Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 1
Подождите немного. Документ загружается.
5. (Ð) Ïàðàìåòðû èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â4.21 ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè ÷àñòî
-
òå w=w
0
íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå òàêîâû, ÷òî r
@
x
L
@
x
C
. Ñîñòàâüòå ñõåìû çàìåùåíèÿ
ýòèõ öåïåé ïðè w >> w
0
; w << w
0
.
6. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû öåïåé, ñõåìû çàìåùåíèÿ êîòîðûõ ñëåäóåò èçìåíÿòü ïðè
èçìåíåíèè ÷àñòîòû íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå.
ÇÀÄÀ×È
1. (Ð) Íà ðèñ. Â4.22 èçîáðàæåíû äâå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè. Óêàæèòå äèàïàçîí èç-
ìåíåíèÿ ÷àñòîòû w òîêà, ïðè êîòîðîì ýòè öåïè ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïî-
ñëåäîâàòåëüíûå rL-öåïè.
2. Èçâåñòíû ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïðèëîæåííî-
ãî ê öåïè íàïðÿæåíèÿ U
ð
, ðåàêòèâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
òîêà öåïè I
ð
, àêòèâíàÿ ìîùíîñòü Ð, ïîòðåáëÿåìàÿ
öåïüþ. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñëå-
äóþùèõ âåëè÷èí: cos j, r, x, z, à òàêæå àêòèâíûõ
ñîñòàâëÿþùèõ òîêà è íàïðÿæåíèÿ.
3. (Ð) Öåïü ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷íèêà ñèíóñîèäàëü
-
íîé ÝÄÑ, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå êîòîðîé ðàâíî Å, è äâóõïîëþñíèêà, ýêâèâà
-
ëåíòíûå àêòèâíîå è ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû, ñîîòâåòñòâåí
-
íî, r
ý
è x
ý
. Îïðåäåëèòå àêòèâíóþ I
à
è ðåàêòèâíóþ I
ð
ñîñòàâëÿþùèå òîêà äâóõïî
-
ëþñíèêà.
Âîïðîñû, óïðàæíåíèÿ, çàäà÷è ê ãëàâàì3è4 223
Ðèñ. Â4.21
Ðèñ. Â4.22
Ãëàâà ïÿòàÿ
Ìåòîäû ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ïðè óñòàíîâèâøèõñÿ ñèíóñîèäàëüíîì
è ïîñòîÿííîì òîêàõ
5.1. Êîìïëåêñíûé ìåòîä
 íàñòîÿùåé ãëàâå ðàññìîòðèì ìåòîäû ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ â ëè
-
íåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, êîãäà ÝÄÑ, òîêè è íàïðÿæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñèíóñî
-
èäàëüíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Êàê áûëî îòìå÷åíî ðàíåå, îïðåäåëåíèå òîêîâ è
íàïðÿæåíèé â òàêèõ öåïÿõ ñâÿçàíî ñ íàõîæäåíèåì ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåîäíîðîä
-
íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ íà îñíîâå çàêîíîâ Êèðõãîôà.
Âû÷èñëåíèå íåïîñðåäñòâåííî ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà íåêîòîðîãî òîêà
ïî äðóãèì óæå íàéäåííûì òîêàì, ñõîäÿùèìñÿ ê äàííîìó óçëó öåïè, èëè âû÷èñ
-
ëåíèå ïî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå
êîíòóðà öåïè ïî óæå íàéäåííûì ïàäåíèÿì íàïðÿæåíèÿ íà äðóãèõ ó÷àñòêàõ êîí-
òóðà è ÝÄÑ, âõîäÿùèì â äàííûé êîíòóð öåïè, òðåáóþò ñóììèðîâàíèÿ ñèíóñîè-
äàëüíûõ òîêîâ èëè íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ. Îäíàêî ýòà îïåðàöèÿ ñâÿçàíà ñ ãðîìîçä-
êèìè è òðóäîåìêèìè âû÷èñëåíèÿìè.
Ãðîìîçäêîñòü ïîäîáíûõ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ñèíóñîè-
äàëüíàÿ âåëè÷èíà — òîê, íàïðÿæåíèå, ÝÄÑ — ïðè çàäàííîé ÷àñòîòå w îïðåäåëÿ-
åòñÿ äâóìÿ âåëè÷èíàìè — àìïëèòóäîé è íà÷àëüíîé ôàçîé.
