Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
170 Г л а в а 6. Комплексные числа
§ 34. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
Использование трионометричесой формы омплесноо
числа и представление этоо числа точой омплесной пло-
сости допусает простое решение неоторых систем трионо-
метричесих уравнений.
П р и м е р 1. Решить систему
Р е ш е н и е. Первое уравнение системы, умноженное на i,
сложим со вторым уравнением:
cos x + i sin x + cos y + i sin y = + i .
Положим cos x + i sin x = z, cos y + i sin y = w, + i = u.
Тода для омплесных чисел z, w и u получим уравнение
z + w = u,
де |z| = |w| = |u| = 1, т. е. все три точи лежат на оружности
единичноо радиуса и, следовательно, четырехуольни с вер-
шинами z, u, w, O— ромб с диаональю Ou, длина оторой
равна единице (рис. 14). Таим образом, треуольнии Ozu и
Ouw — правильные, а улы uOw и zOu
равны . Имеем Arg u = + 2πk; из
рис. 14 видно, что если x = Arg z и y =
=Argw, то x = + + 2πk, y = – +
+ 2πn, т. е. x = + 2πk, y =– + 2πn.
Ответ. + 2πk; – + 2πn ;
– + 2πn; + 2πk .
sin x + sin y = ,
cos x + cos y = .
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
w
x
y
u
O
1
1
z
Рис. 14
π
3
---
π
4
---
π
4
---
π
3
---
π
4
---
π
3
---
7π
12
------ -
π
12
------
7π
12
------ -
π
12
------
π
12
------
7π
12
------ -
§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 171
Решите систему уравнений:
1. 2.
3. 4.
Для любых двух омплесных чисел z = a + bi и w = c + di
справедлива формула
|w · z| = |w| · |z|, (1)
оторую можно записать в следующем виде:
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
) = (ac – bd)
2
+ (ad + bc)
2
.(2)
С помощью формулы (1) можно находить целочисленные реше-
ния уравнений вида
x
2
+ y
2
= n,
де n— натуральное число.
П р и м е р 2. Найти хотя бы одно целочисленное решение
уравнения
x
2
+ y
2
= 21 125. (*)
Р е ш е н и е. Разложим 21 125 на простые множители:
21 125 = 5
3
· 13
2
.
Числа 5 и 13 являются суммой двух полных вадратов целых
чисел: 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно за-
писать, например, равенство
|(2 + i)(2 + i)(2 + i) · (3 + 2i)(3 + 2i)|
2
= 21 125.
Перемножив омплесные числа, находящиеся под знаом
модуля, получаем
= 21 125.
Таим образом, одним из решений исходноо уравнения явля-
ются числа x = 122, y = 79.
Очевидно, изменяя омплесные числа, вадраты модулей
оторых равны 5 и 13, будем получать друие целочисленные
решения уравнения (*).
Ответ. Например, x = 122, y = 79.
sin x + sin y = sin α,
cos x + cos y = cos α.
2sinx cos y = sin α,
2cosx cos y = cos α.
sin x + sin y = ,
cos x + cos y = .
3
2
-------
1
2
---
sin x – sin y = sin α,
cos x – cos y = cos α.
|79i 122 |
2
–
170 Г л а в а 6. Комплексные числа
§ 34. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
Использование трионометричесой формы омплесноо
числа и представление этоо числа точой омплесной пло-
сости допусает простое решение неоторых систем трионо-
метричесих уравнений.
П р и м е р 1. Решить систему
Р е ш е н и е. Первое уравнение системы, умноженное на i,
сложим со вторым уравнением:
cos x + i sin x + cos y + i sin y = + i .
Положим cos x + i sin x = z, cos y + i sin y = w, + i = u.
Тода для омплесных чисел z, w и u получим уравнение
z + w = u,
де |z| = |w| = |u| = 1, т. е. все три точи лежат на оружности
единичноо радиуса и, следовательно, четырехуольни с вер-
шинами z, u, w, O— ромб с диаональю Ou, длина оторой
равна единице (рис. 14). Таим образом, треуольнии Ozu и
Ouw — правильные, а улы uOw и zOu
равны . Имеем Arg u = + 2πk; из
рис. 14 видно, что если x = Arg z и y =
=Argw, то x = + + 2πk, y = – +
+ 2πn, т. е. x = + 2πk, y =– + 2πn.
Ответ. + 2πk; – + 2πn ;
– + 2πn; + 2πk .
sin x + sin y = ,
cos x + cos y = .
