Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 8
Предел функции,
непрерывность функции
§ 42. Предел функции
Пусть (a; b) — неоторый промежуто числовой прямой и
x
0
Ý (a; b). Будем считать, что фунция y = f(x) определена во
всех точах промежута (a; b) за ислючением, быть может,
точи x
0
. Говорят, что число A— предел фнции y = f(x)
в точе x
0
, и пишут f(x) = A, если для любоо ε > 0 су-
ществует таое число δ(ε) > 0, что при всех x Ý (a; b), удовлет-
воряющих неравенству 0 < |x – x
0
| < δ(ε), выполняется неравен-
ство |f(x) – A| < ε.
Говорят, что число A— предел фнции y = f(x) при x,
стремящемся бесонечности, и пишут f(x) = A, если
для любоо ε > 0 существует таое число n
0
(ε), что при всех
x > n
0
(ε) выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.
Фунцию f(x) называют ораниченной на промежуте [a; b],
если существуют таие числа m и M, что при всех x Ý [a; b] вы-
полняется неравенство m m f(x) m M.
Фунцию f(x) называют бесонечно малой при x º x
0
, если
для любоо ε > 0 существует таое δ(ε), что при всех x Ý (a; b),
удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x
0
| < δ(ε), справедливо
неравенство |f(x)| < ε. В этом случае пишут f(x) = 0.
Фунцию f(x) называют бесонечно большой при x º x
0
,
если для любоо числа E > 0 существует таое δ(E), что при
всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x
0
| <
< δ(E), справедливо неравенство |f(x)| > E. В этом случае пишут
f(x) = ×.
Чтобы доазать, что число A является пределом фунции
f(x) при x º x
0
, достаточно для любоо ε найти число δ(ε), фи-
урирующее в определении предела.
x º x
0
lim
x º×
lim
x º x
0
lim
x º x
0
lim
§ 42. Предел функции 201
Пример 1. Доазать, что = 4.
Р е ш е н и е. Чтобы для данноо ε найти нужное число δ(ε),
составим неравенство
0 < – 4| < ε.(*)
При x − 2 оно эвивалентно неравенству
0 < |x – 2| < ε, (**)
из отороо видно, что в ачестве δ(ε) можно взять δ(ε) = ε, и
в силу эвивалентности неравенств (*) и (**) при всех значени-
ях x, удовлетворяющих неравенству (**), будет выполнено не-
равенство (*).
П р и м е р 2. Доазать, что = ×.
Р е ш е н и е. Чтобы для данноо E найти требуемое число
δ(ε), составим неравенство
> E.
Лоарифмируя обе ео части по основанию 2, получаем эвива-
лентное неравенство
> log
2
E,
решив оторое относительно x находим
| x | < .
Таим образом, в ачестве δ(E) можно взять число .
Доажите, что:
1. (x + 5) = 8. 2. (x
2
– 4) = 0.
3. (6 – 2x) = 4. 4. (5x + 7) = 2.
5. = , a > 0. 6. = 0.
7. = ×. 8. = ×.
x º 2
lim
x
2
4–
x 2–
----------------
x
2
4–
x 2–
----------------
x º 0
lim 2
1/x
2
2
1/x
2
1
x
2
------
1
log
2
E
-----------------
1/2
1
log
2
E
-----------------
1/2
x º 3
lim
x º 2
lim
x º 1
lim
x º 1–
lim
x º a
lim x a
x º×
lim
1
x
---
x º a
lim 2
1
xa–
--------- -------
x º 0
lim
1
x
2
------
Глава 8
Предел функции,
непрерывность функции
§ 42. Предел функции
Пусть (a; b) — неоторый промежуто числовой прямой и
x
0
Ý (a; b). Будем считать, что фунция y = f(x) определена во
всех точах промежута (a; b) за ислючением, быть может,
точи x
0
. Говорят, что число A— предел фнции y = f(x)
в точе x
0
, и пишут f(x) = A, если для любоо ε > 0 су-
ществует таое число δ(ε) > 0, что при всех x Ý (a; b), удовлет-
воряющих неравенству 0 < |x – x
0
| < δ(ε), выполняется неравен-
ство |f(x) – A| < ε.
Говорят, что число A— предел фнции y = f(x) при x,
стремящемся бесонечности, и пишут f(x) = A, если
для любоо ε > 0 существует таое число n
0
(ε), что при всех
x > n
0
(ε) выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.
Фунцию f(x) называют ораниченной на промежуте [a; b],
если существуют таие числа m и M, что при всех x Ý [a; b] вы-
полняется неравенство m m f(x) m M.
