Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

590 Гпава 11

= --ln2H-jlnsin —+ /

p-jlncos/rf/.

^ о V / о

Последние два интеграла равны между собой, т. к. приво-

п ^ ^

дятся один к другому с помощью подстановки / = -—-ф . Деи-

к %

ствительно, dt - -dip, причем при / =

О,

<Р

- —, а при / = —,

^ 4 4

ф =

и интеграл равен

fln(x + l) , ^1 ^ f, . Г^ V fi

J—-^^ ^(ix = --ln2~Jlnsm (р к/ф-1шсо8ШГ =

-^ "^^ ^ 7г V у о

7Г К_

^ ^ ~i ^

—1п2н-

]ncos(pd(p- lncosrJ^ = —1п2.

^ i { 8

ж) Воспользуемся подстановкой х =

тг

-/,, тогда при х = О,

/ =

;г

и при

л:,

О.

Интеграл примет вид

^ xsinx , г(л:--/)8тГ , ^(7r~0sin^ ,

—dx^-\- ^-——dt= \-

^-——dt

M +

COS

X i

COS^

COS

r sin/ , r /sin/

;Jl + cos / ;Jl + cos /

Поскольку величина определенного интеграла не зависит

от переменной интегрирования, то, заменяя в последнем интег-

рале / на

и перенося его в левую часть, будем иметь

} xsinx , ж} sintdt к т

T—dx-—\

г- = arctgcos/l =

Jl + cos'x 2J1

COS'/

2 '"

=---(arctg(-l)-arctg

= —.

ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП

591

11.3.

Интегрирование по частям

1°.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

выполняется по формуле

b b

\udv = uv\^'-\vdu, (1)

вид

2°.

Обобщенная формула интегрирования по частям имеет

b ^

J la

+(--iy'']u^"'%dx. (2)

Пользуясь обобщенной формулой интегрирования по час-

тям, можно вывести ряд рекурентных формул:

л-

Интегралы /^ = J

sin'" xdx, /^ = J

cos'"

xdx находятся с

помощью рекурентнои формулы /^ = /^_2 и равны

{'^sm'"xdx={^cos"'xdx-

Jo Jo

(т-1)!!л:

ш!! 2

(w-l)!!

mV.

при т - четном,

при т - нечетном.

Если тип натуральные числа, то интеграл

i(m-l)!!(«-l)!!;r

sin'"xcos"xcfcc =

(т

пуЛ

(m-l)!!(n-l)!!

(т-^пу.\

, при тип-четных;

во всех других случаях.

592

Гпава 11

Интеграл вида ^„ ^ = i ^'^ In'" xdx находится по рекурент-

' JO

ной формуле /,, = -/„^_j и равен

п-\-\

h,m=i-W

т\

Если тип натуральные числа, то имеет место следую-

щий интеграл

\{\-xyx'"dx= .

Jo (и + w + l)!

Интеграл вида /^ = Tocos'" xsmmxdx находится по реку-

рентной формуле /^ =- —+/„_,

21 т

и равен

/„ =

fn г\т-\-\

2 Т- Т Т

-+—+—+...+—

12 3 т

6. Интеграл вида /^ = pcos'" х cos mxdx равен /^

Приведем еще некоторые известные соотношения:

а)

[ 2

cos'" X cos(m + 2)xdx = 0;

б) J

cos'" X sin(m + 2)xdx =

w om+l '

m +

тл:

^ sin —

в)

[^sin'"xcos(m

+ 2)jc<ix = —

•'0 m +

r) J

sin'"

sin(m + 2)xdx =

cos-

nrn

+ l

ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 593

3.1.

Вычислить

интегралы:

а) 1 х sin xdx\ б) I (х + 7)е

""dx.

Решение, а) Полагаем и-х\ sin xdx - dv, тогда du

dx;

V =

-cosX.

Пользуемся формулой (1)

I xsinxd!x: = -xcosxr +| cosxdx =

= -{K cos

Ж + П

COS ;r) + sin xT = 2к,

6) Полагаем

= x +

e^'^rfx

= dv, тогда t/w = rfx;

г;

-e^"".

По формуле (1) имеем

\\х^2)е'Чх = -{х

2)еЧ --\'е'Чх =

5 25 'о 25

3.2.