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
w
x
y
u
O
1
1
z
Рис. 14
π
3
---
π
4
---
π
4
---
π
3
---
π
4
---
π
3
---
7π
12
------ -
π
12
------
7π
12
------ -
π
12
------
π
12
------
7π
12
------ -
§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 171
Решите систему уравнений:
1. 2.
3. 4.
Для любых двух омплесных чисел z = a + bi и w = c + di
справедлива формула
|w · z| = |w| · |z|, (1)
оторую можно записать в следующем виде:
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
) = (ac – bd)
2
+ (ad + bc)
2
.(2)
С помощью формулы (1) можно находить целочисленные реше-
ния уравнений вида
x
2
+ y
2
= n,
де n— натуральное число.
П р и м е р 2. Найти хотя бы одно целочисленное решение
уравнения
x
2
+ y
2
= 21 125. (*)
Р е ш е н и е. Разложим 21 125 на простые множители:
21 125 = 5
3
· 13
2
.
Числа 5 и 13 являются суммой двух полных вадратов целых
чисел: 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно за-
писать, например, равенство
|(2 + i)(2 + i)(2 + i) · (3 + 2i)(3 + 2i)|
2
= 21 125.
Перемножив омплесные числа, находящиеся под знаом
модуля, получаем
= 21 125.
Таим образом, одним из решений исходноо уравнения явля-
ются числа x = 122, y = 79.
Очевидно, изменяя омплесные числа, вадраты модулей
оторых равны 5 и 13, будем получать друие целочисленные
решения уравнения (*).
Ответ. Например, x = 122, y = 79.
sin x + sin y = sin α,
cos x + cos y = cos α.
2sinx cos y = sin α,
2cosx cos y = cos α.
sin x + sin y = ,
cos x + cos y = .
3
2
-------
1
2
---
sin x – sin y = sin α,
cos x – cos y = cos α.
|79i 122 |
2
–
172 Г л а в а 6. Комплексные числа
Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах урав-
нения:
15. x
2
+ y
2
= 32 045. 6. x
2
+ y
2
= 84 500.
17. На оружности с центром в начале оординат и радиусом
найдите хотя бы одну точу с целыми положительными
оординатами.
Трионометричесую форму записи омплесноо числа и
связанную с ней формулу Муавра в неоторых случаях исполь-
зуют для вывода различных трионометричесих формул.
П р и м е р 3. Выразить sin 4x и cos4x в виде неоторой
фунции от sin x и cos x.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем
(cos x + i sin x)
4
= cos 4x + i sin 4x.(*)
Разложив левую часть уравнения (*) по формуле бинома Нью-
тона, имеем
(cos x + i sin x)
4
=
= cos
4
x + 4i cos
3
x sin x – 6 cos
2
x sin
2
x – 4i cos x sin
3
x + sin
4
x.
Соласно условию равенства двух омплесных чисел, получаем
cos 4x = cos
4
x – 6 cos
2
x sin
2
x + sin
4
x,
sin 4x = 4 cos
3
x sin x – 4 cos x sin
3
x.
Ответ.cos4x = cos
4
x – 6 cos
2
x sin
2
x + sin
4
x,
sin 4x = 4 cos
3
x sin x – 4 cos x sin
3
x.
8. Представьте sin 3x в виде фунции от sin x и cos x.
9. Вычислите сумму:
S
1
= cos ϕ + cos 2ϕ + ... + cos nϕ,
S
2
= sin ϕ + sin 2ϕ + ... + sin nϕ, n Ý N.
10. Доажите, что cos nα можно представить в виде мноо-
члена с целыми оэффициентами от cos α.
11. Доажите, что cos 31° — число иррациональное.
12. Вычислите сумму
sin x + a sin 2x + ... + a
n – 1
sin nx.
13. Вычислите сумму
sin x + sin 2x + ... + sin nx,
де — число сочетаний из n по k.
14. Выразите tg 5α через tg α.
513
C
n
1
C
n
2
C
n
n
C
n
k
Глава 7
Последовательности
§ 35. Определение последовательности
и ее свойства
Множество чисел, занумерованных либо онечным отрез-
ом натуральноо ряда, либо всеми натуральными числами,
называют числовой последовательностью.
В первом случае последовательность называют онечной, во
втором — бесонечной.
