Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1
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Çàäàäèìñÿ ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè êîíòóðíûõ òîêîâ
&
I
1
,
&
I
2
è
&
I
3
, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñ. 5.25 ñòðåëêàìè âíóòðè êîíòóðîâ. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè
èìååì âûðàæåíèÿ ñîáñòâåííûõ ñîïðîòèâëåíèé êîíòóðîâ:
Zr
jC
r
jC
rjL
ZrrjLr
j
11 1
1
6
6
44
22 25 56
11
1
=+ ++ ++
=++ ++
ww
w
w
;
w
w
w
wwww
C
ZrjL
jC
r jL r jL jM jM
6
33 3 3
3
4455 45 5
1
22
;
=++ ++++- -
343
2+ jMw .
 âûðàæåíèå Z
33
äâà ðàçà âõîäèò ÷ëåí – jwM
45
, òàê êàê êîíòóðíûé òîê
&
I
3
, ïðî
-
õîäÿ ïî êàòóøêå L
4
îò òî÷êè, èíäóöèðóåò ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè â êàòóøêå L
5
,
òàêæå íàïðàâëåííóþ îò òî÷êè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êîí
-
òóðà 3. Òîò æå òîê
&
I
3
, ïðîõîäÿ ïî êàòóøêå L
5
ê òî÷êå, èíäóöèðóåò ÝÄÑ âçàèì
-
íîé èíäóêöèè â êàòóøêå L
4
, íàïðàâëåííóþ ê òî÷êå êàòóøêè L
4
, à ñëåäîâàòåëüíî,
îïÿòü ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êîíòóðà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå íàïðÿæåíèÿ
jLIw
43
&
è
jLIw
53
&
, óðàâíîâåøèâàþùèå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó íà-
ïðÿæåíèþ –
2
45 3
jM Iw
&
, óðàâíîâåøèâàþùåìó ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè, ÷òî ó÷è-
òûâàåòñÿ çíàêàìè ÷ëåíîâ jwL
4
, jwL
5
è–2jwM
45
â âûðàæåíèè äëÿ Z
33
.
Òî÷íî òàê æå ðàññóæäàÿ, íàéäåì, ÷òî ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóê-
öèè îò òîêà
&
I
3
â êàòóøêàõ L
5
è L
3
ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ, è ïîýòîìó
÷ëåí 2jwM
53
èìååò çíàê «ìèíóñ»; ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè îò
òîêà
&
I
3
â êàòóøêàõ L
3
è L
4
ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ, è ïîýòîìó ÷ëåí 2jwM
43
èìååò çíàê «ïëþñ».
Îáùèå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðîâ âûðàæàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ZZ r
jC
jM
ZZ rjLjMj
12 21 6
6
45
23 32 5 5 45
1
== + +
==-- + +
w
w
ww
;
w
ww w
M
ZZ rjLjMjM
35
31 13 4 4 45 43
;
.== + - +
×ëåí jwM
45
âõîäèò â âûðàæåíèå Z
12
ñî çíàêîì «ïëþñ», òàê êàê ÝÄÑ âçàèìíîé
èíäóêöèè â êàòóøêå L
4
îò òîêà
&
I
2
, íàïðàâëåííîãî îò òî÷êè íà êàòóøêå L
5
,íà
-
ïðàâëåíà îò òî÷êè íà êàòóøêå L
4
, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñîãëàñíî ñ íàïðàâëåíèåì îá
-
õîäà êîíòóðà 1. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå ñòàâèì çíàê «ïëþñ» ïåðåä ÷ëåíàìè jwM
45
è jwM
35
â âûðàæåíèè Z
23
. Â âûðàæåíèè Z
31
÷ëåí jwM
43
òàêæå èìååò çíàê «ïëþñ»,
íî ÷ëåí jwM
45
— çíàê «ìèíóñ», òàê êàê òîê
&
I
3
â êàòóøêå L
5
íàïðàâëåí ê òî÷êå,
à ñëåäîâàòåëüíî, ê òî÷êå íà êàòóøêå L
4
, ò. å. ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êîíòó
-
ðà 1, íàïðàâëåíà è ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè.
Äëÿ ÝÄÑ
&
E
11
,
&
E
22
è
&
E
33
â êîíòóðàõ ïîëó÷àåì
&
E
11
= 0;
&&&
EEE
22 2 5
=+
;
&&&
EEE
33 3 5
=-
.
Ïðèâåäåííàÿ âûøå ìåòîäèêà ðàñ÷åòà öåïåé ïðè íàëè÷èè âçàèìíîé èíäóêòèâ
-
íîñòè ïîêàçûâàåò, ÷òî ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè ìîæíî ó÷åñòü â âèäå äîïîëíè
-
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 273
òåëüíîãî ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â k-é âåòâè îò òîêà â m-é âåòâè. Ïàäåíèÿ íàïðÿ
-
æåíèÿ â âåòâÿõ ñâÿçûâàþòñÿ ñ òîêàìè çàêîíîì Îìà â ìàòðè÷íîé ôîðìå: U = ZI.