Фунцию f(x) называют бесонечно малой при x º x
0
, если
для любоо ε > 0 существует таое δ(ε), что при всех x Ý (a; b),
удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x
0
| < δ(ε), справедливо
неравенство |f(x)| < ε. В этом случае пишут f(x) = 0.
Фунцию f(x) называют бесонечно большой при x º x
0
,
если для любоо числа E > 0 существует таое δ(E), что при
всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x
0
| <
< δ(E), справедливо неравенство |f(x)| > E. В этом случае пишут
f(x) = ×.
Чтобы доазать, что число A является пределом фунции
f(x) при x º x
0
, достаточно для любоо ε найти число δ(ε), фи-
урирующее в определении предела.
x º x
0
lim
x º×
lim
x º x
0
lim
x º x
0
lim
§ 42. Предел функции 201
Пример 1. Доазать, что = 4.
Р е ш е н и е. Чтобы для данноо ε найти нужное число δ(ε),
составим неравенство
0 < – 4| < ε.(*)
При x − 2 оно эвивалентно неравенству
0 < |x – 2| < ε, (**)
из отороо видно, что в ачестве δ(ε) можно взять δ(ε) = ε, и
в силу эвивалентности неравенств (*) и (**) при всех значени-
ях x, удовлетворяющих неравенству (**), будет выполнено не-
равенство (*).
П р и м е р 2. Доазать, что = ×.
Р е ш е н и е. Чтобы для данноо E найти требуемое число
δ(ε), составим неравенство
> E.
Лоарифмируя обе ео части по основанию 2, получаем эвива-
лентное неравенство
> log
2
E,
решив оторое относительно x находим
| x | < .
Таим образом, в ачестве δ(E) можно взять число .
Доажите, что:
1. (x + 5) = 8. 2. (x
2
– 4) = 0.
3. (6 – 2x) = 4. 4. (5x + 7) = 2.
5. = , a > 0. 6. = 0.
7. = ×. 8. = ×.
x º 2
lim
x
2
4–
x 2–
----------------
x
2
4–
x 2–
----------------
x º 0
lim 2
1/x
2
2
1/x
2
1
x
2
------
1
log
2
E
-----------------
1/2
1
log
2
E
-----------------
1/2
x º 3
lim
x º 2
lim
x º 1
lim
x º 1–
lim
x º a
lim x a
x º×
lim
1
x
---
x º a
lim 2
1
xa–
--------- -------
x º 0
lim
1
x
2
------
202 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
При решении неоторых задач удобно использовать следую-
щее определение предела фунции. Пусть фунция f(x) опреде-
лена во всех точах промежута (a; b), за ислючением, быть
может, точи x
0
Ý (a; b). Говорят, что число A— предел фн-
ции f(x) при x, стремящемся x
0
, если для любой последова-
тельности значений арумента (x
n
), стремящейся x
0
(x
n
− x
0
),
соответствующая последовательность значений фунции стре-
мится A:
f(x
n
) = A.
П р и м е р 3. Доазать, что фунция f(x) = при x º 0 не
имеет предела.
Р е ш е н и е. Возьмем две последовательности значений
арумента, сходящиеся нулю: = , = – . Тода по-
лучим
f( ) = = 1 = 1,
f() = = (#1) = #1,
т. е.
f() − f().
Таим образом, построены две последовательности значений ар-
умента, отличные от нуля, пределом оторых является нуль,
таие, что соответствующие последовательности значений
фунции сходятся разным числам (одна 1, друая –1). Но
в определении предела требуется, чтобы для аждой из рас-
смотренных последовательностей значений арумента предел
последовательности значений фунции был одним и тем же
числом, поэтому тем самым мы доазали, что данная фунция
при x º 0 не имеет предела.
Доажите, что фунция не имеет предела:
9. f(x) = sin при x º 0. 10. f(x) = e
–1/x
при x º 0.
n º×
lim
x
x
------
x
n
1()
1
n
---
x
n
2()
1
n
---
n º×
lim x
n
1()
n º×
lim
1
n
---
1
n
---
---
n º×
lim
n º×
lim x
n
2()
n º×
lim
1
n
---
1
n
---
–
-------
n º×
lim
n º×
lim x
n
1()
n º×
lim x
n
2()
1
x
---
§ 43. Вычисление пределов функций 203
11. f(x) = при x º 0.
12. f(x) = {x} при x º 4, де {x} — дробная часть числа x.
§ 43. Вычисление пределов функций
Если существуют f
1
(x) и f
2
(x), то существуют пре-
делы:
cf
1
(x) = cf
1
(x), (1)
(f
1
(x) ä f
2
(x)) = f
1
(x) ä f
2
(x), (2)
(f
1
(x) f
2
(x)) = f
1
(x) · f
2
(x), (3)
= (де f
2
(x) − 0). (4)
Нахождение предела отношения двх мноочленов при
x º ×. Если требуется найти предел отношения двух мноо-
членов, зависящих от x, при x º ×, то оба члена отношения
предварительно делят на x
n
, де n— наивысшая степень этих
мноочленов.