Ñóùåñòâåííîå óïðîùåíèå äîñòèãàåòñÿ èçîáðàæåíèåì ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíê-
öèé âðåìåíè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè
&
A
, òàê êàê êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî ñî-
äåðæèò â ñåáå äâå âåëè÷èíû — ìîäóëü A è àðãóìåíò y
A
ïðè ïîêàçàòåëüíîé
ôîðìå çàïèñè
&
AAe
j
A
=
y
èëèâåùåñòâåííóþ a
1
= A cos y
A
èìíèìóþ ja
2
= jA sin y
A
ñîñòàâëÿþùèå
ïðè àëãåáðàè÷åñêîé è òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìàõ çàïèñè
&
cos sin ,A a ja A jA
AA
=+ = +
12
yy
ãäå j =
-1
è e — îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ.
Ìåòîä, îñíîâàííûé íà ñèìâîëè÷åñêîì èçîáðàæåíèè äåéñòâèòåëüíûõ ñèíó
-
ñîèäàëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ââåäåííûé â òåîðèþ
ïåðåìåííûõ òîêîâ Øòåéíìåöîì, à çàòåì â øèðîêîå óïîòðåáëåíèå â Ðîññèè àêà
-
äåìèêîì Â. Ô. Ìèòêåâè÷åì, áóäåì íàçûâàòü êîìïëåêñíûì ìåòîäîì.Åãî
íàçûâàþò òàêæå ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì,òàêêàêîíîñíîâàí íà ñèìâî
-
ëè÷åñêîì èçîáðàæåíèè äåéñòâèòåëüíûõ ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè
êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
Äëÿ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà óïîòðåáëÿþò òàêæå
îáîçíà÷åíèÿ a
1
= Re (
&
A
), a
2
= Im (
&
A
).
Ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå î÷åâèäíûå ñâÿçè:
aAA a AA Aaa
AAA12 1
2
2
2
== == =+ =Re(
&
)cos; Im(
&
)sin; ;yyyarctg
a
a
2
1
.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî
je
j
je j
jj
==-= =-
-
pp
22
2
1
1;;.
Äâå êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàâíûå ìîäóëè è ðàâíûå, íî ïðîòèâî
-
ïîëîæíûå ïî çíàêó àðãóìåíòû, íàçûâàþò ñîïðÿæåííûìè.Åñëè èìååì êîì
-
ïëåêñíîå ÷èñëî
&
AAe
j
A
=
y
= a
1
+ ja
2
, òî ñîïðÿæåííîå åìó êîìïëåêñíîå ÷èñëî çàïè
-
øåòñÿ â ôîðìå
AAe
j
A
*
-
=
y
= a
1
– ja
2
. Âàæíî îòìåòèòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà
ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
&
;
Re (
&
)(
&
); Im (
&
)(
&
AA Ae Ae A
AAA A
j
A
jj
AA
*
-
*
==
=+ =
yy
2
1
2
1
2
-
*
A).
Ïóñòü èìååòñÿ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèéñÿ òîê i = I
m
sin (wt + y
i
). Åãî ìîæ
-
íî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå
() ()
iI t
j
Ie I e I
mim
jt
m
jt
i
z
z
i
=+= -
é
ë
ê
ù
û
ú
=
+-+
sin( ) Imwy
wy wy
1
2
()
m
jt
e
i
wy+
é
ë
ê
ù
û
ú
,
÷òî âèäíî òàêæå èç ñîîòíîøåíèÿ
()
I e I t jI t
m
jt
mimi
i
wy
wy wy
+
=++ +cos( ) sin( ).
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî
()
Ie Ie e Ie
m
jt
m
j
jt
m
jt
i
i
wy
y
ww
+
==
&
è áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ñèìâîëè÷åñêîå èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ñèíó-
ñîèäàëüíîãî òîêà i = I
m
sin (wt + y
i
); îíî, òàê æå êàê è âåëè÷èíà i, îïðåäåëÿåòñÿ
ïðè çàäàííîé ÷àñòîòå w äâóìÿ âåëè÷èíàìè — àìïëèòóäîé I
m
è íà÷àëüíîé ôà
-
çîé y
i
. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî
Ie
m
j
i
y
íàçûâàþò êîìïëåêñíîé àìïëèòóäîé
òîêà. Ââîäÿ çíàê èçîáðàæåíèÿ
Þ
, áóäåì ïèñàòü
()
iI t Ie Ie
mim
jt
m
jt
i
=+Þ =
+
sin ( )
&
.wy
wy
w
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïåðåõîäà îò äåéñòâèòåëüíîé ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè,
íàçîâåì åå îðèãèíàëîì, ê åå èçîáðàæàþùåé êîìïëåêñíîé âåëè÷èíå íåîáõîäèìî
ìîäóëü ïîñëåäíåé âçÿòü ðàâíûì àìïëèòóäå ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè è àðãó
-
ìåíò âçÿòü ðàâíûì àðãóìåíòó ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè.
