Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
250 Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ш е н и е. Все прямые, параллельные прямой 2x – y + 1 = 0,
описываются уравнением вида y = 2x + c. Общие точи прямой
y = 2x + c и данной оружности определим из системы уравнений
Подставив y из второо уравнения в первое, имеем
x
2
+ (2x + c)
2
= 25.
Условие существования единственноо решения залючается
в том, что дисриминант последнео уравнения равен нулю. Из
этоо условия получаем для c следующие возможные значения:
c
1
= 5 и c
2
= –5 .
Ответ. y = 2x + 5 , y = 2x – 5 .
26. Под аим улом оружность x
2
+ y
2
= 16 видна из точ-
и (8; 0)?
27. Точа M двиалась по оружности (x – 4)
2
+ (y – 8)
2
= 20,
затем сорвалась с нее и, двиаясь по асательной оружнос-
ти, пересела ось Ox в точе (–2; 0). Определите точу оруж-
ности, с оторой сорвалась движущаяся точа.
28. Найдите условие, при отором прямая y = kx + b асает-
ся параболы y
2
= 2px.
29. Найдите еометричесое место точе, из оторых пара-
бола y = x
2
видна под прямым улом.
30. Найдите уол между асательными рафиу фунции
y = x
2
, проходящими через точу с оординатами (0; –1).
31. Прямой уол перемещается та, что ео стороны асаются
ривой + = 1. Найдите еометричесое место вершин ула.
32. Доажите, что две асательные параболе y = x
2
, про-
веденные из произвольной точи прямой y = – , взаимно пер-
пендиулярны.
33. Через произвольную точу оси абсцисс проведены две
прямые, одна из оторых асается параболы y = x
2
(и не совпа-
дает с осью абсцисс), а друая проходит через точу 0; .
Доажите, что эти прямые перпендиулярны.
2x + c = y,
x
2
+ y
2
= 25.
5 5
5 5
x
2
a
2
------
y
2
b
2
----- -
1
4
---
1
4
---
§ 51. Приложения производной к задачам физики 251
34. Доажите, что любая асательная иперболе y = об-
разует равные по величине улы с двумя прямыми, одна из о-
торых проходит через точу асания и точу ( ; ), а дру-
ая — через точу асания и точу (– ; – ).
35. Доажите, что отрезо любой асательной иперболе
y = , залюченный между осями оординат, делится точой
асания пополам.
36. Доажите, что площадь треуольниа, ораниченноо ося-
ми оординат и произвольной асательной иперболе y = ,
равна 2.
37. При аом значении параметра a парабола y = ax
2
аса-
ется ривой y = ln x?
38. Найдите оординаты точи, лежащей на рафие фун-
ции y = 1 + cos x при 0 m x m π и наименее удаленной от прямой
x + 2y + 4 = 0.
§ 51. Приложения производной
к задачам физики
Если путь, пройденный телом моменту времени t, опреде-
ляется фунцией y = f(x), то сорость движения в этот момент
равна производной пути по времени:
v = (t), (1)
а усорение — производной сорости по времени:
a = (t). (2)
Пример. Челове приближается со соростью b подно-
жию башни высотой h. Каова сорость ео приближения вер-
шине башни, ода он находится на расстоянии l от основания?
Решение. Пусть x(t) — расстояние от человеа до подно-
жия башни в момент времени t. Тода расстояние y(t) от чело-
веа до вершины башни в момент времени t выразится фун-
цией y(t) = . Дифференцируя y(t) по t, получаем
y′(t) = .
1
x
---
2 2
2 2
1
x
---
1
x
---
3
f
′
( f
′
)
′
h
2
x
2
t()+
xt()x ′ t()
h
2
x
2
t()+
------------------------------- -
250 Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ш е н и е. Все прямые, параллельные прямой 2x – y + 1 = 0,
описываются уравнением вида y = 2x + c. Общие точи прямой
y = 2x + c и данной оружности определим из системы уравнений
Подставив y из второо уравнения в первое, имеем
x
2
+ (2x + c)
2
= 25.
Условие существования единственноо решения залючается
в том, что дисриминант последнео уравнения равен нулю. Из
этоо условия получаем для c следующие возможные значения:
c
1
= 5 и c
2
= –5 .
Ответ. y = 2x + 5 , y = 2x – 5 .
26. Под аим улом оружность x
2
+ y
2
= 16 видна из точ-
и (8; 0)?
