Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
280 Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
1. Тело движется прямолинейно со соростью v(t) = 2t + a
(м/с). Найдите значение a, если известно, что за промежуто
от t
1
= 0 до t
2
= 2 с тело прошло путь длиной 40 м.
2. Тело движется прямолинейно со соростью v = 12t – t
2
(м/с).
Найдите длину пути, пройденноо телом от начала движения
до ео останови.
3. Два тела одновременно начали двиаться по прямой из
одной точи в одном направлении. Первое тело двиалось со
соростью v
1
(t) = 3t
2
+ 2t (м/с), второе — со соростью v
2
(t) =
=2t (м/с). Каое расстояние будет между телами через 6 с?
4. Тело движется прямолинейно под действием постоянной
силы с усорением 2 м/с
2
и с нулевой начальной соростью.
Через 3 с после начала движения сила преращает действо-
вать, и тело начинает двиаться равномерно с набранной это-
му моменту соростью. Найдите заон движения тела.
Если тело движется вдоль оси Ox под действием силы F(x),
зависящей от оординаты x, то работа силы по перемещению
тела из точи a в точу b (b > 0) вычисляется по формуле
A = F(x)dx.(2)
П р и м е р 2. На тело действует сила, оторая линейно за-
висит от пройденноо пути. В начале движения она составляла
100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила возросла до
600 Н. Найти работу, произведенную этой силой на пройден-
ном пути.
Р е ш е н и е. Из условия следует, что сила F(x), действую-
щая на тело, меняется по заону F(x) = ax + b, де параметры
a и b находятся из условий
или или
Таим образом, F(x) = 50x + 100 и работа силы на пройден-
ном пути выражается формулой (2):
A = (50x + 100) dx = (25x
2
+ 100x) =
= 25 · 100 + 100 · 10 = 3500.
Ответ. 3500 Дж.
a
b
∫
F(0) = 100,
F(10) = 600,
b = 100,
100a + 100 = 600,
b = 100,
a = 50.
0
10
∫
0
10
§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики 281
5. На тело действует сила, оторая изменяется обратно про-
порционально вадрату расстояния до неотороо объета. Из-
вестно, что она составляла 1 Н в момент, ода расстояние до
объета было равно 2 м. Вычислите работу этой силы, затрачен-
ную при переносе тела из пунта, находящеося на расстоянии
10 м от объета, до пунта, находящеося на расстоянии 3 м.
6. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на
15 см, если известно, что действующая сила пропорциональ-
на сжатию пружины и что для сжатия на 1 см необходима си-
ла 30 Н.
280 Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
1. Тело движется прямолинейно со соростью v(t) = 2t + a
(м/с). Найдите значение a, если известно, что за промежуто
от t
1
= 0 до t
2
= 2 с тело прошло путь длиной 40 м.
2. Тело движется прямолинейно со соростью v = 12t – t
2
(м/с).
Найдите длину пути, пройденноо телом от начала движения
до ео останови.
3. Два тела одновременно начали двиаться по прямой из
одной точи в одном направлении. Первое тело двиалось со
соростью v
1
(t) = 3t
2
+ 2t (м/с), второе — со соростью v
2
(t) =
=2t (м/с). Каое расстояние будет между телами через 6 с?
4. Тело движется прямолинейно под действием постоянной
силы с усорением 2 м/с
2
и с нулевой начальной соростью.
Через 3 с после начала движения сила преращает действо-
вать, и тело начинает двиаться равномерно с набранной это-
му моменту соростью. Найдите заон движения тела.
Если тело движется вдоль оси Ox под действием силы F(x),
зависящей от оординаты x, то работа силы по перемещению
тела из точи a в точу b (b > 0) вычисляется по формуле
A = F(x)dx.(2)
П р и м е р 2. На тело действует сила, оторая линейно за-
висит от пройденноо пути. В начале движения она составляла
100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила возросла до
600 Н. Найти работу, произведенную этой силой на пройден-
ном пути.
Р е ш е н и е. Из условия следует, что сила F(x), действую-
щая на тело, меняется по заону F(x) = ax + b, де параметры
a и b находятся из условий
или или
Таим образом, F(x) = 50x + 100 и работа силы на пройден-
ном пути выражается формулой (2):
A = (50x + 100) dx = (25x
2
+ 100x) =
= 25 · 100 + 100 · 10 = 3500.
Ответ. 3500 Дж.
a
b
∫
F(0) = 100,
F(10) = 600,
b = 100,
100a + 100 = 600,
b = 100,
a = 50.