Äëÿ îáðàòíîãî ïåðåõîäà îò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, èçîáðàæàþùåãî äåéñòâèòåëü
-
íóþ ôóíêöèþ, ê ñàìîé äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè, ò. å. ê îðèãèíàëó, íåîáõîäèìî
âçÿòü êîýôôèöèåíò ïðè j ìíèìîé ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ñèíóñîèäàëü
-
íîãî òîêà
di
dt
It It
mimi
=+=++
æ
è
ç
ö
ø
÷
wwywwy
p
cos ( ) sin .
2
Èç òîëüêî ÷òî ñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî åå èçîáðàæåíèå áóäåò èìåòü âèä
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 225
() ()
ww w
wy
p
p
wy wy
Ie Ie e jIe j
m
jt
m
j
jt
m
jt
i
ii
++
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
++
===
2
2
w
w
&
.Ie
m
jt
Òàêèì îáðàçîì,
di
dt
jIe
m
jt
Þw
w
&
,
ò. å. îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ïðîèçâîäíîé îò äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè çàìåíÿåòñÿ óìíî
-
æåíèåì íà jw åå êîìïëåêñíîãî èçîáðàæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîèçâîäíîé
n-ãî ïîðÿäêà èìååì
di
dt
jIe
n
n
n
m
jt
Þ (
&
.w)
w
Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå äëÿ çàðÿäà, ðàâíîãî èíòåãðàëó îò ñèíóñîèäàëüíîãî
òîêà:
qt idt q
I
t
I
q
t
m
i
m
i
() () cos( ) cos ()==-+++
é
ë
ê
ù
û
ò
0
00+
w
wy
w
y
ú
.
Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñëó÷àè, êîãäà ïðèëîæåííîå ê çàæèìàì
öåïè íàïðÿæåíèå è ÝÄÑ, äåéñòâóþùèå â öåïè, ñèíóñîèäàëüíû è íå ñîäåðæàò ïî-
ñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ, òî, êàê óæå áûëî ïîëó÷åíî â § 4.4, íàïðÿæåíèÿ íà êîí-
äåíñàòîðàõ, à ñëåäîâàòåëüíî, è çàðÿäû íà êîíäåíñàòîðàõ òàêæå íå ñîäåðæàò ïî-
ñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ è, ñîîòâåòñòâåííî,
I
q
m
i
w
ycos ( ) .+
é
ë
ê
ù
û
ú
=00
Òàêèì îáðàçîì,
idt q
I
t
I
t
t
m
i
m
i
0
0
2
ò
=- + = + -
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
w
wy
w
wy
p
() cos( ) sin .
Èñêîìîå èçîáðàæåíèå áóäåò èìåòü âèä
()
idt q
I
e
I
ee
t
m
jt
m
j
jt
i
i
0
2
2
0
ò
Þ= =
+-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
+
+
ww
wy
p
p
wy
()
I
j
ee
I
j
e
m
j
jt
m
jt
i
ww
y
ww
=
&
,
ò. å. îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè çàìåíÿåòñÿ äåëåíèåì íà
jw åå êîìïëåêñíîãî èçîáðàæåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ ìåòîäîì àëãåáðàèçàöèè äèôôå
-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñóùíîñòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñíà÷àëà âñå çà
-
äàííûå ôóíêöèè âðåìåíè çàìåíÿåì èõ êîìïëåêñíûìè èçîáðàæåíèÿìè è âñå
äèôôåðåíöèàëüíûå è àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ñîñòàâëåííûå ïî çàêîíàì
Êèðõãîôà, çàìåíÿåì àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå, ñî
-
äåðæàùèìè êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû çàäàííûõ è èñêîìûõ ôóíêöèé è èõ ïðîèç
-
âîäíûõ è èíòåãðàëîâ. Ðåøàÿ ýòè àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, íàõîäèì êîìïëåêñ
-
íûå âûðàæåíèÿ èñêîìûõ ôóíêöèé è îò íèõ ïåðåõîäèì ê îðèãèíàëàì ýòèõ
ôóíêöèé.
226 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
 âèäå ïðèìåðà ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Êèðõãîôà äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî
ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L è C, ê çàæèìàì êîòîðîé ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå
u = U
m
sin (wt + y
u
). Îíî èìååò âèä
ri L
di
dt C
idt q u
t
++
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=
ò
1
0
0
+ () .
