Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

ðàñêðûòèÿ îïðåäåëèòåëåé è ìåòîä Ãàóññà ïîçâîëÿþò ïðè îòñóòñòâèè îêðóãëåíèé

íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è.

Îäíàêî ïðè èñïîëüçîâàíèè ÝÂÌ íåèçáåæíû îøèáêè îêðóãëåíèÿ, è ïîýòîìó

ïðè áîëüøîì ÷èñëå óðàâíåíèé ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ìîæåò çàìåòíî îòëè÷àòüñÿ

îò òî÷íîãî. Êðîìå òîãî, äëÿ ðàçìåùåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû è ïðîìåæóòî÷íûõ

ðåçóëüòàòîâ â ïàìÿòè ÝÂÌ ïîòðåáóåòñÿ m

ÿ÷ååê. Ïîýòîìó íàðÿäó ñî âðåìåíåì

ðåøåíèÿ ñóùåñòâåííûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ è ÷èñëî èñïîëüçóåìûõ ÿ÷ååê ïà

ìÿòè, êîòîðîå ïðè m = 10 000 äîñòèãíåò 10

Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðè áîëüøîì ÷èñëå óðàâíåíèé ïðèõîäèòñÿ îòêàçûâàòüñÿ îò

òî÷íûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ è èñïîëüçîâàòü òå èëè èíûå èòåðàöèîííûå ìåòîäû, êî

ãäà ðåøåíèå íàõîäèòñÿ êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (èòåðàöèé),

íàïðèìåð âèäà (ïðîñòûå èòåðàöèè)

() ( )

IBI a

-1

ãäå I

(n—1)

— ìàòðèöà-ñòîëáåö ðåøåíèé íà (n–1)-ì øàãå èòåðàöèé; I

(n)

— ìàòðè

öà-ñòîëáåö óòî÷íåííûõ ðåøåíèé íà ñëåäóþùåì, n-ì, øàãå èòåðàöèé (ïðèáëèæå-

íèé).

5.24. Òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû ðàñ÷åòà öåïåé

Ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîé èíòåðåñ âîçìîæíîñòü ñîñòàâëåíèÿ ýëåìåíòîâ îáðàòíîé

ìàòðèöû è åå îïðåäåëèòåëÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ãðàôó ñõåìû, ìèíóÿ ñòàäèþ ñî-

ñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîãî ïîäõîäà ðàññìîòðèì

ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé.

Äëÿ ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé èìååì âûðàæåíèå AYA

, ãäå A — òîïî-

ëîãè÷åñêàÿ ìàòðèöà ñîåäèíåíèé ïîðÿäêà (q –1)´ n; A

— òðàíñïîíèðîâàííàÿ

ìàòðèöà ñîåäèíåíèé ïîðÿäêà n ´ (q – 1); Y — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìî-

ñòåé âåòâåé (â öåïè îòñóòñòâóþò âçàèìíàÿ èíäóêöèÿ è çàâèñèìûå èñòî÷íèêè)

ïîðÿäêà n ´ n.

Ñîãëàñíî òåîðåìå Êîøè—Áèíå, îïðåäåëèòåëü òàêîé ìàòðèöû ìîæåò áûòü

ïðåäñòàâëåí êàê

det (AYA

) = det (AY ) A

= S ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíîðîâ

ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà ìàòðèö AY è A

Ñîîòâåòñòâèå ìèíîðîâ îçíà÷àåò ñîâïàäåíèå íîìåðîâ ñòîëáöîâ â ìàòðèöå AY

ñ íîìåðàìè ñòðîê ìàòðèöû A

. Â ìàòðèöàõ AY è A èç-çà äèàãîíàëüíîñòè ìàòðè

öû Y îäèíàêîâî ðàñïîëîæåíû íåíóëåâûå ýëåìåíòû (åñëè a

¹ 0, òî a

¹ 0).

Ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ìèíîðîâ ðàâåí (q –1)´(q – 1). Ïðèìåì âî âíèìàíèå,

÷òî òðàíñïîíèðîâàííûé ìèíîð ðàâåí èñõîäíîìó ìèíîðó. Ðàíåå (ñì. § 3.16) ìû

óêàçàëè, ÷òî íåíóëåâîé ìèíîð ïîðÿäêà (q –1)´(q – 1) ìàòðèöû A ðàâåí ±1. Ñëå

äîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíîðîâ èìååò âñåãäà ïîëîæèòåëü

íûé çíàê. Êðîìå òîãî, ìèíîð À íå ðàâåí íóëþ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âõî

äÿùèå â åãî ñîñòàâ âåòâè (q – 1) ñîåäèíÿþò âñå q óçëîâ ãðàôà ñõåìû. Ýòî

ïîëîæåíèå ëåãêî óñìîòðåòü èç ïðîöåäóðû ðàçëîæåíèÿ ìèíîðà ïî ýëåìåíòàì

ñòðîê èëè ñòîëáöîâ. Ïðè èñêëþ÷åíèè ñîîòâåòñòâóþùåé âåòâè è óçëà îñòàâøèé

ñÿ ìèíîð íå äîëæåí èìåòü ñòðîêó (èëè ñòîëáåö), ñîñòîÿùóþ òîëüêî èç íóëåâûõ

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 283

ýëåìåíòîâ. Ýòî æå ïîëîæåíèå ëåãêî óâèäåòü èç ðàññìîòðåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî

ìèíîðà [ïîðÿäêà (q –1)´(q – 1)] ìàòðèöû AY. Â ðåçóëüòàòå ðàñêðûòèÿ ìèíîðà

ìû äîëæíû èìåòü ïðîèçâåäåíèå âèäà Y

...Y

, ãäå äîëæíû áûòü q – 1 ýëåìåí

òîâ. Ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû äîëæíû ñîñòîÿòü èç ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé, êîòîðûå

ñîåäèíÿò âñå óçëû ãðàôà ñõåìû. Íî òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü âåòâåé åñòü äåðåâî ãðàôà

ñõåìû. Ïîýòîìó ìîæåì íàïèñàòü

det (AYA

) = SP ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé ãðàôà

ñõåìû =

SPY

âåòâåé äåðåâà ãðàôà ñõåìû,

ãäå ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî âñåì íåïîâòîðÿþùèìñÿ äåðåâüÿì ãðàôà ñõåìû.

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.30, à), äåðåâüÿ êîòîðîãî ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.30, á

det (AYA

) = Y

+ Y

284 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 5.30

Ðèñ. 5.31

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.31, à), äåðåâüÿ êîòîðîãî ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.31, á

det (AYA

) = Y

+ Y

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî äîïîëíåíèÿ ïîðÿäêà D

, èñõîäÿ èç òåîðåìû

Êîøè—Áèíå, ìû äîëæíû èç ìàòðèöû AY èñêëþ÷èòü j-þ ñòðîêó, à èç ìàòðèöû

— j-é ñòîëáåö. Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðèñîåäèíåíèþ óçëà j ê áàçèñíîìó óçëó. Òîãäà

ïîëó÷àåì íîâûé ãðàô ñõåìû, ãäå îáúåäèíåíû j-é è áàçèñíûé óçëû ïðåæíåãî ãðà

ôà ñõåìû. Íàïðèìåð, îïðåäåëèòåëü D

ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.31, à) ìîæíî âû÷èñ

ëèòü èç óñëîâèÿ, ÷òî îí ðàâåí îïðåäåëèòåëþ íîâîãî ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.32, à),

äåðåâüÿ êîòîðîãî èçîáðàæåíû íà ðèñ. 5.32, á:

11316 325 1625

=+++++ +YYY YYY YYYY()( )()( ).

Íà ðèñ. 5.32, â è ã, ïðåäñòàâëåíû ãðàôû è äåðåâüÿ ñõåìû äëÿ D

33 214 235 1435

=+++++ +YYY YYY YYYY()( )()( ).

Àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ âèäà D

ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû èç òîé æå ôîð

ìóëû Êîøè–Áèíå, åñëè âû÷åðêíóòü â ìàòðèöå AY ñòðîêó j è â ìàòðèöå A

—

ñòîëáåö k. Î÷åâèäíî, ÷òî ìèíîðû AY ñîâïàäóò ñ ìèíîðàìè D

, à ìèíîðû A

—

ñ ìèíîðàìè D

. Ïîñêîëüêó ñëåäóåò ñóììèðîâàòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþ

ùèõ ìèíîðîâ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç âûðàæåíèé äëÿ D

è D

äîëæíû áûòü âçÿòû

ñîâïàäàþùèå ÷ëåíû. Íàïðèìåð, äëÿ D

òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ

()

12 23 15 13

1=- + + +

() ( ).YY Y Y YY YY

Óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ ìèíîðîâ è òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî óçëû j è k âû÷åðêíóòû

èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçäåëåíèÿ ãðàôà öåïè

íà äâà íåñâÿçàííûõ ïîäãðàôà ñî ñâîèìè äåðåâüÿìè, ñóììà ïðîèçâåäåíèé ïðîâî

äèìîñòåé âåòâåé êîòîðûõ îïðåäåëèò D

. Ïðè ýòîì ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî óçëû j è k

ìûñëåííî óæå ñîåäèíåíû ñ îïîðíûì óçëîì, è ïîýòîìó óçëû j è k, ñ îäíîé ñòî

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 285

Ðèñ. 5.32

ðîíû, è îïîðíûé óçåë — ñ äðóãîé, äîëæíû áûòü â ðàçíûõ ïîäãðàôàõ. Äåðåâüÿ

ýòèõ ïîäãðàôîâ íàçûâàþò äâîéíûì äåðåâîì ãðàôà ñõåìû (2-äåðåâî).

Íà ðèñ. 5.33 èçîáðàæåíî 2-äåðåâî äëÿ îïðåäåëèòåëÿ D

. Ìèíîð ïîäãðàôà, ñî

ñòîÿùåãî èç îòäåëüíîãî óçëà (óçåë 4, îí æå îïîðíûé), ðàâåí åäèíèöå. Èìåÿ â âè

äó ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, èç ðèñ. 5.33 ïîëó÷èì

()

12 23 15 13

1=- + + +

() ( ).YY Y Y YY YY

Èñïîëüçîâàíèå òîïîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñâÿçàíî ñ òðóäîåìêèì ïðîöåññîì

îòûñêàíèÿ âñåõ âåòâåé ãðàôà ñõåìû. Ýòà çàäà÷à îòíîñèòåëüíî óïðîùàåòñÿ, åñëè

çàðàíåå èçâåñòíî îáùåå ÷èñëî äåðåâüåâ.

Èç âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëèòåëÿ âûòåêàåò, ÷òî åñëè ïðîâîäèìîñòè âñåõ âåò-

âåé åäèíè÷íû, òî D ðàâíî ÷èñëó äåðåâüåâ ãðàôà öåïè, ò. å. åñëè Y = 1,òî

det( ) det ( ).AYA AA

Åñëè âñå óçëû ñîåäèíåíû ïîïàðíî ìåæäó ñîáîé, òî îáùåå ÷èñëî äåðåâüåâ ïî

ýòîìó âûðàæåíèþ ðàâíî q

q–2

. Â ðàññìîòðåííîì âûøå ãðàôå (ðèñ. 5.31, à) ìû èìå-

ëè ñëó÷àé, êîãäà âñå óçëû ïîïàðíî ñîåäèíåíû è q = 4. ×èñëî äåðåâüåâ ãðàôà öåïè

áûëî ðàâíî 4

4–2

= 4

= 16. Åñëè â ãðàôå îòñóòñòâóþò íåêîòîðûå âåòâè, òî ÷èñëî

äåðåâüåâ ñîîòâåòñòâåííî óìåíüøàåòñÿ. Äëÿ ãðàôà (ðèñ. 5.31, à) îòñóòñòâèå âåòâè

1 ïðèâåäåò ê ñîêðàùåíèþ ÷èñëà äåðåâüåâ äî 8.

Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 5.34), ó êîòîðîãî íåïîñðåäñòâåííî íå ñâÿçàíû òîëüêî

äâå ïàðû óçëîâ, à èìåííî 1, 3 è 2, 4, ÷èñëî äåðåâüåâ ðàâíî

286 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 5.33

Ðèñ. 5.34

det( )AA

3101

13 10

0131

10 1 3

310

13 1

013

() () ,-

110

031

113

13 1

013

10 1

12 14

÷òî ñóùåñòâåííî ìåíüøå ìàêñèìàëüíîãî ÷èñëà äåðåâüåâ, ðàâíîãî 5

5–2

= 125.

Èìåííî íåîáõîäèìîñòü îòûñêàíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà ðàçëè÷íûõ äåðåâüåâ ÿâ

ëÿåòñÿ ñåðüåçíûì íåäîñòàòêîì òîïîëîãè÷åñêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà öåïåé, îñíîâíûå

ïîíÿòèÿ è ôîðìóëû êîòîðîãî áûëè ïðåäëîæåíû Êèðõãîôîì åùå â 1847 ã. è Ìàêñ

âåëëîì â 1892 ã. Âíåäðåíèå â ðàñ÷åòíóþ ïðàêòèêó ÝÂÌ è ðàçâèòèå òåîðèè ãðà

ôîâ âíîâü âîçáóäèëè èíòåðåñ ê ýòîìó ðàçäåëó òåîðèè öåïåé, îäíàêî äàæå ìîù

íûå ñîâðåìåííûå ÝÂÌ íå â ñîñòîÿíèè óñòðàíèòü îñíîâíîé íåäîñòàòîê ìåòîäà.

Íåîáõîäèìîñòü îòûñêàíèÿ è õðàíåíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà äåðåâüåâ, êîòîðîå óæå

äëÿ öåïè ñ q = 10 äîñòèãàåò 10

, ïðîáëåìàòè÷íà äàæå è äëÿ ìîùíûõ ÝÂÌ. Ïîýòî-

ìó òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû ïðèåìëåìû äëÿ ñõåì ñ îòíîñèòåëüíî ìàëûì ÷èñëîì

óçëîâ.

Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 287

Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâå 5

5.1. Êîìïëåêñíûé ìåòîä

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Òîêè

ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè. ×åì ðàçëè÷àþòñÿ èõ ìãíî

âåííûå çíà÷åíèÿ i

è i

2. (Î) Êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå äâóõïîëþñíèêà ðàâíî 1 + j2 Îì. Ìîæíî ëè

óòâåðæäàòü, ÷òî ýòîò äâóõïîëþñíèê íå ñîäåðæèò êîíäåíñàòîðîâ?

3. (Î) Äâóõïîëþñíèê, èìåþùèé êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå Z = 1+j Îì, ñîäåð

æèò íåñêîëüêî êîíäåíñàòîðîâ, êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè è îäèí ðåçèñòîð R. Ìîæ

íî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî R = 1 Îì?

4. (Î) Êàêîé ñìûñë èìåþò ïðèíèìàåìûå óñëîâíî ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ

òîêîâ è íàïðÿæåíèé, åñëè îíè, ÿâëÿÿñü â äåéñòâèòåëüíîñòè ñèíóñîèäàëüíûìè

ôóíêöèÿìè, èçìåíÿþò ñâîå íàïðàâëåíèå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè?

5. (Î) Ñïðàâåäëèâû ëè çàêîíû Êèðõãîôà, çàïèñàííûå: à) äëÿ äåéñòâóþùèõ çíà-

÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé; á) ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé; â)àì-

ïëèòóäíûõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé; ã) êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé òîêîâ è íà-

ïðÿæåíèé?