0
10
∫
0
10
§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики 281
5. На тело действует сила, оторая изменяется обратно про-
порционально вадрату расстояния до неотороо объета. Из-
вестно, что она составляла 1 Н в момент, ода расстояние до
объета было равно 2 м. Вычислите работу этой силы, затрачен-
ную при переносе тела из пунта, находящеося на расстоянии
10 м от объета, до пунта, находящеося на расстоянии 3 м.
6. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на
15 см, если известно, что действующая сила пропорциональ-
на сжатию пружины и что для сжатия на 1 см необходима си-
ла 30 Н.
Глава 14
Метод координат
и элементы векторной алгебры
§ 76. Векторы и их координаты
Координатами точи M
0
относительно прямоуольной сис-
темы оординат Oxyz называют упорядоченную тройу чисел
(x
0
; y
0
; z
0
). Число x
0
называют абсциссой этой точи, y
0
— ор-
динатой, z
0
— апплиатой.
Пусть A и B— две различные точи пространства. Отрезо
AB, у отороо точу A считают началом, а точу B— онцом,
называют ветором с началом A и онцом B и обозначают .
Направление луча AB определяет направление ветора , а дли-
ну отреза AB называют длиной (или модлем) ветора
и обозначают | |. Ветор, начинающийся и заанчивающийся
в точе A, называют нлевым ветором и обозначают .
Понятие направления для нео не вводится.
Если оординатами начала и онца ветора являются
точи A(x
A
; y
A
; z
A
) и B(x
B
; y
B
; z
B
), то оординатами вето-
ра называют упорядоченную тройу чисел
{x
B
– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
}
(оординаты ветора будем записывать в фиурных собах).
Два ветора считают равными, если их одноименные оор-
динаты совпадают. В дальнейшем наряду с обозначением
для ветора будем использовать и обозначения, не связанные
с началом и онцом ветора в пространстве: , , , ... .
Над множеством веторов, заданных своими оординатами,
можно определить операции сложения, вычитания и умноже-
ния на число по следующим правилам:
1) смма (разность) веторов равна ветору, оординаты
отороо равны сумме (разности) соответствующих оординат
слааемых;
2) произведение ветора на число равно ветору, аждая
оордината отороо равна оординате исходноо ветора, ум-
ноженной на это число.
AB
AB
AB
AB
AA
AB
AB
AB
a b c
§ 76. Векторы и их координаты 441
Правила действий с веторами = {a
1
; a
2
; a
3
} и = {b
1
; b
2
; b
3
},
заданными их оординатами, выражаются формулами
ä = {a
1
ä b
1
; a
2
ä b
2
; a
3
ä b
3
}, (1)
λ = {λa
1
; λa
2
; λa
3
}. (2)
Веторы
= {1; 0; 0}, = {0; 1; 0}, = {0; 0; 1} (3)
называют ортами. Любой ветор {a
1
; a
2
; a
3
} можно предста-
вить, и притом единственным образом, в виде
= a
1
+ a
2
+ a
3
.(4)
П р и м е р 1. Заданы веторы = 2 + 3 , = –3 – 2 ,
= + – . Найти оординаты ветора – + .
Решение. По условию = {2; 3; 0}, = {0; –3; –2},
={1; 1; –1}.
Используя формулы (1) и (2), имеем
– + = 2 – 0 + 1; 3 + + 1; 0 + 1 – 1 .
Ответ. 3; ; 0 .
П р и м е р 2. Даны четыре ветора: = {3; – 2; 1},
= {–1; 1; – 2}, = {2; 1; – 3} и = {11; – 6; 5}. Найти числа
x, y, z, если
= x + y + z .
Р е ш е н и е. Из условия равенства двух веторов имеем
Решив эту систему уравнений, получим
x = 2, y = –3, z = 1.
Ответ. x = 2, y = –3, z = 1.
a
b
a b
a
i j k
a
a i j k
a i j b j k
c i j k a
1
2
---
b c
a b
c
a
1
2
---
b c
3
2
---
11
2
------
p
q r c
c p q r
11 = 3x – y + 2z,
–6 = –2x + y + z,
5 = x – 2y – 3z.
Глава 14
Метод координат
и элементы векторной алгебры
§ 76. Векторы и их координаты
Координатами точи M
0
относительно прямоуольной сис-
темы оординат Oxyz называют упорядоченную тройу чисел
(x
0
; y
0
; z
0
). Число x
0
называют абсциссой этой точи, y
0
— ор-
динатой, z
0
— апплиатой.
Пусть A и B— две различные точи пространства. Отрезо
AB, у отороо точу A считают началом, а точу B— онцом,
называют ветором с началом A и онцом B и обозначают .