Пример 1. Найти .
Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на x
2
:
= .
Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а таже (2) и (1)
(при c = –1), получим
.
1, x > 0,
–1, x m 0
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
f
1
x()
f
2
x()
------------- -
f
1
x()
x º a
lim
f
2
x()
x º a
lim
-------------------------- -
x º a
lim
x º×
lim
x 3–()x 2–()
2x
2
5x–3+
-------------------------------------
x º×
lim
x 3–()x 2–()
2x
2
5x–3+
-------------------------------------
x º×
lim
x 3–
x
-------------
x 2–
x
-------------
⋅
2
5
x
---
–
3
x
2
------
+
--------------------------------
1
3
x
---
–
x º×
lim 1
2
x
---
–
x º×
lim⋅
2
x º×
lim
5
x
---
x º×
lim–
3
x
2
------
x º×
lim+
---------------------------------------------------------------------------
202 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
При решении неоторых задач удобно использовать следую-
щее определение предела фунции. Пусть фунция f(x) опреде-
лена во всех точах промежута (a; b), за ислючением, быть
может, точи x
0
Ý (a; b). Говорят, что число A— предел фн-
ции f(x) при x, стремящемся x
0
, если для любой последова-
тельности значений арумента (x
n
), стремящейся x
0
(x
n
− x
0
),
соответствующая последовательность значений фунции стре-
мится A:
f(x
n
) = A.
П р и м е р 3. Доазать, что фунция f(x) = при x º 0 не
имеет предела.
Р е ш е н и е. Возьмем две последовательности значений
арумента, сходящиеся нулю: = , = – . Тода по-
лучим
f( ) = = 1 = 1,
f() = = (#1) = #1,
т. е.
f() − f().
Таим образом, построены две последовательности значений ар-
умента, отличные от нуля, пределом оторых является нуль,
таие, что соответствующие последовательности значений
фунции сходятся разным числам (одна 1, друая –1). Но
в определении предела требуется, чтобы для аждой из рас-
смотренных последовательностей значений арумента предел
последовательности значений фунции был одним и тем же
числом, поэтому тем самым мы доазали, что данная фунция
при x º 0 не имеет предела.
Доажите, что фунция не имеет предела:
9. f(x) = sin при x º 0. 10. f(x) = e
–1/x
при x º 0.
n º×
lim
x
x
------
x
n
1()
1
n
---
x
n
2()
1
n
---
n º×
lim x
n
1()
n º×
lim
1
n
---
1
n
---
---
n º×
lim
n º×
lim x
n
2()
n º×
lim
1
n
---
1
n
---
–
-------
n º×
lim
n º×
lim x
n
1()
n º×
lim x
n
2()
1
x
---
§ 43. Вычисление пределов функций 203
11. f(x) = при x º 0.
12. f(x) = {x} при x º 4, де {x} — дробная часть числа x.
§ 43. Вычисление пределов функций
Если существуют f
1
(x) и f
2
(x), то существуют пре-
делы:
cf
1
(x) = cf
1
(x), (1)
(f
1
(x) ä f
2
(x)) = f
1
(x) ä f
2
(x), (2)
(f
1
(x) f
2
(x)) = f
1
(x) · f
2
(x), (3)
= (де f
2
(x) − 0). (4)
Нахождение предела отношения двх мноочленов при
x º ×. Если требуется найти предел отношения двух мноо-
членов, зависящих от x, при x º ×, то оба члена отношения
предварительно делят на x
n
, де n— наивысшая степень этих
мноочленов.
Пример 1. Найти .
Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на x
2
:
= .
Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а таже (2) и (1)
(при c = –1), получим
.
1, x > 0,
–1, x m 0
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
x º a
lim
f
1
x()
f
2
x()
------------- -
f
1
x()
x º a
lim
f
2
x()
x º a
lim
-------------------------- -
x º a
lim
x º×
lim
x 3–()x 2–()
2x
2
5x–3+
-------------------------------------
x º×
lim
x 3–()x 2–()
2x
2
5x–3+
-------------------------------------
x º×
lim
x 3–
x
-------------
x 2–
x
-------------
⋅
2
5
x
---
–
3
x
2
------
+
--------------------------------
1
3
x
---
–
x º×
lim 1
2
x
---
–
x º×
lim⋅
2
x º×
lim
5
x
---
x º×
lim–
3
x
2
------
x º×
lim+
---------------------------------------------------------------------------
204 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Используя равенство = 0, находим
= .