6. Ïî÷åìó ïðè ðàñ÷åòå êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè

îäèí èç êîìïëåêñîâ (

èëè

)

âûáèðàþò ñîïðÿæåííûì?

7. Íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü Q = 0. Ìîæ-

íî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ýòîò ó÷àñòîê íå ñîäåðæèò ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ?

8. (Î) Êàæäûé èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ äâóõïîëþñíèêîâ îáëàäàåò îò-

ëè÷íûìè îò íóëÿ ýêâèâàëåíòíûì àêòèâíûì è ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèÿìè.

Êàêèå èç óòâåðæäåíèé ñïðàâåäëèâû: à) ýêâèâàëåíòíîå ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëå

íèå âñåé öåïè ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíûì èëè ðàâíûì íóëþ; á) ýêâèâàëåíòíîå

ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì; â) ýêâèâà

ëåíòíîå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè äîëæíî áûòü ïîëîæèòåëüíûì èëè

ðàâíûì íóëþ; ã) ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü âñåé öåïè äîëæíà áûòü áîëüøå ðåàêòèâ

íîé ìîùíîñòè ïåðâîãî äâóõïîëþñíèêà; ä) àêòèâíàÿ ìîùíîñòü âñåé öåïè ðàâíà

ñóììå àêòèâíûõ ìîùíîñòåé äâóõïîëþñíèêîâ?

9. Êàêèå èç ïðåäûäóùèõ óòâåðæäåíèé ñïðàâåäëèâû ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíå

íèè äâóõïîëþñíèêîâ?

10. Êàæäûé èç ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûõ äâóõïîëþñíèêîâ îáëàäàåò îòëè÷íûì

îò íóëÿ àêòèâíûì è ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèÿìè. Ìîæíî ëè ïðè ðàñ÷åòå ñî

ïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè âñåé öåïè ñëîæèòü: à) àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ

äâóõïîëþñíèêîâ; á) àêòèâíûå ïðîâîäèìîñòè äâóõïîëþñíèêîâ; â) ðåàêòèâíûå

ñîïðîòèâëåíèÿ äâóõïîëþñíèêîâ; ã) ðåàêòèâíûå ïðîâîäèìîñòè äâóõïîëþñíè

êîâ?

11. (Î) Â öåïè, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûõ äâóõïîëþñíèêîâ

è èñòî÷íèêà ÝÄÑ

= 1+j Â, êîìïëåêñíîå çíà÷åíèå òîêà èñòî÷íèêà ðàâíî

= 2+j2 À. Ìîãóò ëè ýòè äâóõïîëþñíèêè ñîäåðæàòü ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Ð) Íàéäèòå êîìïëåêñíûå äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé:

à) i = 3 sin wt À; á) i =

cos wt À; â) i = 3 sin 3wt À; ã) i =

sin (wt +1)À;

ä) u = – 5 sin (wt – p)Â;å) u = 2 sin (wt + p)Â;æ) u = 2 sin (3wt – 30°) Â;

ç) u = 10 sin (wt +2p/3) Â.

2. (Ð) Íàéäèòå ñèíóñîèäàëüíûå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïëåêñàì òîêîâ è

íàïðÿæåíèé, ñ÷èòàÿ, ÷òî ÷àñòîòà èõ èçìåíåíèÿ ðàâíà f = 50 Ãö: à)

= 1+j2À;

á)

=1–j2À;â)

= –1 + j2À;ã)

= –1 – j2À;ä)

= a + jb Â; å)

Â;

æ)

= –j Â; ç)

= –3 Â; è)

= –j

À.

3. Òîêó i = I

sin (wt + j) ñîîòâåòñòâóåò êîìïëåêñíàÿ âåëè÷èíà a + jb. Îïðåäåëèòå

êîìïëåêñíûå èçîáðàæåíèÿ ïåðâîé, âòîðîé ïðîèçâîäíîé òîêà i ïî âðåìåíè.