Ïðè îòñóòñòâèè ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè ìàòðèöà Z äèàãîíàëüíà, è ïîýòîìó
èìååì
&&
UZI
kkk
=
è
&&
UZI
mmm
=
. Ïðè íàëè÷èè ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè ìû äîëæ
-
íû ó÷åñòü äîïîëíèòåëüíûå ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â k-é âåòâè â âèäå
jM I Z I
km m km m
w
&&
=
èâò-é âåòâè â âèäå
jw
MI ZI
mk k mk k
&&
=
.
Ïðè ýòîì
&& &
UZIZI
kkkkmm
=+
è
&&&
UZIZI
mmmmkk
=+
.
Äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû íàïèñàíû ñî çíàêîì «ïëþñ», òàê êàê òîêè
&
I
k
è
&
I
m
â âåò
-
âÿõ k è m íàïðàâëåíû îò òî÷åê. Ýòè äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû ìîæíî ó÷åñòü â ìàò
-
ðèöå Z, åñëè ýëåìåíòû íà ïåðåñå÷åíèè k-é ñòðîêè ñ m-ì ñòîëáöîì è ò-é ñòðîêè ñ
k-ì ñòîëáöîì ïðèíÿòü ðàâíûìè Z
km
= jwM
km
è Z
mk
= jwM
mk
.
Ìàòðèöà Z ïðè íàëè÷èè âçàèìíîé èíäóêöèè ìåæäó âåòâÿìè k è m áóäåò
èìåòü âèä
Íàëè÷èå èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìàòðè
-
öà Z ïåðåñòàåò áûòü äèàãîíàëüíîé. Îäíàêî îíà îñòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, òàê êàê
M
km
= M
mk
è ïîýòîìó Z
km
= jwM
km
= jwM
mk
= Z
mk
. Èíäóêòèâíûå ñâÿçè íèêàê íå
îòðàæàþòñÿ â ãðàôå ñõåìû, ïîýòîìó ìàòðèöû A, C, D ñîñòàâëÿþòñÿ îáû÷íûì
îáðàçîì.
Åñëè ïðîèçâåñòè ìàòðè÷íóþ îïåðàöèþ îáðàùåíèÿ ìàòðèöû ñîïðîòèâëåíèé Z,
ìîæíî ïîëó÷èòü ìàòðèöó ïðîâîäèìîñòåé Y, ãäå òàêæå ó÷èòûâàþòñÿ èíäóêòèâ
-
íûå ñâÿçè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå âñå ìåòîäû ðàñ÷åòà, à èìåííî ìåòîä êîíòóðíûõ òî
-
êîâ, ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è ìåòîä ñå÷åíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå, ìîãóò áûòü
â ðàâíîé ìåðå ïðèìåíåíû äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé ñ âçàèìíîé èíäóêöèåé.
Äëÿ öåïè (ñì. ðèñ. 5.25) ìàòðèöû Z è Y = Z
–1
ïðè íàëè÷èè âçàèìíîé èíäóê
-
öèè ìåæäó âåòâÿìè Ç è 4, 5 è 3, 5 è 4 è ïðè óñëîâèè íàïðàâëåíèÿ òîêîâ â âåòâÿõ
3, 4 è 5 îò òî÷åê áóäóò èìåòü âèä
274 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
123456
1 Z
1
2
Z
2
Z
34
= Z
43
= jwM
34
;
Z =
3
Z
3
Z
34
Z
35
;
Z
35
= Z
53
= jwM
35
;
4
Z
43
Z
4
Z
45
Z
45
= Z
54
= jwM
45
5
Z
53
Z
54
Z
5
6
Z
6
123456 m
1 Y
1
Z
3
Z
34
Z
35
2 Y
2
Z
43
Z
4
Z
45
k
Y =
3 Y
3
Y
34
Y
35
; Y
km
= (–1)
k+m
Z
53
Z
54
Z
5
,
4 Y
43
Y
4
Y
45
Z
3
Z
34
Z
35
5 Y
53
Y
54
Y
5
Z
43
Z
4
Z
45
6 Y
6
Z
53
Z
54
Z
5
ãäå Y
1
= 1/Z
1
; Y
2
= 1/Z
2
; ...; Y
6
= 1/Z
6.
5.19. Òðàíñôîðìàòîðû ñ ëèíåéíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.
