Деревянкина В.В., Кривецков С.Е., Першенков П.П. Сборник задач по физике

Подождите немного. Документ загружается.

Ответы. 7.1. 40 м/с. 7.2.

. 7.3. 20 м. 7.4. 1,4 Дж. 7.5. 900 с.

7.6. В 8 раз. 7.7. 5 кДж. 7.8. 1 кДж. 7.9. 500 Дж. 7.10. 0,2. 7.11. 3 м/с.

7.12. 390 Дж. 7.13. 38,4 Дж. 7.14. 20 Дж. 7.15.

. 7.16. 3 м/с. 7.17. 0,18 м/с.

7.18. 3. 7.19. 2 м/с. 7.20. 45°. 7.21. arccos ¾. 7.22. 700 м/с. 7.23. 30°. 7.24. 2mgh.

7.25. 4 м/с. 7.26. 0,1. 7.27. 4 м/с. 7.28. 2 м. 7.29. 2 м/с, 1 м/с. 7.30. 0,16 м;

0,25 м.

7.31. 0,4 м/с. 7.32.

2sin

)

⋅

. 7.33.

()

1cos

−

. 7.34. 0,64 м.

7.35.

2( )

mgh

Статика

Момент силы относительно некоторой оси

, (2.25)

где l – плечо силы, равное кратчайшему расстоянию между линией действия

силы и осью.

Условия равновесия тела

∑

; (2.26)

∑

, (2.27)

где M

– момент i-й силы

, приложенной к телу.

Задачи с решениями

25р) Четыре материальные точки массами m

, m

расположены на легком стержне на расстоя-

ниях d друг за другом (см. рисунок 1). Найти поло-

жение центра тяжести системы.

Дано:

Решение:

Центром тяжести системы тел является такая точка,

подвесив на нити за которую, мы приведем систему в

равновесие. Пусть в данной системе тел центром тяже-

сти ее является точка С, расположенная на расстоянии x

от левого края стержня. Мысленно подвесим стержень

x – ? на нити в указанной точке. Тогда на рассматриваемую сис-

тему тел будут действовать силы тяжести всех грузов

сила натяжения нити

(рис. 2).

Запишем условия равновесия относительно

точки С. По первому из них векторная сумма всех

сил, действующих на систему, равняется нулю, то

есть:

1234

0mg mg mg m g T

+++=

rrrr

В скалярной форме с учетом направления

сил имеем:

1234

0mg mg mg mg T−− − − +=

По второму условию равновесия алгебраическая сумма моментов всех

сил, действующих на систему, равняется нулю. Считают, что силы, которые

вращают тело в одном направлении, имеют одинаковые по знаку величины

моментов. Относительно точки С из всех сил, действующих на стержень,

только сила T имеет нулевой вращающий момент. Моменты сил тяжести

будем считать положительными, а моменты двух других сил отрица-

тельными. Плечи указанных сил хорошо видны на рис. 2). Уравнение для

моментов сил имеет вид:

d d

12 3 4

() (2) (3)0mg x mg x d mg d x mg d x

⋅

+−− −− −=

Последнее равенство является уравнением с одной неизвестной величиной.

Из него нетрудно получить:

234

1234

23mmm

mmmm

+++

Для решения задачи оказалось достаточно только выполнения одного

условия равновесия. Это, действительно, имеет место в тех случаях, когда

рассматриваемое тело не может перемещаться в пространстве, а имеет лишь

возможность вращения относительно такой-либо точки.

Заметим, что если тело в силу его формы или конструкции не может

вращаться, а

способно лишь к поступательному движению, для его равнове-

сия достаточно выполнения только первого условия статики.

Ответ:

234

1234

23mmm

mmmm

+++

26р) Однородный стержень АВ опирается о

шероховатый пол и удерживается в равновесии го-

ризонтальной нитью ВС (см. рис.). Коэффициент

трения между полом и стержнем 0,35. При каком

наименьшем угле наклона стержня к полу возможно

это равновесие?

Дано:

0,35μ =

Решение:

На стержень действуют четыре силы: сила тяжести

min

– ? сила натяжения нити

, сила реакции опоры

и сила тре-

ния покоя

тр

, препятствующая скольжению стержня по полу.

По первому условию статики векторная сумма всех сил равна нулю:

тр

0mg T N F++ + =

rrr

В скалярной форме для проекций по осям координат получим следую-

щую систему уравнений:

()

тр

0, 1

0. 2

Nmg

−=

⎧

⎪

⎨

−=

⎪

⎩

Из этой системы определить необходимую величину α

min

не представля-

ется возможным.