Ответ..
Вычислите предел:
1. . 2. .
3. . 4. .
Пусть P(x) и Q(x) — мноочлены, причем Q(a) − 0; тода
предел их отношения, т. е. , находят непосредственно
с помощью формул (1)—(4). Если же P(a) = 0 и Q(a) = 0, то, за-
писав мноочлены P(x) и Q(x) в виде
P(x) = (x – a)
k
P
1
(x), Q(x) = (x – a)
n
Q
1
(x)
(k и n— ратности орня x = a мноочленов P(x) и Q(x)), до
перехода пределу соращают числитель и знаменатель дроби
на общий множитель.
П р и м е р 2. Вычислить предел .
Р е ш е н и е. Преобразуем выражение, находящееся под зна-
ом предела:
= = .
Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1),
(2) и (4):
= .
Ответ..
x º×
lim
a
x
---
1
3
x
---
x º×
lim–
1
2
x
---
x º×
lim–
2
5
x
---
x º×
lim–
3
x
2
------
x º×
lim+
-----------------------------------------------------------------------
1
2
---
1
2
---
x º×
lim
x 1+()
2
x 3–()x 2+()
------------------------------------- -
x º×
lim
x
2
–5x 6–+
x 1–()x 2–()x 3–()
--------------------------------------------------------
x º×
lim
x
xxx++
-------------------------------------
x º×
lim
2x 5+
xx+
------------------
x º a
lim
Px()
Qx()
------------ -
Px()
Qx()
------------ -
x º 3
lim
x
2
5x–6+
x
2
9–
-------------------------------
x
2
5x–6+
x
2
9–
-------------------------------
x 3–()x 2–()
x 3–()x 3+()
------------------------------------- -
x 2–
x 3+
------------- -
x º 3
lim
x 2–
x 3+
------------- -
1
6
---
1
6
---
§ 43. Вычисление пределов функций 205
Вычислите предел:
5. . 6. .
7. . 8. .
9. – .
10. .
11. + – .
12. а) f(x); б) f(x),
де f(x) = .
13. а) f(x); б) f(x), де f(x) =
Нахождение пределов фнций, содержащих иррациональ-
ности. Вычисление пределов выражений, содержащих иррацио-
нальности, инода упрощают введением новых переменных.
П р и м е р 3. Вычислить предел .
Р е ш е н и е. Положим = t. Тода выражение, записан-
ное под знаом предела, примет вид
.
Число, оторому стремится новая переменная t при x º 1,
находим а предел фунции t(x) = при x º 1, т. е.
t(x) = = 1.
Таим образом,
= = = .
Ответ..
x º 1–
lim
x
3
1+
x
2
1+
---------------- -
x º 1–
lim
x 1+()
3
x
3
1+
--------------------- -
x º 0,5
lim
8x
3
1–
6x
2
5x–1+
---------------------------------- -
h º 0
lim
xh+()
3
x
3
–
h
---------------------------------- -
x º 2
lim
1
2 x–
-------------
3
8 x
3
–
----------------
x º 1
lim
x
4
x
3
– x–1+
x
3
5x
2
–7x 3–+
------------------------------------------------
x º a
lim
x
3
2ax
2
– a
2
x–2a
3
+()x 2a–()
1–
x
3
a
2
x–
-----------------------------------------------------------------------------------------------
2a
x
2
ax–
--------------------
2
xa–
-------------
x º 0,5
lim
x º 1,5
lim
x 1–
2
----------------
xx 1–2
2
x
---
–++
x 2–
1
x
---
+
----------------------------------------------------------------- -
x º 1
lim
x º 1–
lim
x
|
x 3
|
–
(x
2
x–6)|x |–
---------------------------------------- .
x º 1
lim
x
2
3
2 x
3
–1+
x 1–()
2
-----------------------------------------
x
3
t
2
2t–1+
t
3
1–()
2
-----------------------------
x
3
x º 1
lim
x º 1
lim x
3
t º 1
lim
t
2
2t–1+
t
3
1–()
2
-----------------------------
t º 1
lim
t 1–()
2
t 1–()
2
t
2
t 1++()
2
----------------------------------------------------- -
t º 1
lim
1
t
2
t 1++()
2
-------------------------------- -
1
9
---
1
9
---
204 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Используя равенство = 0, находим
= .
Ответ..
Вычислите предел:
1. . 2. .
3. . 4. .