Направление луча AB определяет направление ветора , а дли-
ну отреза AB называют длиной (или модлем) ветора
и обозначают | |. Ветор, начинающийся и заанчивающийся
в точе A, называют нлевым ветором и обозначают .
Понятие направления для нео не вводится.
Если оординатами начала и онца ветора являются
точи A(x
A
; y
A
; z
A
) и B(x
B
; y
B
; z
B
), то оординатами вето-
ра называют упорядоченную тройу чисел
{x
B
– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
}
(оординаты ветора будем записывать в фиурных собах).
Два ветора считают равными, если их одноименные оор-
динаты совпадают. В дальнейшем наряду с обозначением
для ветора будем использовать и обозначения, не связанные
с началом и онцом ветора в пространстве: , , , ... .
Над множеством веторов, заданных своими оординатами,
можно определить операции сложения, вычитания и умноже-
ния на число по следующим правилам:
1) смма (разность) веторов равна ветору, оординаты
отороо равны сумме (разности) соответствующих оординат
слааемых;
2) произведение ветора на число равно ветору, аждая
оордината отороо равна оординате исходноо ветора, ум-
ноженной на это число.
AB
AB
AB
AB
AA
AB
AB
AB
a b c
§ 76. Векторы и их координаты 441
Правила действий с веторами = {a
1
; a
2
; a
3
} и = {b
1
; b
2
; b
3
},
заданными их оординатами, выражаются формулами
ä = {a
1
ä b
1
; a
2
ä b
2
; a
3
ä b
3
}, (1)
λ = {λa
1
; λa
2
; λa
3
}. (2)
Веторы
= {1; 0; 0}, = {0; 1; 0}, = {0; 0; 1} (3)
называют ортами. Любой ветор {a
1
; a
2
; a
3
} можно предста-
вить, и притом единственным образом, в виде
= a
1
+ a
2
+ a
3
.(4)
П р и м е р 1. Заданы веторы = 2 + 3 , = –3 – 2 ,
= + – . Найти оординаты ветора – + .
Решение. По условию = {2; 3; 0}, = {0; –3; –2},
={1; 1; –1}.
Используя формулы (1) и (2), имеем
– + = 2 – 0 + 1; 3 + + 1; 0 + 1 – 1 .
Ответ. 3; ; 0 .
П р и м е р 2. Даны четыре ветора: = {3; – 2; 1},
= {–1; 1; – 2}, = {2; 1; – 3} и = {11; – 6; 5}. Найти числа
x, y, z, если
= x + y + z .
Р е ш е н и е. Из условия равенства двух веторов имеем
Решив эту систему уравнений, получим
x = 2, y = –3, z = 1.
Ответ. x = 2, y = –3, z = 1.
a
b
a b
a
i j k
a
a i j k
a i j b j k
c i j k a
1
2
---
b c
a b
c
a
1
2
---
b c
3
2
---
11
2
------
p
q r c
c p q r
11 = 3x – y + 2z,
–6 = –2x + y + z,
5 = x – 2y – 3z.
442 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
1. Даны веторы = {–3; –1; 2}, = {4; 0; 6}, = {5; –2; 7}.
Найдите оординаты ветора: а) 2 ; б) – + 3 ; в) + 2 – 3 .
2. Даны веторы = {2; 4}, = {–3; 1}, = {5; –2}. Найдите
оординаты ветора:
а) 2 + 3 – 5 ; б) + 24 + 14 ; в) 2 – ; ) 5 .
3. Даны веторы = {1; 5; 3}, = {6; –4; –2}, = {0; –5; 7}
и = {–20; 27; –35}. Найдите таие числа α, β и γ, что
α + β + γ + = .
4. Даны три ветора: = {3; –2; 1}, = {–1; 1; –2},
= {2; 1; –3}. Найдите оординаты ветора , если справедли-
во равенство = 2 – 3 + .
5. Даны четыре ветора: = {0; 1; 2}, = {1; 2; 3},
= {–1; 1; –2}, = {0; 4; 3}. Найдите x, y, z, если = x +
+y + z .
6. Выразите ветор через веторы и , если:
а) = {4; –2}, = {3; 5}, = {1; –7};
б) = {5; 4}, = {–3; 0}, = {19; 8};
в) = {–6; 2}, = {4; 7}, = {9; –3}.
7. Найдите оординаты ветора , если известны оорди-
наты точе P и Q:
а) P(2; –3; 0), Q(–1; 2; –3);
б) P ; – ; , Q –; 0; .
8. Даны четыре точи: A(0; 2), B(3; 1), C(–5; 3), D(2; 4).