Èäåàëüíûé òðàíñôîðìàòîð
Îäíèì èç âàæíåéøèõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, â êîòîðîì ñïåöèàëüíî
èñïîëüçóþòñÿ ñâîéñòâà ìàãíèòíî-ñâÿçàííûõ êîíòóðîâ, ÿâëÿåòñÿ ñòàòè÷åñêîå
óñòðîéñòâî äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ çíà÷åíèé òîêà è íàïðÿæåíèÿ, íàçûâàåìîå
òðàíñôîðìàòîðîì.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå òðàíñôîðìàòîð ñîñòîèò èç äâóõ
ýëåêòðè÷åñêè íå ñîåäèíåííûõ è íåïîäâèæíûõ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà êàòóøåê,
íàçûâàåìûõ îáìîòêàìè òðàíñôîðìàòîðà, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ïîòîêîì âçà
-
èìíîé èíäóêöèè. Åñëè îáìîòêè òðàíñôîðìàòîðà íàìîòàíû íà ôåððîìàãíèòíûé
ñåðäå÷íèê, òî ñâîéñòâà òàêîãî òðàíñôîðìàòîðà áóäóò íåëèíåéíûìè. Ïðîöåññû â
òðàíñôîðìàòîðàõ ñ ôåððîìàãíèòíûìè ñåðäå÷íèêàìè áóäóò ðàññìîòðåíû â ò. III.
Çäåñü áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôåððîìàãíèòíûå ñåðäå÷íèêè îòñóòñòâóþò. Óñëîâ
-
íî íàçîâåì òàêîé òðàíñôîðìàòîð ëèíåéíûì, òàê êàê ïðîöåññû â íåì îïèñûâàþò
-
ñÿ ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè, ò. å. îí îáëàäàåò ëèíåéíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 275
Ïóñòü ê çàæèìàì îäíîé îáìîòêè òðàíñôîðìàòîðà, êî
-
òîðóþ íàçîâåì ïåðâè÷íîé, ïðèëîæåíà ÝÄÑ e
1
, à ê çàæè
-
ìàì äðóãîé îáìîòêè — âòîðè÷íîé — ïðèñîåäèíåí ïðè
-
åìíèê (ðèñ. 5.26). Êàê è ïðåæäå, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
êîýôôèöèåíò âçàèìíîé èíäóêöèè M çàäàí ïî âåëè÷èíå
è çíàêó äëÿ ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 5.26 ñèñòåìû òî÷åê.
Îáîçíà÷èì àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ îáìîòîê r
1
è r
2
, à èõ èíäóêòèâíîñòè L
1
è L
2
.
Ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà èìååì
uriL
di
dt
M
di
dt
M
di
dt
ri L
di
dt
u
111 1
12 1
22 2
2
2
=+ + - = + +;.
Åñëè íàïðÿæåíèå u
1
ñèíóñîèäàëüíî, òî ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ñèíó
-
ñîèäàëüíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè áóäóò òàêæå i
1
, i
2
è u
2
, è óðàâíåíèÿ òðàíñôîð
-
ìàòîðà ìîæíî çàïèñàòü â êîìïëåêñíîé ôîðìå:
&& & &
;
&& &&
UrIjLIjMI jMIrI jLIU
111 11 2 1 22 22 2
=+ + - = + +ww w w .
Åñëè èçâåñòíû
&
U
1
, ïàðàìåòðû òðàíñôîðìàòîðà è ïðèåìíèêà Z
ïð
=
&&
UI
22
, òî,
ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, ìîæíî íàéòè òîêè
&
I
1
,
&
I
2
è íàïðÿæåíèå
&
U
2
. Ìîæíî òàêæå ïî
çàäàííûì çíà÷åíèÿì
&
U
2
è
&
I
2
è ïàðàìåòðàì òðàíñôîðìàòîðà íàéòè
&
U
1
è
&
I
1
.
Ïðè èçâåñòíîì Z
ïð
= r
ïð
+ jx
ïð
è çàäàííîì
&
U
1
íàéäåì òîê
&
I
1
. Ïðèíÿâ
wwLxrr r Lx x
112 2
=+= +=;; ,
ïð ïðII II
èìååì
&
()
&&
;
&
()
&
,U r jx I j MI j MI r jx I
11 11 2 1 2
=+ + - =+ww
II II
îòêóäà
&
()
&&
U r jx I
M
rjx
I
11 11
22
1
=+ +
+
w
II II
è, ñëåäîâàòåëüíî,
&
&
I
U
r
M
rx
rjx
M
rx
1
1
1
22
1
22
=
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+-
+
ww
II
2
II
2
II
II
2
II
2
II
x
U
Z
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
&
.
