Деревянкина В.В., Кривецков С.Е., Першенков П.П. Сборник задач по физике

Подождите немного. Документ загружается.

Дано:

= 10 м/c

дв

= 4 с

Решение:

Кинематическая схема для решения задачи изобра-

жена на рисунке. В ней учтено, что при торможении ав-

томобиля вектор

S – ?

его ускорения a

направлен в сторону противоположную направлению векто-

ра его скорости

В выбранной системе координат уравнение движения автомобиля имеет

вид:

xt=−

величина его скорости определяется соотношением:

vv at

− .

При t = t

дв

по условию v = 0 и x = S. Подставив эти условия в записан-

ные выше уравнения, получим следующую систему уравнений:

0 дв

дв

0 дв

⎧

⎪

⎨

=−

⎪

⎩

Выразив из первого уравнения ускорение:

дв

и подставив это выра-

жение во второе, имеем:

0 дв 0 дв

0 дв

St=− =

Подстановка исходных данных дает:

10 4

⋅

м.

Ответ: 20 м.

7р) Двигаясь с постоянным ускорением, тело за 5 секунд прошло 100

метров. Какой путь оно прошло за последнюю секунду своего движения?

Дано:

S = 100 м

= 5 с

Решение:

Кинематическая схема для решения задачи изображена

на рисунке.

– ?

S(t = 4) S

В ней S(t = 4) – расстояние, пройденное телом за 4 секунды от начала

движения, S – расстояние, пройденное телом за пять секунд движения, а S

–

расстояние, пройденное телом за последнюю, пятую секунду движения. Из

рисунка видно, что

(

)

4SSSt=− =

Так как начальная скорость тела равна нулю, уравнение его движения

имеет вид

x =

В выбранной системе координат S(t = 4) = x(t = 4), имеем:

()

St==

, а S = x(t = 5) =

. Тогда

25 16 9

222

aaa

S =−=

При t = t

x = S, т.е.

S =

откуда

Подставив в S

выражение для ускорения a, получим:

Подстановка численных значений дает:

9100

⋅

= м.

Ответ: 36 м.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Автомобиль разгоняется из состояния покоя до скорости 36

км/час за 5 секунд.

Определить ускорение автомобиля и пройденный им за

это время путь, полагая, что он движется прямолинейно.

2.2. При наборе высоты самолет летит по прямой, составляющей угол

30° с горизонтом, с постоянным ускорением 2 м/с

. На какую высоту подни-

мется самолет за 10 секунд, считая от момента времени, когда скорость

его была равна 30 м/с?

2.3. По одному направлению из одной точки одновременно начали

движение два тела: одно равномерно со скоростью 980 м/с, другое – равноус-

коренно без начальной скорости с ускорением 9,8 м/с

. Через какое время

второе тело нагонит первое?

2.4. Велосипедист ехал по прямолинейному участку дороги со скоро-

стью 10 м/с. Когда он поравнялся с неподвижным автомобилем, тот начал

двигаться равноускоренно в том же направлении.

Определить скорость ав-

томобиля в тот момент, когда он догонит велосипедиста.

4 8 t, c

v, м/с

2.5. Снаряд, скорость которого 1500 м/с, пробивает стенку за 10

–3

с и

после этого имеет скорость 300 м/с.

Считая движение равнозамедленным,

определить толщину стены.

2.6. Во сколько раз скорость пули в середине ствола меньше, чем при

вылете из ствола?

Движение пули внутри ствола считать равноускоренным.

2.7. Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигалось равноускоренно и

приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м/с.

Какова была ско-

рость тела на половине этого расстояния?

2.8. За время 3 секунды после начала равноускоренного движения

первый вагон поезда проходит мимо наблюдателя, стоящего в начальный

момент времени у начала этого вагона.

За какое время

пройдет мимо наблю-

дателя весь поезд, состоящий из девяти вагонов?

2.9. Две частицы в момент

времени

t = 0 вышли из одной точки.

Определите по графикам зависимо-

сти скорости от времени время но-

вой встречи частиц

. Частицы дви-

жутся по одной прямой в одном на-

правлении.

2.10. По графику зависимости ско-

рости тела от времени

определить сред-

нюю скорость на первой половине пути

2.11. Тело за 15 с от начала движе-

ния прошло 180 м, двигаясь равноускоренно.

Какой путь оно пройдет за 50 с

от начала движения

2.12. Два пункта А и В расположены на расстоянии 240 метров друг от

друга на склоне горы. От пункта

А начинает равноускоренно спускаться к

пункту

В велосипедист с начальной скоростью 8 м/с. Одновременно из пунк-

та

В к пункту А начинает равнозамедленно подниматься мотоциклист с на-

чальной скоростью 16 м/c. Они встречаются через 10 секунд, к этому времени

велосипедист проехал 130 метров.