Найдите оординаты таой точи Q, что
+ + + = .
9. От точи A отложен ветор = . Найдите оордина-
ты точи B, если:
а) A(0; 0), = {–2; 1}; б) A(–1; 5), = {1; – 3};
в) A(2; 7), = {–2; –5}; ) A(8; –8), = {4; 7}.
a
b c
a a c a b c
a b c
a b c a b c a
1
2
---
b c
a b c
d
a b c d 0
p q
r c
c p q r
p q
r c c p
q r
c a b
a b c
a b c
a b c
PQ
1
2
---
4
3
---
5
6
---
3
5
---
2
3
---
QA
QB QC QD 0
AB a
a a
a a
§ 76. Векторы и их координаты 443
10. На оси абсцисс найдите точу M, расстояние от оторой
до точи A(3; –3) равно 5.
11. На оси ординат найдите точу M, равноудаленную от
точе A(1; –4; 7) и B(5; 6; –5).
12. Найдите оординаты точи M, лежащей на оси Ox и
одинаово удаленной от точе A(1; 2; 3) и B(–3; 3; 2).
13. Найдите оординаты центра тяжести треуольниа ABC,
если точи A, B и C имеют следующие оординаты:
а) A(0; 0), B(0; 3), C(5; 0);
б) A(0; 0), B(2; 5), C(–1; 7);
в) A(1; 3), B(3; 6), C(–2; 5).
Два ветора = {a
1
; a
2
; a
3
} и = {b
1
; b
2
; b
3
} ( − ) называ-
ют оллинеарными, если существует таое число λ, что
a
1
= λb
1
, a
2
= λb
2
, a
3
= λb
3
.
14. Определите, при аом значении k ветор + k ол-
линеарен ветору , если:
а) = {2; 3}, = {3; 5}, = {–1; 3};
б) = {1; 0}, = {2; 2}, = {3; –5};
в) = {3; –2}; = {1; 1}, = {0; 5}.
15. Используя условие оллинеарности двух веторов, вы-
ясните, оллинеарны ли веторы:
а) = ; ; – и = ; ; – ;
б) = – ; 6; и = ; – ; –1 .
16. При аих значениях X и Y веторы = {X; –2; 5} и
= {1; Y; –3} оллинеарны?
17. Даны четыре точи: A(–2; –3; 8), B(2; 1; 7), C(1; 4; 5)
и D(–7; –4; 7). Доажите, что веторы и оллинеарны.
18. Отрезо с онцами A(3; –2) и B(6; 4) разделен на три
равные части. Найдите оординаты точе деления.
19. Найдите оординаты онцов отреза, оторый точами
C(2; 0; 2) и D(5; –2; 0) разделен на три равные части.
20. Даны вершины треуольниа: A(1; 0; 2), B(1; 2; 2)
и C(5; 4; 6). Точа L делит отрезо AC в отношении 1:3, CE —
a
b b 0
a b
c
a b c
a b c
a b c
a
3
7
---
1
2
---
3
4
---
b
2
7
---
1
3
---
1
2
---
c
3
2
---
4
3
---
d
9
8
---
9
2
---
a
b
AB CD
442 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
1. Даны веторы = {–3; –1; 2}, = {4; 0; 6}, = {5; –2; 7}.
Найдите оординаты ветора: а) 2 ; б) – + 3 ; в) + 2 – 3 .
2. Даны веторы = {2; 4}, = {–3; 1}, = {5; –2}. Найдите
оординаты ветора:
а) 2 + 3 – 5 ; б) + 24 + 14 ; в) 2 – ; ) 5 .
3. Даны веторы = {1; 5; 3}, = {6; –4; –2}, = {0; –5; 7}
и = {–20; 27; –35}. Найдите таие числа α, β и γ, что
α + β + γ + = .
4. Даны три ветора: = {3; –2; 1}, = {–1; 1; –2},
= {2; 1; –3}. Найдите оординаты ветора , если справедли-
во равенство = 2 – 3 + .
5. Даны четыре ветора: = {0; 1; 2}, = {1; 2; 3},
= {–1; 1; –2}, = {0; 4; 3}. Найдите x, y, z, если = x +
+y + z .
6. Выразите ветор через веторы и , если:
а) = {4; –2}, = {3; 5}, = {1; –7};
б) = {5; 4}, = {–3; 0}, = {19; 8};
в) = {–6; 2}, = {4; 7}, = {9; –3}.
7. Найдите оординаты ветора , если известны оорди-
наты точе P и Q:
а) P(2; –3; 0), Q(–1; 2; –3);
б) P ; – ; , Q –; 0; .
