Деревянкина В.В., Кривецков С.Е., Першенков П.П. Сборник задач по физике

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ

Механика

Методическое пособие

для поступающих в университет

ПЕНЗА ИИЦ ПГУ 2007

УДК 530.1

С23

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

«Физика» Пензенского государственного университета

Л. И. Мокиевский;

учитель физики высшей категории школы-лицея № 230

г. Заречного

А. И. Сеитов

С23

Кривецков, С. Е.

Сборник задач по физике. Механика : методическое пособие

для поступающих в университет / сост.: С. Е. Кривецков, П. П

. Пер-

шенков, В. В. Деревянкина ; под ред. П. П. Першенкова. – Пенза :

Информационно-издательский центр ПГУ, 2007. – 68 с.

В части пособия «Механика» представлены типичные задачи по кинематике,

динамике, статике, гидростатике и применению законов сохранения импульса и меха-

нической энергии, предлагаемые на вступительном экзамене по физике в Пензенском

государственном университете.

По каждой из указанных тем приведены основные формулы, знание которых

необходимо для успешного решения задач.

Рассмотрены примеры решения типовых задач

этих разделов физики. Пред-

ставлены задачи для самостоятельного решения. Ко всем рассмотренным задачам да-

ны ответы.

Сборник может использоваться абитуриентами для самостоятельной подготовки,

для занятий на подготовительных курсах, а также для подготовки к ЕГЭ (уровни В, С).

УДК 530.1

1. Кинематика

Скорость

Здесь и в дальнейшем используется понятие приращение, обозначаемое

буквой Δ. Приращением любой величины называется разность ее конечного

и начального значений.

Средняя скорость (средняя путевая скорость)

, (1.1)

где

,SSΔ

– путь за время

иttΔ

соответственно.

Скорость (мгновенная скорость)

vlim

rdr

tdt

Δ→

, (1.2)

где

– радиус-вектор точки.

Разложение вектора скорости на составляющие

kji

ZYX

vvvv ++=

, (1.3)

где

ZYX

v, v,v – проекции вектора v

на оси X, Y, Z, соответственно;

222

vvvvv

ZYX

++==

. (1.4)

Равномерное движение (v = const)

S(t) = v t. (1.5)

В случае равномерного прямолинейного движения обычно считают,

что материальная точка движется вдоль оси

X, и общая форма уравнения

движения имеет вид:

, (1.6)

здесь

– начальная координата тела, которая в выбранной системе коорди-

нат может быть как положительной, так и отрицательной величиной; знак +

перед членом со скоростью ставится в том случае, если направление вектора

скорости совпадает с положительным направлением оси

Связь скоростей в подвижной и неподвижной системах отсчета

(СО)

v = v + u

′

rr r

. (1.7)

где

– скорость в неподвижной СО;

′

– скорость в подвижной СО;

–

скорость подвижной СО относительно неподвижной.

Задачи с решениями

1р) Стоя на ступеньках эскалатора метро, пассажир съезжает за 1 мину-

ту. По неподвижному эскалатору он спускается за 40 секунд. Сколько време-

ни займет спуск идущего пассажира по движущемуся вниз эскалатору?

Дано:

= 60 c

= 40 c

Решение:

Пусть длина эскалатора l, скорость эскалатора u, ско-

рость человека v.

= ? Когда человек стоит на эскалаторе, который движется

со скоростью u, время его спуска

. Если человек со скоростью v идет по

неподвижному эскалатору, он спускается за время

Когда же человек со скоростью v идет по движущемуся со скоростью u

эскалатору, время его спуска становится равным

Из первого соотношения:

, из второго:

. Подставив получен-

ные формулы в выражение для t

, будем иметь:

()

12 12

l ltt tt

lt t t t

== =

Используя заданныевеличины, получим:

60 40

⋅

с.

Ответ: 24 с.

2р) Автомобиль проехал вторую половину пути со скоростью в 1,5 раза

большей, чем первую. Определить скорости автомобиля на первой и второй

половинах пути в км/час, если средняя скорость автомобиля на всем пути

равна v

ср

= 30 км/час.