Элементы этоо числовоо множества называют членами
последовательности и обычно обозначают следующим образом:
первый член a
1
, второй — a
2
, ..., n-й— a
n
и т. д. Числовая по-
следовательность обозначается та*:
a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
, ... или (a
n
).
Понятие последовательности можно ввести и с помощью
понятия фунции: бесонечной числовой последовательно-
стью (x
n
) называют числовую фунцию f(n), определенную на
множестве всех натуральных чисел. Формулу, позволяющую
вычислить любой член последовательности по ео номеру n, на-
зывают формлой общео члена последовательности.
Последовательность (x
n
) называют ораниченной, если су-
ществуют таие два числа m и M, что при всех n Ý N выполня-
ется двойное** неравенство
m m x
n
m M.(1)
Последовательность (x
n
) называют ораниченной сверх
(сниз), если существует таое число M, что при всех n Ý N
выполняется неравенство
x
n
m M (x
n
l M). (2)
Последовательность x
n
называют монотонно возрастаю-
щей, если при любом натуральном n выполнено неравенство
x
n + 1
> x
n
, (3)
* Числовые последовательности будем таже обозначать (y
n
), (z
n
),
n Ý N.
** Слово «двойное» для ратости в дальнейшем будем опусать.
172 Г л а в а 6. Комплексные числа
Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах урав-
нения:
15. x
2
+ y
2
= 32 045. 6. x
2
+ y
2
= 84 500.
17. На оружности с центром в начале оординат и радиусом
найдите хотя бы одну точу с целыми положительными
оординатами.
Трионометричесую форму записи омплесноо числа и
связанную с ней формулу Муавра в неоторых случаях исполь-
зуют для вывода различных трионометричесих формул.
П р и м е р 3. Выразить sin 4x и cos4x в виде неоторой
фунции от sin x и cos x.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем
(cos x + i sin x)
4
= cos 4x + i sin 4x.(*)
Разложив левую часть уравнения (*) по формуле бинома Нью-
тона, имеем
(cos x + i sin x)
4
=
= cos
4
x + 4i cos
3
x sin x – 6 cos
2
x sin
2
x – 4i cos x sin
3
x + sin
4
x.
Соласно условию равенства двух омплесных чисел, получаем
cos 4x = cos
4
x – 6 cos
2
x sin
2
x + sin
4
x,
sin 4x = 4 cos
3
x sin x – 4 cos x sin
3
x.
Ответ.cos4x = cos
4
x – 6 cos
2
x sin
2
x + sin
4
x,
sin 4x = 4 cos
3
x sin x – 4 cos x sin
3
x.
8. Представьте sin 3x в виде фунции от sin x и cos x.
9. Вычислите сумму:
S
1
= cos ϕ + cos 2ϕ + ... + cos nϕ,
S
2
= sin ϕ + sin 2ϕ + ... + sin nϕ, n Ý N.
10. Доажите, что cos nα можно представить в виде мноо-
члена с целыми оэффициентами от cos α.
11. Доажите, что cos 31° — число иррациональное.
12. Вычислите сумму
sin x + a sin 2x + ... + a
n – 1
sin nx.
13. Вычислите сумму
sin x + sin 2x + ... + sin nx,
де — число сочетаний из n по k.
14. Выразите tg 5α через tg α.
513
C
n
1
C
n
2
C
n
n
C
n
k
Глава 7
Последовательности
§ 35. Определение последовательности
и ее свойства
Множество чисел, занумерованных либо онечным отрез-
ом натуральноо ряда, либо всеми натуральными числами,
называют числовой последовательностью.
В первом случае последовательность называют онечной, во
втором — бесонечной.
Элементы этоо числовоо множества называют членами
последовательности и обычно обозначают следующим образом:
первый член a
1
, второй — a
2
, ..., n-й— a
n
и т. д. Числовая по-
следовательность обозначается та*:
a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
, ... или (a
n
).
Понятие последовательности можно ввести и с помощью
понятия фунции: бесонечной числовой последовательно-
стью (x
n
) называют числовую фунцию f(n), определенную на
множестве всех натуральных чисел. Формулу, позволяющую
вычислить любой член последовательности по ео номеру n, на-
зывают формлой общео члена последовательности.
Последовательность (x
n
) называют ораниченной, если су-
ществуют таие два числа m и M, что при всех n Ý N выполня-
ется двойное** неравенство
m m x
n
m M.(1)
Последовательность (x
n
) называют ораниченной сверх
(сниз), если существует таое число M, что при всех n Ý N
выполняется неравенство
x
n
m M (x
n
l M). (2)
Последовательность x
n
называют монотонно возрастаю-
щей, если при любом натуральном n выполнено неравенство
x
n + 1
> x
n
, (3)
* Числовые последовательности будем таже обозначать (y
n
), (z
n
),
n Ý N.