Èçîáðàçèâ íàïðÿæåíèå u, òîê i, åãî ïðîèçâîäíóþ di/dt è èíòåãðàë
idt
t
0
ò
+ q(0)
èõ êîìïëåêñíûìè âûðàæåíèÿìè
&
,
&
,
&
&
,Ue Ie jIe
I
j
e
m
jt
m
jt
m
jt
m
jtww w w
w
w
è
ãäå
&
UUe
mm
j
u
=
y
è
&
IIe
mm
j
i
=
y
, ïîëó÷èì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå â êîìïëåêñíîé
ôîðìå
rI e j LI e
jC
Ie Ue
m
jt
m
jt
m
jt
m
jt
&& &&
.
ww ww
w
w
++ =
1
Ñîêðàòèâ åãî íà e
jwt
, íàéäåì
&&
IrjL
jC
U
mm
++
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=w
w
1
èëè
&
&
()
.I
U
rjL jC
m
m
=
++ww1
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêà
&
IIe
mm
j
i
=
y
, íàéäÿ êîòîðóþ, ñðàçó ìîæíî íàïèñàòü ðàçûñêèâàåìîå ÷àñòíîå ðåøå
-
íèå, ò. å. âûðàæåíèå äëÿ ìãíîâåííîãî òîêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà, à èìåííî
iIeI t
m
jt
mi
==+Im (
&
)(sin ).
w
wy
Íàñ îáû÷íî èíòåðåñóþò äåéñòâóþùèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ. Òàê êàê äåéñòâóþ
-
ùèå ñèíóñîèäàëüíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ìåíüøå èõ àìïëèòóä â
2
ðàç, òî îáû÷
-
íî âìåñòî êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ðàññìàòðèâàþò êîìïëåêñíûå äåéñò
-
âóþùèå âåëè÷èíû:
&
&
;
&
&
.I
I
Ie U
U
Ue
m
j
m
j
iu
== ==
22
yy
 äàëüíåéøåì êîìïëåêñíûå äåéñòâóþùèå òîê, íàïðÿæåíèå èëè ÝÄÑ áóäåì
äëÿ êðàòêîñòè èìåíîâàòü êîìïëåêñíûìè òîêîì, íàïðÿæåíèåì èëè
ÝÄÑ.
Èíòåðåñóÿñü òîëüêî äåéñòâóþùèìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè è èõ íà÷àëüíû
-
ìè ôàçàìè, à ñîîòâåòñòâåííî, è ñäâèãàìè ôàç, áóäåì îïóñêàòü ìíîæèòåëü e
jwt
.
Óñòàíîâèì ñîîòâåòñòâèå èçîáðàæåíèé ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ, íàïðÿæåíèé
è ÝÄÑ êîìïëåêñíûìè äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ñ èõ èçîáðàæåíèÿìè ñ ïî
-
ìîùüþ âåêòîðîâ.
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 227
Áóäåì îòêëàäûâàòü âåêòîðû â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïî âåðòèêàëüíîé îñè,
íàçûâàåìîé îñüþ âåùåñòâåííûõ,îòêëàäûâàåì âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Ïî ãî
-
ðèçîíòàëüíîé îñè, íàçûâàåìîé îñüþ ìíèìûõ, îòêëàäûâàåì ìíèìûå ÷èñëà.
Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ îñåé áóäåì îòìå÷àòü çíàêàìè «+1» è «+j» (ðèñ. 5.1).
Ïîêàçàííàÿ íà ðèñ. 5.1 îðèåíòàöèÿ îñåé îáû÷íî ïðèíèìàåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè
âåêòîðíûõ äèàãðàìì.
Óñëîâèìñÿ íà÷àëà âåêòîðîâ ñîâìåùàòü ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò,
äëèíû âåêòîðîâ â ñîîòâåòñòâóþùåì ìàñøòàáå áðàòü ðàâíûìè
äåéñòâóþùèì òîêó, íàïðÿæåíèþ èëè ÝÄÑ è óãëû ìåæäó îñüþ
âåùåñòâåííûõ è âåêòîðàìè ïðèíèìàòü ðàâíûìè íà÷àëüíûì ôà
-
çàì ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ êàæäîé êîì
-
ïëåêñíîé âåëè÷èíå ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé âåêòîð. Ñî
-
ïðÿæåííûì êîìïëåêñíûì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò âåêòîðû,
ÿâëÿþùèåñÿ çåðêàëüíûìè èçîáðàæåíèÿìè äðóã äðóãà îòíîñè
-
òåëüíî îñè âåùåñòâåííûõ.