С каким ускорением ехал каждый их них?

2.13. Два автобуса выехали с остановки с интервалом в 1 минуту и

шли с одинаковым ускорением 0,4 м/c

. Через какое время после выхода пер-

вого автобуса расстояние между ними станет равным 4,2 км?

2.14. За пятую секунду равноускоренного движения из состояния по-

коя тело прошло 90 метров.

Какой путь оно пройдет за седьмую секунду сво-

его движения?

2.15. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на

платформе, за 5 с, а второй – за 4 с. Длина каждого вагона – 22,5 м.

Найти

ускорение поезда

v, м /с

0 2 4 6 8 10 t, с

2.16. В момент, когда опоздавший пассажир вбежал на платформу,

мимо него прошел за 2,2 с предпоследний вагон. Последний вагон прошел

мимо пассажира за 2 с.

На сколько опоздал пассажир к отходу поезда? По-

езд движется равноускоренно. Длина вагонов одинакова.

2.17. Путь тела разбит на равные отрезки. Тело начинает двигаться

равноускоренно и проходит первый отрезок за 1 с.

За сколько секунд тело

пройдет девятый отрезок

2.18. Поезд прошел 46 км за 40 мин. В начале движения он шел с уско-

рением +

a, в конце (до остановки) – с ускорением −a, остальное время с по-

стоянной скоростью 72 км/ч.

Чему равно абсолютное значение ускорения a?

2.19. На рисунке показаны графики зависи-

мости скоростей от времени для двух частиц, дви-

жущихся вдоль одной прямой из одного и того же

начального положения.

Найти время встречи час-

тиц

, если t

= 3 с, t

2 =

4 с.

Ответы. 2.1. 2 м/с

, 25м. 2.2. 200 м. 2.3. 200 с. 2.4. 20 м/с. 2.5. 0,9 м. 2.6.

2.7. 5 м/с. 2.8. 9 с. 2.9. 20 с. 2.10. 1,2 м/с. 2.11. 2000 м. 2.12. 1 м/с

, 1

м/с

2.13. 205 с. 2.14. 130 м. 2.15. 0,25 м/с

. 2.16. ≈20 с. 2.17. ≈0,18 с. 2.18.

0,2 м/с

. 2.19. 6 с.

Свободное падение

Если ось X параллельна поверхности земли, ось Y направлена верти-

кально вверх, то при движении тела в поле силы тяжести Земли

00 0

v; v v;

v;vv,

XXX

YYY

xx t

yt gt

=+ − = −

. (1.13)

Задачи с решениями

8р) Два тела брошены вертикально вверх друг за другом с интервалом в

4 секунды. Начальная скорость тел одинакова и равна 30 м/с. Через какой

промежуток времени после вылета второго тела они столкнутся?

Дано:

= 30 м/c

Δt = 4 с

Решение:

Исходя из вопроса задачи, имеет смысл кинематические

часы включить в момент начала движения второго тела.

Уравнение его движения в соответствии с кинематиче-

– ? ской схемой, изображенной на рисунке, имеет вид:

yt=−

Так как первое тело во времени опережает кинематические

часы, уравнение его движения будет содержать время tt

Δ , т.е.:

()

ytt

=+Δ−

В момент столкновения координаты тел будут одинако-

вы, то есть при t = t

= y

. Получаем уравнение вида:

()

(

)

0 с 0 с

ttt

−= +Δ−

Раскрыв квадрат суммы, получим:

()

0 с 0c 0 c c c

vvv 2

gt g

ttttttt−=+Δ− +Δ+Δ

Приведя подобные члены, имеем:

gt t t g

Δ= Δ−

Откуда

2v 2 30 10 4

2210

−Δ ⋅ − ⋅

== =

⋅

с.

Ответ: 1 с.

9р) Пуля пущена с начальной скоростью 200 м/с под углом 60° к гори-

зонту. Определить максимальную высоту ее подъема и дальность полета.

Дано:

= 200 м/c

α = 60°

Решение:

Кинематическая схема задачи имеет вид, изображенный

на рисунке:

S, h – ?

Из него видно, что проекция начальной скорости на ось X

vvcosα

=⋅ ,

проекция начальной скорости на ось Y

vvsinα

⋅

Уравнения движения тела имеют вид:

yt=−

В момент падения, который обозначим t

дв

вертикальная координата тела

= 0, а координата

равна искомому расстоянию

. Математически это означает:

дв

0 дв

t=−

0 дв

Из первого уравнения

дв

(корень t

дв

= 0 нас не интересует, так как со-

ответствует началу движения).

Подставив полученный корень во второе уравнение, имеем:

2v v

2v sin cos v sin2

3,53 10

gg g

α⋅ α α

===⋅м.

В данном случае траектория тела симметричная, поэтому можно счи-

тать, что t

дв

в два раза больше времени подъема тела до высшей точки его

траектории. Максимальная высота подъема определяется координатой Y в

момент времени t

= t

дв

/2. То есть

000

дв

vvv

v1,5310

222

yyy

hyt

ggg

⎛⎞

==⋅−⋅==⋅

⎜⎟

⎝⎠

м.

Ответ: 1,53·10

м.

Задачи для самостоятельного решения

При решении задач принять g = 10 м/с

3.1.

Тело свободно упало с высоты 500 метров. Определить среднюю

скорость падения тела.

3.2. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоро-

стью 5 м/с. Через 2 секунды мячик упал на землю. Определить высоту бал-

кона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

3.3. Из равномерно поднимающегося вертолета вертикально вверх

брошен предмет со скоростью 20 м/с относительно вертолета. Через сколько

времени встретятся вертолет и предмет?

3.4. Тело бросают вертикально вверх со скоростью 40 м/с относитель-

но земли. Одновременно с предельной высоты, которой может достичь это

тело, начинает падать вертикально вниз другое тело с той же начальной ско-

ростью. Определить время, по истечении которого тела встретятся.

3.5. Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты одно за

другим через 1 с. Через какое время от начала падения первого тела рас-

стояние между телами будет равно 20 м?

3.6. Из гондолы аэростата, поднимающегося равномерно со скоростью

4 м/с, на высоте 15 м от земли бросили вверх камень со скоростью 6 м/с от-

носительно аэростата. На какой высоте будет аэростат в момент падения

камня на землю?

3.7. Самолет летит горизонтально со скоростью 720 км/ч на высоте

500 м. Когда он пролетает над точкой А, с него сбрасывают груз. На каком

расстоянии от точки А груз упадет на землю?

3.8. Тело брошено горизонтально. Через 3 секунды после броска угол

между направлением полной скорости и полного ускорения стал равным 60°.

Определить величину полной скорости.

3.9. Определить синус угла, под которым тело было брошено к гори-

зонту, если через 5 секунд после начала движения его скорость была направ-

лена горизонтально. Начальная скорость тела 100 м/c.

3.10. Тело брошено под углом 30° к горизонту с начальной скоростью

50 м/с. Через какое время тело достигнет высшей точки подъема?

3.11. Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей вы-

соты достигает мяч во время игры, если от одного игрока к другому мяч ле-

тит 2 секунды?

3.12. Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находил-

ся в полете 12 секунд. Какой наибольшей высоты достиг снаряд?

3.13. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы дальность

его полета была в четыре раза больше максимальной высоты его подъема?

3.14. Из пружинного пистолета пуля вылетает со скоростью 20 м/с.

Под каким минимальным углом к горизонту надо произвести выстрел, чтобы

поразить цель, находящуюся на расстоянии 20 м на одном уровне с писто-

летом?

3.15. Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью

20 м/с. Через какое время оно будет двигаться под углом 45° к горизонту?

3.16. С какой скоростью должен в момент старта ракеты выле-

теть снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ус-

корением 10 м/с

? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно 500 м,

пушка стреляет под углом 45° к горизонту.

3.17. Летчик бомбардировщика обнаружил корабль противника, иду-

щий встречным курсом с постоянной скоростью. Пикируя точно на корабль

под углом 45° к горизонту, летчик сбрасывает бомбу и поражает цель. Како-

ва была скорость корабля, если в момент освобождения бомбы самолет пи-

кировал со скоростью 720 км/ч, находясь на высоте 500 м?

3.18. Камень бросают горизонтально с вершины горы, склон которой

образует угол α с горизонтом. С какой скоростью нужно бросить камень,

чтобы он упал на склон горы на расстоянии L от вершины?

3.19. Одна из труб фонтана, расположенного на уровне поверхности

земли, наклонена под углом 45° к горизонту. Струя из этой трубы достигает

земли на расстоянии 10 метров от трубы. Сечение отверстия трубы 1 см

. Оп-

ределить объем воды, вытекающей из трубы за 1 час.

3.20. Мяч падает из состояния покоя вертикально с высоты 1 м на

наклонную доску. Расстояние между точками первого и второго удара мяча о

доску равно 4 м. Удар – абсолютно упругий. Определить угол наклона доски

к горизонту.

Ответы. 3.1. 50 м/с. 3.2. 10 м, 15 м/с . 3.3. 4 с. 3.4. 1с. 3.5. 2,5 с.

3.6. 27 м. 3.7. 2000 м. 3.8. 60 м/с. 3.9. 0,5. 3.10. 2,5 с. 3.11. 5 м. 3.12. 180 м.

3.13. 45°. 3.14. 15°. 3.15. ≈0,73 с, ≈2,73 с. 3.16. 100 м/с. 3.17. ≈15 м/с.

3.18.

2sin

ctg

. 3.19. 3,6 м

. 3.20. 30°.

Вращательное движение

Частота вращения

, (1.14)

где T – период вращения.

Угловая скорость

tΔ

= , (1.15)

где

ϕΔ – угол поворота за время tΔ ;

2π

2 n

ω= = π

. (1.16)

Связь линейной и угловой скорости при вращательном движении

v, (1.17)

где r – радиус окружности.

Центростремительное ускорение

ω==

. (1.18)

При качении тела скорость каждой его точки

ПВР

vv v

rr r

, (1.19)

где

ВР

– скорости, обусловленные поступательным и вращательным

движениями, соответственно.

Задачи с решениями

10р) Автомобиль движется равномерно и прямолинейно по сухому шос-

се со скоростью 72 км/ч. Определить в км/час наибольшую и наименьшую

скорости точек на ободе его колес относительно поверхности дороги.

Дано:

v = 72 км/ч

Решение:

Изобразим на рисунке колесо автомобиля, у которого

центр колеса, очевидно, перемещается со скоростью

mаx

– ? v

min

– ? движения самого автомобиля.

В любой момент времени каждая точка колеса

участвует как в поступательном, так и во враща-

тельном движениях. Величина суммарной ско-

рости конкретной точки относительно дороги в

каждый момент равна векторной сумме скоро-

сти поступательного и вращательного движений

ПВР

v=v +v

В верхней точке колеса А (см. рисунок) эти век-

торы направлены в одну сторону, их векторное

сложение дает скалярную сумму указанных величин

врпA

vvv

Вр

Известно, что величина линейной скорости вращательного движения

вр

v точек, лежащих на ободе колеса, равна скорости поступательного движе-

ния центра колеса

. Поскольку скорость поступательного движения колеса

v, то 1442Vv

== км/ч.

Точка А – единственная точка колеса, в которой описанные векторы на-

правлены в одну сторону (в остальных точках они направлены под разными

углами). Следовательно, именно это точка имеет максимальную скорость, т.е.

mаx

= 144 км/ч.

Теперь рассмотрим точку O. Векторы

вр

направлены здесь в раз-

ные стороны, поэтому их векторное сложение приводит к скалярному вычи-

танию указанных величин, то есть

Опвр

vvv=−.

Вследствие равенства модулей этих векторов

Это наименьшая из всех возможных значений скорости величина. То есть

min

= 0.

Ответ: v

mаx

= 144 км/ч, v

min

= 0.

11р) Две параллельные рейки движутся со скоростями v

= 6 м/c и

= 4 м/c (см. рис). Между рейками зажат диск (см. рисунок), катящийся по

рейкам без скольжения. Какова скорость его центра?

Дано:

= 6 м/c

= 4 м/c

Решение:

При решении задач такого рода следует по заданным ис-

ходным данным определить направление вращения диска и

указать его на рисунке. Кроме того, необходимо уяснить,

–

? в каком направлении поступательно перемещается центр

диска.

Вр

В рассматриваемой задаче диск будет вращаться по направлению часо-

вой стрелки (на рисунке показано направление вращения тела), перемещение

его центра в пространстве будет происходить слева направо с искомой ско-

рость, вектор которой

. Каждая точка диска одновременно участвует как в

поступательном со скоростью перемещения центра v

, так и во вращательном

движении с линейной скоростью v

вр

, величина и направление которой зави-

сят от положения точки на диске. В точке диска, которая сопрягается с верх-

ней рейкой направление вектора

ВР

будет совпадать с направлением векто-

ра

, а в нижней точке диска вектор

ВР

будет направлен противоположно

вектору

. Результирующая скорость диска как в точке А, так и в точке В

будет такой, какова скорость соответствующей рейки, сцепленной с диском в

данной точке. То есть в точке А:

0 ВР

vv+v=

uurr r

а в точке В:

20ВР

v=v+v

rrr

В скалярной форме вследствие изображенного направления складывае-

мых векторов, получим:

ВР01

vvv

ВР02

vvv

−

= .

Сложение этих уравнений дает:

210

vv2v

отсюда

м/c.

Ответ: 5 м/c.

Задачи для самостоятельного решения

При решении задач принять g = 10 м/с

4.1. Сколько оборотов сделает колесо, имеющее угловую скорость

4 рад/с за 50 секунд?

4.2. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линей-

ная скорость точки, лежащей на ободе, в 2 раза больше линейной скорости

точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

4.3. Линейная скорость точек на ободе вращающегося колеса равна

3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную ско-

рость 2 м/с. Сколько оборотов в секунду делает колесо?

4.4. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки, рас-

положенные на расстояниях 30 см от оси, за 20 секунд проходят путь 4 мет-

ра. Сколько оборотов за это время сделал диск? Чему равен период обраще-

ния диска?