Пусть P(x) и Q(x) — мноочлены, причем Q(a) − 0; тода
предел их отношения, т. е. , находят непосредственно
с помощью формул (1)—(4). Если же P(a) = 0 и Q(a) = 0, то, за-
писав мноочлены P(x) и Q(x) в виде
P(x) = (x – a)
k
P
1
(x), Q(x) = (x – a)
n
Q
1
(x)
(k и n— ратности орня x = a мноочленов P(x) и Q(x)), до
перехода пределу соращают числитель и знаменатель дроби
на общий множитель.
П р и м е р 2. Вычислить предел .
Р е ш е н и е. Преобразуем выражение, находящееся под зна-
ом предела:
= = .
Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1),
(2) и (4):
= .
Ответ..
x º×
lim
a
x
---
1
3
x
---
x º×
lim–
1
2
x
---
x º×
lim–
2
5
x
---
x º×
lim–
3
x
2
------
x º×
lim+
-----------------------------------------------------------------------
1
2
---
1
2
---
x º×
lim
x 1+()
2
x 3–()x 2+()
------------------------------------- -
x º×
lim
x
2
–5x 6–+
x 1–()x 2–()x 3–()
--------------------------------------------------------
x º×
lim
x
xxx++
-------------------------------------
x º×
lim
2x 5+
xx+
------------------
x º a
lim
Px()
Qx()
------------ -
Px()
Qx()
------------ -
x º 3
lim
x
2
5x–6+
x
2
9–
-------------------------------
x
2
5x–6+
x
2
9–
-------------------------------
x 3–()x 2–()
x 3–()x 3+()
------------------------------------- -
x 2–
x 3+
------------- -
x º 3
lim
x 2–
x 3+
------------- -
1
6
---
1
6
---
§ 43. Вычисление пределов функций 205
Вычислите предел:
5. . 6. .
7. . 8. .
9. – .
10. .
11. + – .
12. а) f(x); б) f(x),
де f(x) = .
13. а) f(x); б) f(x), де f(x) =
Нахождение пределов фнций, содержащих иррациональ-
ности. Вычисление пределов выражений, содержащих иррацио-
нальности, инода упрощают введением новых переменных.
П р и м е р 3. Вычислить предел .
Р е ш е н и е. Положим = t. Тода выражение, записан-
ное под знаом предела, примет вид
.
Число, оторому стремится новая переменная t при x º 1,
находим а предел фунции t(x) = при x º 1, т. е.
t(x) = = 1.
Таим образом,
= = = .
Ответ..
x º 1–
lim
x
3
1+
x
2
1+
---------------- -
x º 1–
lim
x 1+()
3
x
3
1+
--------------------- -
x º 0,5
lim
8x
3
1–
6x
2
5x–1+
---------------------------------- -
h º 0
lim
xh+()
3
x
3
–
h
---------------------------------- -
x º 2
lim
1
2 x–
-------------
3
8 x
3
–
----------------
x º 1
lim
x
4
x
3
– x–1+
x
3
5x
2
–7x 3–+
------------------------------------------------
x º a
lim
x
3
2ax
2
– a
2
x–2a
3
+()x 2a–()
1–
x
3
a
2
x–
-----------------------------------------------------------------------------------------------
2a
x
2
ax–
--------------------
2
xa–
-------------
x º 0,5
lim
x º 1,5
lim
x 1–
2
----------------
xx 1–2
2
x
---
–++
x 2–
1
x
---
+
----------------------------------------------------------------- -
x º 1
lim
x º 1–
lim
x
|
x 3
|
–
(x
2
x–6)|x |–
---------------------------------------- .
x º 1
lim
x
2
3
2 x
3
–1+
x 1–()
2
-----------------------------------------
x
3
t
2
2t–1+
t
3
1–()
2
-----------------------------
x
3
x º 1
lim
x º 1
lim x
3
t º 1
lim
t
2
2t–1+
t
3
1–()
2
-----------------------------
t º 1
lim
t 1–()
2
t 1–()
2
t
2
t 1++()
2
----------------------------------------------------- -
t º 1
lim
1
t
2
t 1++()
2
-------------------------------- -
1
9
---
1
9
---
206 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Вычислите предел:
14. . 15. .
16. .
При вычислении предела иррациональноо выражения ино-
да переводят иррациональность из числителя в знаменатель или
наоборот.
П р и м е р 4. Вычислить предел .
Р е ш е н и е. Умножив числитель и знаменатель дроби, за-
писанной под знаом предела, на выражение, сопряженное
числителю, получим
= = = 0.
Ответ.0.
Вычислите предел:
17. ( – x). 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. x( + 2x). 24. .
25. . 26. .