Íà ðèñ. 5.1 èçîáðàæåíû íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âåêòîðû íàïðÿæåíèÿ è
òîêà, êîìïëåêñíûå âûðàæåíèÿ êîòîðûõ èìåþò âèä
&
;
&
.UUe IIe
jj
ui
==
yy
Åñëè u — íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè, à i — òîê â ýòîé öåïè, òî ìåæäó èõ
äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè èìååòñÿ ñâÿçü U = Iz è îíè ñäâèíóòû ïî ôàçå íà óãîë
j=y
u
– y
i
. Ïðè ýòîì äëÿ ïåðåõîäà îò âåêòîðà òîêà ê âåêòîðó íàïðÿæåíèÿ íàäî
ïåðâûé ïîâåðíóòü íà óãîë j è èçìåíèòü äëèíó âåêòîðà â
a
v
z ðàç, ãäå a — ìàñøòàá
äëÿ âåêòîðà òîêà è v — ìàñøòàá äëÿ âåêòîðà íàïðÿæåíèÿ.
Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïåðåõîäà îò êîìïëåêñíîãî òîêà ê êîìïëåêñíîìó íàïðÿ-
æåíèþ íåîáõîäèìî àðãóìåíò ïåðâîãî óâåëè÷èòü íà j, òàê êàê y
u
= y
i
+ j, è óìíî
-
æèòü åãî ìîäóëü íà z, òàê êàê U = Iz, ò. å. íåîáõîäèìî óìíîæèòü êîìïëåêñíûé òîê
íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî ze
jj
.
Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå êîìïëåêñíîé âåëè÷èíû íà e
jj
ñîîòâåòñòâóåò ïîâî
-
ðîòó âåêòîðà íà óãîë j. Óìíîæåíèå êîìïëåêñíîé âåëè÷èíû íà
je
j
=
p
2
ñîîòâåòñò
-
âóåò ïîâîðîòó âåêòîðà íà óãîë p/2.
Ãåîìåòðè÷åñêîå ñóììèðîâàíèå âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ íàïðÿæåíèÿ èëè
òîêè, ñîîòâåòñòâóåò àëãåáðàè÷åñêîìó ñóììèðîâàíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì êîì
-
ïëåêñíûõ âåëè÷èí. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ãåîìåòðè÷åñêîì ñëîæåíèè âåêòîðîâ
ñêëàäûâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè èõ ïðîåêöèè îòäåëüíî ïî îäíîé è îòäåëüíî ïî äðó
-
ãîé âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûì îñÿì, à ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ñëîæåíèè êîì
-
ïëåêñíûõ ÷èñåë ñêëàäûâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè îòäåëüíî èõ âåùåñòâåííûå è îò
-
äåëüíî èõ ìíèìûå ñîñòàâëÿþùèå.
5.2. Êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèå è ïðîâîäèìîñòü
Îòíîøåíèå êîìïëåêñíîãî íàïðÿæåíèÿ
&
U
ê êîìïëåêñíîìó òîêó
&
I
íàçûâàþò ê î ì
-
ïëåêñíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè è îáîçíà÷àþò Z.  ñîîòâåòñòâèè ñ èç
-
ëîæåííûì â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå èìååì
228 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 5.1
Z
U
I
ze z jz r jx
j
== = + =+
&
&
cos sin ,
j
jj
ãäå r, x è z — àêòèâíîå, ðåàêòèâíîå è ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè, à z è j —ìî
-
äóëü è àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.
Îòíîøåíèå êîìïëåêñíîãî òîêà
&
I
ê êîìïëåêñíîìó íàïðÿæåíèþ
&
U
íàçûâàþò
êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòüþ öåïè è îáîçíà÷àþò Y. Èìååì
Y
I
U
ze
ye y jy g jb
j
j
== = = - =-
-
&
&
cos sin ,
1
j
j
jj
ãäå g, b è y — àêòèâíàÿ, ðåàêòèâíàÿ è ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòè öåïè.
Î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò ñâÿçü
ZY r jx g jb=+-=11èëè ()().
Íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïëåêñíûì âåëè÷èíàì Z è Y,
ÿâëÿþòñÿ çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì äðóã äðóãà îòíîñèòåëüíî îñè âåùåñòâåí
-
íûõ, òàê êàê àðãóìåíòû êîìïëåêñíûõ âåëè÷èí Z è Y ðàâíû è ïðîòèâîïîëîæíû
ïî çíàêó.