27. Точа M двиалась по оружности (x – 4)
2
+ (y – 8)
2
= 20,
затем сорвалась с нее и, двиаясь по асательной оружнос-
ти, пересела ось Ox в точе (–2; 0). Определите точу оруж-
ности, с оторой сорвалась движущаяся точа.
28. Найдите условие, при отором прямая y = kx + b асает-
ся параболы y
2
= 2px.
29. Найдите еометричесое место точе, из оторых пара-
бола y = x
2
видна под прямым улом.
30. Найдите уол между асательными рафиу фунции
y = x
2
, проходящими через точу с оординатами (0; –1).
31. Прямой уол перемещается та, что ео стороны асаются
ривой + = 1. Найдите еометричесое место вершин ула.
32. Доажите, что две асательные параболе y = x
2
, про-
веденные из произвольной точи прямой y = – , взаимно пер-
пендиулярны.
33. Через произвольную точу оси абсцисс проведены две
прямые, одна из оторых асается параболы y = x
2
(и не совпа-
дает с осью абсцисс), а друая проходит через точу 0; .
Доажите, что эти прямые перпендиулярны.
2x + c = y,
x
2
+ y
2
= 25.
5 5
5 5
x
2
a
2
------
y
2
b
2
----- -
1
4
---
1
4
---
§ 51. Приложения производной к задачам физики 251
34. Доажите, что любая асательная иперболе y = об-
разует равные по величине улы с двумя прямыми, одна из о-
торых проходит через точу асания и точу ( ; ), а дру-
ая — через точу асания и точу (– ; – ).
35. Доажите, что отрезо любой асательной иперболе
y = , залюченный между осями оординат, делится точой
асания пополам.
36. Доажите, что площадь треуольниа, ораниченноо ося-
ми оординат и произвольной асательной иперболе y = ,
равна 2.
37. При аом значении параметра a парабола y = ax
2
аса-
ется ривой y = ln x?
38. Найдите оординаты точи, лежащей на рафие фун-
ции y = 1 + cos x при 0 m x m π и наименее удаленной от прямой
x + 2y + 4 = 0.
§ 51. Приложения производной
к задачам физики
Если путь, пройденный телом моменту времени t, опреде-
ляется фунцией y = f(x), то сорость движения в этот момент
равна производной пути по времени:
v = (t), (1)
а усорение — производной сорости по времени:
a = (t). (2)
Пример. Челове приближается со соростью b подно-
жию башни высотой h. Каова сорость ео приближения вер-
шине башни, ода он находится на расстоянии l от основания?
Решение. Пусть x(t) — расстояние от человеа до подно-
жия башни в момент времени t. Тода расстояние y(t) от чело-
веа до вершины башни в момент времени t выразится фун-
цией y(t) = . Дифференцируя y(t) по t, получаем
y′(t) = .
1
x
---
2 2
2 2
1
x
---
1
x
---
3
f
′
( f
′
)
′
h
2
x
2
t()+
xt()x ′ t()
h
2
x
2
t()+
------------------------------- -
252 Г л а в а 9. Производная и ее применения
Отсюда, учитывая, что x′(t) = b, а расстояние от человеа до
подножия башни равно l, находим
v = .
Ответ. v = .
1. Нижний онец лестницы длиной 5 м сользит по полу в на-
правлении от стены, у оторой она стоит. Каова сорость
верхнео онца лестницы в тот момент, ода нижний онец
находится на расстоянии 3 м от стены, если сорость нижнео
онца постоянна и равна 2 м/с?
2. Челове, приближающийся вертиальной стене, осве-
щен сзади фонарем, находящимся на расстоянии l от стены.
Сорость человеа равна v. С аой соростью увеличивается
ео тень, если рост человеа равен h?
3. Точа движется по иперболе y = та, что ее абсцисса
возрастает равномерно со соростью 1 см/с. С аой соростью
изменяется ее ордината, ода точа проходит положение (5; 2)?
4. По оси Ox движутся две точи, заоны движения оторых
имеют вид
x
1
= 100 + 5t, x
2
= 0,5t
2
, t l 0.
Каова относительная сорость этих точе в момент встречи
(x измеряется в сантиметрах, t— в сеундах)?
5. Колесо радиуса R атится без сольжения по прямой.
Центр руа движется со соростью v
0
. В обод олеса вбит
воздь. Найдите сорость перемещения воздя в момент вре-
мени t.
6. Точа движется с уловой соростью ω по оружности ра-
диуса R с центром в начале оординат. Каую сорость имеет
изменение абсциссы точи при прохождении ею оси Ox?