Использование предела = 1. При вычислении пре-
делов выражений, содержащих трионометричесие фунции,
часто используют следующий предел:
= 1. (5)
x º 1
lim
x
3
1–
x
4
1–
------------------
x º 0
lim
1 x+1–
1 x+
3
1–
-----------------------------
x º 1
lim
xx1–1–+
x
2
1–
------------------------------------------ -
x º 0
lim
x
2
1+1–
x
-------------------------------
x º 0
lim
x
2
1+1–
x
-------------------------------
x º 0
lim
x
2
11–+
xx
2
1+1+()
-----------------------------------------
x º 0
lim
x
2
xx
2
1+1+()
-----------------------------------------
x º×
lim x
2
1+
x º 0
lim
x
2
4+2–
x
2
9+3–
-------------------------------
x º 3
lim
x 3–
x 1+2–
----------------------------
x º 9
lim
3 x–
x 5–2–
--------------------------- -
x º 4
lim
x 2–
x 5+3–
----------------------------
x º 2
lim
x 2+2–
x 7+3–
----------------------------
x º×–
lim 4x
2
7+
x º 3
lim
x 3–
x
2
1–
3
2–
-------------------------------
x º×
lim
9xx
2
4––
x
---------------------------------- -
x º 3
lim
x
2
7+4–
x
2
5x–6+
-------------------------------
x º 0
lim
sin x
x
-------------
x º 0
lim
sin x
x
-------------
§ 44. Непрерывность функции 207
Пример 5. Найти предел .
Р е ш е н и е. Используя формулу 1 – cos 2x = 2 sin
2
x, пре-
образуем числитель дроби. Тода получим
= = 2 · sin x = 0.
Ответ.0.
Пример 6. Найти предел .
Р е ш е н и е. Положим y = arcsin x, тода x = sin y. Учиты-
вая, что если x º 0, то arcsin x º 0, находим
= = 1.
Ответ.1.
Вычислите предел:
27. .
28. .
29. n sin . 30. .
31. .
32. .
33. . 34. .
§ 44. Непрерывность функции
Непрерывность фнции в точе. Фунцию f(x), опреде-
ленную на промежуте (a; b), называют непрерывной в точе
x
0
Ý (a; b), если:
1) существует предел f(x);
2) этот предел равен значению фунции в точе x
0
, т. е.
f(x) = f(x
0
).
x º 0
lim
1cos2x–
x
---------------------------
x º 0
lim
1cos2x–
x
---------------------------
x º 0
lim
2 sin
2
x
x
-------------------- -
x º 0
lim
sin x
x
-------------
x º 0
lim
x º 0
lim
arcsin x
x
--------------------- -
x º 0
lim
arcsin x
x
--------------------- -
y º 0
lim
y
sin y
------------ -
x º 0
lim
sin nx
sin mx
------------------ -
x º a
lim
sin x sin a–
xa–
---------------------------------
n º×
lim
π
n
---
x º 2–
lim
tg πx
x 2+
--------------
x º π/4
lim
sin x cos x–
1tgx–
---------------------------------
x º π/3
lim
tg
3
x 3tgx–
cos x
π
6
---
+
------------------------------------
x º π/3
lim
sin x
π
3
---
–
12cosx–
----------------------------- -
x º π
lim
1 sin
x
2
---
–
π x–
-----------------------
x º x
0
lim
x º x
0
lim
206 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Вычислите предел:
14. . 15. .
16. .
При вычислении предела иррациональноо выражения ино-
да переводят иррациональность из числителя в знаменатель или
наоборот.
П р и м е р 4. Вычислить предел .
Р е ш е н и е. Умножив числитель и знаменатель дроби, за-
писанной под знаом предела, на выражение, сопряженное
числителю, получим
= = = 0.
Ответ.0.
Вычислите предел:
17. ( – x). 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. x( + 2x). 24. .
25. . 26. .
Использование предела = 1. При вычислении пре-
делов выражений, содержащих трионометричесие фунции,
часто используют следующий предел:
= 1. (5)
x º 1
lim
x
3
1–
x
4
1–
------------------
x º 0
lim
1 x+1–
1 x+
3
1–
-----------------------------
x º 1
lim
xx1–1–+
x
2
1–
------------------------------------------ -
x º 0
lim
x
2
1+1–
x
-------------------------------
x º 0
lim
x
2
1+1–
x
-------------------------------
x º 0
lim
x
2
11–+
xx
2
1+1+()
-----------------------------------------
x º 0
lim
x
2
xx
2
1+1+()
-----------------------------------------
x º×
lim x
2
1+
x º 0
lim
x
2
4+2–
x
2
9+3–
-------------------------------
x º 3
lim
x 3–
x 1+2–
----------------------------
x º 9
lim
3 x–
x 5–2–
--------------------------- -
x º 4
lim
x 2–
x 5+3–
----------------------------
x º 2
lim
x 2+2–
x 7+3–
----------------------------
x º×–
lim 4x
2
7+
x º 3
lim
x 3–
x
2
1–
3
2–
-------------------------------
x º×
lim
9xx
2
4––
x
---------------------------------- -
x º 3
lim
x
2
7+4–
x
2
5x–6+
-------------------------------
x º 0
lim
sin x
x
-------------
x º 0
lim
sin x
x
-------------
§ 44. Непрерывность функции 207
Пример 5. Найти предел .