5.3. Âûðàæåíèÿ çàêîíîâ Îìà è Êèðõãîôà â êîìïëåêñíîé ôîðìå
Âûðàæåíèÿ çàêîíà Îìà â êîìïëåêñíîé ôîðìå èìåþò âèä
&
&
;
&&
;
&
&
;
&&
.I
U
Z
UIZU
I
Y
IUY====
Äîñòîèíñòâî ýòèõ âûðàæåíèé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â íèõ ó÷èòûâàåòñÿ êàê
ñâÿçü ìåæäó äåéñòâóþùèìè òîêîì I è íàïðÿæåíèåì U, òàê è ñäâèã ôàç j ìåæäó
íèìè.
Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê óçëó öåïè, äëÿ ìãíîâåííûõ òîêîâ
èìåþùèé âèä
i
k
k
n
=
å
=
1
0
, â êîìïëåêñíîé ôîðìå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
&
.I
k
k
n
=
å
=
1
0
Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê êîíòóðó öåïè, äëÿ ìãíîâåííûõ ÝÄÑ
è ïàäåíèé íàïðÿæåíèé èìåþùèé âèä
eu
k
k
n
k
k
n
==
åå
=
11
, â êîìïëåêñíîé ôîðìå çàïè
-
ñûâàåòñÿ â âèäå
&&&
,EU IZ
k
k
n
k
k
n
kk
k
n
===
ååå
==
111
ãäå
&
,
&
,
&
EU I
kkk
è Z
k
— êîìïëåêñíûå ÝÄÑ, ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ, òîê è ñîïðîòèâëå
-
íèå â k-é âåòâè, âõîäÿùåé â êîíòóð.
Åñëè â âåòâü âõîäÿò ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå ó÷àñòîê ñ ñîïðîòèâëåíè
-
åì r
k
, êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L
k
è êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ C
k
, òî ñîãëàñíî ïî
-
ëó÷åííîé â § 5.1 ñâÿçè
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 229
&&&&
IrjL
jC
UIrjL
jC
mm
++
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=++
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=w
w
w
w
11
èëè U
äëÿ ýòîé âåòâè èìååì
ZrjL
jC
rjL
C
rjx
kk k
k
kk
k
kk
=+ + =+ -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=+w
w
w
w
11
.
Êàê áûëî óêàçàíî âûøå, íåîáõîäèìî ïåðåä ñîñòàâëåíèåì óðàâíåíèé ïî çàêî
-
íàì Êèðõãîôà çàäàòü ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ, òîêîâ è íàïðÿæåíèé âî
âñåõ âåòâÿõ öåïè, îáîçíà÷èâ ýòè íàïðàâëåíèÿ íà ñõåìå ñòðåëêàìè.  ýòîì îòíî
-
øåíèè, êàê áûëî â îáùåì âèäå ñêàçàíî â § 3.7, ò. I, âåñüìà ïîëåçíûì ìîæåò îêà
-
çàòüñÿ îáîçíà÷åíèå ÝÄÑ, òîêîâ è íàïðÿæåíèé äâîéíûìè èíäåêñàìè, ñîîòâåòñò
-
âóþùèìè îáîçíà÷åíèþ óçëîâ, ìåæäó êîòîðûìè íàõîäèòñÿ äàííàÿ âåòâü öåïè.
Äîñòàòî÷íî óñëîâèòüñÿ, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïðèíèìàåòñÿ îò óçëà,
ñîîòâåòñòâóþùåãî ïåðâîìó èíäåêñó, ê óçëó, ñîîòâåòñòâóþùåìó âòîðîìó èíäåêñó,
è òîãäà óæå íåò íåîáõîäèìîñòè ñòàâèòü ñòðåëêè íà ñõåìå, à ñàìà àíàëèòè÷åñêàÿ
çàïèñü âåëè÷èí óêàçûâàåò ïðèíÿòîå èõ ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå. Ïðè èçìå-
íåíèè ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ èíäåêñîâ ìåíÿåòñÿ çíàê ÝÄÑ, òîêà èëè íàïðÿæå-
íèÿ. Òàê êàê ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâåé öåïè è ïðîâîäèìîñòè ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðà-
ìè, íå èìåþùèìè íàïðàâëåíèÿ, òî ïîðÿäîê èíäåêñîâ ó íèõ áåçðàçëè÷åí.