7. Тело брошено под улом α оризонту со соростью v. Ка-
ова масимальная высота подъема тела?
8. Уол α (в радианах), на оторый повернется олесо через
t с, выражается формулой α = 3t
2
– 12t + 36. Найдите уловую
сорость олеса в момент t = 4 с и момент, ода олесо оста-
новится.
9. Два тела движутся под улом 60° дру друу; уравнение
движения первоо тела имеет вид s
1
(t) = t
2
– 2t, а уравнение
bl
h
2
l
2
+
----------------------
bl
h
2
l
2
+
----------------------
10
x
------
§ 51. Приложения производной к задачам физики 253
движения второо тела — вид s
2
(t) = 2t. В момент времени t = 0
тела находились в одной точе. С аой соростью увеличива-
ется расстояние между телами?
10. Лошадь бежит по оружности со соростью 20 м/ч.
В центре оружности стоит фонарь, по асательной оруж-
ности в точе, отуда лошадь начинает свой бе, расположен
забор. С аой соростью будет перемещаться тень лошади вдоль
забора в момент, ода лошадь пробежит оружности?
11. Раета движется прямолинейно по заону s(t) = v
0
t + .
Через время t
1
после начала движения от нее отделяется не-
оторый предмет, оторый продолжает двиаться по инерции.
В аой момент времени t и аую новую сорость v надо при-
дать предмету, чтобы, двиаясь дальше равномерно, он донал
раету в момент t
2
, имея при этом одинаовую с ней сорость?
Приведите еометричесую интерпретацию задачи. Каов заон
движения этоо предмета?
12. Раета запущена по прямой из неоторой точи. Заон
движения раеты имеет вид s = (t l 0). В аой момент вре-
мени t
0
, считая от начала движения, следует отлючить двиа-
тели, чтобы раета, двиаясь дальше по инерции с набранной
соростью, оазалась в момент t
1
на расстоянии s
1
от первона-
чальной точи?
1
8
---
at
2
2
-------- -
t
2
2
-----
252 Г л а в а 9. Производная и ее применения
Отсюда, учитывая, что x′(t) = b, а расстояние от человеа до
подножия башни равно l, находим
v = .
Ответ. v = .
1. Нижний онец лестницы длиной 5 м сользит по полу в на-
правлении от стены, у оторой она стоит. Каова сорость
верхнео онца лестницы в тот момент, ода нижний онец
находится на расстоянии 3 м от стены, если сорость нижнео
онца постоянна и равна 2 м/с?
2. Челове, приближающийся вертиальной стене, осве-
щен сзади фонарем, находящимся на расстоянии l от стены.
Сорость человеа равна v. С аой соростью увеличивается
ео тень, если рост человеа равен h?
3. Точа движется по иперболе y = та, что ее абсцисса
возрастает равномерно со соростью 1 см/с. С аой соростью
изменяется ее ордината, ода точа проходит положение (5; 2)?
4. По оси Ox движутся две точи, заоны движения оторых
имеют вид
x
1
= 100 + 5t, x
2
= 0,5t
2
, t l 0.
Каова относительная сорость этих точе в момент встречи
(x измеряется в сантиметрах, t— в сеундах)?
5. Колесо радиуса R атится без сольжения по прямой.
Центр руа движется со соростью v
0
. В обод олеса вбит
воздь. Найдите сорость перемещения воздя в момент вре-
мени t.
6. Точа движется с уловой соростью ω по оружности ра-
диуса R с центром в начале оординат. Каую сорость имеет
изменение абсциссы точи при прохождении ею оси Ox?
7. Тело брошено под улом α оризонту со соростью v. Ка-
ова масимальная высота подъема тела?
8. Уол α (в радианах), на оторый повернется олесо через
t с, выражается формулой α = 3t
2
– 12t + 36. Найдите уловую
сорость олеса в момент t = 4 с и момент, ода олесо оста-
новится.
9. Два тела движутся под улом 60° дру друу; уравнение
движения первоо тела имеет вид s
1
(t) = t
2
– 2t, а уравнение
bl
h
2
l
2
+
----------------------
bl
h
2
l
2
+
----------------------
10
x
------
§ 51. Приложения производной к задачам физики 253
движения второо тела — вид s
2
(t) = 2t. В момент времени t = 0
тела находились в одной точе. С аой соростью увеличива-
ется расстояние между телами?