Вычислить интегралы: а)

Г ^

cos^ xJjc;

б) J^^sin^xcos'^xt/x; в) ^^x^Wxdx\ г) j^sin^jccosTx^tc.

Решение, a) Воспользуемся формулой пункта 1. При

= 9,

т. е. нечетном, будем иметь

f^cos9xd^ = —= ^=0,406.

Jo 9!! 3-5-7-9-

б )По формуле пункта

(2),

где m =

= 4, получим

f- . л 4»»3»» 2-4-3

|^sin^xcos"xd!x = -^^^= с.0,0254.

Jo Off ^.S.7.0

в) По формуле пункта

где

= 4, m =

имеем

3!_

\\'\n'xdx

{-Xf—^

= -^ = -0,0096.

594 Гпава 11

г) По формуле в) пункта 7 имеем

Гт • 5 ^ 1 \ , 5п 1

Jo 6 2 6

11.4. Теоремы об оценке определенного

интеграла

1°.

Если функция /(х) >

в промежутке [а,Ь\ то

j/(x)Jx>0.

2^.

Если функции f{x) и ф(х) интегрируемы в промежутке

Ь b

{a,b],

причем а <Ьи f{x)

(р{х), то \f{x)dx

\(p{x)dx.

а а

3^.

Если функция/(х) интегрируема в промежутке [а,Ь],

причем а<Ь ,то справедливо неравенство

\ь I b

\jfix)dx\<j\fix)\dx.

\а I а

4°.

Теорема об оценке определенного интеграла. Если фун-

кция непрерывна и интегрируема в промежутке

[а,Ь],

причем

а<Ь,

и если во всем этом промежутке выполняется неравен-

ство т

f{x) < М, то

m(b-a)<jf(x)dx< M{b-a\

тдстиМ—наименьшее и наибольшее значения f(x) в проме-

жутке [а,Ь].

5°.

Обобщенная теорема об оценке определенного интегра-

ла. Если функция f{x) непрерывна в промежутке [а,Ь], а

(р[х)>0 интегрируема на

[а,Ь],

то

ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП

595

b b b

m^(p{x)dx <\ f{x)q>{x)dx < M\q>{x)dx.

a a a

6°.

Теорема о среднем значении. Если /(х) непрерывна в

промежутке

{а,Ь\,

то существует такая точка

(а,

Ь), что спра-

ведливо равенство

\f{x)dx

{b-a)f{c).

1 *

Число f(c)

\f(x)dx — называется средним значе-

нием функции /(х) в промежутке

[л,/?].

7°.

Обобщенная теорема о среднем. Если /(х) и (р{х) ин-

тегрируемы в промежутке

[а,Ь],

(р{х) во всем промежутке не

меняют знака ^(х) >

О ((р{х)

< 0) и выполняется неравенство

/(х) < М

то существует такая точка

е (а,

Ь),

что справед-

ливо равенство

b b

jf(x)(p{x)dx

f{c)j(p(x)dx,

a a

8^. Неравенство Коши-Буияковского. Если квадраты функ-

ций /^(х) и (р^ (х) интегрируемы в промежутке [а,Ь], то

\ь \ f^ ^

\jf{x)(p{x)dx\<\ jf\x)dxj(p\x)dx

\а \уа а

4.1.

Не вычисляя интегралов, определить их знак: а) 1_ х dx;

б) J xe^'dx; в) Г х^ In xdx.

Решение, а) Разобьем отрезок интегрирования на отрезки

[-2,-1]

и [-1,1]. Поскольку подынтегральная функция нечетная.

596 Г пава 11

ТО на отрезке

[-1,1]

интеграл равен нулю. На отрезке

[-2,-1]

подынтегральная функция отрицательна, следовательно, интег-

рал имеет знак минус.

б) Поскольку подынтегральная функция на отрезке

[-1,1]

положительна, то интеграл имеет знак плюс.

в) Так как логарифм при хе

^•>

отрицательный, то

подынтегральная функция то же отрицательна, следовательно,

интеграл имеет знак минус.

4.2.

Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегра-

лов больше: а) x^dx или ^^xdx. б) ^^x^cos^xdx или

I xsm^ xdx,

Решение, а) Поскольку на отрзке [0,1] выполняется нера-

венство vl + j?>jc, то I

yj\

x^dx> I xdx,

'Jo

б) Поскольку на отрезке [0,1] выполняется неравенство

jc^cos^jc<xsin^x, то I

х^со^^

xdx< \ хш^^ xdx.