Р е ш е н и е. Используя формулу 1 – cos 2x = 2 sin
2
x, пре-
образуем числитель дроби. Тода получим
= = 2 · sin x = 0.
Ответ.0.
Пример 6. Найти предел .
Р е ш е н и е. Положим y = arcsin x, тода x = sin y. Учиты-
вая, что если x º 0, то arcsin x º 0, находим
= = 1.
Ответ.1.
Вычислите предел:
27. .
28. .
29. n sin . 30. .
31. .
32. .
33. . 34. .
§ 44. Непрерывность функции
Непрерывность фнции в точе. Фунцию f(x), опреде-
ленную на промежуте (a; b), называют непрерывной в точе
x
0
Ý (a; b), если:
1) существует предел f(x);
2) этот предел равен значению фунции в точе x
0
, т. е.
f(x) = f(x
0
).
x º 0
lim
1cos2x–
x
---------------------------
x º 0
lim
1cos2x–
x
---------------------------
x º 0
lim
2 sin
2
x
x
-------------------- -
x º 0
lim
sin x
x
-------------
x º 0
lim
x º 0
lim
arcsin x
x
--------------------- -
x º 0
lim
arcsin x
x
--------------------- -
y º 0
lim
y
sin y
------------ -
x º 0
lim
sin nx
sin mx
------------------ -
x º a
lim
sin x sin a–
xa–
---------------------------------
n º×
lim
π
n
---
x º 2–
lim
tg πx
x 2+
--------------
x º π/4
lim
sin x cos x–
1tgx–
---------------------------------
x º π/3
lim
tg
3
x 3tgx–
cos x
π
6
---
+
------------------------------------
x º π/3
lim
sin x
π
3
---
–
12cosx–
----------------------------- -
x º π
lim
1 sin
x
2
---
–
π x–
-----------------------
x º x
0
lim
x º x
0
lim
208 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Доазательство непрерывности фунции f(x) в точе x
0
со-
стоит в провере справедливости равенства
f(x) = f(x
0
). (1)
П р и м е р 1. Доазать, что фунция f(x) = 3x
2
+ 5 непре-
рывна в точе x = 2.
Р е ш е н и е. Используя свойства пределов, имеем
(3x
2
+ 5) = 3 x
2
+ 5 = 17.
С друой стороны, значение фунции в точе 2 таже равно 17.
Следовательно, равенство (1) выполняется, т. е. данная фун-
ция непрерывна в точе x = 2.
Доажите непрерывность фунции в уазанной точе:
1. f(x) = x
2
– 2x + 1 в точе x = 1.
2. f(x) = в точе x = .
3. f(x) = в точе x = 1.
4. f(x) = в точе x = 0.
5. f(x) = в точе x = 0.
6. f(x) = в точе x = 0.
7. f(x) = в точе x = 0.
Чтобы доазать непрерывность фунции f(x), определенной
на промежуте (a; b), в точе x
0
Ý (a; b), в ряде случаев вместо
равенства (1) удобнее проверить справедливость равенства
[f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
)] = 0, (2)
при выполнении отороо фунция непрерывна в точе x
0
.
x º x
0
lim
x º 2
lim
x º 2
lim
1cos2x+
cos x
--------------------------- -
π
4
---
x
2
, x l 1,
1, x < 1
, x − 0,
1, x = 0
sin x
x
-------------
e
–1/x
, x − 0,
0, x = 0
(1 + x)
1/x
, x − 0,
e, x = 0
, x − 0,
, x = 0
1 x+1x+
3
–
x
--------------------------------------------
1
6
---
∆x º 0
lim
§ 44. Непрерывность функции 209
Пример 2. Доазать, что фунция f(x) = sin x непрерыв-
на при любом значении арумента x.
Р е ш е н и е. Составим разность f(x + ∆x) – f(x) для данной
фунции:
sin (x + ∆x) – sin x = 2 sin cos .
Воспользовавшись тем, что
= 1, cos x + m 1,
а таже формулами (2) и (5) из § 43, получаем
[sin (x + ∆x) – sin x] = 0.
Доажите непрерывность фунции на всей области ее опре-
деления:
8. f(x) = x
2
. 9. f(x) = cos x.