Î÷åâèäíî, âñå ýòè ïðàâèëà äåéñòâóþò è ïðè èñïîëüçîâàíèè êîìïëåêñíîãî ìå-
òîäà, ò. å. èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
&&
;
&&
;
&&
;
;.
EEIIUU
ZZYY
ab ba ab ba ab ba
ab ba ab ba
=- =- =-
==
 äàëüíåéøåì âñåãäà ïðè îáîçíà÷åíèè óêàçàííûõ âåëè÷èí ñ äâîéíûìè èí-
äåêñàìè áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ýòèõ ïðàâèë.
5.4. Ðàñ÷åò ìîùíîñòè ïî êîìïëåêñíûì íàïðÿæåíèþ è òîêó
Äëÿ âû÷èñëåíèé àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ìîùíîñòåé íåîáõîäèìî çíàòü äåéñò
-
âóþùèå íàïðÿæåíèå U è òîê I è ðàçíîñòü ôàç j ìåæäó íèìè.
Âåëè÷èíà j ðàâíà ðàçíîñòè íà÷àëüíûõ ôàç íàïðÿæåíèÿ è òîêà (j=y
u
– y
i
).
Ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïåðåìíîæèòü íå êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû
&
U
è
&
I
, òàê êàê ïðè
ýòîì àðãóìåíò ïðîèçâåäåíèÿ
&&
UI
áóäåò ðàâåí ñóììå y
u
+ y
i
, à âçÿòü ïðîèçâåäåíèå
îäíîé èç ýòèõ âåëè÷èí íà ñîïðÿæåííóþ êîìïëåêñíóþ äðóãóþ âåëè÷èíó. Ïîëó÷à
-
åì â ðåçóëüòàòå òàêîãî ïåðåìíîæåíèÿ êîìïëåêñíóþ ìîùíîñòü
&&
cos sinS UI Ue Ie UIe UI jUI P jQ
jj
j
ui
== = = + =+
*
-yy
j
jj
èëè, ñîîòâåòñòâåííî,
S IU Ie Ue UIe UI jUI P jQ
jj
j
iu
*
*
-
-
== = = - =-
&
cos sin .
yy
j
jj
Âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü â îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàâíà àêòèâíîé ìîùíîñòè P. Ðåàêòèâ
-
íàÿ ìîùíîñòü Q ðàâíà êîýôôèöèåíòó â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè (+j), à âî âòîðîì —
ïðè (– j) â ìíèìîé ÷àñòè êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè. Ìîäóëü êîìïëåêñíîé ìîùíî
-
ñòè ðàâåí ïîëíîé ìîùíîñòè S = UI.
230 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
5.5. Ðàñ÷åò ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ öåïè
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ öåïè (ðèñ. 5.2) íàïðÿæåíèå íà çà
-
æèìàõ âñåé öåïè ðàâíÿåòñÿ ñóììå ïàäåíèé íàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ
uu
k
k
n
=
=
å
1
. Ïðè ñèíóñîèäàëüíîì ïðîöåññå, ïîëü
-
çóÿñü êîìïëåêñíûì ìåòîäîì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
òîê ÿâëÿåòñÿ îäíèì è òåì æå âî âñåõ ó÷àñòêàõ,
ìîæåì íàïèñàòü
&& & & &
,UU IZIZIZ
k
k
n
kk
k
n
kk
k
n
== = =
== =
åå å
11 1
ãäå Z
k
= r
k
+jx
k
— êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå k-ãî ó÷àñòêà
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëå
-
íèå âñåé öåïè ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé îòäåëü
-
íûõ ó÷àñòêîâ öåïè:
ZZ rjxrjx
k
k
n
k
k
n
k
k
n
==+ =+
===
ååå
111
.
Âû÷èñëèâ êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå Z âñåé öåïè, ëåãêî ðàññ÷èòàòü êîì-
ïëåêñíûé òîê
&
I
ïðè çàäàííîì íàïðÿæåíèè
&
U
.
Èç ðàâåíñòâ
rr xx
k
k
n
k
k
n
==
==
åå
11
è
ñëåäóåò, ÷òî íåîáõîäèìî àëãåáðàè÷åñêè ñêëàäûâàòü îòäåëüíî àêòèâíûå è îò-
äåëüíî ðåàêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ó÷àñòêîâ.
Ïîëüçóÿñü ýòèì ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷àåì
Ir I r Ir P P
Ix I x
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
22
1
2
11
22
1
== =
==
== =
=
åå å
å
èëè ;
Ix Q Q
k
k
n
k
k
n
2
11==
åå
=èëè ,
ò. å. àêòèâíàÿ P è ðåàêòèâíàÿ Q ìîùíîñòè âñåé öåïè ðàâíû àëãåáðàè÷åñêèì ñóì
-
ìàì ñîîòâåòñòâåííî àêòèâíûõ è ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíî
ñîåäèíåííûõ ó÷àñòêîâ.