' Jo Jo

Г2л:

г2л с

4.3.

Оценить интеграл .

J^ л/зТ:

•2 cos X

Решение. При 0<jc<27r имеем l<3 + 2cosx<5 , т.е.

-у=г,

М =

Поскольку

- а = 2л:, то по теореме 4° имеем

2я г^л: dx

/ ^2л:.

J0 ./7 _|_

о/-АЛО

чг

л/5 J^ л/з+^

COSJC

4.4.

Оценить интеграл |

^Jx(l +

x^)dx, пользуясь: а) обоб-

щепной теоремой об оценке интеграла; б) неравенством Коши-

Буняковского.

ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП

597

Решение, а) Пусть

(х) =

VJC

а /(х) = v

х^ .

Найдем наи-

большее и наименьшее значение /(х) на

[0,1]:

М = \/2

•

По теореме 5° имеем j ylxdx<\ Д/Х(1 +

Х^)Й6С<Л/2|

yjxdx,

откуда -- < £ 4x{U^dx

——.

б) Поскольку /^(х) =

х^

и ф^(х) = х интегрируемы на

[0,1],

то неравенство Коши-Буняковского имеет вид

^д/^ГьТ)^^^

4 Л

х +

лЯо

4.5. Найти средние значения функций на заданных проме-

жутках: а) /(jc) = x^

0<х<1;

б) cos х, 0<х<—.

Решение, а) Находим, что

Ь — а =

\. Среднее значение функ-

ции (6°) на отрезке [0,1] находим по формуле

— I

f{x)dx= I х"^х = /(с) = ~^-

f{x)dx = I хЧх

б) Среднее значение функции равно

2 г? . , 2 г?.. ..... 2^

f{c)=—

\^cos^xdx=—

{^(l-sin^

x)dsmx=—

л:

•'о

л:

•'о

. 3

sinx—sm X

Ък

11.5.

Определенный интеграл как функция

верхнего предела

Если функция /(х) интегрируема в промежутке

[a,Z?],

то она

интегрируема и в промежутке

[л,х],

где хе [а,Ь]. Заменяя верх-

ний предел b переменной х, получим выражение

598 Гпава 11

0(x)

J/(rW^

которое является функцией от х. Чтобы не смешивать перемен-

ную интегрирования

с ее

верхним пределом х, здесь она обозна-

чена через /.

V. Если функция непрерывна в точке t - х, где х е \а,

Ъ\,

то

в этой точке функция ^{У^) имеет производную

Ф'(х) = \fit)dt

/W.

2°.

Если функции (p{x)\i\^{x) дифференцируемы

любой

точке

принадлежащей промежутку \а,Ъ\ и f{t) непрерывна

при (p{a)<t<^{\)),To справедливо равенство

\ mdt

•

Дх1/(х))у/\х)-Д(р(х))(рХх).

5.1.

Найти производные следующих функций:

а) Ф(;с)= r^dt; б) Ф(х)= Г sinV/^/

•'О

^ Jyjx

Решение, а) Используя свойство (1°), находим

f J \

Ф\х)=\

' е

л'

б) Используя свойство (2°) и учитывая, что ^(jc) = vjc,

l/л(x)

= д:^ (р\х)

—Т-, V^'W = 2х, находим

2^х

9 1 I

0'(x) = sinvjc —^-sm^J^^x

-лрс

=yfx

1 .

2х

-sin

х-sin

ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 599

5.2.

Найти точки экстремума функции

ф(х)=Г—J/, (х>0).

Jo I

Решение. Находим производную от функции Ф(х) и при-

^,, ^ sin

. ^ ,

равниваем ее к нулю Ф (х) = ; sm х =

О,

отсюда х-кк^

(/:=0Д,2,...).

5.3.

Найти производные от интегралов:

Решение, а) Используя свойство (1°), имеем

тх

dt 1

["^

•'о In ^

б) Если изменить пределы интегрирования в определенном

интеграле, то справедливы преобразования

d с^ Г. Т, d f«

11.6.

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных

функций называются несобственными.

г*

1°.

Если существует конечный предел Иш J f(x)dx, то этот

предел называется несобственным интегралом

первого

рода от

функции f{x) на интервале

[а,

с» [

и обозначается

\f{x)dx

\\m\f{x)dx. (1)