Дано:

= 1,5 v

ср

= 30 км/ч

Решение:

По определению средней скорости

ср

, где t

–

время, за которое материальная точка проходит путь

Исходя из введенных обозначений, здесь

д 12

ttt=+

– ?

Время, за которое автомобиль проходит первую половину пути

а время прохождения им второй половины пути

t =

Тогда

()

ср

2v v

2v 2v

Подставив заданное в условии значение v

, получим:

111

ср

2v 1,5v 6v

v1,5v 5

⋅

Из него:

1 ср

vv25

= км/час,

37,51,5vv

км/час.

Ответ: 25 км/час; 37,5 км/час.

3р) От перекрестка один автомобиль поехал на север со скоростью

80 км/час, второй – на восток со скоростью 60 км/час. Определить скоростью

второго автомобиля относительно первого (в км/час).

Дано:

= 80 км/ч

= 60 км/ч

Решение:

Чтобы решить задачу, необходимо считать первый

автомобиль неподвижным. Для этого к вектору скорости

первого автомобиля

– ?

пристроим равный по величине, но противоположный по направлению

вектор

′

uur

(cм. рисунок). В этих условиях первый автомобиль как бы стоит на

месте, а второй кроме вектора скорости

имеет также скорость

′

uur

. Тогда в

соответствии с законом сложения скоростей, вектор скорости второго авто-

мобиля относительно первого

21 1 1

vvv

′

rrur

Так как эти векторы расположены по условию под 90°, величина отно-

сительной скорости

10036006400vvv

121

=+=+=

км/час.

Ответ: 100 км/час.

′

2,1

4р) Два человека одновременно вступают на эскалатор с противополож-

ных сторон и движутся навстречу друг другу с разными скоростями относи-

тельно эскалатора

= 2 м/с и

= 3 м/с. На каком расстоянии от входа на

эскалатор они встретятся? Длина эскалатора

l = 100 м, его скорость u = 1,5 м/с.

Дано:

l = 100 м

u = 1,5 м

v = 2 м/с

= 3 м/с

Решение:

Кинематическая схема объектов, рассматриваемых в

задаче, изображена на рисунке.

S – ?

В выбранной системе координат уравнения движения людей будут

иметь вид:

()

xut

lut

=− −

В уравнениях учтено, что для первого объекта скорость движения эска-

латора складывается с собственной скоростью, а для второго – вычитается.

В момент встречи координаты людей становятся одинаковыми, т.е. при

t = t

= x

= S. Используя условие равенства координат, получаем:

(

)

(

)

1 в 2 в

vvut l ut+=−−

Отсюда имеем:

t =

Подставив полученное значение, например, в первое уравнение, опреде-

лим искомую в задаче величину:

()

(

)

1 в

Sxtt

===

Учитывая исходные данные, получим:

()

21,5100

2+3

м.

Ответ: 70 м.

5р) Катер, отправляясь от пристани, выронил спасательный круг. Через

τ = 1 час движения вниз по течению реки катер повернул обратно и встретил

спасательный круг на расстоянии L = 6 км от пристани. Определить в км/час

скорость течения реки, если скорость катера относительно воды во время

всего рейса оставалась постоянной.

Дано:

τ = 1 час

L = 6 км

Решение:

Часы включаем в момент, когда круг упал в воду. Ки-

нематическая схема движения рассматриваемых в задаче

объектов может

быть представлена следующим образом:

u –?

в ней u – скорость течения реки,

vv v==

– скорость катера относительно

воды, S

– расстояние, которое прошел катер до поворота обратно, L – задан-

ное в задаче расстояние от пристани.

