Деревянкина В.В., Кривецков С.Е., Першенков П.П. Сборник задач по физике

Подождите немного. Документ загружается.

5.23. ≈0,1м/с

. 5.24. 4,5·10

Н. 5.25. 28 м/с. 5.26. ≈5000 с. 5.27. ≈2,65 м/с.

5.28. 6,3 км. 5.29. 0,11 об/c. 5.30.

Tkl

Tk m

−

Закон сохранения импульса

Импульс материальной точки

vpm

. (2.7)

Импульс системы материальных точек

сист i

pp=

∑

. (2.8)

Закон сохранения импульса

∑

Fp 0 если ,const

сист

. (2.9)

Закон сохранения проекции импульса

∑

iXX

Fp 0 если ,const

сист

. (2.10)

Задачи с решениями

15p) Охотник, сидящий в лодке, стреляет из ружья в горизонтальном

направлении. Масса заряда 0,03 кг. Скорость дробинок при выстреле 600 м/с.

Общая масса охотника и лодки 120 кг. Какова скорость лодки после вы-

стрела?

Дано:

m = 0,03 кг

v = 600 м/c

M = 120 кг

Решение:

Физическая модель взаимодействия рассматриваемых в за-

дании тел может быть представлена следующим рисунком:

u = ?

По закону сохранения импульса в

этом случае векторная сумма им-

пульсов тел после выстрела равна векторной сумме импульсов тел до вы-

стрела. До выстрела система покоилась, поэтому:

um=+

. В скалярной

форме: Mu = mv, откуда

Подставив заданные значения параметров, имеем:

0,03 600

0,15

120

⋅

==м/с.

Ответ: 0,15 м/с.

16p) Снаряд, летящий со скоростью 16 м/с, разорвался на два осколка,

массы которых 6 кг и 10 кг. Скорость первого осколка 12 м/с и направлена

под углом 60° к скорости снаряда. Найти величину скорости второго осколка

и ее направление.

Дано:

m = 0,03 кг

= 6 кг

= 10 кг

v = 16 м/c

= 12 м/c

= 60°

Решение:

Рассматриваемая система может быть схематично пред-

ставлена рисунком, на котором

– вектор скорости сна-

ряда до разрыва,

– вектор скорости первого осколка

после разрыва,

– вектор скорости второго осколка по-

сле разрыва.

–? α

–? В этом случае силы тяжести снаряда и осколков не ском-

пенсированы, но так как процесс разрыва происходит очень быстро, закон

сохранения в этом случае применить можно.

Он в данном случае запишется в виде:

(

)

12 1 2

vv vmm m m+=+

Для направления осей, указанных на рисунке, это векторное уравнения в

проекциях на оси X и Y, будет выглядеть следующим образом:

()

12 11 122 2

22 2 11 1

v cos v cos

0 v sin v sin

mmum m

=⋅α+ ⋅α

=⋅α−⋅α

Из второго уравнения имеем:

sin sin

α= α

По известному соотношению

cosα 1sinα

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

Подставив это выражение в первое уравнение, получим:

() ()()

12 11 1 22 11 1

vvcos v vsinmm m m m

−α= − α.

Возведя последнее уравнение в квадрат, выразим из него скорость вто-

рого тела

() ()

222

12 11 1121 1

vv2 vcosα

v 22,9

mm m mmmu

++−+

м/с.

Теперь можно рассчитать

v612

sin sin 0,5 0,272

v1022,9

⋅

α= α= ⋅ =

⋅

Окончательно имеем:

arcsin 0,272 15,8α= = °.

Ответ: 15,8°.

17р) Доска массы m

свободно скользит по поверхности льда со скоро-

стью v

На доску с берега прыгает человек массы m

. Скорость человека

перпендикулярна скорости доски и равна v

. Определить скорость и направ-

ление движения доски с человеком. Силой трения доски о лед пренебречь.

Дано:

, v

Решение:

Физическая модель взаимодействия рассматриваемых в

задании тел при рассмотрении их сверху может быть

представлена следующим рисунком:

u – ? α – ?