8. Даны четыре точи: A(0; 2), B(3; 1), C(–5; 3), D(2; 4).
Найдите оординаты таой точи Q, что
+ + + = .
9. От точи A отложен ветор = . Найдите оордина-
ты точи B, если:
а) A(0; 0), = {–2; 1}; б) A(–1; 5), = {1; – 3};
в) A(2; 7), = {–2; –5}; ) A(8; –8), = {4; 7}.
a
b c
a a c a b c
a b c
a b c a b c a
1
2
---
b c
a b c
d
a b c d 0
p q
r c
c p q r
p q
r c c p
q r
c a b
a b c
a b c
a b c
PQ
1
2
---
4
3
---
5
6
---
3
5
---
2
3
---
QA
QB QC QD 0
AB a
a a
a a
§ 76. Векторы и их координаты 443
10. На оси абсцисс найдите точу M, расстояние от оторой
до точи A(3; –3) равно 5.
11. На оси ординат найдите точу M, равноудаленную от
точе A(1; –4; 7) и B(5; 6; –5).
12. Найдите оординаты точи M, лежащей на оси Ox и
одинаово удаленной от точе A(1; 2; 3) и B(–3; 3; 2).
13. Найдите оординаты центра тяжести треуольниа ABC,
если точи A, B и C имеют следующие оординаты:
а) A(0; 0), B(0; 3), C(5; 0);
б) A(0; 0), B(2; 5), C(–1; 7);
в) A(1; 3), B(3; 6), C(–2; 5).
Два ветора = {a
1
; a
2
; a
3
} и = {b
1
; b
2
; b
3
} ( − ) называ-
ют оллинеарными, если существует таое число λ, что
a
1
= λb
1
, a
2
= λb
2
, a
3
= λb
3
.
14. Определите, при аом значении k ветор + k ол-
линеарен ветору , если:
а) = {2; 3}, = {3; 5}, = {–1; 3};
б) = {1; 0}, = {2; 2}, = {3; –5};
в) = {3; –2}; = {1; 1}, = {0; 5}.
15. Используя условие оллинеарности двух веторов, вы-
ясните, оллинеарны ли веторы:
а) = ; ; – и = ; ; – ;
б) = – ; 6; и = ; – ; –1 .
16. При аих значениях X и Y веторы = {X; –2; 5} и
= {1; Y; –3} оллинеарны?
17. Даны четыре точи: A(–2; –3; 8), B(2; 1; 7), C(1; 4; 5)
и D(–7; –4; 7). Доажите, что веторы и оллинеарны.
18. Отрезо с онцами A(3; –2) и B(6; 4) разделен на три
равные части. Найдите оординаты точе деления.
19. Найдите оординаты онцов отреза, оторый точами
C(2; 0; 2) и D(5; –2; 0) разделен на три равные части.
20. Даны вершины треуольниа: A(1; 0; 2), B(1; 2; 2)
и C(5; 4; 6). Точа L делит отрезо AC в отношении 1:3, CE —
a
b b 0
a b
c
a b c
a b c
a b c
a
3
7
---
1
2
---
3
4
---
b
2
7
---
1
3
---
1
2
---
c
3
2
---
4
3
---
d
9
8
---
9
2
---
a
b
AB CD
444 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
медиана, проведенная из вершины C. Найдите оординаты точ-
и пересечения прямых BL и CE.
21. При аих значениях α и β веторы = –2 + 3 + α
и = β – 6 + 2 оллинеарны?
Три ветора = {a
1
; a
2
; a
3
}, = {b
1
; b
2
; b
3
}, = {c
1
; c
2
; c
3
}
называют омпланарными, если
= 0.
22. Проверьте, что веторы = {1; 0; 2}, = {0; 1; 3},
= {1; 1; 5} омпланарны.
23. Доажите, что если ветор представлен в виде
= + λ , то веторы , , омпланарны.
24. Доажите, что если три ветора , , омпланарны,
то существуют постоянные α и β таие, что справедливо равен-
ство = α + β .
25. Даны три ветора: = {1; –1; 0}, = {0; 1; –1}, =
={1;0;–1} и ветор = α + β . Доажите, что при любых α
и β веторы , , омпланарны.