10. Лошадь бежит по оружности со соростью 20 м/ч.
В центре оружности стоит фонарь, по асательной оруж-
ности в точе, отуда лошадь начинает свой бе, расположен
забор. С аой соростью будет перемещаться тень лошади вдоль
забора в момент, ода лошадь пробежит оружности?
11. Раета движется прямолинейно по заону s(t) = v
0
t + .
Через время t
1
после начала движения от нее отделяется не-
оторый предмет, оторый продолжает двиаться по инерции.
В аой момент времени t и аую новую сорость v надо при-
дать предмету, чтобы, двиаясь дальше равномерно, он донал
раету в момент t
2
, имея при этом одинаовую с ней сорость?
Приведите еометричесую интерпретацию задачи. Каов заон
движения этоо предмета?
12. Раета запущена по прямой из неоторой точи. Заон
движения раеты имеет вид s = (t l 0). В аой момент вре-
мени t
0
, считая от начала движения, следует отлючить двиа-
тели, чтобы раета, двиаясь дальше по инерции с набранной
соростью, оазалась в момент t
1
на расстоянии s
1
от первона-
чальной точи?
1
8
---
at
2
2
-------- -
t
2
2
-----
Глава 10
Первообразная и интеграл
§ 52. Неопределенный интеграл
Дифференцируемую фунцию F(x) называют первообразной
для фунции f(x) на данном промежуте, если при всех значе-
ниях x из этоо промежута справедливо равенство
(x) = f(x). (1)
Если на неотором промежуте F(x) — первообразная для f(x),
то выражение
f(x)dx = F(x) + C,(2)
де C— произвольная постоянная (постоянная интерирова-
ния), называют неопределенным интералом от фунции f(x)
на этом промежуте.
Правила интерирования
Справедливы следующие формулы:
af(x)dx = af(x)dx, (3)
де a— постоянная величина;
(f
1
(x) ä f
2
(x)) dx = f
1
(x)dx ä f
2
(x)dx;(4)
f(ax + b)dx = F(ax + b) + C (5)
(де F(x) — первообразная для f(x), a − 0 и b— постоянные).
Таблица основных неопределенных интералов
x
n
dx = + C; n − –1; (6)
= ln |x| + C;(7)
F
′
∫
∫∫
∫∫∫
∫
1
a
---
∫
x
n 1+
n 1+
--------------
∫
dx
x
-------
§ 52. Неопределенный интеграл 255
a
x
dx = + C, a > 0; e
x
dx = e
x
+ C;(8)
sin x dx = –cos x + C;(9)
cos x dx = sin x + C;(10)
= tg x + C;(11)
= –ctg x + C;(12)
= ln tg + C;(13)
= ln tg + + C;(14)
= arctg + C, a − 0; (15)
= ln + C;(16)
= arcsin + C, a − 0; (17)
= ln (x + ) + C.(18)
Чтобы вычислить неопределенный интерал (найти перво-
образную данной фунции), ео с помощью преобразований и
правил интерирования сводят табличному интералу.
П р и м е р. Найти все первообразные фунции
f(x) = ,
де m и n— целые числа.
Р е ш е н и е. Преобразуем фунцию f(x) виду
f(x) = – + .
∫
a
x
ln a
----------
∫
∫
∫
∫
dx
cos
2
x
----------------
∫
dx
sin
2
x
----------------
∫
dx
sin x
-------------
x
2
---
∫
dx
cos x
-------------
x
2
---
π
4
---
∫
dx
x
2
a
2
+
------------------- -
1
a
---
x
a
---
∫
dx
x
2
a
2
–
-------------------
1
2a
-------
xa–
xa+
------------- -
∫
dx
a
2
x
2
–
-----------------------
x
a
---
∫
dx
x
2
a
2
+
----------------------- -
x
2
a
2
+
x
m
x
n
–()
2
x
-----------------------------
x
2m
1
2
---
–
2x
mn
1
2
---
–+
x
2n
1
2
---
–
Глава 10
Первообразная и интеграл
§ 52. Неопределенный интеграл
Дифференцируемую фунцию F(x) называют первообразной
для фунции f(x) на данном промежуте, если при всех значе-
ниях x из этоо промежута справедливо равенство
(x) = f(x). (1)
Если на неотором промежуте F(x) — первообразная для f(x),
то выражение
f(x)dx = F(x) + C,(2)
де C— произвольная постоянная (постоянная интерирова-
ния), называют неопределенным интералом от фунции f(x)
на этом промежуте.