На нем учтено, что после приземления человека на доску скорость дви-

жения системы человек–доска будет u , а направление движения будет отли-

чаться от первоначального направления движения доски на угол α. По зако-

ну сохранения импульса получаем следующее векторное уравнение:

(

)

12 12

vvmm mmu+=+

Вектор u

известным образом может быть разложен по координатным

осям на составляющие

, причем

uuu

. В проекциях на оси X и

Y, записанное векторное уравнение будет выглядеть следующим образом:

(

)

()

22 1 2

11 1 2

mmmu

Из них несложно получить:

Следовательно, искомая величина определяется выражением вида:

()( )

11 2 2

vvmm

arctg

α= =

Ответ:

()( )

11 2 2

vvmm

arctg

α=

Задачи для самостоятельного решения

При решении задач принять g = 10 м/с

6.1. Тело, начальная скорость которого 10 м/с, движется прямолиней-

но с ускорением 1,5 м/с

. Во сколько раз изменится импульс тела при про-

хождении им пути 100 метров?

6.2. Два тела массой 1 кг и 2 кг движутся равномерно во взаимно пер-

пендикулярных направлениях. Скорость первого тела 3 м/с, а второго – 2 м/с.

Определить модуль импульса данной системы тел.

6.3. Тело массой 1 кг движется равномерно по окружности со скоро-

стью 2 м/с.

Определить модуль приращения импульса тела

pΔ

после того,

как оно пройдет четверть окружности, половину окружности.

6.4. Тело массой m, брошено под углом к горизонту. За время полета

до наивысшей точки траектории модуль приращения импульса тела оказался

равным

pΔ

. Определить полное время полета.

6.5. Начиная игру в бильярд, по группе близко расположенных шаров

ударили шаром, масса которого 250 грамм, а скорость

10 м/с. Найти суммар-

ный импульс всех шаров после удара.

6.6. Пуля, масса которой m, вылетает из пистолета массой M c гори-

зонтальной скоростью v относительно земли.

Определить скорость отдачи

пистолета.

6.7. Снаряд массой 50 кг, летевший горизонтально со скоростью 200

м/с, попал в покоящуюся тележку с песком массой 950 кг и застрял в песке.

какой скоростью стала двигаться тележка

6.8. Два тела, массой 6 и 2 кг, движутся навстречу друг другу с одина-

ковой скоростью и слипаются.

Во сколько раз скорость получившегося тела

меньше первоначальной скорости тел

6.9. Два хоккеиста, движущиеся навстречу друг другу, сталкиваются и

далее движутся вместе. Первый хоккеист, масса которого 120 кг двигался со

скоростью 3 м/с, скорость второго при массе 80 кг была равна 6 м/с. В каком

направлении и с какой скоростью они будут двигаться после столкновения?

6.10. Граната, летевшая горизонтально со скоростью 10 м/c, разорва-

лась на две части массами 1 кг и 1,5 кг. Больший осколок продолжал дви-

гаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 м/с.

Найти скорость меньшего осколка.

6.11. С кормы лодки массой 200 кг, движущейся в неподвижной воде

со скоростью 1 м/с, прыгает мальчик в горизонтальном направлении в сторо-

ну, противоположную движению лодки.

С какой скоростью относительно

воды прыгает мальчик,

если скорость лодки после его прыжка возросла до 3

м/с? Масса мальчика равна 50 кг. Сопротивлением воды пренебречь.

6.12. На противоположных концах неподвижной тележки массой 80 кг

стоят два человека, один – массой 50 кг, другой – массой 60 кг. Они одно-

временно спрыгивают с тележки в противоположные стороны со скоростями

относительно земли 2 м/с и 1 м/с, соответственно.

С какой скоростью после

этого будет двигаться тележка?

Считать, что скорости людей в момент от-

рыва от тележки направлены горизонтально.

6.13. Тележка движется с постоянной скоростью. Человек, скорость

которого в 2 раза больше, догоняет тележку, вскакивает на нее и остается на

ней, в результате чего скорость тележки увеличивается на 20%.

Во сколько

раз масса тележки больше массы человека?

6.14. Тележка массой 200 кг движется со скоростью 3 м/с вместе с на-

ходящимся на ней человеком, масса которого 60 кг.

С какой скоростью от-

носительно тележки должен бежать человек в направлении движения,

что-

бы скорость тележки уменьшилась вдвое?

6.15. Железнодорожная платформа с установленным на ней орудием

(общая масса 20 т) движется горизонтально со скоростью 1 м/с. В направле-

нии хода платформы из орудия выпускается снаряд со скоростью 800 м/с под

углом 60° к горизонту. Масса снаряда 20 кг.

Определить скорость платфор-

мы после выстрела

6.16. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком. В песок

попадает снаряд, летящий вдоль рельсов, и застревает в нем. В момент попа-

дания снаряда его скорость равна 400 м/с и направлена сверху вниз под уг-

лом 30° к горизонту.

Какую скорость приобрела платформа? Масса плат-

формы с песком 5 тонн, масса снаряда 10 кг.