1
âõ
Âåëè÷èíà Z
âõ
= r + jx ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìïëåêñíîå âõîäíîå (ýêâèâàëåíò
-
íîå) ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè, ñîñòîÿùåé èç òðàíñôîðìàòîðà è ïðèåìíèêà. Èç
åãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè Z
ïð
¹¥ýêâèâàëåíòíîå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå r
áîëüøå r
1
. Óâåëè÷åíèå ýêâèâàëåíòíîãî àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñâÿçàíî ñ òåì
îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî íåîáðàòèìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè âî âòîðè÷íîì êîí
-
òóðå ïðîèñõîäÿò çà ñ÷åò ýíåðãèè, ïåðåäàâàåìîé îò ïåðâîãî êîíòóðà, ãäå èìååòñÿ
èñòî÷íèê ýíåðãèè, âî âòîðîé êîíòóð, ãäå íåò òàêîãî èñòî÷íèêà. Ïîñêîëüêó äëÿ
çàäàííîãî çíà÷åíèÿ òîêà àêòèâíàÿ ìîùíîñòü, îïðåäåëÿþùàÿ íåîáðàòèìûå ïðå
-
îáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè, ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà àêòèâíîìó ñîïðîòèâëåíèþ, òî
ïîãëîùåíèå ýíåðãèè âî âòîðîì êîíòóðå ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ýêâèâàëåíòíîãî
àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ âñåé öåïè.
276 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 5.26
Ýêâèâàëåíòíîå ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå x ìîæåò áûòü áîëüøå x
1
, åñëè x
II
<0,
è ìåíüøå x
1
, åñëè x
II
> 0. ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè âî âòîðè÷íîì êîíòóðå îòñòàåò
ïî ôàçå îò ïîòîêà âçàèìíîé èíäóêöèè, à ñëåäîâàòåëüíî, ïðè M >0èîòòîêà
&
I
1
íà óãîë p/2. Ïðè èíäóêòèâíîì õàðàêòåðå öåïè âòîðîãî êîíòóðà (x
II
>0)òîê
&
I
2
â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå áóäåò îòñòàâàòü îò ýòîé ÝÄÑ íà óãîë p/2 è, ñëåäîâàòåëüíî,
îêàæåòñÿ â ïðîòèâîôàçå ñ òîêîì
&
I
1
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê, îáóñëîâ
-
ëåííûé òîêîì
&
I
2
, íàïðàâëåí ïðîòèâ ìàãíèòíîãî ïîòîêà, îáóñëîâëåííîãî òîêîì
&
I
1
,
÷òî ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà â ïåðâîì êîíòóðå, è ýòî ýêâèâà
-
ëåíòíî óìåíüøåíèþ ðåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïåðâîãî êîíòóðà.
Äðóãàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ, åñëè x
II
< 0. Ïðè ýòîì òîê âî âòîðè÷íîé îáìîòêå
èìååò åìêîñòíûé õàðàêòåð è â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ìîæåò îïåðåæàòü ÝÄÑ âçàèì
-
íîé èíäóêöèè íà óãîë p/2, ò. å. ñîâïàäàòü ïî ôàçå ñ òîêîì
&
I
1
. Ïðè ýòîì ìàãíèòíûå
ïîòîêè ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè áóäóò òàêæå ñîâïàäàþùèìè, ÷òî
ðàâíîñèëüíî óâåëè÷åíèþ ýêâèâàëåíòíîãî ðåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.
Ïîëàãàÿ
rr rxx x=+ = +
11
DD;,
èìååì
DDr
M
rx
rx
M
rx
x=
+
=-
+
ww
22 22
II
2
II
2
II
II
2
II
2
II
;,
ïðè÷åì Dr è Dx íàçûâàþò, ñîîòâåòñòâåííî, âíîñèìûìè àêòèâíûì è ðå-
àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèÿìè.
Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèÿ òðàíñôîðìàòîðà â âèäå
&&
()
&
(
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);
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(
UrIjLMIjMII
rI j L M
111 1 1 1 2
22 2
0
=+ - + +
=+ -
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w )
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(
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)
&
.IjMII ZI
2122
+++w
ïð
Ñõåìà öåïè, äëÿ êîòîðîé äàííàÿ ñèñòåìà óðàâ
-
íåíèé ñïðàâåäëèâà, ïîêàçàíà íà ðèñ. 5.27. Ïîñêîëü
-
êó â ýòîé öåïè òîêè
&
I
1
,
&
I
2
è íàïðÿæåíèÿ
&
U
1
,
&
U
2
ðàâ
-
íû òàêîâûì â òðàíñôîðìàòîðå, ýòà ñõåìà ÿâëÿåòñÿ
ýêâèâàëåíòíîé ñõåìîé òðàíñôîðìàòîðà. Åñëè M
ëåæèò ìåæäó L
2
è L
1
,òîèëèL
1
– M, èëè L
2
– M áó
-
äåò îòðèöàòåëüíî. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðåäñòàâëÿ
-
åò èíòåðåñ, òàê êàê ïðè íåêîòîðûõ çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ ñèíòåçîì ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïåé, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðåàëèçàöèè îòðèöàòåëüíîé èíäóêòèâíîñòè â
ñî÷åòàíèè ñ ïîëîæèòåëüíûìè èíäóêòèâíîñòÿìè, ñîåäèíåííûìè, êàê ïîêàçàíî
íà ñõåìå (ðèñ. 5.27).