10. f(x) = ln x. 11. f(x) = e
x
.
При доазательстве непрерывности фунций часто исполь-
зуют следующее утверждение
.
Если фунции f(x) и g(x) непрерывны в точе x
0
, то их сум-
ма, разность, произведение и частное (при условии g(x
0
) − 0)
непрерывны в точе x
0
.
П р и м е р 3. Доазать непрерывность фунции
f(x) =
на всей числовой прямой.
Р е ш е н и е. Та а фунция f(x) представляет собой от-
ношение двух мноочленов, причем знаменатель всюду поло-
жителен, то непрерывность f(x) в любой точе x Ý R следует из
непрерывности в этой точе числителя и знаменателя.
12. Доажите, что дробно-рациональная фунция w =
(ad – bc − 0) непрерывна в своей области определения.
13. Является ли фунция y = tg x непрерывной на всей чис-
ловой прямой?
∆x
2
-------
2x ∆x+
2
----------------------
∆x º 0
lim
sin
∆x
2
-------
∆x
2
-------
-----------------
∆x
2
-------
∆x º 0
lim
2x
2
2–
x
2
1+
--------------------
az b+
cz d+
---------------- -
208 Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Доазательство непрерывности фунции f(x) в точе x
0
со-
стоит в провере справедливости равенства
f(x) = f(x
0
). (1)
П р и м е р 1. Доазать, что фунция f(x) = 3x
2
+ 5 непре-
рывна в точе x = 2.
Р е ш е н и е. Используя свойства пределов, имеем
(3x
2
+ 5) = 3 x
2
+ 5 = 17.
С друой стороны, значение фунции в точе 2 таже равно 17.
Следовательно, равенство (1) выполняется, т. е. данная фун-
ция непрерывна в точе x = 2.
Доажите непрерывность фунции в уазанной точе:
1. f(x) = x
2
– 2x + 1 в точе x = 1.
2. f(x) = в точе x = .
3. f(x) = в точе x = 1.
4. f(x) = в точе x = 0.
5. f(x) = в точе x = 0.
6. f(x) = в точе x = 0.
7. f(x) = в точе x = 0.
Чтобы доазать непрерывность фунции f(x), определенной
на промежуте (a; b), в точе x
0
Ý (a; b), в ряде случаев вместо
равенства (1) удобнее проверить справедливость равенства
[f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
)] = 0, (2)
при выполнении отороо фунция непрерывна в точе x
0
.
x º x
0
lim
x º 2
lim
x º 2
lim
1cos2x+
cos x
--------------------------- -
π
4
---
x
2
, x l 1,
1, x < 1
, x − 0,
1, x = 0
sin x
x
-------------
e
–1/x
, x − 0,
0, x = 0
(1 + x)
1/x
, x − 0,
e, x = 0
, x − 0,
, x = 0
1 x+1x+
3
–
x
--------------------------------------------
1
6
---
∆x º 0
lim
§ 44. Непрерывность функции 209
Пример 2. Доазать, что фунция f(x) = sin x непрерыв-
на при любом значении арумента x.
Р е ш е н и е. Составим разность f(x + ∆x) – f(x) для данной
фунции:
sin (x + ∆x) – sin x = 2 sin cos .
Воспользовавшись тем, что
= 1, cos x + m 1,
а таже формулами (2) и (5) из § 43, получаем
[sin (x + ∆x) – sin x] = 0.
Доажите непрерывность фунции на всей области ее опре-
деления:
8. f(x) = x
2
. 9. f(x) = cos x.
10. f(x) = ln x. 11. f(x) = e
x
.
При доазательстве непрерывности фунций часто исполь-
зуют следующее утверждение
.
Если фунции f(x) и g(x) непрерывны в точе x
0
, то их сум-
ма, разность, произведение и частное (при условии g(x
0
) − 0)
непрерывны в точе x
0
.
П р и м е р 3. Доазать непрерывность фунции
f(x) =
на всей числовой прямой.
Р е ш е н и е. Та а фунция f(x) представляет собой от-
ношение двух мноочленов, причем знаменатель всюду поло-
жителен, то непрерывность f(x) в любой точе x Ý R следует из
непрерывности в этой точе числителя и знаменателя.
12. Доажите, что дробно-рациональная фунция w =
(ad – bc − 0) непрерывна в своей области определения.
13. Является ли фунция y = tg x непрерывной на всей чис-
ловой прямой?
∆x
2
-------
2x ∆x+
2
----------------------
∆x º 0
lim
sin
∆x
2
-------
∆x
2
-------
-----------------
∆x
2
-------
∆x º 0
lim
2x
2
2–
x
2
1+
--------------------
az b+
cz d+
---------------- -