Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1
Подождите немного. Документ загружается.
Ìàòðèöà ñîåäèíåíèé äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.14, â) ðàâíà (çäåñü, êàê è ðàíåå,
ïóñòûå êëåòêè îáîçíà÷àþò íóëåâûå ýëåìåíòû)
12345678
1
–1 –1 1 1
À = 2
11–1 1–1 .
3
1–1 –1
Êðîìå òîãî, ìîæåì çàïèñàòü
~ ~~~~~~~~
;
&&&&
;
U
E
Y
t
t
UUUUUUUU
EEEE
=
=
12345678
5678
0000
=
=
diag ( );
&&&&&&&&
YYYYYYYY
IIIIIIII
t
12345678
1234567
I
8
1
0 102030
0000000
;
&
;
&&&
.
ÁÁ=Á
=
t
t
UUUU
Çäåñü äëÿ óäîáñòâà çàïèñè âìåñòî ìàòðèöû-ñòîëáöà íàïðÿæåíèé îáîáùåííûõ
âåòâåé
~
U
çàïèñàíà åå òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà â âèäå ìàòðèöû-ñòðîêè. Àíà
-
ëîãè÷íàÿ çàïèñü ñäåëàíà äëÿ îñòàëüíûõ ìàòðèö-ñòîëáöîâ. Òàêæå äëÿ óäîáñòâà
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 253
Ðèñ. 5.14
è êâàäðàòíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé öåïè Y çàïèñàíà â êðàòêîé
ôîðìå.
Èìåÿ â âèäó îñîáåííîñòè ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ AY è äèàãîíàëüíûé õà
-
ðàêòåð Y-ìàòðèöû, ýëåìåíòû ìàòðèöû AY ìîæíî çàïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî ïî
ìàòðèöå A (ñì. § 5.11). Èìååì
12345678
1
–Y
1
–Y
6
Y
7
Y
8
AY = 2
Y
2
Y
3
–Y
4
Y
6
–Y
7
3
Y
4
–Y
5
–Y
8
1
Y
1
+ Y
6
+ Y
7
+ Y
8
– Y
6
– Y
7
– Y
8
è AYA
t
= 2
– Y
6
– Y
7
Y
2
+ Y
3
+ Y
4
+ Y
6
+ Y
7
– Y
4
.
3
– Y
8
– Y
4
Y
4
+ Y
5
+ Y
8
Ïðîèçâåäåíèå AY íà A
t
ìîæíî, êîíå÷íî, ïîëó÷èòü ïî ôîðìàëüíûì ïðàâèëàì
ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ. Íî ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîñòûì ñîïî-
ñòàâëåíèåì ñòðîê ìàòðèöû A (èëè AY ), êàê ýòî ñäåëàíî â § 5.11 ñ ìàòðèöåé êîí-
òóðîâ.
Ïðîèçâåäåíèå YE åñòü ìàòðèöà-ñòîëáåö, êîòîðàÿ â òðàíñïîíèðîâàííîì âèäå
ðàâíà
()YE
t
YE YE YE YE= 0000
55 66 77 88
&&&&
,
÷òî î÷åíü ïðîñòî çàïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî ïî ìàòðèöå E.
Òàê êàê
()
& &&&&
,ÁÁ+ = ÁYE
t
YE YE YE YE
1 55667788
000
òî
1
–
&
Á
1
–
YE
66
&
+
YE
77
&
+
YE
88
&&
Á
11
A( + YE)ÁÁ
= 2
YE
66
&
–
YE
77
&
= –
&
Á
22
3
–
YE
55
&
–
YE
88
&&
Á
33
îïðåäåëÿåò ìàòðèöó-ñòîëáåö, ýëåìåíòû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ñóììîé òåõ ýëåìåíòîâ
ìàòðèöû
()ÁÁ+YE
, íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ íîìåðàìè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A
ñ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè. Íàïðèìåð, âî âòîðîé ñòðîêå ìàòðèöû A èìåþòñÿ
ëèøü ñëåäóþùèå íåíóëåâûå ýëåìåíòû: a
22
= 1, a
23
= 1, a
24
= –1, a
26
= 1, a
27
= –1.
Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ñóììó Y
6
E
6
– Y
7
E
7
.