Правила интерирования
Справедливы следующие формулы:
af(x)dx = af(x)dx, (3)
де a— постоянная величина;
(f
1
(x) ä f
2
(x)) dx = f
1
(x)dx ä f
2
(x)dx;(4)
f(ax + b)dx = F(ax + b) + C (5)
(де F(x) — первообразная для f(x), a − 0 и b— постоянные).
Таблица основных неопределенных интералов
x
n
dx = + C; n − –1; (6)
= ln |x| + C;(7)
F
′
∫
∫∫
∫∫∫
∫
1
a
---
∫
x
n 1+
n 1+
--------------
∫
dx
x
-------
§ 52. Неопределенный интеграл 255
a
x
dx = + C, a > 0; e
x
dx = e
x
+ C;(8)
sin x dx = –cos x + C;(9)
cos x dx = sin x + C;(10)
= tg x + C;(11)
= –ctg x + C;(12)
= ln tg + C;(13)
= ln tg + + C;(14)
= arctg + C, a − 0; (15)
= ln + C;(16)
= arcsin + C, a − 0; (17)
= ln (x + ) + C.(18)
Чтобы вычислить неопределенный интерал (найти перво-
образную данной фунции), ео с помощью преобразований и
правил интерирования сводят табличному интералу.
П р и м е р. Найти все первообразные фунции
f(x) = ,
де m и n— целые числа.
Р е ш е н и е. Преобразуем фунцию f(x) виду
f(x) = – + .
∫
a
x
ln a
----------
∫
∫
∫
∫
dx
cos
2
x
----------------
∫
dx
sin
2
x
----------------
∫
dx
sin x
-------------
x
2
---
∫
dx
cos x
-------------
x
2
---
π
4
---
∫
dx
x
2
a
2
+
------------------- -
1
a
---
x
a
---
∫
dx
x
2
a
2
–
-------------------
1
2a
-------
xa–
xa+
------------- -
∫
dx
a
2
x
2
–
-----------------------
x
a
---
∫
dx
x
2
a
2
+
----------------------- -
x
2
a
2
+
x
m
x
n
–()
2
x
-----------------------------
x
2m
1
2
---
–
2x
mn
1
2
---
–+
x
2n
1
2
---
–
256 Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Используя правила интерирования (3), (4) и формулу (6), по-
лучим
– + dx =
= – + + C =
= – + + C.
Ответ. – + + C.
Применяя правила интерирования и таблицу неопределен-
ных интералов, найдите первообразную данной фунции:
1. f(x) = . 2. f(x) = .
3. f(x) = x . 4. f(x) = .
5. f(x) = . 6. f(x) = .
Упростив подынтеральное выражение, найдите неопреде-
ленный интерал:
17. dx.
18. dt.
19. dx.
10. – + dx.
∫
x
2m
1
2
---
–
2x
mn
1
2
---
–+
x
2n
1
2
---
–
1
2m
1
2
---
+
------------------- -
x
2m
1
2
---
+
2
mn
1
2
---
++
-------------------------- -
x
mn
1
2
---
++
1
2n
1
2
---
+
------------------
x
2n
1
2
---
+
2x
2m
x
4m 1+
---------------------- -
4x
mn+
x
2m 2n 1++
----------------------------------
2x
2n
x
4n 1+
---------------------
2x
2m
x
4m 1+
---------------------- -
4x
mn+
x
2m 2n 1++
----------------------------------
2x
2n
x
4n 1+
---------------------
2 x
2
+2x
2
––
4 x
4
–
-------------------------------------------------
x 2 x–
x
3
--------------------- -
1 x–
x
1
x
2
---
–
----------------- -
x 1–
2x 1–()
3
-------------------------
x
2
---
1 x+
∫
x 1+()x
2
x–()
xx x x++
-------------------------------------------------
21
1
4
---
1
t
--- t–
2
+
1
1
4
---
1
t
--- t–
2
1
2
---
1
t
--- t–
–+
------------------------------------------------------------------------------------- -
2x
1 x+()1 x+
3
--------------------------------------
4
8
x
---
4
x
2
------
++
2
----------------------------
3
∫
1 x
2–
–
x
1/2
x
1/2–
–
--------------------------------
2
x
3/2
---------- -
x
2–
x–
x
1/2
x
1/2–
–
--------------------------------
§ 52. Неопределенный интеграл 257
11. – – dx.
12. + dx.
13. dx.