** Слово «двойное» для ратости в дальнейшем будем опусать.
174 Г л а в а 7. Последовательности
и монотонно бывающей, если при любом натуральном n вы-
полнено неравенство
x
n + 1
< x
n
.(4)
Последовательность x
n
называют небывающей (невозрас-
тающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестроое.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие
последовательности называют монотонными последователь-
ностями. Можно обобщить определение монотонности и на те
последовательности, оторые обладают этим свойством, лишь
начиная с неотороо члена. В этом случае соответствующее
неравенство должно выполняться при всех n > n
0
, де n
0
— но-
мер члена, начиная с отороо последовательность становится
монотонной.
П р и м е р 1. Доазать, что последовательность, общий член
оторой задан формулой x
n
= , — возрастающая.
Р е ш е н и е. Рассмотрим разность
x
n + 1
– x
n
= –
и проверим выполнение неравенства x
n + 1
– x
n
> 0 при всех
n Ý N:
– > 0, или > 0.
Та а последнее неравенство справедливо при всех n Ý N,
то соласно условию (3) данная последовательность — возрас-
тающая.
1. Доажите, что последовательность y
n
= является
убывающей.
2. Установите, является ли монотонной последовательность
y
n
= .
3. Установите, является ли монотонной последовательность
y
n
=
4. При аих соотношениях между a, b, c, d последователь-
ность y
n
= является возрастающей?
3n 1–
5n 2+
------------------
3 n 1+()1–
5 n 1+()2+
---------------------------------
3n 1–
5n 2+
------------------
3 n 1+()1–
5 n 1+()2+
---------------------------------
3n 1–
5n 2+
------------------
11
5n 7+()5n 2+()
----------------------------------------------
6 n–
5n 1–
-----------------
2n 3–
n
-----------------
2
n
n!
------ .
an b+
cn d+
-----------------
§ 35. Определение последовательности и ее свойства 175
П р и м е р 2. Найти наибольший член последовательности
y
n
= –n
2
+ 5n – 6.
Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию
y(x) = –x
2
+ 5x – 6.
Она принимает наибольшее значение в точе x = 2,5, причем
на промежуте (–×; 2,5) фунция y (x) возрастает, а на проме-
жуте (2,5; +×) — убывает. Таим образом, возвращаясь по-
следовательности, можно записать y
1
< y
2
и y
3
> y
4
. Значит,
наибольшим членом является либо y
2
, либо y
3
, но y
2
= y
3
= 0.
Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены по-
следовательности.
Найдите наибольший или наименьший член последователь-
ности:
15. y
n
= n
2
– 1. 6. y
n
= 6n – n
2
– 5. 7. x
n
= 2n + .
18. Последовательность (x
n
) задана формулой общео члена
x
n
= . При аих натуральных значениях n выполняется
условие: а) | x
n
– 2 | < 0,1; б) | x
n
– 2 | < 0,01?
9. Сольо членов последовательности
y
n
= | n
2
– 5n + 6 |
удовлетворяет неравенству 2 < y
n
< 6?
10. Начиная с аоо номера члены последовательности
y
n
= n
2
– 5n + 6
удовлетворяют неравенству x
n + 1
> x
n
?
11. Начиная с аоо номера n последовательность, задан-
ная формулой общео члена y
n
= nq
n
, является монотонной,
если 0 < q < 1?
Если последовательность задана формулой общео члена
x
n
= f(n), то для доазательства ораниченности последователь-
ности сверху и снизу можно использовать ораниченность
фунции f(x) при x Ý [1; +×).
П р и м е р 3. Ораничена ли последовательность x
n
= ?
Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию
f(x) = ,
512
n
2
----------
2n 3–
n
-----------------
3n 8+
2n
------------------
3x 8+
2x
----------------- -
174 Г л а в а 7. Последовательности
и монотонно бывающей, если при любом натуральном n вы-
полнено неравенство
x
n + 1
< x
n
.(4)
Последовательность x
n
называют небывающей (невозрас-
тающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестроое.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие
последовательности называют монотонными последователь-
ностями. Можно обобщить определение монотонности и на те
последовательности, оторые обладают этим свойством, лишь
начиная с неотороо члена. В этом случае соответствующее
неравенство должно выполняться при всех n > n
0
, де n
0
— но-
мер члена, начиная с отороо последовательность становится
монотонной.