4. Â ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ êîìïëåêñíûõ èçîáðàæåíèé êðàòíûõ èí

òåãðàëîâ îò òîêà i = I

sin (wt + j)?

5. (Ð) Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âåêòîðû

, ñâÿçàííûå ìåæ

äó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè: à)

j2p

; á)

–jp/2

; â)

; ã)

= –j

;

ä)

= 0,7(1/

+ j

/2)

; å)

; æ)

j2p/3

; ç)

jp/2

;

è)

–j3p/2

; ê)

+1;ë)

+ j.

6. Íà ðèñ. Â5.1 èçîáðàæåíû êðèâûå íàïðÿæå-

íèÿ u(t) è òîêà i(t). Çàïèøèòå ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå èì êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû

7. Òîê êàòóøêè èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,2 Ãí ðà-

âåí i

= 2 sin (314t + p/6) À. Îïðåäåëèòå íàïðÿ-

æåíèå íà êàòóøêå u

, êîìïëåêñíûå àìïëèòóä-

íûå çíà÷åíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ íà íåé.

8. Òîê êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ C = 10

–6

Ôðà

âåí i

= 0,5 sin (314t – p/3) À. Îïðåäåëèòå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå u

, êîì

ïëåêñíûå äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ íà íåì.

9. (Ð) Îïðåäåëèòå âåëè÷èíû, Z

, z

, Y

, y

, r

, x

, g

, b

äëÿ èçîáðàæåííûõ íà

ðèñ. Â5.2 äâóõïîëþñíèêîâ, ñ÷èòàÿ âåëè÷èíû w, r, L, C çàäàííûìè.

Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâå 5 289

Ðèñ. Â5.1

Ðèñ. Â5.2

10. (Ð) Êîìïëåêñ ÝÄÑ íà âõîäå öåïè ðàâåí

= 100 + j50 Â, êîìïëåêñ òîêà íà

âõîäå ýòîé öåïè

= 8+j6 À. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíû Z, z, Y, y.

11. Íà ðèñ. Â5.3 èçîáðàæåíû êðèâûå íàïðÿæåíèÿ u(t) è òîêà i(t) íà âõîäå äâóõ

ïîëþñíèêà. Àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî

10Âè5À.Îïðåäåëèòå ïàðàìåòðû Z, z, Y, y äâóõïîëþñíèêà.

12. (Ð) Â òàáëèöå óêàçàíû êîìïëåêñíûå íàïðÿæåíèÿ

íà çàæèìàõ è òîêè

íà âõîäå äâóõïîëþñíèêîâ. Ðàññ÷èòàéòå àêòèâíîå è ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèÿ

êàæäîãî äâóõïîëþñíèêà, óãîë ñäâèãà ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì íà åãî çàæè-

ìàõ. Îïðåäåëèòå õàðàêòåð ñîïðîòèâëåíèÿ äâóõïîëþñíèêà (åìêîñòíûé èëè èí-

äóêòèâíûé).

Âàðèàíò

U,B I, A

Âàðèàíò

U, B I, A

j 5–j

j 5+j

j 1+j

1–

3–

j 5+j

1–

13. (Ð) Ïîëüçóÿñü óðàâíåíèÿìè çàêîíîâ Êèðõãîôà â êîìïëåêñíîé ôîðìå, îïðå

äåëèòå òîêè è íàïðÿæåíèÿ âñåõ âåòâåé äëÿ ñõåì (ðèñ. Â5.4), ñ÷èòàÿ âåëè÷èíû r,

, x

èçâåñòíûìè. Îïðåäåëèòå íàïðÿæåíèå

, à äëÿ ñõåì á è ä íàé

äèòå òàêæå òîê

âåòâè AC.

290 Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâå 5

Ðèñ. Â5.3

Ðèñ. Â5.4

14. (Ð) Ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ àêòèâíîé ìîùíîñòè èçîáðàæåííûõ íà

ðèñ. Â5.2 äâóõïîëþñíèêîâ ïðè íàïðÿæåíèè

= (a + jb) Â íà èõ çàæèìàõ.

