Ежков В.В., Зарудский Г.К., Зуев Э.Н. и др. Электрические системы и сети в примерах и иллюстрациях

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА 9

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В РАСЧЕТАХ

НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

Задачи этой главы посвящены определению показателей наде-

жности различных схем систем электроснабжения. В качестве

модели отказов и восстановлений элементов систем используют-

ся случайные события, случайные величины, случайные процессы.

Под надежностью элемента или системы понимают свойство

элемента или системы выполнять заданные функции, сохраняя

показатели в заданных условиях эксплуатации.

Надежность характеризуется следующими показателями:

вероятностью безотказной работы, т. е. вероятностью того,

что при заданных условиях работы не произойдет отказа или что

время безотказной работы Г элемента или системы будет больше

или равно времени t:

p(t)=p(T>ty, (9.1)

2) вероятностью отказа — вероятностью того, что в задан-

ном интервале времени произойдет хотя бы один отказ или что

время безотказной работы Т будет меньше времени /:

q{t)=\-p{t)=p{T<t), (9.2)

где q{t) как функция времени обладает всеми свойствами интег-

ральной функции распределения случайной величины — времени

безотказной работы;

3) частотой отказов или плотностью вероятности времени

безотказной работы

a{t)=q'{t)=~p'(t\ (9.3)

q{t)J\a{t)df, (9.4)

4) интенсивностью отказов — отношением частоты отказов

к вероятности безотказной работы

(9.5)

240

где А

(О

Л — условная вероятность отказа элементов или си-

стемы при условии, что он не отказал на интервале [О,

/];

а (/)

dt — безусловная вероятность отказа элемента на ин-

тервале dt.

Элементы электрических систем (генераторы, трансформато-

ры, линии электропередачи, коммутирующие аппараты и др.)

являются восстанавливаемыми элементами. Продолжительность

времени восстановления — случайная величина, поэтому восста-

навливаемые элементы характеризуются дополнительно следу-

ющими параметрами:

5) вероятностью восстановления элемента системы за время t

4t)=P{T,<t)- (9.6)

6) вероятностью невосстановления элемента (системы) за

время

O)(0=p(7;>/)=l-v(/) (9.7)

(функция v(/) является интегральной функщ1ей распределения

случайной величины времени восстановления);

7) плотностью вероятности времени восстановления

fl.(/v = v(/)=-a)4/), (9.8)

v(0=Jfl.(0A; (9.9)

8) интенсивностью восстановления — отношением плотности

вероятности восстановления к вероятности невосстановления:

"•О •

(0'(1)

/х(0= = -= . (9.10)

<о(0 to(f) l-v(()

Решая уравнения (9.5) относительно p(t) или (9.10) относите-

льно со (О, получаем экспонешщальный закон надежности или

восстановления: ^

_ Ь(»)л

р(0=ео ; (9.11)

(oiO^to"^'^"; (9.12)

9) параметром потока отказов восстанавливаемого элемен-

та — средним количеством отказов в единицу времени o)(t):

coo(0=a(t)+jo}o(x)a(t-x)dx. (9.13)

Если

(О=const, то о)(,(0=о)о=Л При условии постоянства ин-

тенсивности отказов ее значение численно равно параметру пото-

241

ка отказов. При оценке надежности систем электроснабжения

в практических расчетах считают A=Oo=const;

10) средним временем безотказной работы, или средней нара-

боткой на отказ,

f=\ta{t)dt=]tq'it)dt=]p{t)dt, (9.14)

О о о

f=lK = lM (9.15)

при а)о=const;

11) средним временем восстановления

f,= ]ta,{t)dtJ](o{t)dt, (9.16)

о о

при n(t) = n = const

(9.17)

12) средней вероятностью отказов

q=w^fjT^XfjT- (9.18)

13) средней вероятностью безотказного состояния (коэффици-

ент готовности)

Af.

Р= 1-9=1-—.

при Т=

год, Х= 1/год, !Г,=год

q=Xf„ (9.19)

14) параметром потока преднамеренных отключений эле-

мента

(9.20)

где

Гп

— среднее время преднамеренных отключений;

15) средней вероятностью преднамеренных отключений

(9.21)

16) вероятностью безотказной работы элемента в течение

отрезка времени т при х>ЪТ,

Pit. (9.22)

17)

вероятностью отказа элемента в течение отрезка времени т

q(t.x)=\-pt-'\ (9.23)

242

Основные показатели надежности систем

с различным соединением восстанавливаемых элементов

1. Последовательное соединение п восстанавливаемых элемен-

тов. Средняя вероятность безотказной работы

Рс(/)=ПА(0, (9-24)

?с(0 = 1-ПР.(0, (9.25)

9с= Z 9'- Z 9'«/+ Z -

•••

i-l ij ил

п „

+ (-1)"-'

91 Яг

- Z 9.= X Л f.„ (9.26)

/-1

^(0=1Л(0. (9.27)

{-I

Л==1Л, (9.28)

i-l

(9.29)

•Т —

(9.30)

<-1

Если все элементы одинаковы, т. е.

Т„—

T,j= Т„ то

Т,с=Ть. (9.31)

Если учитываются преднамеренные отключения элементов

с параметром потока

cug

и средним временем то

i-l

где соам И (to„iTndaB—наибольшие значения параметра потока

н вероятности преднамеренных отключений соответственнб, так

как в цепях- с последовательным соединением элементов пред-

намереннью отключения совмещаются.

243

2. Параллельное схждиненне п восстанавливаемых элементов

(под отказом системы понимают отсутствие напряжения на пш-

нах рассматриваемого узла нагрузки, т. е. не учитывают ограни-

чения по пропускной способности элементов):

1-1

4c(t)=Uq.it),

1-1

т «-1

J-J j'i

-1

/-I j-i

(i>(

(9.32)

(9.33)

(9.34)

(9.35)

(9.36)

С учетом преднамеренных отключений, но одновременно не

более одного параллельного отключенного элемента

я я—I

II-I п-2

I ^ п ЛкТык

<-1

f =А-'

-•с Лд ,

я я

Я-1

где

(9.37)

(9.38)

(9.39)

(9.40)

(9.41)

244

3. Проювольное соединение элементов (под «отказом» систе-

мы относительно узлов нагрузки понимают то же, что и при

параллельном соединении элементов). Показатели надежности

схемы относительно любого узла нагрузки Н

(9.42а)

(9.42)

/-1

где — вероятность отказа оставшейся части схемы от-

носительно узла /Г после исключения из нее i-ro элемента. В част-

ности, при представлении эквивалентной схемы в виде минималь-

ных путей

" (9.43)

IJJ

где — вероятность надежной работы i-ro пути

(Ni — число' элементов, входящих в /-й путь);

/>(11(11,)= ff Pri, — вероятность надежной работы i-ro и jr-ro пути,

{Ny

— число различных элементов, входящих в i-й

j-й путь);

(9.44)

_ QiMd

• (9-45)

1 hQm

При представлении схемы в виде эквивалентной структурной

минимальных сечений

ш 1-1 1-1 п

(9.46)

(9.47)

245

-^iH'

^всН —

kc Nci n kciNci

I П I I

^i'^'r,

с,— 1 i" 1 i-

.. .. N:! ''ci

i-1

,10

I-1 r;

(9.48)

(9.49)

(9.50)

• -1Г/-1

Здесь kc — число минимальных сечений в схеме относительно

узла нагрузки; к^ — число минимальных сечений в оставшейся

части схемы после исключения /-го элемента;

Л'с,- —-

число элемен-

тов, входящих в j-e сечение.

Недоотпуск электроэнергии в узле Н схемы

где Р — средняя за рассчитываемый отрезок времени Т мощ-

ность нагрузки.

Задача

9.1. Система передачи электроэнергии (рис. 9.1) состо-

ит из следующих элементов: повышающего трансформатора 71,

линии электропередачи, понижающего трансформатора 77, от-

казы которых независимы. Параметры потоков отказов элемен-

тов и средние времена восстановления приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1. Параметры иадежностя электрооередачи

Похазатель

вадежносгв

Элемент сети

Т1 1 Т2

К 1/год

0,02

526

0,12

0,025

400

Определить параметр потока отказов системы, среднюю ве-

роятность отказа системы и среднее время ее восстановления.

Решение. Параметр потока отказов

Х^

системы с последова-

тельно соединенными элементами равен сумме параметров пото-

ков отказов элементов, образующих систему:

Л:=АП+ЛЛ+АТГ=0,02+ 0,12 + 0,025 = 0,165 1/ГОД. .

Средняя вероятность отказа q^ системы с последовательно

соединенными элементами

Т1

<sy

гг

<S>

Рис. 9.1. Схема системы передачи элеггроэеер-

гии

246

+А-П ^ВТ2=(0,02.526 + о, 12.8 + 0,025

•

400) = 2,45

•

10 "

8760

Среднее время восстановления Т^ системы

Чс

2 45

10"'

-^=14,8.10-' год,

Д^ 0,165

Т. е. 130,1 ч.

Задача

9.2. Система передачи электроэнергии (рис. 9.2) потре-

бителю состоит из следующих элементов: генератора (Г), повы-

шающего трансформатора Т1, линии электропередачи (Л) и по-

Г Т1 Т2

©-+-GDH—НСШ—

Рис. 9.2. Схема системы передчи электроэнергии

нижающего трансформатора Т2. Параметры потоков отказов

элементов Т1, Т2, Л те же, что и в задаче 9.1.

Параметр потока отказов генератора Ар=21/год, среднее вре-

мя его восстановления 7вг=240 ч.

Определить параметр потока отказов Яс системы, среднюю

вероятность отказа q^ и среднее время восстановления Т^с (пред-

намеренные отключения не учитывать).

Решение. Параметр потока отказов системы

Лг+Ят1

+ Ал+АТ2=2+0,02+0,12+0,025=2,165 1/год.

Средняя вероятность отказа системы

9с=9Г+9Т1

+ 9Л+9Т2=АГ

^вг+Ат1

Ал ^вл

Ат2

Твг2=2. 240/8760+(0,02

• 526

0,12 • 8

-I-

0,025.400)/8760 =

54,8 •

10'

2,45 • 10" ^

57,25 • 10"

Среднее время восстановления системы

Чс 5795 JO"*

f«=-= =

0,0264

года, т. е. Т^=232 ч.

Дс 2,165

Задача 93. Система передачи электроэнергии потребителю

состоит из генераторов Г1 и Г2, повышающего трансформатора

Т1, линии электропередачи (Л) и понижающего трансформатора

Т2 (рис. 9.3). Каждый генератор может выдать лишь 50% мощ-

ности, требуемой потребителю. Остальные элементы (шстемы

247

Г1

Т1 ^ Т2

-<JDH —h<S>

©н

Г2

Рис. 9.3. Схема системы передачи элегфоэнергии

имеют пропускную способность 100% нагрузки потребителя. Па-

раметры потоков отказов генераторов Г1 и Г2 одинаковы. Пара-

метры потоков отказов и средние времена восстановления элеме-

нтов схемы те же, что и в задачах 9.1, 9.2.

Определить параметр потока отказов Хс системы, среднюю

вероятность отказа д^ системы и среднее время восстановления

^•с (преднамеренные отключения не учитывать).

Решение. Параметр потока отказов системы, если под

отказом системы понимать отсутствие напряжения в узле ьа-

грузки, 1

Л: =

•^П

?Г2 + -^гг

9г1

•^Tl

+ + =

= 2.54,8.10"'+2-54,8 10-^+0,165 =

0,384

1/год.

Средняя вероятность отказа системы

Чс=Яп

Яп+Яп

9л +

9x2=^п ^вп

^вг2+9x1 + 9л + 9Т2

=(2

• 240 • 2 •

240)/8760^+2,45

•

10" ^=0,0032 +

0,00245

= 0,00565 = 5,65.10-^

Среднее время восстановления системы

7U=9CR=0.00565/0,384=

0,0147

года, т. е. f«=129 ч.

Анализ результатов решения задач 9.1—9.3 показывает, что

включение генератора в исследуемую схему привело к резкому

снижению ее надежности (параметр потока отказов системы вы-

рос более чем в 10 раз), поскольку генератор имеет самые низкие

по сравнению с другими элементами схемы показатели надеж-

ности. Резервирование генератора привело к значительному уве-

личению надежности, так что значение параметра потока отказов

системы с двумя генераторами соизмеримо с этим значением для

системы без генераторов.

Задано 9.4. Потребитель получает электроэнергию по линиям

электропередачи Л1 и Л2, отказы которых независимы. Каждая

линия пропускает всю необходимую потребителю мощность.

Параметры потоков отказов линии и средние времена восстанов-

ления приведены в табл. 9.2.

248

Таблица 9.2. Параметры вадежвоста схемы электрооередач

Пожаэатель

валежвосп

Элемент сетя

Л1 Л2

^ 1/год

0,03

0,04

Определить параметр потока отказов Х^ системы, среднюю

вероятность отказа q^ системы и среднее время ее восстанов-

ления (преднамеренные отключения не учитьшать).

Решение. Параметр потока отказов систекш с двумя парал-

лельно соединенными элементами

= ЯЛ,АЛ2(^ВЛ1 + ?Ш12)=0,03.0,04(12+8)/8760=2,75- 10-® 1/год.

Средняя вероятность отказа системы равна произведению

вероятностей событий отказа элементов системы при их незави-

симости:

Яс —

Ял2 —

^Л! ^ВЛ1 Ял2

^ВЛ2 =

=0,03.12. о,04.8/8760^=4,11.10-'.3,65.10-'=0,15.10"®.

Среднее время восстановления системы

Яе •^Л!

Гвл1 ^ВЛ2 ^ВЛ1 ^ВЛ2

|2.8

" Л;

ЛЛ1АЛ2(^ВЛ1 + ^ВЛ2)' ^ВЛ1 + ^ВЛ2

12 + 8

Задача 9.5. Решить предыдущую задачу при условии, что

каждая линия пропускает только 50% мощности, требуемой

потребителю (рис. 9.4). Дополни-

тельво определить вероятность полу-

чения потребителем лишь 50% мощ-

ности.

Решение. Поскольку под отказом

системы понимают исчезновение на-

пряжения в узле нагрузки, параметр

потока отказов этой системы, средняя

вероятность ее отказа и среднее время восстановления будут те

же, что н в предыдущей задаче, т. е.

Л:=2,75.10"® 1/год, 9е=0,15.10-«, f«=4,8 ч.

При пропускной способности каждой линии лишь 50% мощ-

ности нагрузки существует ве|}оятность выдачи потребителю

лшпь 50% требуемой мощности.

// 50

Ус

Л2

7о

Рис. 9.4. Схема системы пе-

редачи элеггрознергии

249