П р и м е р 1. Доазать, что последовательность, общий член
оторой задан формулой x
n
= , — возрастающая.
Р е ш е н и е. Рассмотрим разность
x
n + 1
– x
n
= –
и проверим выполнение неравенства x
n + 1
– x
n
> 0 при всех
n Ý N:
– > 0, или > 0.
Та а последнее неравенство справедливо при всех n Ý N,
то соласно условию (3) данная последовательность — возрас-
тающая.
1. Доажите, что последовательность y
n
= является
убывающей.
2. Установите, является ли монотонной последовательность
y
n
= .
3. Установите, является ли монотонной последовательность
y
n
=
4. При аих соотношениях между a, b, c, d последователь-
ность y
n
= является возрастающей?
3n 1–
5n 2+
------------------
3 n 1+()1–
5 n 1+()2+
---------------------------------
3n 1–
5n 2+
------------------
3 n 1+()1–
5 n 1+()2+
---------------------------------
3n 1–
5n 2+
------------------
11
5n 7+()5n 2+()
----------------------------------------------
6 n–
5n 1–
-----------------
2n 3–
n
-----------------
2
n
n!
------ .
an b+
cn d+
-----------------
§ 35. Определение последовательности и ее свойства 175
П р и м е р 2. Найти наибольший член последовательности
y
n
= –n
2
+ 5n – 6.
Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию
y(x) = –x
2
+ 5x – 6.
Она принимает наибольшее значение в точе x = 2,5, причем
на промежуте (–×; 2,5) фунция y (x) возрастает, а на проме-
жуте (2,5; +×) — убывает. Таим образом, возвращаясь по-
следовательности, можно записать y
1
< y
2
и y
3
> y
4
. Значит,
наибольшим членом является либо y
2
, либо y
3
, но y
2
= y
3
= 0.
Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены по-
следовательности.
Найдите наибольший или наименьший член последователь-
ности:
15. y
n
= n
2
– 1. 6. y
n
= 6n – n
2
– 5. 7. x
n
= 2n + .
18. Последовательность (x
n
) задана формулой общео члена
x
n
= . При аих натуральных значениях n выполняется
условие: а) | x
n
– 2 | < 0,1; б) | x
n
– 2 | < 0,01?
9. Сольо членов последовательности
y
n
= | n
2
– 5n + 6 |
удовлетворяет неравенству 2 < y
n
< 6?
10. Начиная с аоо номера члены последовательности
y
n
= n
2
– 5n + 6
удовлетворяют неравенству x
n + 1
> x
n
?
11. Начиная с аоо номера n последовательность, задан-
ная формулой общео члена y
n
= nq
n
, является монотонной,
если 0 < q < 1?
Если последовательность задана формулой общео члена
x
n
= f(n), то для доазательства ораниченности последователь-
ности сверху и снизу можно использовать ораниченность
фунции f(x) при x Ý [1; +×).
П р и м е р 3. Ораничена ли последовательность x
n
= ?
Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию
f(x) = ,
512
n
2
----------
2n 3–
n
-----------------
3n 8+
2n
------------------
3x 8+
2x
----------------- -
176 Г л а в а 7. Последовательности
оторая при x = n определяет члены данной последовательности.
Найдем множество значений фунции на промежуте [1; +×).
Записав фунцию f(x) в виде
f(x) = + , (*)
убеждаемся, что при x l 1 она монотонно убывает. Следова-
тельно, наибольшее значение фунции достиается при x = 1 и
оно равно . Из записи (*) видно, что при всех x Ý [1; +×) вы-
полняется неравенство f(x) > . Ита, f(n) Ý ; .
Ответ. Последовательность ораничена: все ее члены за-
лючены в промежуте ; .
Выясните, ораничена ли последовательность:
12. x
n
= . 13. x
n
= .
14. x
n
= . 15. x
n
= – (n + 2).
§ 36. Предел последовательности
Говорят, что число a является пределом бесонечной чис-
ловой последовательности (x
n
), и пишут x
n
= a, если
для любоо ε > 0 существует таой номер n
0
(ε), что при всех
n > n
0
(ε) выполняется неравенство | x
n
– a | < ε. Если последова-
тельность (x
n
) имеет предел, то ее называют сходящейся.