6.17. Человек массой 80 кг стоит на краю тележки массой 120 кг и

длиной 3 м.

Определить, на сколько сместится тележка, если человек пе-

рейдет на другой ее край? Трение между тележкой и полом, на котором она

стоит, пренебрежимо мало.

6.18. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в

лодке, переходит с носа на корму.

На какое расстояние сдвинется лодка, ес-

ли масса человека в три раза меньше массы лодки, а длина лодки равна

4 м? Сопротивлением воды пренебречь.

6.19. Снаряд вылетает из орудия под углом 60° к горизонту с началь-

ной скоростью 420 м/с. В некоторой точке траектории он разрывается на три

осколка одинаковой массы. Первый осколок летит вверх по вертикали, вто-

рой – вниз по вертикали, а третий – под углом 45

° к горизонту. Найти ско-

рость третьего осколка

. Массой взрывчатого вещества пренебречь.

6.20. Снаряд в верхней точке траектории на высоте 100 метров разо-

рвался на две части массами 1 кг и 1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке

100 м/с. Скорость большего осколка оказалась горизонтальной, совпадающей

по направлению со скоростью снаряда и равной 250 м/с.

Определить рас-

стояние между точками падения обоих осколков.

Сопротивлением воздуха

пренебречь.

Ответы. 6.1. в 2 раза. 6.2. 5 кг·м/с. 6.3. ≈ 2,8 кг·м/с; 4 кг·м/с. 6.4.

. 6.5. 2,5 кг·м/с . 6.6.

6.7. 10 м/с. 6.8. В 2 раза. 6.9. 0,6 м/с, в на-

правлении движения второго.

6.10. 12,5 м/с. 6.11. 7 м/с. 6.12. 0,5 м/c. 6.13.

В 4 раза.

6.14. 6,5 м/с. 6.15. 0,6 м/с. 6.16. 0,69

≈

м/с. 6.17. 1,2 м. 6.18. 1 м.

6.19. ~891 м/с. 6.20. 1677

≈

м.

Работа и энергия

Работа постоянной силы

SFFSA

= cos

, (2.11)

где

S – путь, пройденный телом; α – угол между направлением силы и на-

правлением перемещения;

= F cosα – проекция силы на направление пе-

ремещения.

Работа переменной силы

ср

, (2.12)

где

ср τ

F – среднее значение проекции силы.

Средняя мощность силы

ср

ср ср ср

== =

ΔΔ

, (2.13)

где

tΔ

– время, за которое совершена работа А;

ср

– средняя путевая ско-

рость.

Мгновенная мощность

lim v

Δ→

. (2.14)

Кинетическая энергия материальной точки

E = . (2.15)

Кинетическая энергия системы материальных точек

∑

. (2.16)

Потенциальная энергия материальной точки в поле тяжести Земли

Emgh

, (2.17)

где h – высота от нулевого уровня потенциальной энергии.

Если тело нельзя считать материальной точкой, то приращение его по-

тенциальной энергии определяется приращением высоты центра тяжести те-

ла Δh

п c

EmghΔ= Δ

. (2.18)

Потенциальная энергия упругодеформированного тела

, (2.19)

где x – величина деформации; k – жесткость.

Механическая энергия

кп

EE E

. (2.20)

Закон изменения механической энергии

нк вн

AA=+

, (2.21)

где

– приращение механической энергии системы, т.е. приращение меха-

нической энергии равно работе внешних и неконсервативных сил, дейст-

вующих в системе.

Неконсервативными силами считают силы трения и силы сопротивле-

ния. Действие сил трения и сопротивления приводит к преобразованию части

механической энергии тела в тепловую, поэтому их называются диссипатив-

ными силами. При

этом количество выделившегося тепла Q численно равно

работе диссипативных сил (взятой со знаком плюс), т.е.

нк

Если в системе нет неконсервативных сил, т.е. А

нк

= 0, и на нее не дей-

ствуют внешние силы, механическая энергия системы остается неизменной

(

закон сохранения механической энергии):

ΔE = 0. (2.22)

Абсолютно упругим называется удар, при котором механическая

энергия не переходит в другие виды энергии. Для такого удара выполняется

закон сохранения механической энергии:

2222

11 2 2 11 22

2222

mm mumu

+=+

, (2.23)

где v

, v

– скорости тел непосредственно перед ударом; u

, u

– скорости сра-

зу после удара.