Если веторы = {a
1
; a
2
; a
3
} и = {b
1
; b
2
; b
3
} заданы своими
оординатами в прямоуольной системе оординат, то их са-
лярным произведением называют число, оторое находится
по формуле
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
.(5)
Косинсом ла межд ненулевыми веторами и на-
зывают число, оторое находится по формуле
cos F( , ) = . (6)
Условие перпендиулярности двух ненулевых веторов и
имеет вид
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= 0 (7)
a
i j k
b i j k
a b c
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
a b
c
c
c a b a b c
a b c
c a b
a b c
d a b
d a c
a b
ab
a b
a b
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
++
a
1
2
a
2
2
a
3
2
++ b
1
2
b
2
2
b
3
2
++
----------------------------------------------------------------------------
a
b
§ 76. Векторы и их координаты 445
Длина ветора вычисляется по формуле
|| = . (8)
П р и м е р 3. Даны веторы = {5; 2} и = {7; –3}. Найти
ветор , удовлетворяющий условиям = 38, = 30.
Решение. Пусть = (X; Y), тода соласно формуле (5)
имеем
Решив эту систему относительно X и Y, получаем X = 6, Y = 4.
Ответ. = {6; 4}.
26. Даны веторы = {4; –2; –4} и = {6; –3; 2}. Вычислите:
а) ;б)(2 – 3)( + 2);в)( – )
2
;)|2 – |.
27. Дан ветор = {–6; 8}. Найдите оординаты единично-
о ветора:
а) сонаправленноо ветору ;
б) противоположно направленноо ветору .
28. Из одной точи проведены веторы = {–12; 16}, =
= {12; 5}. Найдите оординаты ветора, оторый, будучи отло-
женным от той же точи, делит пополам уол между данными
веторами.
29. Зная, что | | = 3, | | = 1, | | = 4 и + + = , вычис-
лите + + .
30. Вычислите длину ветора:
а) = – + ; б) = 2 + – 3 .
31. Длина ветора равна 3. Вычислите оординаты ветора,
если известно, что все они равны между собой.
32. Вычислите длину ветора 2 + 3 , если = {1; 1; –1},
= {2; 0; 0}.
33. Даны веторы = {1; 1; –1}, = {5; –3; –3} и =
= {3; –1; 2}. Найдите веторы, оллинеарные ветору , длины
оторых равны длине ветора + .
34. Веторы = –3 + 4 и = {–1; 0; –2} являются сто-
ронами треуольниа ABC. Найдите длину медианы AM.
a
a a
1
2
a
2
2
a
3
2
++
a b
c ac bc
c
5X + 2Y = 38,
7X – 3Y = 30.
c
a b
a b a b a b a b a b
a
a
a
a b
a b c a b c 0
a b b c c a
a i j k b i j k
a b a
b
a b c
c
a b
AB i k BC
444 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
медиана, проведенная из вершины C. Найдите оординаты точ-
и пересечения прямых BL и CE.
21. При аих значениях α и β веторы = –2 + 3 + α
и = β – 6 + 2 оллинеарны?
Три ветора = {a
1
; a
2
; a
3
}, = {b
1
; b
2
; b
3
}, = {c
1
; c
2
; c
3
}
называют омпланарными, если
= 0.
22. Проверьте, что веторы = {1; 0; 2}, = {0; 1; 3},
= {1; 1; 5} омпланарны.
23. Доажите, что если ветор представлен в виде
= + λ , то веторы , , омпланарны.
24. Доажите, что если три ветора , , омпланарны,
то существуют постоянные α и β таие, что справедливо равен-
ство = α + β .
25. Даны три ветора: = {1; –1; 0}, = {0; 1; –1}, =
={1;0;–1} и ветор = α + β . Доажите, что при любых α
и β веторы , , омпланарны.
Если веторы = {a
1
; a
2
; a
3
} и = {b
1
; b
2
; b
3
} заданы своими
оординатами в прямоуольной системе оординат, то их са-
лярным произведением называют число, оторое находится
по формуле
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
.(5)
Косинсом ла межд ненулевыми веторами и на-
зывают число, оторое находится по формуле
cos F( , ) = . (6)
Условие перпендиулярности двух ненулевых веторов и
имеет вид
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= 0 (7)
a
i j k
b i j k
a b c
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
a b
c
c
c a b a b c
a b c
c a b
a b c
d a b
d a c
a b
ab
a b
a b
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
++
a
1
2
a
2
2
a
3
2
++ b
1
2
b
2
2
b
3
2
++
----------------------------------------------------------------------------
a
b
§ 76. Векторы и их координаты 445
Длина ветора вычисляется по формуле
|| = . (8)
П р и м е р 3. Даны веторы = {5; 2} и = {7; –3}. Найти
ветор , удовлетворяющий условиям = 38, = 30.
Решение. Пусть = (X; Y), тода соласно формуле (5)
имеем
Решив эту систему относительно X и Y, получаем X = 6, Y = 4.