Необходимое словие сходимости числовой последова-
тельности: для тоо чтобы последовательность сходилась,
необходимо, чтобы она была ораниченной.
П р и м е р. Доазать, что
= 1.
3
2
---
4
x
---
11
2
------
3
2
---
3
2
---
11
2
------
3
2
---
11
2
------
2
(–1)
n
3 n
2
+
2 n
2
+
-----------------
1
n
2
2n–3+
-------------------------------
1
n 1+()!
--------------------
1
n 2+()!
--------------------
n º×
lim
n º×
lim
n 1+
n
------------- -
§ 36. Предел последовательности 177
Р е ш е н и е. Чтобы установить, что предел последователь-
ности x
n
= равен 1, достаточно уазать способ нахожде-
ния для любоо ε > 0 числа n
0
(ε), входящео в определение пре-
дела. Зададим ε > 0 и составим неравенство
– 1 < ε,(*)
оторое эвивалентно неравенству < ε. Следовательно, если
в ачестве числа n
0
(ε) выбрать число + 1, то при всех
n > n
0
(ε) будет выполняться неравенство (*); вадратными соб-
ами обозначена целая часть числа. Таим образом, доазано,
что 1 является пределом данной последовательности.
Доажите, что:
1. = 1,5. 2. = 0.
3. = . 4. = –6.
5. = 0. 6. = 1.
При решении неоторых задач на доазательство сходимос-
ти последовательности удобно пользоваться следующей еомет-
ричесой интерпретацией понятия предела последовательности.
Число a является пределом последовательности (x
n
),
если для любоо положительноо числа ε существует таой
номер n = n
0
(ε), что все члены последовательности, начиная
с , принадлежат ε-орестности числа a, т. е. промежут-
у (a – ε; a + ε).
Используя приведенную выше еометричесую интерпрета-
цию, убедитесь в справедливости следующих утверждений:
7. Если последовательность сходится числу a, то она ора-
ничена (необходимое условие сходимости).
8. Известно, что x
n
= a, a < q. Доажите, что почти все
члены последовательности (x
n
) (за ислючением, быть может,
онечноо числа членов) меньше q.
n 1+
n
------------- -
n 1+
n
------------- -
1
n
---
1
ε
---
n º×
lim
3n 2–
2n
-----------------
n º×
lim
1
n
2
1+
-----------------
n º×
lim
5n 3–
6n 2+
------------------
5
6
---
n º×
lim
6n 1–
0,5 n–
-------------------
n º×
lim
n 1+
n
2
1+
-----------------
n º×
lim
n
2
n
2
n+
-----------------
x
n
0
1+
n º×
lim
176 Г л а в а 7. Последовательности
оторая при x = n определяет члены данной последовательности.
Найдем множество значений фунции на промежуте [1; +×).
Записав фунцию f(x) в виде
f(x) = + , (*)
убеждаемся, что при x l 1 она монотонно убывает. Следова-
тельно, наибольшее значение фунции достиается при x = 1 и
оно равно . Из записи (*) видно, что при всех x Ý [1; +×) вы-
полняется неравенство f(x) > . Ита, f(n) Ý ; .
Ответ. Последовательность ораничена: все ее члены за-
лючены в промежуте ; .
Выясните, ораничена ли последовательность:
12. x
n
= . 13. x
n
= .
14. x
n
= . 15. x
n
= – (n + 2).
§ 36. Предел последовательности
Говорят, что число a является пределом бесонечной чис-
ловой последовательности (x
n
), и пишут x
n
= a, если
для любоо ε > 0 существует таой номер n
0
(ε), что при всех
n > n
0
(ε) выполняется неравенство | x
n
– a | < ε. Если последова-
тельность (x
n
) имеет предел, то ее называют сходящейся.
Необходимое словие сходимости числовой последова-
тельности: для тоо чтобы последовательность сходилась,
необходимо, чтобы она была ораниченной.
П р и м е р. Доазать, что
= 1.
3
2
---
4
x
---
11
2
------
3
2
---
3
2
---
11
2
------
3
2
---
11
2
------
2
(–1)
n
3 n
2
+
2 n
2
+
-----------------
1
n
2
2n–3+
-------------------------------
1
n 1+()!
--------------------
1
n 2+()!