14. – dx.
15. dx.
16. dx.
17. dx.
18. dx.
19. dx.
20. dx.
21. 4cos cosx sin dx.
22. –4 sin sin x sin dx.
∫
x
2
-------
1
2 x
-----------
2
x 1–
x 1+
------------------
x 1+
x 1–
------------------
∫
1 x
2
–1–
x
------------------------------ -
1 x–
1 x
2
– x 1–+
-----------------------------------------
1 x+
1 x+1x––
------------------------------------------ -
1 x
2
–()
1/2–
1
1
1 x
2
–()
1/2–
1–
------------------------------------------
++
2–
2 x
2
–21x
2
––
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
x
6–
64–
42x
1–
x
2–
++
----------------------------------------
x
4
4
x
---
–
1
x
2
------
+
----------------------------
4x
2
2x 1+()
12x–
----------------------------------
∫
x
2/m
9x
2/n
–()x
1 m–()/m
3x
1 n–()/n
–()
x
1/m
3x
1/n
+()
2
12x
mn+()/mn
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 x–4x
2
5x
2
6x–3+
x 1–
---------------------------------- -
++
2x 1
2x
x 1–
-------------
++
-------------------------------------------------------------------------------
1 x
2
–1+
1 x–
1
1 x+
------------------
+
-------------------------------------------
x 2+()
2
x
-------
1–
x 2–()
2
x
-------
1+
–
2 x 2––():
2
x
---
1+
2
x
-------
–
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x
4
5x
3
15x 9–++
x
6
3x
4
+
----------------------------------------------------
9
x
4
------
+
x
3
4x–3x
2
12–+
x
5
----------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------
∫
x 2 x
2
–+
3
1 x 2 x
2
––
6
1 x
2
–
3
------------------------------------------------------------------------------ -
∫
x
2
---
21x
2
---------- -
∫
x
2
---
11x
2
---------- -
256 Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Используя правила интерирования (3), (4) и формулу (6), по-
лучим
– + dx =
= – + + C =
= – + + C.
Ответ. – + + C.
Применяя правила интерирования и таблицу неопределен-
ных интералов, найдите первообразную данной фунции:
1. f(x) = . 2. f(x) = .
3. f(x) = x . 4. f(x) = .
5. f(x) = . 6. f(x) = .
Упростив подынтеральное выражение, найдите неопреде-
ленный интерал:
17. dx.
18. dt.
19. dx.
10. – + dx.
∫
x
2m
1
2
---
–
2x
mn
1
2
---
–+
x
2n
1
2
---
–
1
2m
1
2
---
+
------------------- -
x
2m
1
2
---
+
2
mn
1
2
---
++
-------------------------- -
x
mn
1
2
---
++
1
2n
1
2
---
+
------------------
x
2n
1
2
---
+
2x
2m
x
4m 1+
---------------------- -
4x
mn+
x
2m 2n 1++
----------------------------------
2x
2n
x
4n 1+
---------------------
2x
2m
x
4m 1+
---------------------- -
4x
mn+
x
2m 2n 1++
----------------------------------
2x
2n
x
4n 1+
---------------------
2 x
2
+2x
2
––
4 x
4
–
-------------------------------------------------
x 2 x–
x
3
--------------------- -
1 x–
x
1
x
2
---
–
----------------- -
x 1–
2x 1–()
3
-------------------------
x
2
---
1 x+
∫
x 1+()x
2
x–()
xx x x++
-------------------------------------------------
21
1
4
---
1
t
--- t–
2
+
1
1
4
---
1
t
--- t–
2
1
2
---
1
t
--- t–
–+
------------------------------------------------------------------------------------- -
2x
1 x+()1 x+
3
--------------------------------------
4
8
x
---
4
x
2
------
++
2
----------------------------
3
∫
1 x
2–
–
x
1/2
x
1/2–
–
--------------------------------
2
x
3/2
---------- -
x
2–
x–
x
1/2
x
1/2–
–
--------------------------------
§ 52. Неопределенный интеграл 257
11. – – dx.
12. + dx.
13. dx.
14. – dx.
15. dx.
16. dx.
17. dx.
18. dx.
19. dx.
20. dx.
21. 4cos cosx sin dx.
22. –4 sin sin x sin dx.