Ответ. = {6; 4}.
26. Даны веторы = {4; –2; –4} и = {6; –3; 2}. Вычислите:
а) ;б)(2 – 3)( + 2);в)( – )
2
;)|2 – |.
27. Дан ветор = {–6; 8}. Найдите оординаты единично-
о ветора:
а) сонаправленноо ветору ;
б) противоположно направленноо ветору .
28. Из одной точи проведены веторы = {–12; 16}, =
= {12; 5}. Найдите оординаты ветора, оторый, будучи отло-
женным от той же точи, делит пополам уол между данными
веторами.
29. Зная, что | | = 3, | | = 1, | | = 4 и + + = , вычис-
лите + + .
30. Вычислите длину ветора:
а) = – + ; б) = 2 + – 3 .
31. Длина ветора равна 3. Вычислите оординаты ветора,
если известно, что все они равны между собой.
32. Вычислите длину ветора 2 + 3 , если = {1; 1; –1},
= {2; 0; 0}.
33. Даны веторы = {1; 1; –1}, = {5; –3; –3} и =
= {3; –1; 2}. Найдите веторы, оллинеарные ветору , длины
оторых равны длине ветора + .
34. Веторы = –3 + 4 и = {–1; 0; –2} являются сто-
ронами треуольниа ABC. Найдите длину медианы AM.
a
a a
1
2
a
2
2
a
3
2
++
a b
c ac bc
c
5X + 2Y = 38,
7X – 3Y = 30.
c
a b
a b a b a b a b a b
a
a
a
a b
a b c a b c 0
a b b c c a
a i j k b i j k
a b a
b
a b c
c
a b
AB i k BC
446 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
П р и м е р 4. Вычислить уол между веторами = {–1; 2; –2}
и = {6; 3; –6}.
Р е ш е н и е. Используя формулу (6), находим
cos F(, ) = = = .
Ответ. F( , ) = arccos .
35. Вычислите уол между веторами:
а) = {6; –2; –3}; = {5; 0; 0};
б) = {2; –4; 5}; = {0; 2; 0};
в) = {–2; 6; –3}; = {0; 0; –3};
) = {–4; –6; 2}; = {4; 0; 0};
д) = {3; –2; 6}; = {0; –5; 0};
е) = {4; –5; –2}; = {0; 0; 2}.
36. Каой уол образует с ортом данный ветор: = {2; 3},
= {–2; 5}, = {–5; 1}, = {–1; –1}?
37. Вычислите осинус ула между веторами – и + ,
если = {1; 2; 1} и = {2; –1; 0}.
38. Вычислите осинусы улов, оторые образует с ортами
, , данный ветор:
а) = + + ; б) = –3 – ;
в) = –5 ; ) = 3 + 4 .
39. Вычислите оординаты ветора , оллинеарноо ве-
тору = {3; –4}, если известно, что ветор образует тупой
уол с ветором и | | = 10.
40. Ветор оллинеарен ветору = {6; 8; –7,5} и образу-
ет с ортом острый уол. Найдите оординаты ветора ,
зная, что | | = 50.
41. Вычислите уол между веторами = 2 + и =
= – 2 и определите длины диаоналей параллелорамма, по-
строенноо на этих веторах а на сторонах.
a
b
a b
1–()6⋅ 23⋅ 2–() 6–()⋅++
144++ 36 9 36++
---------------------------------------------------------------------------
12
39⋅
-----------
4
9
---
a b
4
9
---
a b
a b
a b
a b
a b
a b
i a
b c d
a b a b
a b
i j k
a i j k b j k
c i d j k
p
q p
i p
b a
k b
b
a i j b
i j
§ 76. Векторы и их координаты 447
42. Веторы , и имеют равные длины и образуют по-
парно равные улы. Найдите оординаты ветора , если =
= + и = + .
43. Прямая составляет равные улы с ребрами прямоо
трехранноо ула. Найдите эти улы.
44. Веторы = {3; –2; 2} и = {–1; 0; –2} являются
смежными сторонами параллелорамма. Определите величину
ула между ео диаоналями.
П р и м е р 5. Найти оординаты единичноо ветора ,
если известно, что он перпендиулярен веторам = {1; 1; 0}
и = {0; 1; 1}.
Р е ш е н и е. Пусть ветор имеет оординаты X, Y, Z.
Тода по условию
= 1. (*)
Та а ветор перпендиулярен веторам и , то, ис-
пользуя формулу (7), получаем уравнения
X + Y = 0 и Y + Z = 0.
Подставляя выражения X и Z через Y в равенство (*), получаем
Y = ä . Следовательно, существуют два ветора, удовлетво-
ряющих условию задачи.