--------------------
n º×
lim
n º×
lim
n 1+
n
------------- -
§ 36. Предел последовательности 177
Р е ш е н и е. Чтобы установить, что предел последователь-
ности x
n
= равен 1, достаточно уазать способ нахожде-
ния для любоо ε > 0 числа n
0
(ε), входящео в определение пре-
дела. Зададим ε > 0 и составим неравенство
– 1 < ε,(*)
оторое эвивалентно неравенству < ε. Следовательно, если
в ачестве числа n
0
(ε) выбрать число + 1, то при всех
n > n
0
(ε) будет выполняться неравенство (*); вадратными соб-
ами обозначена целая часть числа. Таим образом, доазано,
что 1 является пределом данной последовательности.
Доажите, что:
1. = 1,5. 2. = 0.
3. = . 4. = –6.
5. = 0. 6. = 1.
При решении неоторых задач на доазательство сходимос-
ти последовательности удобно пользоваться следующей еомет-
ричесой интерпретацией понятия предела последовательности.
Число a является пределом последовательности (x
n
),
если для любоо положительноо числа ε существует таой
номер n = n
0
(ε), что все члены последовательности, начиная
с , принадлежат ε-орестности числа a, т. е. промежут-
у (a – ε; a + ε).
Используя приведенную выше еометричесую интерпрета-
цию, убедитесь в справедливости следующих утверждений:
7. Если последовательность сходится числу a, то она ора-
ничена (необходимое условие сходимости).
8. Известно, что x
n
= a, a < q. Доажите, что почти все
члены последовательности (x
n
) (за ислючением, быть может,
онечноо числа членов) меньше q.
n 1+
n
------------- -
n 1+
n
------------- -
1
n
---
1
ε
---
n º×
lim
3n 2–
2n
-----------------
n º×
lim
1
n
2
1+
-----------------
n º×
lim
5n 3–
6n 2+
------------------
5
6
---
n º×
lim
6n 1–
0,5 n–
-------------------
n º×
lim
n 1+
n
2
1+
-----------------
n º×
lim
n
2
n
2
n+
-----------------
x
n
0
1+
n º×
lim
178 Г л а в а 7. Последовательности
9. Известно, что a
n
= p, b
n
= q, p − q. Существует
ли предел последовательности a
1
, b
1
, a
2
, b
2
, ..., a
n
, b
n
, ... ?
10. Используя результат упр. 9, доажите, что последова-
тельность x
n
= 1 + не имеет предела.
11. Выясните, имеет ли предел последовательность
x
n
= sin
12. Выясните, имеет ли предел последовательность
x
n
= sin
13. Выясните, имеет ли предел последовательность:
а) x
n
= 1 + ; б) x
n
= 1 + sin
§ 37. Вычисление пределов
последовательностей
Свойства сходящихся последовательностей. Если две после-
довательности (x
n
) и (y
n
) сходятся x
n
и y
n
, то:
1) последовательность (x
n
ä y
n
) сходится, причем
(x
n
ä y
n
) = x
n
ä y
n
;(1)
2) последовательность (x
n
y
n
) сходится, причем
x
n
y
n
= x
n
· y
n
;(2)
3) последовательность (если, роме тоо, y
n
− 0 и
y
n
− 0) сходится, причем
= . (3)
n º×
lim
n º×
lim
(–1)
n
πn
2
------- .
1
n
---
πn
2
------- .
(–1)
n
n
---------------
(–1)
n
n
---------------
πn
2
------- .
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
x
n
y
n
------
n º×
lim
n º×
lim
x
n
y
n
------
x
n
n º×
lim
y
n
n º×
lim
--------------------
§ 37. Вычисление пределов последовательностей 179
Обычно при вычислении пределов последовательностей не-
посредственному применению формул (1) — (3) предшествуют
неоторые тождественные преобразования. Например, при вы-
числении пределов вида , де x
n
и y
n
— неораниченно
возрастающие последовательности, таим преобразованием яв-
ляется деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же
выражение.
П р и м е р 1. Вычислить предел .
Р е ш е н и е. Та а числитель и знаменатель представля-
ют собой неораниченные последовательности, то непосредст-
венно воспользоваться формулой (3) нельзя. Разделим числи-
тель и знаменатель на n и полученной дроби применим фор-
мулу (3):
= .
Далее, используя формулу (1), получаем
= .
Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а
= 0, оончательно получим
= – .
Ответ.– .
С помощью деления числителя и знаменателя дроби на
старшую степень n вычислите предел:
1. 2. .