Ìåòîä çàìåíû äåéñòâèòåëüíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êîòîðîé îòäåëüíûå
êîíòóðû ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç âçàèìíóþ èíäóêòèâíîñòü, ýêâèâàëåíòíîé
åé ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ, â êîòîðîé âñå êîíòóðû ýëåêòðè÷åñêè ñâÿçàíû äðóã
ñ äðóãîì, à âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü ìåæäó êîíòóðàìè ó÷òåíà â ïàðàìåòðàõ îò
-
äåëüíûõ öåïåé (íàïðèìåð, ðèñ. 5.27), íàõîäèò ïðèìåíåíèå â ïðàêòèêå ðàñ÷åòà
öåïåé.
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 277
Ðèñ. 5.27
Ñòåïåíü ìàãíèòíîé ñâÿçè êîíòóðîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé
k
M
LL
=
12
,
êîòîðàÿ íîñèò íàçâàíèå êîýôôèöèåíòà ñâÿçè. Ïîêàæåì, ÷òî âî âñåõ ðå
-
àëüíûõ ñëó÷àÿõ k ìåíüøå åäèíèöû. Ïóñòü àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå âòîðè÷íîãî
êîíòóðà ðàâíî íóëþ è ýòîò êîíòóð çàìêíóò íàêîðîòêî, ò. å. r
2
= 0èZ
ïð
= 0. Ïðè
ýòîì
r
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= 0; x
II
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M
L
2
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M
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M
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ç
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1
(1 — k
2
) =wL
ý
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ý
äîëæíà áûòü ïîëîæèòåëüíîé, òàê êàê ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
W
ì
=
1
2
1
2
i
L
ý
ïîëîæèòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, òîëüêî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà
ïåðâè÷íûé è âòîðè÷íûé êîíòóðû ðàñïîëîæåíû ñòîëü áëèçêî, ÷òî ïîòîê âçàèì-
íîé èíäóêöèè è ïîòîê ñàìîèíäóêöèè â ïåðâè÷íîé öåïè âçàèìíî êîìïåíñèðóþò-
ñÿ, âåëè÷èíà k ïðèáëèæàåòñÿ ê åäèíèöå.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñîáåííûå ñâîéñòâà òðàíñôîðìàòîðîâ â ïðåäåëüíûõ
èäåàëèçèðîâàííûõ ñëó÷àÿõ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
rr k
M
LL
12
12
01== = =è.
Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ òðàíñôîðìàòîðà çàïèøóòñÿ â âèäå
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è
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.
w
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïðè k = 1 èìååì M – L
1
L
2
/M = 0(M = L
1
L
2
/M), è òîãäà,
îáîçíà÷àÿ c = L
1
/M, ïîëó÷èì
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&
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11
=- =- - = -
ww
Òðàíñôîðìàòîð, äëÿ êîòîðîãî ñîáëþäàåòñÿ óñëîâèå U
1
/ U
2
= c ïðè ëþáîé íà
-
ãðóçêå, íàçîâåì ñîâåðøåííûì òðàíñôîðìàòîðîì.
Åñëè, êðîìå âûøåóêàçàííûõ óñëîâèé, ïðèíÿòü, ÷òî L
1
= ¥ (ïðàêòè÷åñêè L
1
äîëæíî èìåòü äîñòàòî÷íî áîëüøîå çíà÷åíèå, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü
278 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
òîêîì U
1
/(wL
1
) ïî ñðàâíåíèþ ñ òîêîì
1
2
c
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&
), òî ìåæäó òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè
èìåëè áû ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
&&& &
.UcU I
c
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1
=- =-è
Òðàíñôîðìàòîð, äëÿ êîòîðîãî ñîáëþäàþòñÿ ýòè óñëîâèÿ, íàçîâåì èäåàëü
-
íûì òðàíñôîðìàòîðîì. Òàêîé òðàíñôîðìàòîð äåéñòâèòåëüíî îáëàäàåò
ñâîéñòâîì èçìåíÿòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ,
âêëþ÷åííîãî âî âòîðè÷íûé êîíòóð, â îïðåäåëåííîå ÷èñëî ðàç. Äëÿ èäåàëüíîãî
òðàíñôîðìàòîðà ïîëó÷èì
&
&
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,
U
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2
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-
-
=
âõ ïð
îòêóäà âèäíî, ÷òî ïðè ïîìîùè èäåàëüíîãî
òðàíñôîðìàòîðà ìîæíî ïðîèçâåñòè òàêæå è
èçìåíåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ â îïðåäåëåííîå
÷èñëî ðàç, íå çàâèñÿùåå îò õàðàêòåðà ýòîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îñî-
áåííî âàæíî äëÿ ðàöèîíàëüíîãî êîíñòðóè-
ðîâàíèÿ îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷å-
ñêèõ öåïåé, íàïðèìåð äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ
îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ öåïåé ïî èõ ñîïðîòèâ-
ëåíèÿì.