Запишем второе условие статики относительно точки А. Силы реакции

опоры

и трения

тр

моментов не создают (плечи этих сил относительно

оси, проходящей через точку А равны нулю). Сила тяжести

стремится

повернуть стержень по часовой стрелке, а сила натяжения

– против, по-

этому:

тр

cos sin 0

mg Tl⋅α−⋅α=

где l – длина стержня. Полученное уравнение дает:

α=

. (3)

Из уравнения (1) следует:

тр

В данном случае

тр

F – сила трения покоя. Для нее справедливо соотно-

шение:

тр тр max

FF N≤=

Получаем, что

Tmg

≤μ

. С учетом этого соотношения из (3) имеем:

2μ

tgα ≥

Отсюда

2μ

arctgα

min

°.

Ответ: 55°.

Задачи для самостоятельного решения

При решении задач принять g = 10 м/с

8.1. Гаечным ключом с рукояткой длиной 20 см завинчивают гайку.

Сила 80 Н приложена под углом 30° к концу рукоятки. Определить вращаю-

щий момент.

8.2. На бревне, сечение которого одинаково, а длина 3 м, сидят три

человека, массы которых и расстояния от левого края бревна равны соответ-

ственно:

50m =

кг,

м,

65m =

кг,

1,5l

м,

70m

кг,

м. На каком

расстоянии от левого края бревна расположен цент тяжести бревна и си-

дящих на нем людей? Масса бревна 100 кг.

8.3.Рабочий удерживает за один конец бревно так, что бревно образу-

ет с горизонтом угол α. С какой силой, направленной перпендикулярно бревну,

удерживает рабочий бревно в этом положении?

8.4. На концах однородного стержня, масса которого 1 кг и длина

0,6 м, подвешены грузы. На каком расстоянии от точки подвеса второго

груза надо подпереть стержень, чтобы он находился в равновесии? Масса

первого груза 1 кг, второго – 2 кг.

8.5. К средней точке горизонтально подвешенного провода длиной

40 м подвешен груз массой 17 кг. Вследствие этого провод провис на 10 см.

Определить силу натяжения, с которой каждая половина провода действует

на груз. Массой провода пренебречь.

8.6. Небольшое тело массой m находится на

горизонтальной поверхности. К нему приложена

сила, направленная под углом α к горизонту. Ко-

эффициент трения между телом и поверхностью

равен μ. При каких значениях силы тело будет оставаться в покое?

8.7. Груз массой 1 кг лежит на наклонной плоскости. Какова реакция

опоры, если сила трения равна 6 Н?

8.8. На полуцилиндре радиусом

R = 0,5 м находится шайба. Определить ми-

нимальную высоту h от основания полуци-

линдра, чтобы шайба еще не соскальзывала.

Коэффициент трения между шайбой и полуцилиндром равен 0,8.

8.9. Шар массой 3 кг находится на наклонной плоскости, образующей

с горизонтом угол 60°. Равновесие шара достигается за счет трения о плос-

кость и натяжения нити, прикрепленной одним концом к верхней части шара,

а другим – к вершине наклонной плоскости. Найдите силу натяжения нити,

если она располагается горизонтально (

= 1,7).

8.10. Найти жесткость системы, состоящей из двух пружин,

имеющих жесткости k

и k

, если пружины соединены: а) параллельно;

б) последовательно.

8.11. Между одинаковыми брусками

квадратного сечения, лежащими на горизон-

тальной плоскости, вставлен гладкий клин

такой же массы с сечением в виде равносто-

роннего треугольника. При каком коэффициенте трения брусков о плос-

кость они начнут разъезжаться?

8.12. На горизонтальной поверхности лежит ящик, длина которого

равна 60 см. В ящике находится шар массой 2 кг. С какой силой шар будет

давить на стенку и дно, если край ящика приподнять на 18 см? Считать, что

диаметр шара меньше размеров ящика.

8.13.

Лом массой 16 кг и длиной 2 м лежит на ящике шириной 1,6

м,

выступая за его край на расстояние 0,4 м. Какую минимальную силу нужно

приложить к лому, чтобы приподнять его за край: а) лежащий на ящике;

б) выступающий за ящик?

8.14. К стене прислонена лестница массы m под углом α к вертикали.

Цент тяжести лестницы находится на расстоянии 1/3 длины от ее верхнего

конца. Какую горизонтальную силу нужно приложить к середине лестницы,

чтобы верхний ее конец не оказывал давления на стену?

8.15. Лестница длиной 3 метра приставлена к гладкой стене под углом

60° к полу. Максимальная сила трения между лестницей и полом 200 Н. На

какую высоту может подняться человек, масса которого 60 кг, прежде чем

лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.

8.16. Лестница опирается о вертикаль-

ную стену и горизонтальный пол. Коэффициент

трения между стеной и лестницей равен 0,4,

между полом и лестницей – 0,5. Определить

наименьший угол наклона лестницы к полу, при

котором она может оставаться в равновесии.