 ðåçóëüòàòå âñåõ îïåðàöèé ïîëó÷àåì
254 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Y
11
Y
12
Y
13
&
U
10
&
Á
11
AYA
t
U
0
=
Y
21
Y
22
Y
23
´
&
U
20
=
&
Á
22
Y
31
Y
32
Y
33
&
U
30
&
Á
33
èëè
YU YU YU
YU YU YU
11 10 12 20 13 30 11
21 10 22 20 23
&&&&
;
&&&
++=Á
++
30 22
31 10 32 20 33 30 33
=Á
++=Á
&
;
&&&&
,YU YU YU
ãäå
Y YYYY Y YYYYY
111678 22 23467
=+++ =++++;;
YY YYYY Y
12 21 6 7 13 31 8
==-- ==-;;
&&&&&
;
&&&
;Á=Á+-- Á=-+
11 1667788 22 6677
YE YE YE YE YE
Y YYY
YY Y
YE YE
33 458
23 32 4
33 55 88
=++
==-
Á= +
;
;
&&&
.
Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííàÿ ïðîâîäèìîñòü óçëîâ åñòü ñóììà ïðîâîäèìîñòåé,
ïðèñîåäèíåííûõ ê äàííîìó óçëó, à îáùàÿ ïðîâîäèìîñòü óçëîâ åñòü ñóììà ïðîâî-
äèìîñòåé âåòâåé, ñîåäèíÿþùèõ äàííóþ ïàðó óçëîâ, âçÿòàÿ ñ îáðàòíûì çíàêîì.
Ïðè íàëè÷èè â öåïè òîëüêî îäíîãî èñòî÷íèêà òîêà
&
Á
0k
, ïîäêëþ÷åííîãî ìåæ-
äó îïîðíûì è k-ì óçëîì, èìååì
&&
;;
&&
;;
&&
.UU U
k
k
kk
kk
mk
mk
10 0
1
00 00
=Á =Á =Á
D
D
D
D
D
D
KK
Âåëè÷èíó D/D
kk
, èìåþùóþ ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè, íàçîâåì âõîäíîé
ïðîâîäèìîñòüþ ìåæäó îïîðíûì è k-ì óçëàìè, à âåëè÷èíó D/D
mk
— âçà
-
èìíîé ïðîâîäèìîñòüþ ìåæäó k-ì è m-ì óçëàìè.
5.13. Ìåòîä ñå÷åíèé
Àíàëîãè÷íî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, ìîæíî óìåíüøèòü ÷èñëî èñêîìûõ âå
-
ëè÷èí äî q – 1 âûáîðîì â êà÷åñòâå íåèçâåñòíûõ — íàïðÿæåíèé âåòâåé äåðåâà
~
,
~
,,
~
UU U
q12 1
K
-
èëè ìàòðèöû-ñòîëáöà
~
U
1
, èìåÿ â âèäó, ÷òî ïðîèçâåäåíà óïîðÿäî
-
÷åííàÿ íóìåðàöèÿ âåòâåé ãðàôà ñõåìû, à èìåííî ñíà÷àëà ïðîíóìåðîâàíû âåòâè
äåðåâà, à çàòåì ñâÿçè. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äëÿ ìåòîäà
óçëîâûõ íàïðÿæåíèé íåò òàêîé íåîáõîäèìîñòè. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõ
-
ãîôà, èìååì
11K(),q - qpK
C
~
U
=
q
p
M
F1
´
~
U
1
= 0 èëè
~
U
2
= –F
~
U
1
.
~
U
2
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 255
Òîãäà íàïðÿæåíèÿ âñåõ îáîáùåííûõ âåòâåé ãðàôà ñõåìû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç
íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà â ñëåäóþùåì âèäå:
Çàïèøåì òàêæå ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ ýëåìåí
-
òîâ öåïè:
~
;
~
.UUEII=- =+ÁÁ
Äëÿ ñå÷åíèé öåïè èìååì
DI 0 DI D
~
.==-ÁÁèëè
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî I = YU è U =
~
U
+ E, ìîæíî çàïèñàòü
DYU D YE
~
().=- ÁÁ+
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
~~
U=
t
DU
1
, ïîëó÷èì
DYD U D YE
t
~
().
1
=- ÁÁ+
Ìû ïîëó÷èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèé âåò-
âåé äåðåâà (q – 1 ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé), êóäà âõîäÿò:
DYD
t
— êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé ïîðÿäêà (q –1)´(q – 1).