5.6. Ðàñ÷åò ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ öåïè
Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ öåïè (ðèñ. 5.3)
îáùèé òîê íà âõîäå öåïè ðàâåí ñóììå òîêîâ â îòäåëü
-
íûõ ó÷àñòêàõ
ii
k
k
n
=
=
å
1
. Ïîëüçóÿñü ïðè ñèíóñîèäàëüíîì
ïðîöåññå êîìïëåêñíûì ìåòîäîì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà
-
ïðÿæåíèå íà âñåõ ó÷àñòêàõ îäíî è òî æå, ìîæåì íàïè
-
ñàòü
Ãëàâà 5. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíîì è ïîñòîÿííîì òîêàõ 231
Ðèñ. 5.2
Ðèñ. 5.3
&& && &
,I I UY U Y UY
k
k
n
k
k
n
k
k
n
== = =
== =
åå å
11 1
ãäå Y
k
= g
k
– jb
k
— êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü k-ãî ó÷àñòêà.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü
âñåé öåïè ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå êîìïëåêñíûõ ïðîâîäèìîñòåé îòäåëüíûõ
ó÷àñòêîâ öåïè:
YY gjbgjb
k
k
n
k
k
n
k
k
n
==- =-
== =
åå å
11 1
.
Âû÷èñëèâ êîìïëåêñíóþ ïðîâîäèìîñòü âñåé öåïè, ëåãêî ðàññ÷èòàòü êîì
-
ïëåêñíûé òîê
&
I
ïðè çàäàííîì íàïðÿæåíèè
&
U
. Èç ðàâåíñòâ
gg bb
k
k
n
k
k
n
==
==
åå
11
è
ñëåäóåò, ÷òî íåîáõîäèìî àëãåáðàè÷åñêè ñêëàäûâàòü îòäåëüíî àêòèâíûå è îò
-
äåëüíî ðåàêòèâíûå ïðîâîäèìîñòè ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ó÷àñòêîâ.
Ïîëüçóÿñü ýòèì ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷àåì
Ug U g Ug P P
Ub U b
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
22
1
2
11
22
1
== =
==
== =
=
åå å
å
èëè ;
Ub Q Q
k
k
n
k
k
n
2
11==
åå
=èëè ,
ò. å. àêòèâíàÿ P è ðåàêòèâíàÿ Q ìîùíîñòè âñåé öåïè ðàâíû àëãåáðàè÷åñêèì ñóì-
ìàì, ñîîòâåòñòâåííî, àêòèâíûõ è ðåàêòèâíûõ ìîùíîñòåé âñåõ ïàðàëëåëüíî ñî-
åäèíåííûõ ó÷àñòêîâ.
5.7. Ðàñ÷åò ïðè ñìåøàííîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ öåïè
Ïîä ñìåøàííûì ñîåäèíåíèåì áóäåì ïîíèìàòü ñîåäèíåíèå, ïðåäñòàâëÿþùåå
ñîáîé ñî÷åòàíèå ïîñëåäîâàòåëüíûõ è ïàðàëëåëüíûõ ñîåäèíåíèé ó÷àñòêîâ öåïè.
Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ðàñ÷åòà òàêèõ öåïåé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîäû, èçëîæåí
-
íûå â äâóõ ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ.
Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå öåïè, èçîáðàæåí
-
íîé íà ðèñ. 5.4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíî íàïðÿæåíèå U
íà çàæèìàõ öåïè è òðåáóåòñÿ îòûñêàòü âñå òîêè. Âîñ
-
ïîëüçóåìñÿ êîìïëåêñíûì ìåòîäîì. Âòîðîé è òðåòèé ó÷à
-
ñòêè ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, è, ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõî
-
äèìî ñëîæèòü èõ êîìïëåêñíûå ïðîâîäèìîñòè Y
2
è Y
3
äëÿ
ïîëó÷åíèÿ êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè Y
23
îáîèõ ïàðàë
-
ëåëüíî ñîåäèíåííûõ ó÷àñòêîâ. Èìååì
YYY gg jbb
23 2 3 2 3 2 3
=+= + - +()().
Çäåñü
Y
Zrjx
Y
Zrjx
2
22 2
3
33 3
11 11
==
+
==
+
;.
232 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 5.4