8.17. С какой минимальной горизонтальной силой необходимо тянуть

колесо радиусом R за ось вращения, чтобы поднять его на ступеньку высотой

h (R > h)? Масса колеса равна m.

8.18. Кусок какой длины необходимо отрезать от однородного

стержня, чтобы его центр тяжести переместился на 10 см?

8.19. Стержень массой 100 г согнули посередине под углом 120° и

подвесили на нити, привязанной к точке сгиба. Груз какой массы (в г) надо

прикрепить к концу одной из сторон угла, чтобы другая сторона заняла гори-

зонтальное положение?

8.20. Из однородной круглой пластины, радиус которой R, вырезан

круг вдвое меньшего радиуса, касающийся первого круга. На какое расстоя-

нии сместилось положение центра тяжести?

Ответы. 8.1. 8 Н·м. 8.2. 1,53 м. 8.3.

cosα

⋅

. 8.4. 0,225 м. 8.5. 17 кН.

8.6.

cosαμsin α

F <

8.7. 8 Н. 8.8. 0,39 м. 8.9. 17 Н. 8.10. а) k

+ k

;

б) k

/(k

+ k

). 8.11.

8.12. 6 Н, 19 Н. 8.13. 60 Н, 80 Н. 8.14.

tgα

mg ⋅ .

8.15. 1,5 м. 8.16. arctg 0,8. 8.17.

hRh

−

− )(2

8.18. 20 см. 8.19. 25 г.

8.20.

Гидростатика

Давление

, (2.28)

где F – сила, с которой жидкость или газ действуют на поверхность; S –

площадь поверхности.

Закон Паскаля: жидкость передает оказываемое на нее давление во

все стороны одинаково.

Гидростатическое давление

= ρ

gh, (2.29)

где ρ

– плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; h – глубина,

отсчитываемая от поверхности жидкости.

Полное давление в жидкости на глубине h складывается из давления

у поверхности и гидростатического. Если давление у поверхности равно ат-

мосферному р

, то внутри жидкости оно будет равно

р = р

+ р

= р

+ ρ

gh. (2.30)

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует вытал-

кивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом:

= ρ

выт

, (2.31)

где V

выт

– объем жидкости, вытесненной телом.

Задачи с решениями

27р) В цилиндрический сосуд налиты ртуть, вода и керосин. Определить

общее давление, которое оказывает жидкость на дно сосуда, если объемы

всех жидкостей равны, а верхний уровень керосина находится на высоте

12 см от дна сосуда. Атмосферное давление 10

Па. Плотность керосина

800 кг/м

, плотность ртути 13,6·10

кг/м

, плотность воды 10

кг/м

Дано:

h = 12·10

–2

13600ρ

= кг/м

800ρ

кг/м

1000ρ

= кг/м

= 10

Па

Решение:

Поскольку ртуть – самое плотное из всех рассмат-

риваемых веществ, ее слой будет располагаться на са-

мом дне. Выше будет находиться слой воды, а затем –

керосин. Общее давление на дно будет состоять из дав-

ления атмосферы

, давления керосина

, давления

воды

p и давления ртути

p , то есть:

p – ?

аквр

pp p p p=+++.

Керосин

Вода

Ртуть

По условию объемы всех жидкостей одинаковы, а сосуд цилиндриче-

ский, следовательно, высоты всех слоев рассматриваемых жидкостей будут

равны

. Тогда

рр

pg=ρ ,

вв

pg=ρ ,

кк

pg=ρ . Окончательно для давле-

ния p имеем:

()

арвк

pp g

Подстановка исходных значений дает:

()

52 5

10 10 4 10 13600 1000 800 1,06 10p

−

=+⋅⋅ + + = ⋅

Па.

Ответ: 1,06·10

Па.

28р) Тело в воде весит в три раза меньше, чем в воздухе. Чему равна

плотность тела?

Дано:

2 =

Решение:

Вес – это сила, с которой тело давит на опору или

ρ – ? растягивает подвес. При решении задач его часто

можно моделировать силой натяжения нити, на которой тело под-

вешено. В воздухе на тело действуют сила тяжести mg

и сила на-

тяжения нити

(см. рис.).

В соответствии с условием равновесия тела, векторная сумма

сил, действующих на него, должна равняться нулю:

0Tmg+=

В воде на тело действуют: сила тяжести

, выталки-

вающая сила

и сила натяжения нити

Поскольку тело находится в воде в статическом состоя-

нии

2 А

0TmgF++=

В скалярной форме, учитывая направления векторов сил,

получим следующую систему уравнений:

Tmg

FTmg

−=

+− =

Учтя заданное в условии соотношение между T

и T

второе уравнение

системы приводится к виду:

mg F=−.