Скорость катера при движению по течению реки равна сумме скорости

течения реки и собственной скорости самого катера относительно воды, и

уравнение движения катера может быть представлено виде:

(

)

ut=+

При t равном заданному в задаче времени τ координата x

становится

равна расстоянию S, изображенному на кинематической схеме. То есть при

t = τ x

= S, имеем:

(

)

v τSu=+

Так как круг перемещается со скоростью течения реки, кинематическое

уравнение его движения в выбранной системе координат может быть пред-

ставлено следующим образом:

Для определения момента встречи катера и круга необходимо записать

уравнение движения катера с того момента, когда он начал движение на-

встречу кругу, то есть находился в точке 3 с координатой S и начал двигаться

против течения. Это произошло на τ позже, чем включены кинематические

часы, то есть мы должны учесть в

кинематическом уравнении эффект за-

держки события во времени. В этих условиях уравнение движения катера

имеет вид:

(

)

(

)

vxS ut=− − −τ

В нем учтено, что скорость катера в рассматриваемый момент направле-

на против течения реки. В некоторый момент t

катер и круг встретились, по-

пали в одну и ту же точку пространства, то есть при t = t

= x

= L. По-

следнее соотношение соответствует записи следующей системы уравнений:

()()

()

Lut

LS ut

⎧

⎪

=− − −τ

⎨

⎪

=+τ

⎩

Решение ее дает:

вв

vv v .

Lut

Lu t ut u

⎧

⎨

=τ+τ− +τ+ −τ

⎩

Подставив первое уравнение во второе, получаем:

ввв

vv vut u t ut u=τ+τ− +τ+ −τ.

Отсюда:

2vτ vt= и

2τt

Подстановка полученного значения в первое уравнение системы дает:

u ===

км/час.

Ответ: 3 км/час.

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Расстояние между железнодорожными станциями 16,6 км. Какова

разность времен прихода звука от одной станции к другой по рельсам и по

воздуху? Принять скорость звука в воздухе и в стали 330 м/с и 5500 м/с, соот-

ветственно.

1.2. Велосипедист, движущийся равномерно по прямолинейному уча-

стку дороги, увидел, как человек, стоящий у дороги, ударил стержнем по ви-

сящему рельсу, а через 1 с после этого услышал звук. С какой скоростью

двигался велосипедист, если он проехал мимо человека через 69 с после на-

чала наблюдения? Скорость звука в воздухе 340 м/с.

1.3. Автобус, двигавшийся по расписанию со скоростью 50 км/ч, просто-

ял перед закрытым железнодорожным переездом 1,5 мин. С какой скоростью

он должен продолжить движение, чтобы не выбиться из расписания, если рас-

стояние от переезда до ближайшей остановки маршрута равно 3,75 км?

1.4. Из пункта A выехал велосипедист со скоростью 7,2 км/час. Через

15 мин после него по той же дороге выехал мотоциклист со скоростью

36 км/час. Через какое время после выезда велосипедиста мотоциклист на-

гонит его?

1.5. Велосипедист из пункта А в пункт В ехал со скоростью 10 м/с, а

обратно со скоростью 15 м/с. Определить среднюю скорость велосипедиста.

1.6. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пу-

ти он шел со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью

90 км/ч.

1.7. Расстояние между расположенными друг за другом городами A и

B, B и С равны L = 100 км и R = 100 км. Автомобиль ехал из A в B со скоро-

стью v = 100 км/час, из B в С со скоростью u = 50 км/час и возвратился в B со

скоростью v. Определить (в км/час) среднюю путевую скорость за время

движения.

1.8. Два автомобиля одновременно выехали из Москвы в Петербург.

Первый автомобиль первую половину пути ехал со скоростью 120 км/ч, а

вторую – со скоростью 80 км/ч. Второй автомобиль первую половину време-

ни своего движения ехал со скоростью 120 км/ч, а вторую – со скоростью 80

км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше?

1.9. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую

треть пути он летел со скоростью 700 км/ч, вторую треть – со скоростью

500 км/ч, а последнюю часть пути – со скоростью, вдвое большей средней

скорости на первых двух участках пути.