При

абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической

энергии не выполняется, т.к. происходят неупругие деформации, сопровож-

дающиеся нагревом тел. Поэтому для абсолютно неупругого удара двух тел,

закон изменения механической энергии записывают в следующем виде:

22 2

11 2 2 1 2

vv( )

22 2

mm mmu

+= +Δ

, (2.24)

где u – скорость после удара, одинаковая для обоих тел; ΔU – приращение

внутренней энергии тел при ударе. Увеличение внутренней энергии приводит

к нагреву тел такому же, как если бы им было сообщено количество теплоты

Q =

Задачи с решениями

18р) Поднимаясь равномерно, как всегда, из окна Малыша к себе на

крышу, Карлсон в тот день, когда его угостили вареньем, затратил на подъем

на 4 секунды больше, чем обычно. Какова масса съеденного им варенья, если

мощность мотора всегда равна 75 Вт, а высота подъема 10 м?

Дано:

N = 75 Вт

h = 10 м

Δ 4t =

Решение:

Работа, совершаемая мотором за время t, равна ANt= .

По закону изменения механической энергии:

Δm −

? Изменение кинетической энергии при равномерном подъе-

ме на крышу равно нулю, поэтому в данном случае

EEmghΔ=Δ = ,

где h – высота подъема,

m – масса Карлсона. Получаем:

Nt mgh

После угощения вареньем масса увеличивается на Δ

m , время подъема

увеличивается на

. Можем написать аналогичное выражение

()( )

Nt t m mgh+Δ = +Δ .

Если вычесть из этого уравнения предыдущее, получим

Nt mghΔ=Δ .

Из него следует, что

75 4

10 10

Δ⋅

Δ= = =

⋅

кг.

Ответ: 3 кг.

19р) Брусок массой m

= 500 г соскальзывает по наклонной плоскости

высотой 0,8 м и, двигаясь по горизонтальной плоскости, сталкивается с бру-

ском массой

= 300 г, движущимся ему навстречу со скоростью 2 м/с.

Считая столкновение абсолютно неупругим, определите суммарную кинети-

ческую энергию брусков после столкновения. Трением при движении бру-

сков пренебречь.

Дано:

= 0,5 кг

0,8 м

2 =

0,3 кг

2 =

2 м/с

Решение:

Модель взаимодействия рассматриваемых в задании

тел может быть представлена следующим рисунком:

′

–?

По закону сохранения импульса при неупругом взаимодействии

(

)

11 2 2 1 2

vvmm mmu+=+

rr r

В скалярной форме это уравнение имеет вид:

– m

2 =

)u.

Отсюда

11 2 2

vvmm

−

Здесь неизвестна величина скорости первого тела перед ударом v

Чтобы определить эту величину, рассмотрим расположение этого тела

относительно поверхности Земли в двух случаях: когда оно находилось на

высоте

h и когда оно стало двигаться по горизонтальной поверхности. Так

как в системе нет сил трения, сопротивления и других неконсервативных сил,

закон сохранения механической энергии для этого тела можно представить в

следующем виде:

пк

, т.е.

mgh

Откуда

v2gh=

Следовательно, скорость тел после удара определяется выражением

122

2vmghm

−

Кинетическая энергия рассматриваемых тел после их столкновенияравна

()

(

)

()

122

mghm

mmu

−

′

Подстановка заданных величин дает:

+ m

(

)

0,5 2 10 0,8 0,3 2

1, 225

20,8

⋅⋅ − ⋅

′

⋅

Дж.

Ответ: 1,225 Дж.

20р) Шайба пущена по льду с начальной скоростью 2 м/с. Определить

расстояние, которое пройдет шайба до полной остановки, если коэффициент

трения шайбы о лед 0,02.

Дано:

м/с

0,02μ =

Решение:

На шайбу при движении действуют: сила тяжести

сила реакции опоры N

и сила трения

тр

(см. рисунок).

S – ?

Сила трения скольжения – неконсервативная сила. Поэтому закон изме-

нения механической энергии в этом случае имеет вид:

тр

Δ .

Так как шайба движется по горизонтальной поверхности, потенциальная

энергия ее не меняется и

EEΔ=Δ

Работа силы трения определяется выражением:

тр тр тр

cos( , )

FS FS=⋅⋅

Угол между вектором силы трения и вектором перемещения шайбы в

этом случае равен π, тогда

тр тр

−⋅

По определению сила трения скольжения

тр

=μ

в данном случае

Nmg

, то есть

тр

=μ

Таким образом

тр

mgS

−

В рассматриваемом случае шайба останавливается. Следовательно, при-

ращение ее кинетической энергии равно:

Δ=− =−

тр