Ýòó ìàòðèöó çàïèøåì â âèäå, àíàëîãè÷íîì ìàòðèöå óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé,
à èìåííî:
DYD
t
=
-
-
-
YY Y
YY Y
YY
q
q
q
11 12 1 1
21 22 2 1
11
K
K
,
,
,
... ...... ...
qqq
Y
---12 1 1,,
,
K
ãäå Y
kk
— ñîáñòâåííàÿ ïðîâîäèìîñòü k-ãî ñå÷åíèÿ; Y
km
— îáùàÿ ïðîâîäèìîñòü ñå
-
÷åíèé k è m;
DÁÁ
— ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (q –1)´ 1, ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ, ïðåä
-
ñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû òîêîâ èñòî÷íèêîâ òîêà âåòâåé, ïåðåñåêàåìûõ äàííûì
ñå÷åíèåì, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåò íîìåð âåòâè äåðåâà;
D (YE) — ìàòðèöà-ñòîëáåö ïîðÿäêà (q –1)´ 1, ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ, ïðåä
-
ñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóììû òîêîâ ýêâèâàëåíòíûõ èñòî÷íèêîâ òîêà, îáðàçîâàííûõ
çà ñ÷åò ïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ â âåòâÿõ â èñòî÷íèêè òîêà (YE).
 ðàçâåðíóòîé ôîðìå ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïîëó÷åííûõ ïî ìåòîäó ñå÷å
-
íèé, èìååò âèä
YU YU Y U
qq11 1 12 2 1 1 1 11
~~ ~
&
;
................
.
,
+++ =Á
--
K
...............
~~ ~
,, ,
YUY U Y U
qq qqq-- ---
+++
11 1 12 2 1 1 1
K =Á
--
&
.
,qq11
256 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Çäåñü
Y d Yd Y d Yd d Y
kk k j j jk
j
p
km kj j jm
j
p
kk kj j
==Á=-Á+
==
åå
11
;;(
&
jj
j
p
E
&
).
=
å
1
Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â ìàòðè÷íîé ôîðìå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
~
()( ).UDYDDYE
1
1
=- ÁÁ+
t –
Äëÿ íàïðÿæåíèÿ k-é âåòâè äåðåâà ìîæíî çàïèñàòü
&
~
&&
,
,
,
U
k
k
qq
qk
=Á + +Á
--
-
11
1
11
1
D
D
D
D
K
ãäå D — ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé è D
mk
— åãî àë
-
ãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïî ìåòîäó ñå÷åíèé äëÿ öåïè, èçîáðà
-
æåííîé íà ðèñ. 5.5, à è á, ãðàôû êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5.5, â, ã è ä. Èìååì
ñëåäóþùèå èñõîäíûå äàííûå:
E
U
tt
t
EE E
UUUUU
=ÁÁ= Á
=
&& &
;
&&
;
~ ~~~~~~
135 6
12345
000 00000
U YYYYYY
6 123456
;( ).Y = diag
Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ñì. ðèñ. 5.5) èìååì òðè ñå÷åíèÿ: 1, 2, 3 (ñîãëàñíî òðåì íîìå-
ðàì âåòâåé äåðåâà). Òîãäà
123456 123456
1
1 1 –1 –1 1 Y
1
Y
4
–Y
5
–Y
6
D = 2
1–1–1;
DY = 2
Y
2
–Y
5
–Y
6
;
3
1–1 1 3 Y
3
–Y
4
Y
5
1
Y
1
+ Y
4
+ Y
5
+ Y
6
Y
5
+ Y
6
– Y
4
– Y
5
DYD
t
= 2
Y
5
+ Y
6
Y
2
+ Y
5
+ Y
6
– Y
5
;
3
– Y
4
– Y
5
– Y
5
Y
3
+ Y
4
+ Y
5
()
&& &
;YE
t
YE YE YE=
11 3 3 5 5
000
1
YE
11
&
–
YE
55
&
–
&
Á
6
&
Á
11
D(ÁÁ
+YE) = 2
–
YE
55
&
–
&
Á
6
= –
&
Á
22
.
3
YE
33
&
+
YE
55
&&
Á
33
Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 257
YU YU YU
YU YU YU
11 1 12 2 13 3 11
21 1 22 2 23 3 2
~~ ~
&
;
~~ ~
&
++=Á
++=Á
2
31 1 32 2 33 3 33
;
~~ ~
&
,YU YU YU++=Á
ãäå
Y YYYY Y YYY
YYYYYY
111456 22 256
21 12 5 6 13 31
=+++ =++
==+ =
;;
; =- -
Á=Á- + Á =Á+
YY
YE YE YE
45
11 61155 22 655
;
&& & &
;
&& &
;
Y YYY
YY Y
YE YE
33 345
23 32 5
33 3 3 5 5
=++
==-
Á=- -
;
;
&&&
.