1.10. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохож-

дение отдельных участков дистанции, длины которых относятся как 1:3:4:2,

потребовались промежутки времени, находящиеся в отношении 2:4:3:1, соот-

ветственно, и на последнем участке скорость поезда равна 80 км/ч. Считать,

что на каждом из участков поезд двигался равномерно.

1.11. Расстояние от пункта А до пункта В катер проходит по течению

реки за 3 ч, обратный путь занимает у катера 6 ч. За какое время катер прой-

дет расстояние от А до В при выключенном моторе? Скорость катера отно-

сительно воды при включенном моторе постоянна.

1.12. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин.

Если человек увеличит свою скорость относительно эскалатора вдвое, то он

спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на

эскалаторе?

1.13. Автоколонна движется со скоростью 36 км/ч, растянувшись

вдоль дороги на расстояние 600 м. Из хвоста колонны в голову посылается

машина сопровождения, которая затем возвращается обратно. Сколько вре-

мени ушло на поездку, если скорость машины 72 км/ч?

1.14. Спортсмены бегут колонной длиной 20 м со скоростью 3 м/с. На-

встречу бежит тренер со скоростью 1 м/с. Каждый спортсмен, поравнявшись

с тренером, разворачивается и бежит назад с прежней скоростью. Какова бу-

дет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?

1.15. При скорости ветра 10 м/с капля дождя падает под углом 30° к

вертикали. При какой скорости ветра капля будет падать под углом 60°?

1.16. Лодочник, переправляясь через реку, все время направляет лодку

под углом 60° к берегу, чтобы переплыть реку по кратчайшему расстоянию.

Найти скорость лодки относительно воды, если скорость воды в реке равна

1 м/с.

1.17. В безветренную погоду самолет затрачивает на перелет между

городами 6 ч. На сколько минут увеличится время полета, если будет дуть

боковой ветер со скоростью 20 м/с перпендикулярно линии полета? Скорость

самолета относительно воздуха равна 328 км/ч.

1.18. Поезд движется на север со скоростью 20 м/с. Пассажиру верто-

лета, пролетающего над поездом, кажется, что поезд движется на запад со

скоростью 20 м/с. Найти скорость вертолета и направление его полета.

Ответы. 1.1. 47,3 с. 1.2. 5 м/с. 1.3. 75 км/ч. 1.4. 1125 с. 1.5. 12 м/с. 1.6.

72 км/ч. 1.7. 75 км/час. 1.8. Второй. 1.9. 700 км/час. 1.10. 40 км/ч. 1.11. 12 ч.

1.12. 1,5 мин. 1.13. 80 с. 1.14. 10 м. 1.15. 30 м/с. 1.16. 2 м/с. 1.17. 9 мин. 1.18.

28,2 м/c, северо-восток.

Равнопеременное движение

Ускорение (мгновенное ускорение)

lim

tdt

Δ→

. (1.8)

Разложение ускорения на составляющие

222

;

XY Z XYZ

aaiajak a a a a a

++ == ++

, (1.9)

где

XYZ

aaa

– проекции вектора

на оси X, Y, Z соответственно.

Равнопеременное движение ( cons

) в плоскости X0Y

00 0

+v ; v v ;

v;vv;

XXXX

YYYY

xt at

yy t at

=+ =+

=+ + = +

(1.10)

22 22

;

vv vv

;

XX YY

xx yy

−−

−= −=

(1.11)

где

– координаты в момент времени t;

– начальные координаты;

v,v

– значения проекций скорости в момент времени t;

v,v

– проек-

ции начальной скорости; ,

aa – значения проекций ускорения.

Если направление движения не изменяется, то справедливы соотношения

St=±

;

−

, (1.12)

где знак «+» соответствует равноускоренному движению; знак «–» – равно-

замедленному.

Задачи с решениями

6р) Подъезжая к светофору со скоростью 10 м/с, автомобиль тормозит в

течение четырех секунд и останавливается рядом со светофором. На каком

расстоянии от светофора находился автомобиль в начале торможения?