3. . 4. .
n º×
lim
x
n
y
n
------
n º×
lim
5n 1+
79n–
------------------
n º×
lim
5
1
n
---
+
7
n
---
9–
--------------
5
1
n
---
+
n º×
lim
7
n
---
9–
n º×
lim
-----------------------------------
5
1
n
---
+
n º×
lim
7
n
---
9–
n º×
lim
-----------------------------------
5
n º×
lim
1
n
---
n º×
lim+
7
n
---
n º×
lim 9
n º×
lim–
-------------------------------------------
n º×
lim
1
n
---
n º×
lim
5n 1+
79n–
------------------
5
9
---
5
9
---
n º×
lim
3n
2
7n–1+
25n–6n
2
–
----------------------------------- .
n º×
lim
n
3
2n 1–+
3
n 2+
------------------------------------
n º×
lim
n 1+()
4
n 1–()
4
–
n 1+()
4
n 1–()
4
+
---------------------------------------------------
n º×
lim
n
5
2+
4
n
2
1+
3
–
n
4
2+
5
n
3
1++
-------------------------------------------------- -
178 Г л а в а 7. Последовательности
9. Известно, что a
n
= p, b
n
= q, p − q. Существует
ли предел последовательности a
1
, b
1
, a
2
, b
2
, ..., a
n
, b
n
, ... ?
10. Используя результат упр. 9, доажите, что последова-
тельность x
n
= 1 + не имеет предела.
11. Выясните, имеет ли предел последовательность
x
n
= sin
12. Выясните, имеет ли предел последовательность
x
n
= sin
13. Выясните, имеет ли предел последовательность:
а) x
n
= 1 + ; б) x
n
= 1 + sin
§ 37. Вычисление пределов
последовательностей
Свойства сходящихся последовательностей. Если две после-
довательности (x
n
) и (y
n
) сходятся x
n
и y
n
, то:
1) последовательность (x
n
ä y
n
) сходится, причем
(x
n
ä y
n
) = x
n
ä y
n
;(1)
2) последовательность (x
n
y
n
) сходится, причем
x
n
y
n
= x
n
· y
n
;(2)
3) последовательность (если, роме тоо, y
n
− 0 и
y
n
− 0) сходится, причем
= . (3)
n º×
lim
n º×
lim
(–1)
n
πn
2
------- .
1
n
---
πn
2
------- .
(–1)
n
n
---------------
(–1)
n
n
---------------
πn
2
------- .
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
n º×
lim
x
n
y
n
------
n º×
lim
n º×
lim
x
n
y
n
------
x
n
n º×
lim
y
n
n º×
lim
--------------------
§ 37. Вычисление пределов последовательностей 179
Обычно при вычислении пределов последовательностей не-
посредственному применению формул (1) — (3) предшествуют
неоторые тождественные преобразования. Например, при вы-
числении пределов вида , де x
n
и y
n
— неораниченно
возрастающие последовательности, таим преобразованием яв-
ляется деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же
выражение.
П р и м е р 1. Вычислить предел .
Р е ш е н и е. Та а числитель и знаменатель представля-
ют собой неораниченные последовательности, то непосредст-
венно воспользоваться формулой (3) нельзя. Разделим числи-
тель и знаменатель на n и полученной дроби применим фор-
мулу (3):
= .
Далее, используя формулу (1), получаем
= .
Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а
= 0, оончательно получим
= – .
Ответ.– .
С помощью деления числителя и знаменателя дроби на
старшую степень n вычислите предел:
1. 2. .
3. . 4. .
n º×
lim
x
n
y
n
------
n º×
lim
5n 1+
79n–
------------------
n º×
lim
5
1
n
---
+
7
n
---
9–
--------------
5
1
n
---
+
n º×
lim
7
n
---
9–
n º×
lim
-----------------------------------
5
1
n
---
+
n º×
lim
7
n
---
9–
n º×
lim
-----------------------------------
5
n º×
lim
1
n
---
n º×
lim+
7
n
---
n º×
lim 9
n º×
lim–
-------------------------------------------
n º×
lim
1
n
---
n º×
lim
5n 1+
79n–
------------------
5
9
---
5
9
---
n º×
lim
3n
2
7n–1+
25n–6n
2
–
----------------------------------- .
n º×
lim
n
3
2n 1–+
3
n 2+
------------------------------------
n º×
lim
n 1+()
4
n 1–()
4
–
n 1+()
4
n 1–()
4
+
---------------------------------------------------
n º×
lim
n
5
2+
4
n
2
1+
3
–
n
4
2+
5
n
3
1++
-------------------------------------------------- -