Âñå ýòè âåëè÷èíû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì ôîðìàëüíûõ ìàòðè÷íûõ îïå
-
ðàöèé è àíàëèçà ýëåìåíòîâ ìàòðèöû D òî÷íî òàê, êàê ýòî äåëàëîñü â § 5.11
è 5.12.
Ìåòîä ñå÷åíèé è ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ñâîäÿòñÿ ê ôîðìèðîâàíèþ è ðå-
øåíèþ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç q – 1 óðàâíåíèé, è â ýòîì îòíîøåíèè îíè ðàâ-
íîöåííû. Îäíàêî â ìåòîäå óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èñïîëüçóåòñÿ ìàòðèöà ñîåäè-
íåíèé, ñîñòàâëåíèå êîòîðîé âî âñåõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì, åñëè ðå÷ü
èäåò íå î íåïîñðåäñòâåííîé çàïèñè óðàâíåíèé ïðè ïîìîùè âèçóàëüíîãî ñïîñîáà
ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö êîíòóðîâ è ñå÷åíèé. Ïðè èñïîëüçîâàíèè âû÷èñëèòåëüíûõ
ìàøèí ïðîöåäóðà ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö C è D äîëæíà áûòü ôîðìàëèçîâàíà. Îä-
íèì èç òàêèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ ðàñ÷åò ìàòðèöû F ÷åðåç ïîäìàòðèöû A
1
è A
2
.
Ïîýòîìó â âû÷èñëèòåëüíîì îòíîøåíèè ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé áîëåå ýêî-
íîìè÷åí. Îäíàêî ìåòîäû ñå÷åíèé è êîíòóðíûõ òîêîâ ïîçâîëÿþò âûäåëèòü òå
íàïðÿæåíèÿ è òîêè, êîòîðûå ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü íåïîñðåäñòâåííûé èíòåðåñ,
à ïîýòîìó äàííûå ìåòîäû äàæå â îòíîøåíèè èñïîëüçîâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíîé
òåõíèêè èìåþò ñâîè îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ.
5.14. Ìåòîä ñìåøàííûõ âåëè÷èí
Ïðè ðåøåíèè íåêîòîðûõ çàäà÷, îñîáåííî çàäà÷ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ,
÷àñòü âåòâåé öåëåñîîáðàçíî õàðàêòåðèçîâàòü ñîïðîòèâëåíèåì, à äðóãóþ ÷àñòü —
ïðîâîäèìîñòüþ, ò. å. äëÿ ÷àñòè ñõåìû ìîæåò áûòü çàäàíî I
y
= Y
y
U
y
, à äëÿ äðóãîé
÷àñòè — U
z
= Z
z
I
z
. Çäåñü èíäåêñû y è z ïîêàçûâàþò ïðèíàäëåæíîñòü ìàòðèö
y- èëè z-âåòâÿì (íàçîâåì äëÿ êðàòêîñòè âåòâè, õàðàêòåðèçóåìûå ïðîâîäèìîñòüþ,
y-âåòâÿìè,àâåòâè, õàðàêòåðèçóåìûå ñîïðîòèâëåíèåì, z-âåòâÿìè).
Ðàçëè÷íûé âèä çàïèñè çàêîíà Îìà ïðåäîïðåäåëÿåò è âûáîð ñîîòâåòñòâóþ
-
ùèõ èñêîìûõ âåëè÷èí. Äëÿ Y-÷àñòè ñõåìû (÷àñòü ñõåìû èëè ãðàôà ñõåìû, ñîäåð
-
æàùàÿ òîëüêî y-âåòâè) öåëåñîîáðàçíî â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí âûáèðàòü íà
-
ïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà. Äëÿ Z-÷àñòè ñõåìû (÷àñòü ñõåìû èëè ãðàôà ñõåìû,
ñîäåðæàùàÿ òîëüêî z-âåòâè) öåëåñîîáðàçíî â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí (èñêî
-
ìûõ ïåðåìåííûõ, êàê èíîãäà ãîâîðÿò) âûáèðàòü òîêè â ñâÿçÿõ. Èñõîäÿ èç ýòîé
îñîáåííîñòè, ñëåäóåò y-âåòâè îòíåñòè ê âåòâÿì äåðåâà è òîëüêî ïðè íåâîçìîæíî
-
258 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ñòè ýòîãî, êîãäà äîáàâëåíèå íîâîé y-âåòâè ê ïðåäûäóùèì ïðèâîäèò ê îáðàçîâà
-
íèþ êîíòóðà, îòíåñòè ýòè âåòâè ê ñâÿçÿì. Åñëè y-âåòâè íå îáðàçóþò äåðåâî ãðàôà
ñõåìû, ÷àñòü z-âåòâåé âîéäåò â ñîñòàâ âåòâåé äåðåâà, ïîýòîìó z-âåòâè ìîãóò ñî
-
äåðæàòüñÿ òàêæå è â âåòâÿõ äåðåâà ãðàôà ñõåìû.