Ñîâåðøåííûé òðàíñôîðìàòîð ìîæíî
ïîëó÷èòü, ïðèñîåäèíèâ ê çàæèìàì èäåàëü-
íîãî òðàíñôîðìàòîðà èíäóêòèâíîñòè ïî ñõåìàì íà ðèñ. 5.28. Ðåàëüíûé òðàíñ
-
ôîðìàòîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ïðè ïîìîùè èäåàëüíîãî òðàíñôîðìàòîðà è
äîïîëíèòåëüíûõ èíäóêòèâíîñòåé è àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé, ó÷èòûâàþùèõ íà
-
ëè÷èå ñîïðîòèâëåíèé r
1
è r
2
è îáìîòîê, à òàêæå óñëîâèå k < 1 (ðèñ. 5.28)
Ñâîéñòâàìè, áëèçêèìè ê ñâîéñòâàì èäåàëüíîãî è ñîâåðøåííîãî òðàíñôîðìà
-
òîðîâ, îáëàäàþò òðàíñôîðìàòîðû ñ ôåððîìàãíèòíûìè ñåðäå÷íèêàìè, ñ äîñòà
-
òî÷íî áîëüøèì ÷èñëîì âèòêîâ è ñ áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ ôåððî
-
ìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà.
5.20. Öåïè, ñâÿçàííûå ÷åðåç ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
Îòäåëüíûå ÷àñòè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû òàêæå ïðè ïîìîùè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Òàêóþ ñâÿçü íàçûâàþò åìêîñòíîé. Àíàëîãè÷íî ìàãíèòíîé
ñâÿçè ñòåïåíü åìêîñòíîé ñâÿçè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êîýôôèöèåíòîì ñâÿ
-
çè k
C
, îïðåäåëÿåìûì çíà÷åíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ åìêîñòíûõ ñîïðîòèâëåíèé.
Äëÿ êîýôôèöèåíòà ñâÿçè â èíäóêòèâíî-ñâÿçàííûõ êîíòóðàõ èìååì
k
M
LL
M
LL
L
LL
L
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12
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=|M |. Ïîýòîìó, îïðåäåëèâ àíàëîãè÷íî è k
C
, ïîëó÷èì
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 279
Ðèñ. 5.28
k
CCC
CC
C
C
==
111
12 1 2
12
12
www
.
Êàê è ìàãíèòíîñâÿçàííûå êîíòóðû, êîíòóðû, ñâÿçàííûå òîëü
-
êî ïðè ïîìîùè îáùåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû (ðèñ. 5.29), ðàñ÷åò òîêîâ â êîòîðîé
ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî âñåì èçëîæåííûì ðàíåå ìåòîäàì.
5.21. Áàëàíñ ìîùíîñòåé â ñëîæíîé öåïè
Áàëàíñ ìîùíîñòåé â ïðèåìíèêàõ è èñòî÷íèêàõ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè äî
-
êàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ëàíæåâåíà. Ýòà òåîðåìà ðåøàåò âîïðîñ î ðàâåíñòâå ñóììû
ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé âñåõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, èìåþùèõñÿ â ñêîëü óãîäíî
ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñóììå ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé ïðèåìíèêîâ â ýòîé
öåïè. Ïîïóòíî ðåøàåòñÿ è âîïðîñ î ðàâåíñòâå ñîîòâåòñòâóþùèõ àêòèâíûõ ìîù
-
íîñòåé, êîòîðîå, âîîáùå ãîâîðÿ, âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè.
Äëÿ ëþáîé öåïè ïðè çàïèñè óðàâíåíèé ïî ìåòîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èìååì
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Ïåðåìíîæàÿ ìàòðèöó ïðîâîäèìîñòè íà ìàòðèöó-ñòîëáåö óçëîâûõ íàïðÿæå-
íèé, ïîëó÷èì âûðàæåíèå, â êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû-ñòîëáöà ñëåâà îò
çíàêà ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó òîêîâ â âåòâÿõ (â ïðèåìíèêàõ), ñõî-
äÿùèõñÿ ê óçëó, íîìåð êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó èíäåêñó ó òîêà. Êàæäûé
ýëåìåíò â ìàòðèöå ñïðàâà åñòü ñóììà òîêîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ èñòî÷íèêîâ òîêà:
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Ïîñëå âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè ïåðåìíîæåíèÿ ïîëó÷èì ñëåâà è ñïðàâà ÷ëåíû
âèäà
280 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 5.29
UI UI U U
iijjji iijjji00 0 0
** * *
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Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
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USS
ij ij ij k
***
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Á= =
åñòü êîìïëåêñíàÿ
ìîùíîñòü èñòî÷íèêà, òàêæå ïîäêëþ÷åííîãî ê óçëàì i è j.
Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî
SS PP QQ
kk kk k k
**
,
åå åå åå
=
¢
=
¢
=
¢
èëè è
ãäå
PQ
kk
è
åå
— ñóììà àêòèâíûõ è ñóììà ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé âñåõ èñòî÷
-
íèêîâ ýíåðãèè, èìåþùèõñÿ â öåïè, à
¢¢
åå
PQ
kk
è
— ñóììà àêòèâíûõ è ñóììà
ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé âñåõ ïðèåìíèêîâ. Ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà è âûðàæàþò
òåîðåìó Ëàíæåâåíà.
Äëÿ êàæäîãî ïðèåìíèêà ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
¢
=
¢
=-PIr QIL
I
C
kkk kkk
k
k
22
2
è w
w
.
Ïîýòîìó äëÿ êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè âñåé öåïè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
&
.
¢
=+ +
åå å å
SIrjIL
j
I
C
kkk kk
k
k
22
2
1
w
w
5.22. Ðàñ÷åò ñëîæíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå
Ðàñ÷åò ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èñòî÷íèêîâ ñ ïîñòîÿí-
íûìè âî âðåìåíè ÝÄÑ è òîêàìè â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ìîæíî ïðîèçâîäèòü,
èñïîëüçóÿ âñå èçëîæåííûå âûøå ìåòîäû ðàñ÷åòà ñëîæíûõ öåïåé ïðè ñèíóñîè
-
äàëüíûõ ÝÄÑ è òîêàõ. Îñîáåííîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ðåàëüíûõ èíäóê
-
òèâíûõ êàòóøêàõ ó÷èòûâàþòñÿ òîëüêî àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ èõ îáìîòîê, à â
ðåàëüíûõ êîíäåíñàòîðàõ — òîëüêî èõ ïðîâîäèìîñòè óòå÷êè. Åñëè ðå÷ü èäåò î
ðàñ÷åòå öåïè, óæå ïðåäñòàâëåííîé â âèäå ýêâèâàëåíòíîé ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû,
â êîòîðîé ó÷àñòêè ñ L è C íå îáëàäàþò ïîòåðÿìè, à ñîïðîòèâëåíèÿ îáìîòîê êàòó
-
øåê è ïðîâîäèìîñòè óòå÷êè êîíäåíñàòîðîâ âûíåñåíû â îòäåëüíûå ó÷àñòêè, òî
ó÷àñòêè ñ L ñëåäóåò ñ÷èòàòü êîðîòêîçàìêíóòûìè, à ó÷àñòêè ñ C — ðàçîìêíóòûìè.
Ýòî âûòåêàåò ôîðìàëüíî èç âûðàæåíèé äëÿ ñîïðîòèâëåíèé x
L
è x
C
ïðè w
®
0.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè w=0 èìååì x
L
=wL = 0, x
Ñ
= 1/(wC) = ¥. Ôèçè÷åñêè ýòî ñâÿ
-
çàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ïîñòîÿííîì òîêå â êàòóøêàõ íå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ ñàìîèí
-
äóêöèè è ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íà çàæèìàõ èäåàëüíûõ êîíäåíñàòîðîâ
òîê ÷åðåç íèõ íå ïðîõîäèò.
Àíàëîãè÷íî ïðè ðàñ÷åòå öåïåé ñ èíäóêòèâíûìè ñâÿçÿìè ïðè ïîñòîÿííîì
òîêå îòñóòñòâóþò ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè. Ýòî ôîðìàëüíî ó÷èòûâàåòñÿ òåì,
÷òî ÷ëåíû ñ ìíîæèòåëÿìè wM ðàâíû íóëþ ïðè w=0.
Åñòåñòâåííî, ðàñ÷åò öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðîñòûì, ÷åì
ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ, òàê êàê âìåñòî êîìïëåêñíûõ âåëè÷èí â óðàâíåíèÿ
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 281
áóäóò âõîäèòü âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíå
-
íèé íàäî ñîáëþäàòü âñå ïðàâèëà çíàêîâ.
 îñîáîì ñëó÷àå, êîãäà â ñõåìå öåïè âî âñåõ âåòâÿõ âêëþ÷åíû èäåàëüíûå êîí
-
äåíñàòîðû, ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ òîê â òàêîé öåïè ðàâåí íóëþ è ìîæåò
ñòîÿòü âîïðîñ òîëüêî îá îòûñêàíèè ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèÿ ïî êîíäåíñàòî
-
ðàì öåïè.  òàêîì èäåàëèçèðîâàííîì ñëó÷àå â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äî íà÷àëà
äåéñòâèÿ ÝÄÑ âñå êîíäåíñàòîðû áûëè ðàçðÿæåíû, ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ
ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ áóäåò òàêèì æå, êàê ðàñïðåäåëåíèå ñèíóñîè
-
äàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ â àíàëîãè÷íîé ñõåìå, íî ñîäåðæàùåé âî âñåõ âåòâÿõ òîëüêî
èäåàëüíûå êîíäåíñàòîðû, åñëè â íåé äåéñòâóþò ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, ðàâíûå ïî
äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ çàäàííûì ïîñòîÿííûì ÝÄÑ è íàõîäÿùèåñÿ äðóã ñ äðó
-
ãîì â ôàçå.
