы о пределах имеем

-. sin3x ,. sin4x К. sin3jc 2.. sin4jc 7

lim +lim = —lim +

—lim

—.

^-^0 вх ^-^0 6JC 2^-^O 3JC З^^О 4X 6

ж) Преобразуем числитель с помощью формул разности

косинусов двух углов и синуса двойного угла

cos

3JC

sin 2x

sin

x = 4 sin^ x

cos

тогда

COSJC-COS3JC

^,.

sin^x

lim = 41im—r—cosx = 41imcosx = 4.

д:->0 д;"^ x-^0 д;'^ jc^O

з)

Умножим числитель и знаменатель на

х,

тогда получим

,. x^sin3x ,. (5xfcos^5x,. 3sin3x 3

lim—; = lim-^^—-—; lim = —.

^-^ng^Sx-x ^^0 25sin^5x ^-^o Зд; 25

4.4.

Найти

пределы:

lim

3x'-4x4l

2 +

- 2x'

4 '

ВВЕПЕНИЕ В MA ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 245

б) lim ; в) lim —;

^-^«^

6JC -х +

^-^«^ 4х +х

... + /2

1_-2" 10"-!

г) ^^^ / . i д) lim -г\ е) lim -г-

Решение, а) Разделим числитель и знаменатель на х^

т.к. величины —г^-^.—г есть величины при х

—> оо

бесконечно

JC X

малые.

б) Здесь можно разделить числитель и знаменатель на х"

о 1 5 1

2х

+ 1

— +

—г-

г. , 1

X X 1- 2x + l

lim -^ -^ = lim =

оо.

X->oo 11 ДС^оо g

6 + —

в) Деля числитель и знаменатель на х^, получим

v^ ^ v^ "^ V О

... 4-ы ^

х'

г) Здесь числитель есть сумма арифметической прогрес-

сии. Находя в числителе сумму арифметической прогрессии, по-

лучим

1 ,

П , 2 —+

lim--7=^= = lim—. = lim—: =

—.

''-^^

V4A2'

3 '^•^^

2л/4«' +3 "^^ 2

+ — ^

246

Гпава 6

д) Делим числитель и знаменатель на 2"*'

lim-^

л—>«>

+ 1

е)При

п-^-оо

10" и 10"^^ стремятся к нулю и неопределен-

ности в пределе нет

,. 10"-1 0-1

lim

7г

= = -1

•

"^-1 +

10"^^

+ 0

^1 2 ^

4.5.

Найти пределы: а) lim

"^ibc -1 ^-1

2 smx

tg X —

cos X

6) ит(л/х^+х-л/^^+х-11; в) Km

2 V

Решение, a) Приведем к общему знаменателю

l-2(jc

+ l) ^. -2х-1

lim

«-^1

JC^-1

хлх.х 2

•

При

знаменатель стремится к

нулю,

следовательно, дробь является бесконечно большой вели-

чиной и стремится к оо.

б)

Умножим

делим на сопряженное выражение

lim

Х^

-= lim

л/х^+х + л/х^+х-1 "-""^Vx^+x + Vx^-fx-l

= 0.

в) Раскрываем тангенс и приводим к общему знаменателю

. sin^x-sinx ,. sinx(sinx-l) ,. sinx

im = hni ^^—

'- —

- lim

-^ ' -- - n->^l + sinx

lim

cos X

lim

n^-

1-sin X

TTX . _

4.6. Найти пределы: a) Hm(l-x)tg—; 6)

J|^3"tg3

ВВЕПЕНИЕ В MA ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 247

Решение,

а)

Делаем замену

л:

- а, тогда при х ~>

а -^

acos—a

limatg—(1 -а) = limactg—а = lim —

sm—а:

1у ,~2^ у к 2

= —lim—^^ limcos—а =—.

л а^О . К а^О 2 л:

sm—а

б) Полагая 3" -

—,

получим

Г-^

+ 4

4.7. Найти пределы: а) lini

ч5д:

; б) Ит

(х^1^'''

уХ^\ J

в) lim

хЧ5

jc42

; г) lim

х-1

2х

чЗ-2д:

Решение, а) Разделим почленно числитель на х

( 41

lim

+ -

V ^)

= lim

1 +

- Г

V ^)

Если сделать замену х

4г, то при х -^оо

^ —> ©о

lim

+ - Г

= lim

= г

6) Выделим целую часть и почленно разделим числитель на

знаменатель

248

Гпава

lim

= lim

+ 1

x +

чИ-Зх

lim lim

/->oo

= e\

Сделаем замену x-^X-t. Тогда при x

—> ©о ^

со

и предел

примет вид

+ - =lim

1 +

/ I i-^°° I /I

. V Lv V.

т.к. второй предел неопределенности не представляет и равен

единице.

в) Выделим в скобках целую часть

lim

^хЧ2+3^'^'^

хЧ2

= lim

х'+2

Сделаем замену х^ +

3/.

Тогда при х -^

оо ^ —> оо

и пре-

дел примет вид

lim

V 'у

9/-4

= lim

lim

г) Представим предел в виде

lim

\Ъ-1х

= lim

чЗ-2д: / - чЗ-2д:

lim

В первом пределе сделаем замену — = ^. Тогда при

JC —> оо ^

-^ о и предел примет вид

lim

(1+0

-+з

lim

—г-

е^

lim =

с->~ 2'

,. , 2

1п(1

+ х)

4.8. Найти пределы: а) lim(l +

5x)^

; б) lim—^^ —

jc->0

ВВЕПЕНИЕ В

ТЕМА

ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 249

в)

lim ; г)

lim

;

д)Ит(1 + 21д

х ;

sin2j:

^sinx

е) lim(sin2xy^

""; ж)Ит ; з)

linix(lnx-ln(x

2)).

Решение,

а)

Сделаем замену 5х = /

•

При

л:

—> О г

предел примет вид

lim(l + /)' =lim

/-»0 ^

' /^0

б) Сделаем преобразования

(1+0'

lim

^ ^^^

=21im-J-ln(l + x) = 21imln(l +

jcV

=:21nlim(l + xV =21ne = 2.

Полагая

г"""

-1 =

получим, что при х

-~> О

О.

Пре-

образуем замену

е""

= ,

х = In

^+1

/+1

Таким образом,

lim

—

-\\т

= -1.

-«1п(? +

1)-

'-°1п(/ +

1)7

lnlim(r + l)7

г) Полагая

д^""

-1 = г, получим, что при х

О.

Пре-

образуем замену

а^""

+ \\

Зх1пл = 1п(г +

1);

х = ^^^

Отсюда

lim—;

= 31па

= 31па.

•-'Ht^^)

limln(^

+ lV

/^0

^ ^