Âñïîìíèì, ÷òî F-ìàòðèöà îïðåäåëÿåò êîíòóðû (íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò
ñ íîìåðàìè âåòâåé, îòíåñåííûõ ê ñâÿçÿì) è âõîäÿùèå â ýòè êîíòóðû âåòâè äå
-
ðåâà. Ïðè ñîñòàâëåíèè äåðåâà ãðàôà ñíà÷àëà òîëüêî èç y-âåòâåé, à çàòåì óæå äî
-
ïîëíåíèåì äåðåâà äî êîíöà ñâÿçÿìè (åñëè íå õâàòàåò äëÿ ýòîãî y-âåòâåé) ñòðóê
-
òóðà F-ìàòðèöû áóäåò ñëåäóþùåé:
F-ìàòðèöà ðàçáèâàåòñÿ íà áëîêè, ó êîòîðûõ ïåðâûé íèæíèé èíäåêñ ïîêàçû-
âàåò õàðàêòåð ñâÿçè, îáðàçóþùåé êîíòóð, à âòîðîé èíäåêñ — õàðàêòåð âåòâè äåðå-
âà (y èëè z), âõîäÿùåé â äàííûé êîíòóð. Â êîíòóðàõ, îáðàçîâàííûõ èç y-ñâÿçåé,
íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ z-âåòâè äåðåâà, òàê êàê y-âåòâü ñòàíîâèòñÿ ñâÿçüþ ïðè óñëî-
âèè îáðàçîâàíèÿ êîíòóðà òîëüêî èç y-âåòâåé; ïîýòîìó F
yz
= 0 âñåãäà. Èíäåêñ yz,
ñîãëàñíî ïðàâèëàì èíäåêñàöèè, ïîêàçûâàåò, ÷òî êîíòóðû îáðàçîâàíû y-ñâÿçÿìè
è z-âåòâÿìè äåðåâà.
Ñòîëáöû êîíòóðíîé ìàòðèöû C ðàçäåëèì íà ÷åòûðå ãðóïïû è ïðîíóìåðóåì
ñòîëáöû ïîñëåäîâàòåëüíî: äëÿ ãðóïïû y-âåòâåé äåðåâà, çàòåì äëÿ y-ñâÿçåé, ïîñëå
÷åãî äëÿ z-âåòâåé äåðåâà è çàâåðøèì íóìåðàöèþ z-ñâÿçÿìè. Ñîîòâåòñòâåííî,
ñòðîêè ìàòðèöû C îïðåäåëÿòñÿ ñíà÷àëà y-ñâÿçÿìè, à çàòåì óæå z-ñâÿçÿìè. Ïðè
óñëîâèè òàêîãî ðàçáèåíèÿ C-ìàòðèöó ìîæíî çàïèñàòü òàê:
Ïðè ðàçäåëåíèè âåòâåé íà ÷åòûðå ãðóïïû ìàòðèöó ñå÷åíèé D òàêæå ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 259
ãäå
1
-F
yy
t
= D
y
.
Ñîîòâåòñòâåííî òàêîìó ðàçäåëåíèþ òîïîëîãè÷åñêèõ ìàòðèö äîëæíî áûòü
ïðîâåäåíî ðàçäåëåíèå ìàòðèö Z è Y. Êàæäàÿ èç ýòèõ ìàòðèö áóäåò ñîñòîÿòü èç
äâóõ äèàãîíàëüíûõ áëîêîâ. Ñîãëàñíî ïðèîðèòåòó âåòâåé, â âåðõíåé ëåâîé ÷àñòè
áóäóò ðàñïîëîæåíû âåòâè, îòíåñåííûå ê äåðåâó, â íèæíåé ïðàâîé ÷àñòè — îòíå-
ñåííûå ê ñâÿçÿì. Ñîîòâåòñòâåííî, âåðõíèì ïîäìàòðèöàì ïàðàìåòðîâ âåòâåé äå-
ðåâà ïðèïèøåì íèæíèé èíäåêñ 1, íèæíèì ïîäìàòðèöàì ïàðàìåòðîâ ñâÿçåé —
íèæíèé èíäåêñ 2. Ýòè ìàòðèöû áóäóò èìåòü âèä
Y
y
=
Y
1
; Z
z
=
Z
1
.