∫
x
2
-------
1
2 x
-----------
2
x 1–
x 1+
------------------
x 1+
x 1–
------------------
∫
1 x
2
–1–
x
------------------------------ -
1 x–
1 x
2
– x 1–+
-----------------------------------------
1 x+
1 x+1x––
------------------------------------------ -
1 x
2
–()
1/2–
1
1
1 x
2
–()
1/2–
1–
------------------------------------------
++
2–
2 x
2
–21x
2
––
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- -
x
6–
64–
42x
1–
x
2–
++
----------------------------------------
x
4
4
x
---
–
1
x
2
------
+
----------------------------
4x
2
2x 1+()
12x–
----------------------------------
∫
x
2/m
9x
2/n
–()x
1 m–()/m
3x
1 n–()/n
–()
x
1/m
3x
1/n
+()
2
12x
mn+()/mn
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 x–4x
2
5x
2
6x–3+
x 1–
---------------------------------- -
++
2x 1
2x
x 1–
-------------
++
-------------------------------------------------------------------------------
1 x
2
–1+
1 x–
1
1 x+
------------------
+
-------------------------------------------
x 2+()
2
x
-------
1–
x 2–()
2
x
-------
1+
–
2 x 2––():
2
x
---
1+
2
x
-------
–
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x
4
5x
3
15x 9–++
x
6
3x
4
+
----------------------------------------------------
9
x
4
------
+
x
3
4x–3x
2
12–+
x
5
----------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------
∫
x 2 x
2
–+
3
1 x 2 x
2
––
6
1 x
2
–
3
------------------------------------------------------------------------------ -
∫
x
2
---
21x
2
---------- -
∫
x
2
---
11x
2
---------- -
258 Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
23. 2cosα sin + 2α dα.
24. 2sin
2
(3π – 2x)cos
2
(5π + 2x)dx.
25. ctg – 2x cos 4x dx.
26. sin
2
+ – sin
2
+ dx.
27. (cos
2
(45° – x)cos
2
(60° + x) – cos 75° sin (75° – 2x)) dx.
28. dx.
29. – cos 8x ctg 4x dx.
30. dx.
31. sin α sin (x – α) + sin
2
– α dx.
32. + cos
2
α dα.
33. tg
2
x dx.
34. ctg
2
x dx.
§ 53. Задачи, решаемые
с использованием свойств первообразных
Пусть f(x) — данная фунция, а F(x) — одна из ее первооб-
разных. Тода для фунции f(x) той первообразной, рафи о-
торой проходит через точу M(x
0
; y
0
), является фунция
G(x) = F(x) + C,(1)
де постоянная C удовлетворяет уравнению
F(x
0
) + C = y
0
.(2)
∫
2
π
4
---
∫
∫
3π
4
------ -
∫
9π
8
------ -
x
4
---
7π
8
------ -
x
4
---
∫
∫
sin 2x sin 5x sin 3x–+
cos x 1 2 sin
2
2x–+
------------------------------------------------------------------
∫
ctg
2
2x 1–
2ctg2x
------------------------------
∫
cos 4x 1+
ctg x tg x–
-------------------------------
∫
x
2
---
1 sin 2α+
cos (2α 2π)ctg α
5π
4
------ -
–
–
-----------------------------------------------------------------------
∫
∫
§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных 259
П р и м е р 1. Для фунции f(x) = cos
2
x найти ту первооб-
разную, рафи оторой проходит через точу M ; .
Р е ш е н и е. Найдем неопределенный интерал от фунции
f(x) = cos
2
x:
cos
2
x dx = dx = x + sin 2x + C.
Чтобы из всех найденных первообразных выбрать исомую,
воспользуемся равенством (2) и составим уравнение
· + sin π + C = ,
отуда находим C = 0.
Ответ. F(x) = x + sin 2x.
1. Найдите уравнение таой ривой, проходящей через
точу A(1; 2), у оторой таненс ула налона асательной в аж-
дой точе в 3 раза больше вадрата абсциссы этой точи.
2. Найдите уравнение таой ривой, проходящей через точу
A(1; 1), у оторой таненс ула налона в аждой точе равен
удвоенной абсциссе этой точи.
3. Найдите уравнение ривой, проходящей через точу
A(0; –1), если все ее асательные параллельны прямой y = 5x – 3.
Если рафии дифференцируемых фунций y = f
1
(x) и
y = f
2
(x) асаются дру друа в точе M(x
0
; y
0
), то выполняют-
ся соотношения
f
1
(x
0
) = f
2
(x
0
), (3)
(x
0
) = (x
0
). (4)
П р и м е р 2. Найти все первообразные фунции y = x + 2,
асающиеся ривой y = x
2
.