 ðåàëüíûõ öåïÿõ âñå êîíäåíñàòîðû îáëàäàþò êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòüþ
óòå÷êè. Ïîýòîìó ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííûõ ÝÄÑ óñòàíîâèâøèåñÿ íàïðÿæåíèÿ
íà êîíäåíñàòîðàõ áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè èõ óòå÷åê è ñîïðîòèâëå
-
íèÿìè îñòàëüíûõ ó÷àñòêîâ ñõåìû. Çíà÷åíèÿ åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ ïðè ýòîì íà
ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ íå îêàçûâàþò íèêàêîãî âëèÿíèÿ. Ïîñëåäíåå ñîîò-
âåòñòâóåò ñäåëàííîìó âûøå óêàçàíèþ, ÷òî â ýêâèâàëåíòíîé ñõåìå ó÷àñòêè ñ èäå-
àëüíûìè êîíäåíñàòîðàìè ïðè ðàñ÷åòå äîëæíû áûòü ðàçîìêíóòû.
5.23. Ïðîáëåìû ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ
ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
 ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàëèñü íå ñòîëüêî ìåòîäû, ïî-
çâîëÿþùèå ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è, ñêîëüêî ìåòîäû ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû
óðàâíåíèé öåïè. Äëÿ âûïîëíåíèÿ àíàëèçà ïðîöåññîâ â öåïè ýòà ñèñòåìà äîëæíà
áûòü ðåøåíà îòíîñèòåëüíî âûäåëåííûõ èñêîìûõ âåëè÷èí (èíîãäà ãîâîðÿò — èñ-
êîìûõ ïåðåìåííûõ).
 ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå òàêîå ðåøåíèå ñâîäèòñÿ ê îáðàùåíèþ ìàòðèö, ò. å.
ê íàõîæäåíèþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé èëè ìàòðèöû
ïðîâîäèìîñòåé ñå÷åíèé è èõ q – 1 àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé èëè æå ê íàõîæ
-
äåíèþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé è åãî n àëãåáðàè÷åñêèõ
äîïîëíåíèé. Ïðè âûñîêîì ïîðÿäêå ýòèõ ìàòðèö òàêîå îáðàùåíèå ñâÿçàíî ñ
áîëüøèì ÷èñëîì âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé
Êðàìåðà, ñîãëàñíî êîòîðîé çàïèñàíû âûðàæåíèÿ äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ è óçëî
-
âûõ íàïðÿæåíèé â § 5.11 è 5.12, ò. å. íåïîñðåäñòâåííî ðàñêðûòü îïðåäåëèòåëè
ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ñ m íåèçâåñòíûìè, òî ïîòðåáóåòñÿ âûïîëíèòü ïîðÿäêà m×m!
àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. Óæå äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ m = 15 ÷èñëî îïåðàöèé
äîñòèãàåò 2×10
13
. È äàæå èñïîëüçîâàíèå ìîùíîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû, êî
-
òîðàÿ ìîæåò âûïîëíèòü 10
9
îïåðàöèé â ñåêóíäó, âðåìÿ ðåøåíèÿ çàòÿíåòñÿ íà
2×10
4
ñ = 5,5 ÷. Ýòèìè ôîðìóëàìè èìååò ñìûñë ïîëüçîâàòüñÿ, åñëè m < 10. Ïî
ýòîé ïðè÷èíå ñèñòåìó óðàâíåíèé ðåøàþò ãëàâíûì îáðàçîì ìåòîäîì èñêëþ
-
÷åíèÿ ïî Ãàóññó (èëè åãî ðàçíîâèäíîñòÿìè). Ýòîò ìåòîä òðåáóåò âûïîëíåíèÿ
ìåíüøåãî ÷èñëà îïåðàöèé — ïîðÿäêà 2m
3
. Îäíàêî è òàêîé ñïîñîá ðåøåíèÿ èìååò
ñìûñë ïðèìåíÿòü ïðè m < 10 000, òàê êàê óæå äëÿ m = 10 000 ÷èñëî îïåðàöèé
ðàâíî 2×10
12
, è âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà ñ ïðîèçâîäèòåëüíîñòüþ 10
9
îïåðàöèé â
ñåêóíäó òàêèå çàäà÷è áóäåò ðåøàòü â òå÷åíèå 33 ìèí. Ìåòîä íåïîñðåäñòâåííîãî
282 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé