Таким образом, если будут выполнены различные серии опытов с реги-
страцией случайных значений, или реализаций, величины x, будут получены
несколько случайных выборок, выступающих как часть одной и той же гене-
ральной совокупности. Каждой из этих выборок будет соответствовать свой
выборочный закон распределения, являющийся некоторым приближением
истинного закона.
Можно выделить два основных вида задач обработки случайных выбо-
рок:
- получение выборочного закона распределения;
- определение некоторых оценок, то есть приближений моментов или па-
раметров истинного закона распределения.
Статистикой называется некоторая функция, определенная на выбор-
ке, y
n
=y(x
1
,x
2
,…,x
n
), значение которой может быть предсказано с суще-
ственно более высокой точностью, чем значение случайной величины, обр а-
зующей выборку [20].
Поясним суть такого свойства, называемого статистической устойчи-
востью, на примере.
Пусть получена выборка значений случайной величины x объемом
n=10: 1,2; 1,8; 2,2; 2,5; 2,1; 1,9; 1,8; 1,5; 1,3; 2,4.
Найдем: среднее арифметическое
и вероятность того, что на-
блюдаемое значение x оказывается большим 2, p
А
=P(x>2)=0,4.
Если на основе имеющейся выборки попытаться предсказать значения,
которые примут случайные величины x,
и p
А
после проведения дополни-
тельного 11-го опыта, то можно сделать следующие предположения:
1,2≤x≤2,5; 1,81≤
≤1,93; 0,36≤p
А
≤0,45.
Очевидно, при больших n прогнозируемые диапазоны для
и p
А
ока-
жутся значительно более узкими, в отличие от x. Таким образом, они действи-
тельно обладают статистической устойчивостью и могут использоваться как
статистики.
Выбор той или иной статистики в качестве оценки искомой величины в
конкретной задаче не всегда однозначен. Помимо статистической устойчиво-
сти, к оценке предъявляются следующие требования:
1. Состоятельность – оценка должна сходиться по вероятности к
оцениваемой величине. Для этого достаточно, чтобы предел дисперсии оцен-
ки был равен нулю при n→∞.