Ответ. = – ; ; – , = ; – ; .
45. При аом значении Z веторы = {6; 0; 12} и =
= {–8; 13; Z} перпендиулярны?
46. При аих значениях X и Y ветор = X + Y + 2
перпендиулярен ветору = – + и салярное произве-
дение веторов и = + 2 равно 4?
47. Ветор перпендиулярен веторам = {2; 3; –1} и
= {1; –2; 3} и удовлетворяет условию (2 – + ) = –6.
Найдите оординаты ветора .
a
b c
c a
i j b j k
AB BC
a
b
c
a
X
2
Y
2
Z
2
++
a
b c
1
3
-------
a
1
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
a
2
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
a
b
a i j k
b i j k
a c i j
c a
b c i j k
c
446 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
П р и м е р 4. Вычислить уол между веторами = {–1; 2; –2}
и = {6; 3; –6}.
Р е ш е н и е. Используя формулу (6), находим
cos F(, ) = = = .
Ответ. F( , ) = arccos .
35. Вычислите уол между веторами:
а) = {6; –2; –3}; = {5; 0; 0};
б) = {2; –4; 5}; = {0; 2; 0};
в) = {–2; 6; –3}; = {0; 0; –3};
) = {–4; –6; 2}; = {4; 0; 0};
д) = {3; –2; 6}; = {0; –5; 0};
е) = {4; –5; –2}; = {0; 0; 2}.
36. Каой уол образует с ортом данный ветор: = {2; 3},
= {–2; 5}, = {–5; 1}, = {–1; –1}?
37. Вычислите осинус ула между веторами – и + ,
если = {1; 2; 1} и = {2; –1; 0}.
38. Вычислите осинусы улов, оторые образует с ортами
, , данный ветор:
а) = + + ; б) = –3 – ;
в) = –5 ; ) = 3 + 4 .
39. Вычислите оординаты ветора , оллинеарноо ве-
тору = {3; –4}, если известно, что ветор образует тупой
уол с ветором и | | = 10.
40. Ветор оллинеарен ветору = {6; 8; –7,5} и образу-
ет с ортом острый уол. Найдите оординаты ветора ,
зная, что | | = 50.
41. Вычислите уол между веторами = 2 + и =
= – 2 и определите длины диаоналей параллелорамма, по-
строенноо на этих веторах а на сторонах.
a
b
a b
1–()6⋅ 23⋅ 2–() 6–()⋅++
144++ 36 9 36++
---------------------------------------------------------------------------
12
39⋅
-----------
4
9
---
a b
4
9
---
a b
a b
a b
a b
a b
a b
i a
b c d
a b a b
a b
i j k
a i j k b j k
c i d j k
p
q p
i p
b a
k b
b
a i j b
i j
§ 76. Векторы и их координаты 447
42. Веторы , и имеют равные длины и образуют по-
парно равные улы. Найдите оординаты ветора , если =
= + и = + .
43. Прямая составляет равные улы с ребрами прямоо
трехранноо ула. Найдите эти улы.
44. Веторы = {3; –2; 2} и = {–1; 0; –2} являются
смежными сторонами параллелорамма. Определите величину
ула между ео диаоналями.
П р и м е р 5. Найти оординаты единичноо ветора ,
если известно, что он перпендиулярен веторам = {1; 1; 0}
и = {0; 1; 1}.
Р е ш е н и е. Пусть ветор имеет оординаты X, Y, Z.
Тода по условию
= 1. (*)
Та а ветор перпендиулярен веторам и , то, ис-
пользуя формулу (7), получаем уравнения
X + Y = 0 и Y + Z = 0.
Подставляя выражения X и Z через Y в равенство (*), получаем
Y = ä . Следовательно, существуют два ветора, удовлетво-
ряющих условию задачи.
Ответ. = – ; ; – , = ; – ; .
45. При аом значении Z веторы = {6; 0; 12} и =
= {–8; 13; Z} перпендиулярны?
46. При аих значениях X и Y ветор = X + Y + 2
перпендиулярен ветору = – + и салярное произве-
дение веторов и = + 2 равно 4?
47. Ветор перпендиулярен веторам = {2; 3; –1} и
= {1; –2; 3} и удовлетворяет условию (2 – + ) = –6.
Найдите оординаты ветора .
a
b c
c a
i j b j k
AB BC
a
b
c
a
X
2
Y
2
Z
2
++
a
b c
1
3
-------
a
1
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
a
2
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
a
b
a i j k
b i j k
a c i j
c a
b c i j k
c