Из первого уравнения T

= mg, тогда величина выталкивающей силы

Fmg=

По закону Архимеда

A в

где

– плотность воды.

Масса рассматриваемого тела

=ρ

здесь

– искомая плотность тела. Подстановка полученных выражений в со-

отношение для F

дает:

Vg Vg

Отсюда

15001000

=⋅==

кг/м

Ответ: 1500 кг/м

29р) Дубовый шар лежит в сосуде с водой так, что половина его нахо-

дится в воде, и он касается дна. С какой силой шар давит на дно сосуда, если

его масса 0,8 кг. Плотность дуба 800 кг/м

Дано:

m = 0,8 кг

=ρ 800 кг/м

Решение:

На шар, лежащий в сосуде, действуют: сила тяжести mg

реакция опоры

и выталкивающая сила

N – ?

По третьему закону Ньютона, с какой силой дно воз-

действует на шар, с такой же по величине, но направленной

противоположно силой шар давит на дно. Следовательно,

задача сводится к определению величины силы реакции N.

Так как шар покоится векторная сумма всех сил, дейст-

вующих на него, равна нулю:

0mg N F

В скалярной форме с учетом направления векторов этих сил имеем:

0mg N F

−

++ =

Отсюда

NmgF=−

Так как тело погружено в воду лишь на половину своего объема, вели-

чина выталкивающей силы по закону Архимеда равна:

A в

Vg=

где ρ

– плотность воды, а V – объем шара, который определяется из извест-

ного соотношения

Тогда для определения величины силы давления шара на дно получается

выражение:

вв

ρρ

2ρ 2ρ

Nmg gmg

⎛⎞

=− = −

⎜⎟

⎝⎠

Подстановка исходных значений дает:

1000

0,8 10 1 3

2800

⎛⎞

⋅− =

⎜⎟

⋅

⎝⎠

Н.

Ответ: 3 Н.

Задачи для самостоятельного решения

При решении задач принять g = 10 м/с

9.1. В подводной части судна на глубине 5 метров образовалось отвер-

стие площадью 0,6 м

. Отверстие закрыто металлическим листом. Какая ми-

нимальная сила необходима, чтобы удержать лист изнутри?

9.2. Мальчик ростом 1,2 м ныряет в пруд так, что его вытянутое тело

входит в воду под углом 30° к горизонту. Чему равна разность давлений у

макушки головы и у пальцев ног мальчика, когда он полностью погрузился в

воду? Плотность воды 1000 кг/м

9.3. У основания здания давление в водопроводе равно 5⋅10

Па. Каким

будет давление воды на пятом этаже (высота 20 м от основания здания)?

Плотность воды 1000 кг/м

9.4. Аквариум в форме куба наполнен до верха водой. Во сколько раз

сила гидростатического давления на дно больше, чем на боковую стенку?

9.5. Какие силы давления испытывает дно и боковая поверхность со-

суда с квадратным дном со стороной длиной 2 м? Боковая сторона стенки со-

суда составляет угол 30° к вертикали. Высота столба воды в сосуде 10 м.

Плотность воды 1000 кг/м

. Атмосферное давление 10

Па.

9.6. В цилиндрический вертикальный сосуд налиты вода и масло в рав-

ных массах. Найти общее давление на дно сосуда, если граница раздела воды

и масла находится на высоте 10 см от дна. Плотность воды равна 10

кг/м

Атмосферное давление равно 10

Па.

9.7. Определить выталкивающую силу, действующую на целиком по-

груженный в воду кусок пробки массой 10 г. Плотность воды 10

кг/м

, плот-

ность пробки 300 кг/м

9.8. Кусок сплава плавает в ртути, погружаясь в нее на 75% своего объе-

ма. Определить плотность сплава, если плотность ртути 13600 кг/м

9.9. На сколько увеличится осадка теплохода у пристани в результате

погрузки 24 т груза, если площадь сечения по ватерлинии – 4000 м

? Плот-

ность воды 10

кг/м

9.10. Надводная часть айсберга имеет объем 500 м

. Определить объем

всего айсберга. Плотность льда – 900 кг/м

, плотность воды – 1000 кг/м

9.11. Полый цинковый шар объемом 70 см

плавает в воде, погружаясь в

нее наполовину. Найти объем полости в шаре. Плотность цинка 7000 кг/м

воды 1000 кг/м

9.12. Кусок железа весит в воде 100 Н. Определить его объем, если

плотность железа 7,8·10

. Плотность воды 1000 кг/м

9.13. Кусок алюминия в воздухе весит 27 Н, а в керосине 19 Н. Опреде-

лить плотность керосина, если плотность алюминия равна 2,7⋅10

кг/м