Р е ш е н и е. Та а фунция y = x + 2 является производ-
ной любой своей первообразной, то, соласно соотношению (4),
уравнение для нахождения абсциссы точи асания имеет вид
2x = x + 2.
Корень этоо уравнения есть x = 2. Значение фунции y = x
2
в точе x = 2 равно 4. Следовательно, из всех первообразных
фунции y = x + 2, т. е. из фунций вида f(x) = x
2
+ 2x + C,
π
2
---
π
4
---
∫∫
1cos2x+
2
--------------------------- -
1
2
---
1
4
---
1
2
---
π
2
---
1
4
---
π
4
---
1
2
---
1
4
---
f
1
′
f
2
′
1
2
---
258 Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
23. 2cosα sin + 2α dα.
24. 2sin
2
(3π – 2x)cos
2
(5π + 2x)dx.
25. ctg – 2x cos 4x dx.
26. sin
2
+ – sin
2
+ dx.
27. (cos
2
(45° – x)cos
2
(60° + x) – cos 75° sin (75° – 2x)) dx.
28. dx.
29. – cos 8x ctg 4x dx.
30. dx.
31. sin α sin (x – α) + sin
2
– α dx.
32. + cos
2
α dα.
33. tg
2
x dx.
34. ctg
2
x dx.
§ 53. Задачи, решаемые
с использованием свойств первообразных
Пусть f(x) — данная фунция, а F(x) — одна из ее первооб-
разных. Тода для фунции f(x) той первообразной, рафи о-
торой проходит через точу M(x
0
; y
0
), является фунция
G(x) = F(x) + C,(1)
де постоянная C удовлетворяет уравнению
F(x
0
) + C = y
0
.(2)
∫
2
π
4
---
∫
∫
3π
4
------ -
∫
9π
8
------ -
x
4
---
7π
8
------ -
x
4
---
∫
∫
sin 2x sin 5x sin 3x–+
cos x 1 2 sin
2
2x–+
------------------------------------------------------------------
∫
ctg
2
2x 1–
2ctg2x
------------------------------
∫
cos 4x 1+
ctg x tg x–
-------------------------------
∫
x
2
---
1 sin 2α+
cos (2α 2π)ctg α
5π
4
------ -
–
–
-----------------------------------------------------------------------
∫
∫
§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных 259
П р и м е р 1. Для фунции f(x) = cos
2
x найти ту первооб-
разную, рафи оторой проходит через точу M ; .
Р е ш е н и е. Найдем неопределенный интерал от фунции
f(x) = cos
2
x:
cos
2
x dx = dx = x + sin 2x + C.
Чтобы из всех найденных первообразных выбрать исомую,
воспользуемся равенством (2) и составим уравнение
· + sin π + C = ,
отуда находим C = 0.
Ответ. F(x) = x + sin 2x.
1. Найдите уравнение таой ривой, проходящей через
точу A(1; 2), у оторой таненс ула налона асательной в аж-
дой точе в 3 раза больше вадрата абсциссы этой точи.
2. Найдите уравнение таой ривой, проходящей через точу
A(1; 1), у оторой таненс ула налона в аждой точе равен
удвоенной абсциссе этой точи.
3. Найдите уравнение ривой, проходящей через точу
A(0; –1), если все ее асательные параллельны прямой y = 5x – 3.
Если рафии дифференцируемых фунций y = f
1
(x) и
y = f
2
(x) асаются дру друа в точе M(x
0
; y
0
), то выполняют-
ся соотношения
f
1
(x
0
) = f
2
(x
0
), (3)
(x
0
) = (x
0
). (4)
П р и м е р 2. Найти все первообразные фунции y = x + 2,
асающиеся ривой y = x
2
.
Р е ш е н и е. Та а фунция y = x + 2 является производ-
ной любой своей первообразной, то, соласно соотношению (4),
уравнение для нахождения абсциссы точи асания имеет вид
2x = x + 2.
Корень этоо уравнения есть x = 2. Значение фунции y = x
2
в точе x = 2 равно 4. Следовательно, из всех первообразных
фунции y = x + 2, т. е. из фунций вида f(x) = x
2
+ 2x + C,
π
2
---
π
4
---
∫∫
1cos2x+
2
--------------------------- -
1
2
---
1
4
---
1
2
---
π
2
---
1
4
---
π
4
---
1
2
---
1
4
---
f
1
′
f
2
′
1
2
---