Y
2
Z
2
Ìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ, íàïðÿæåíèé, èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêà òàêæå ðàçäå-
ëèì ïî ýòîìó ïðèíöèïó. Èìååì
~
I
1y
~
U
1y
E
1y
ÁÁ
1y
~
I
=
~
I
2y
=
~
I
y
;
~
U
=
~
U
2y
=
~
U
y
; E =
E
2y
=
E
y
;
ÁÁ
=
ÁÁ
2y
=
ÁÁ
y
,
~
I
1z
~
I
z
~
U
1z
~
U
z
E
1z
E
z
ÁÁ
1z
ÁÁ
z
~
I
2z
~
U
2z
E
2z
ÁÁ
2z
ãäå I
y
=
I
1y
; I
z
=
I
1z
èò.ä.
I
2y
I
2z
Ïðèìåíèì ê ÷àñòè ãðàôà ñõåìû, ñîñòàâëåííîé èç y-âåòâåé, ìåòîä ñå÷åíèé.
Çàïèñü óðàâíåíèé áóäåò àíàëîãè÷íà çàïèñè ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ñå÷åíèé
(ñì. § 5.13) ñ äîïîëíèòåëüíûì ÷ëåíîì, ó÷èòûâàþùèì òîêè z-ñâÿçåé, ðàâíûì
–
FI
zy
t
z
~
2
. Èìååì
DYD FI D YE
yy y
t
yzy
t
zyyyy
~~
().U
1
-=- +ÁÁ
2
260 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Òî÷íî òàê æå, åñëè ïðèìåíèòü ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ ê ÷àñòè ãðàôà, ñîñòàâ
-
ëåííîé èç z-âåòâåé, ìîæíî çàïèñàòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå ïîëó÷åí
-
íîìó â § 5.11 ñ äîáàâëåíèåì íàïðÿæåíèé y-âåòâåé äåðåâà, êîòîðûå ðàâíû F
zy
~
U
1y
.
Èìååì
CZCI F U C Z E
zzz z zy y z zz z
t
~~
().
21
+=ÁÁ+
Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü âìåñòå:
DYD F
FCZC
U
I
DYE
CZ
yy y
t
zy
t
zy z z z
t
y
z
yyy y
zz
-
=
-+ÁÁ
Á
~
~
()
(
1
2
Á+
z
E
z
)
.
Ýòà ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé è ñîñòàâëÿåò
ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ñìåøàííûõ âåëè÷èí.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè âñå âåòâè ñõåìû îòíå
-
ñòè èëè ê y-âåòâÿì, èëè ê z-âåòâÿì, òî ïîëó÷èì, ñîîò
-
âåòñòâåííî, óðàâíåíèå ìåòîäà ñå÷åíèé èëè ìåòîäà êîí-
òóðíûõ òîêîâ.
Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.15) èìååì
12345678
4–1 1 1
¬ y-ñâÿçü
C =
6–1 –11
ü
ý
ï
þ
ï
z-ñâÿçü
7 1 –1 –1 1
8 –1 1 –1 1
12345678
11 1 –11
ü
ý
ï
þ
ï
y-äåðåâî
D =
21–111
31 1–1
5111
¬ z-äåðåâî
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 261
Ðèñ. 5.15
1 23 678
F
yy
= 4
–1 1
;
-F
zz
t
= 5
11;
123 678
6 –1 1 –1 1
F
zy
= 7
1–1–1
;
-F
zy
t
= 2
11 ;
8–1 1 3 1 –1
5678 123 4
6–1 1 1 1 1
C
z
= 7
1
; D
y
= 2
1–1;
8–1 1 3 1
Y
1
Z
5
Y
2
Z
6
Y
y
=
Y
3
; Z
z
=
Z
7
;
Y
4
Z
8
~
U
1y
=
~
U
1
;
~
I
2z
=
~
I
6
~
U
2
~
I
7
;
~
U
3
~
I
8
&
E
1
&
E
5
&
Á
1
&
Á
5
E
y
=
&
E
2
; E
z
=
&
E
6
;
ÁÁ
y
=
&
Á
2
;
ÁÁ
z
=
&
Á
6
.
&
E
3
&
E
7
&
Á
3
&
Á
7
&
E
4
&
E
8
&
Á
4
&
Á
8
262 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé