Деревянкина В.В., Кривецков С.Е., Першенков П.П. Сборник задач по физике

Подождите немного. Документ загружается.

4.5. Минутная стрелка часов в четыре раза длиннее секундной. Во

сколько раз линейная скорость конца секундной стрелки больше линейной

скорости конца минутной стрелки?

4.6. Две частицы 1 и 2 движутся по окружности с посто-

янными угловыми скоростями: ω

= π/6 рад/с и ω

2 =

π/3 рад/с. В

начальный момент времени угол между радиусами, прове-

денными к частицам, равен π/3. В какой момент времени

частицы встретятся?

4.7. Найти линейную скорость и центростремитель-

ное ускорение точек на экваторе Земли, если ее радиус равен 6400 км.

4.8. Лопасти ветряной мельницы вращаются с постоянной угловой

скоростью. Центростремительное ускорение точек, находящихся на конце

лопасти, 6 м/с

. Определить центростремительное ускорение точек, лежа-

щих на средине лопасти.

4.9. Гладкий диск радиусом R, плоскость которого горизонтальна,

вращается вокруг своей оси с частотой 40 об/мин. От поверхности диска на

расстоянии R/2 от оси отрывается небольшое тело, которое без трения сколь-

зит по диску. Через какое время оно соскользнет с диска?

4.10. При взрыве покоящейся бомбы, имеющей форму цилиндра ра-

диусом 0,2 м, осколки, разлетающиеся в радиальных направлениях, за время

1 с удаляются от оси цилиндра на расстояние 40 м. На какое расстояние от

оси цилиндра удалятся осколки за то же время, если в момент взрыва бомба

будет вращаться вокруг своей оси с угловой скоростью

150 рад/с? Влиянием

силы тяжести пренебречь.

4.11. Ось с двумя тонкими дисками, расположенными на расстоянии

0,5 м друг от друга, вращается с частотой 1500 об/мин. Пуля, летящая парал-

лельно оси, пробивает оба диска. При этом отверстие от пули во втором дис-

ке смещено по углу относительно отверстия в первом диске на 0,1π рад.

Найти скорость пули.

4.12. Пустотелый цилиндр диаметром 1 м вращается с постоянной

частотой 100 об/с вокруг своей оси, расположенной вертикально. Горизон-

тально летевшая с постоянной скоростью пуля пробила цилиндр вдоль его

диаметра. Чему равна максимальная скорость пули внутри цилиндра, если

входное и выходное отверстия совпали? Влиянием силы тяжести пренебречь.

4.13. Диск катится без проскальзывания

со скоростью 10 м/с. Какова скорость точки А?

Как она направлена? Ответ обоснуйте.

4.14. На экране демонстрируется движущаяся повозка. Радиус колес

повозки 1/π м. Каждое колесо имеет 6 спиц. Скорость перемещения кино-

пленки равна 24 кадрам в с. Считая, что колеса повозки катятся без проскаль-

зывания, определить, с какой минимальной скоростью должна двигаться по-

возка, чтобы ее колеса казались на экране невращающимися.

4.15. Две параллельные рейки движутся со

скоростями V

1 =

0,4 м/с и V

2 =

0,6 м/с (см. рис.). Между

рейками зажат диск, катящийся по ним без проскаль-

зывания. Найти угловую скорость диска и скорость

центра диска. Диаметр диска равен 20 см.

4.16. Две параллельные рейки движутся

со скоростями V

1 =

0,3 м/с и V

2 =

0,1 м/с (см. рис.).

Между рейками зажат диск, катящийся по ним

без проскальзывания. Найти угловую скорость

диска, а также скорость его центра. Диаметр

диска равен 20 см.

4.17. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых

катков. На сколько переместится каждый каток, когда платформа передви-

нется на 1 м?

4.18. Винт аэросаней вращается с частотой 360 об/мин. Скорость по-

ступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью дви-

жется один из концов винта, если его радиус равен 1 м?

4.19. Волчок, вращаясь с частотой 20 об/с, свободно падает с высоты

5 метров. Сколько оборотов сделает он за время падения? Начальная ско-

рость падения волчка равна нулю.

4.20. С колеса автомобиля, движущегося с

постоянной скоростью v = 4 м/с, слетают комки

грязи. Радиус колеса R = 0,4 м. На какую высоту

над дорогой будет отбрасываться грязь, оторвав-

шаяся от точки А колеса, указанной на рисунке, ко-

торой соответствует угол α = 60°? Колесо катится без проскальзывания.

Ответы. 4.1. 32. 4.2. 0,1 м. 4.3. 1,6 об/с. 4.4. 2,1 об, 9,4 с. 4.5. 15.

4.6. 10 с. 4.7. 465 м/с; 0,034 м/с

. 4.8. 3 м/с

. 4.9. 0,41 с. 4.10. 50 м.

4.11. 250 м/с. 4.12. 200 м/с. 4.13. ≈ 14 м/с. 4.14. 8 м/с. 4.15. 1 рад/с,

0,5 м/с. 4.16. 2 рад/с, 0,1 м/с. 4.17. 0,5 м. 4.18. 40 м/с. 4.19. 20. 4.20. 0,8 м.

2 Динамика

Законы Ньютона

I закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, в которых ма-

териальная точка сохраняет неизменной свою скорость, если на нее не дейст-

вуют силы или действие всех сил скомпенсировано. Такие системы отсчета

называются инерциальными.

II закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета ускорение мате-

риальной точки с массой m

, (2.1)

где

∑

– равнодействующая всех сил, действующих на материальную

точку.

III закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета тела действуют

друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по на-

правлению:

12 21

,FF=−

(2.2)

где

– сила, действующая со стороны 1 тела на 2;

– сила, действующая

со стороны 2 тела на 1.

Сила гравитационного притяжения двух материальных точек с мас-

сами

иmm

, расположенных на расстоянии r друг от друга,

гр

, (2.3)

где G = 6,67

⋅10

−11

Н⋅м

/кг

– гравитационная постоянная.

Таким же выражением определяется и сила гравитационного взаимо-

действия двух шарообразных тел, но под r понимается расстояние между

центрами шаров.

Сила тяжести

тяж

mg=

, (2.4)

Где

()

– ускорение свободного падения (М – масса Земли; R – ра-

диус Земли;

h – высота тела над поверхностью Земли). Для малых высот

м/с 8,9 , ≈≈<<

gRh . Направлено ускорение свободного падения

центру Земли.

Сила упругости (закон Гука)

уп. X

Fkx

−

, (2.5)

где

уп.X

– проекция силы упругости на ось Х, проведенную в направлении

растяжения;

x – величина деформации; k – коэффициент жесткости тела.

Сила трения скольжения

тр

, (2.6)

где

μ – коэффициент трения; N – сила нормального давления.

Задачи с решениями

12р) Два груза массами m

= 1 кг

и m

2 =

2 кг соединены невесомой не-

растяжимой нитью, перекинутой через легкий блок, подвешенный к динамо-

метру. Какое значение покажет динамометр во время движения грузов? Тре-

ния в оси блока нет.

Дано:

= 1 кг

= 2 кг

Решение:

Рассматриваемая механическая система изображена на ри-

сунке. На каждый из грузов действует сила тяжести и сила

натяжения нити,

– ?

причем в силу того, что блок практически невесом, силы

натяжения нити слева и справа от блока одинаковы. На ди-

намометр действует сила

, на блок – сила реакции под-

веса

uur

и силы натяжения

′

нити слева и справа от блока.

По третьему закону Ньютона сила

равна по величине

силе

N. Следовательно, задача сводится к определению по-

следней при условии, что грузы движутся с одинаковым по

величине ускорением, а блок неподвижен. Запишем основ-

ное уравнение динамики для каждого из рассматриваемых

в задаче тел – двух грузов и блока в векторной форме:

ma mg T

rurur

ma mg T

rurur

NT T

′

++=

uruuruur

Учтем, что по третьему закону Ньютона силы

T и T

′

имеют равную ве-

личину и при заданных числовых данных груз массой

поднимается, а груз

массой

опускается. При записи динамических уравнений в скалярной

форме будем считать, что силы, направление действия которых совпадают с

направлением вектора ускорения, положительны. Тогда система расчетных

уравнений будет иметь вид:

ma T mg

ma mg T

=−

⎧

⎪

−

⎨

⎪

−=

⎩

Складывая первые два, получим:

(

)

(

)

12 21

am m gm m+= −

′

Отсюда

−

Подставляя это выражение в первое уравнение системы, имеем:

2mm

Из последнего уравнения получаем, что

N = F

4mm

Подстановка исходных значений дает:

26F

≈

Н.

Ответ: 26 Н.

13p) По горизонтальной поверхности движется тело массой 2 кг под дей-

ствием силы в 8 Н, направленной под углом 60° к горизонту вверх. Найти

расстояние, которое прошло тело, если скорость его увеличилась от 3 до 5

м/с, а коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,1.

Дано:

m = 2 кг

F = 8 Н

α = 60°

= 3 м/с

= 5 м/с

μ = 0,1

Решение:

Поскольку рассматриваемое в задаче тело движется с ус-

корением, для определения искомого расстояния удобно

воспользоваться известным соотношением кинематики

−

= . Следовательно, необходимо решить задачу

динамики по определению ускорения тела, которое

S – ? находится под влиянием

заданных сил. Рассматриваемая механи-

ческая система изображена на рисунке.

На нем

– вектор силы, заданной в

условии задачи,

– реакция опоры,

тр

–

сила трения скольжения,

– сила тя-

жести. Основное уравнение динамики

для этого случая имеет вид:

тр

am F F N mg=+ ++

ruruuuruurur

Для проекций этого векторного уравне-

ния на координатные оси получим:

тр

ось :cosα

ось :0 sinα

Xam F F

YNF mg

=−

=+ −

По определению силы трения скольжения

тр

μFN

Имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными, из решения которой

следует:

sin αNmgF=−

тр

μμsin αFmgF=−

тр

cosαμ μsin αFmgF

−

= .

Искомая в задаче величина выразится формулой вида:

()

2cosαμ μsinα

FmgF

−

−+

Подставив исходные данные задачи, получим:

()

25 9 2

2 8 0,5 0,1 2 10 0,1 8 0,85

−

≈

⋅−⋅⋅+⋅⋅

м.

Ответ: 6 м.

14p) Тело соскальзывает без начальной скорости с наклонной плоскости.

Угол наклона плоскости к горизонту 30°, длина наклонной плоскости 2 мет-

ра. Коэффициент трения тела о плоскость 0,3. Каково ускорение тела?

Сколько времени длится соскальзывание?

Дано:

α = 30°

l = 2 м

μ = 0,3

Решение:

На тело при его движении действуют

сила тяжести mg

сила реакции опоры

и сила трения

тр

. Основное урав-

нение динамики для этого случая имеет вид:

а – ?

тр

am F N mg=++

ruruurur

– ?

При решении динамических задач обычно координату X направляют по

направлению вектора

, соответственно ось Y перпендикулярна этому векто-

ру. Для указанных направлений координатных осей проекции основного

уравнения динамики имеют вид:

тр

ось :

ось :0

Xam mg F

YNmg

−

=−

где

mg – проекция силы тяжести на координатную ось X,

mg – проекция

силы тяжести на ось Y. Из прямоугольного треугольника сил (см. рисунок)

sin

mg mg=⋅α

cos

mg mg

⋅α

. К полученной системе добавляем опреде-

ление трения скольжения

тр

=μ

. Теперь решаем систему уравнений:

тр

am mg F

Nmg

⎧

=−

⎪

=−

⎨

⎪

=μ

⎩

относительно величины а. В процессе решения получаем:

cosNmg=⋅α,

тр

cosFmg=

⋅α,

sin cosam mg mg

⋅α−

⋅α.

Из последнего соотношения

(

)

sin cosag=α−

⋅α

Подставив исходные данные, имеем:

(

)

10 0,5 0,3 0,85 2, 45a

−⋅ =

м/с

Кинематическое уравнение движения тела в этом случае имеет вид:

x =

При t = t

x = l, то есть:

l =

откуда

222

1, 27

2,45

⋅

== =с.

Ответ: 1,27 с.

Задачи для самостоятельного решения

При решении задач принять g = 10 м/с

5.1. С каким максимальным ускорением можно поднимать на веревке

тело массой 200 кг, если она выдерживает неподвижный груз массой 240 кг?

Груз какой максимальной массы можно опускать на этой веревке с таким

же ускорением?

5.2. Масса первого вагона больше массы второго вагона на 5 тонн.

Каковы массы вагонов, если под действием одинаковых сил они приобретут

ускорения 1 м/с

и 1,1 м/с

. Трением пренебречь.

5.3. Груз массой 50 кг из состояния покоя равноускоренно поднимают

при помощи каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Опреде-

лить силу натяжения каната.

5.4. Тело массой 3 кг падает в воздухе вертикально вниз с ускорением

8 м/с

. Найти силу сопротивления воздуха.

5.5. Автомобиль трогается с места с ускорением 2 м/с

. При 50 км/ч

ускорение автомобиля стало равным 1 м/с

. С какой установившейся скоро-

стью будет двигаться автомобиль, если сила сопротивления пропорцио-

нальна скорости? Силу тяги двигателя при движении автомобиля считать по-

стоянной.

5.6. Шайба массой 200 г, летящая горизонтально со скоростью 20 м/с,

ударяется о борт под углом 30° к нему и отскакивает. Считая удар абсолютно

упругим, определить среднюю силу действия шайбы на борт. Продолжи-

тельность удара – 0,01 с.

5.7. Шар массой 1 кг брошен под некоторым углом к горизонту. В

момент, когда он достиг высшей точки траектории, его ускорение равнялось

12,5 м/с

. Какая сила сопротивления воздуха действовала на него в этот мо-

мент?

5.8. На тело массой 2 килограмма, лежащее на горизонтальной по-

верхности, действуют две силы F

1 =

6 Н и F

2 =

8 Н, направленные горизон-

тально и перпендикулярные друг к другу. Определить ускорение тела, если

коэффициент трения 0,2.

5.9. Тело массой 10 кг находится на горизонтальной плоскости. На

тело один раз подействовали горизонтальной силой 5 Н, а другой раз – силой

50 Н, направленной вверх под углом 30° к горизонту. Во сколько раз сила

трения во втором случае больше, чем в первом, если коэффициент трения

равен 0,2?

5.1. Сани массой 100 кг движутся равноускоренно в горизонтальном

направлении. Сила тяги 1 кН приложена под углом 30° к горизонту. Коэффи-

циент трения равен 0,13. Найти ускорение саней (

73,13 =

5.11. Два груза массой 100 г и 150 г соединены нерастяжимой, неве-

сомой нитью, перекинутой через блок. Блок невесомый. Найти ускорение

грузов. Трение в блоке не учитывать.

5.12. Блок подвешен к потолку с помощью троса. Через блок переки-

нута нить с двумя грузами. Чему равно отношение масс грузов, если во время

их движения натяжение троса равно силе тяжести более тяжелого груза?

Массой блока и нити пренебречь.

5.13. Грузы, показанные на рисунке, движутся по гладкой горизон-

тальной плоскости под действием силы

F = 100 Н. Когда сила была приложена

к правому грузу, натяжение нити, свя-

зывающей грузы, было равно 40 Н. Каким будет натяжение нити, если при-

ложить эту же силу к левому грузу? Масса грузов неизвестна.

5.14. На гладком горизонтальном

столе лежит брусок массой 2 кг, на котором

находится брусок массой 1 кг. Бруски со-

единены нитью, перекинутой через блок.

Какую силу F нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он начал двигать-

ся от блока с ускорением 5 м/с

? Коэффициент трения между брусками равен

0,5. Трением между нижним бруском и поверхностью стола, массой блока и

нити пренебречь.

5.15. Брусок массой m

= 1 кг лежит на

горизонтальной плоскости. К нему под углом

α = 30° прикреплена нерастяжимая нить, кото-

рая перекинута через неподвижный блок. Ка-

кой минимальной массы груз m

надо подве-

сить на другой конец для того, чтобы брусок

сдвинуть с места, если коэффициент трения покоя равен 0,3? Массой блока,

нити и трением в блоке пренебречь.

5.16. Тело движется вверх по вертикальной стене под действием силы

20 Н, направленной под углом 30° к вертикали. Масса тела 1 кг. Найти уско-

рение тела, если коэффициент трения тела о стену 0,4 (

= 1,7).

5.17. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом на-

клона 40°. Определить коэффициент трения тела о плоскость. (Тангенс

40° = 0,84).

5.18. Найти ускорение тела, соскальзывающего с наклонной плоско-

сти, образующей с горизонтом угол 30°. Коэффициент трения между телом и

плоскостью 0,3.

5.19. Небольшое тело резко толкнули снизу вверх вдоль наклонной

плоскости, составляющей угол 60° с горизонтом. Найти коэффициент тре-

ния, если время подъема оказалось на 20% меньше времени спуска.

5.20. На тело массой 50 кг, находящее-

ся на наклонной плоскости, действует горизон-

тально направленная сила F = 10 Н. Найти ус-

корение тела, если наклонная плоскость со-

ставляет с горизонтом угол α = 30°, а коэффи-

циент трения равен 0,1.

5.21. На тело массой 5 кг, находящееся

на наклонной плоскости, действует горизон-

тально направленная сила F = 100 Н. Найти

ускорение тела, если наклонная плоскость со-

ставляет с горизонтом угол α = 30°.

5.22. Наклонная плоскость, состав-

ляющая с горизонтом угол 60°, вверху пе-

реходит в горизонтальную поверхность.

Два бруска одинаковой массы 1 кг соеди-

нены нерастяжимой нитью, перекинутой

через невесомый блок. Один брусок нахо-

дится на наклонной плоскости, а второй –

на верхней горизонтальной. Найти силу натяжения нити и ускорение

системы, если коэффициент трения равен 0,3.

5.23. Наклонная плоскость составляет угол α = 30° с горизонтом.

Отношение m

1 =

2/5. Коэффициент трения

между телом m

и наклонной плоскостью ра-

вен 0,1. Массы блока и нити пренебрежимо

малы. Найти ускорение тел, если система

пришла в движение из состояния покоя.

5.24. Автомобиль с грузом массой

5 тонн проходит по выпуклому мосту со ско-

ростью 21,6 км/ч. С какой силой он давит на

средину моста, если радиус кривизны моста 50 м?

5.25. С какой скоростью должен двигаться велосипедист по выпук-

лому мосту, имеющему радиус кривизны 120 метров, чтобы в верхней точке

моста давление на дорогу было в 3 раза меньше, чем при движении на гори-

зонтальном участке?

5.26. Представьте себе, что Земля начала вращаться настолько быстро,

что тела, находящиеся на экваторе, стали невесомы. Какой была бы в этом

случае продолжительность суток? Радиус Земли – 6400 км.

5.27. На рисунке изображен так называе-

мый конический маятник, состоящий из шарика,

прикрепленного к нити, описывающий окруж-

ность в горизонтальной плоскости. Длина нити –

1 м, угол отклонения нити от вертикали – 45°.

Найти скорость шарика.

5.28. Самолет делает поворот в горизонтальной плоскости, двигаясь с

постоянной скоростью 2000 км/ч. При каком радиусе кривизны траектории

летчик будет испытывать пятикратную перегрузку?

5.29. Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы ра-

диусом 4 метра. С какой максимальной частотой может вращаться плат-

форма вокруг вертикальной оси, чтобы человек удержался на ней при коэф-

фициенте трения 0,2?

5.30. Шарик массой m, прикрепленный к резиновому шнуру, совер-

шает вращательное движение, скользя по гладкой горизонтальной плоско-

сти. Период обращения шарика равен T. Найти радиус окружности, по ко-

торой будет двигаться шарик, если жесткость шнура k. Длина нерастянуто-

го шнура

Ответы. 5.1. 2 м/с

, 300 кг. 5.2. 55 т, 50 т. 5.3. 750 Н. 5.4. 6 Н.

5.5. 100 км/ч. 5.6. 400Н. 5.7. 7,5 Н. 5.8. 3 м/с

. 5.9. В 3 раза. 5.10. 8 м/с

5.11. 2 м/с

. 5.12. 3. 5.13. 60 Н. 5.14. 25 Н. 5.15. ≈0,3 кг. 5.16. 3 м/с

. 5.17. 0,84.

5.18. 2,45 м/с

. 5.19. 0,38. 5.20.≈4,3м/с

. 5.21.≈22м/с

. 5.22. ≈5Н, ≈2м/с