15. (Ð) Óêàæèòå ñõåìû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. Â5.2, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü êîòîðûõ

ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå P = rI

, ãäå I — äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà íà

âõîäå öåïè.

16. (Ð) Çàïèøèòå âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé öåïåé, ñõåìû êî

òîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. Â5.5.

17. (Ð) Äëÿ öåïåé, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. Â5.6, îïðåäåëèòå ïîêàçà-

íèÿ I

, I

àìïåðìåòðîâ A

èA

, à òàêæå U âîëüòìåòðà V ïðè r = x

= x

= 1Îì

= 10 À â ñõåìå à,

= 10 Â â ñõåìå á.

18. (Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíó x

, ïðè êîòîðîé àêòèâíàÿ ìîùíîñòü èçîáðàæåííûõ

íà ðèñ. Â5.7 ñõåì öåïåé ìàêñèìàëüíà.

19. (Ð) Èñòî÷íèê ÝÄÑ ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì Z

= r

+ jx

ïîäêëþ÷åí

ê íàãðóçêå Z

= r

+ jx

. Îïðåäåëèòå ïàðàìåòðû íàãðóçêè, ïðè êîòîðûõ åå àêòèâ

íàÿ ìîùíîñòü áóäåò ìàêñèìàëüíîé.

Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâå 5 291

Ðèñ. Â5.5

Ðèñ. Â5.6

Ðèñ. Â5.7

20. (Ð) Íà âõîäå öåïåé, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. Â5.8, äåéñòâóåò èñ

òî÷íèê òîêà

. Îïðåäåëèòå òîêè

21. (Ð) Óêàæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñ÷åòà íàïðÿæåíèé íà âñåõ ýëåìåíòàõ

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. Â5.9) è òîêîâ â íèõ ïðè çàäàííîì: à) íàïðÿæåíèè

íà

åå âõîäå; á) òîêå â îäíîì èç ýëåìåíòîâ öåïè (

, èëè

è ò. ä.). Êîìïëåêñ

íûå ñîïðîòèâëåíèÿ Z ýëåìåíòîâ öåïè çàäàíû. Ðàññ÷èòàéòå òîêè âåòâåé ïðè çà

äàííîì íàïðÿæåíèè íà âõîäå öåïè èëè òîêå îäíîé èç âåòâåé öåïè, èñïîëüçóÿ

äàííûå ñëåäóþùåé òàáëèöû.

Âàðèàíò

Ñîïðîòèâëåíèå âåòâè, Îì

Íàïðÿæå-

íèå

íà âõîäå

Íîìåð

âåòâè

Òîê âåòâè

U,B kI,A

1 1,5 – j36 –j6 j10 10 + j10 30 2 2

23–j620 –j20 j20 10 – j10 130 4 4

32–j43 –j21010+j10 120 3 5

44–j12 60 –j80 100 100 – j100 100 1 2

58–j620 –j40 –j100 100 – j100 120 5 8

68–j420 –j20 –j20 10 + j10 80 3 6

74–j4 j4–j4 j20 10 + j10 100 4 2

85–j5 j10 –j10 j10 10 – j10 80 2 4

ÇÀÄÀ×È

1. (Ð) Íàéäèòå åìêîñòü Ñ êîíäåíñàòîðà â öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà

ðèñ. Â5.10, ïðè êîòîðîé òîê I íå áóäåò çàâèñåòü îò ñîïðîòèâëåíèÿ r.

2. (Ð) Ïîëó÷èòå çàâèñèìîñòü óãëà ñäâèãà j ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè

îò ñî

ïðîòèâëåíèÿ r

â öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñ. Â5.11, ïðè èçìåíå

292 Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâå 5

Ðèñ. Â5.10

Ðèñ. Â5.9

Ðèñ. Â5.11

Ðèñ. Â5.8