Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления

Подождите немного. Документ загружается.

пар при равномерной (или поточечной) сходимости траекторий-

Дальнейшее развитие схемы Лебега — Тонелли состоит в отка-

зе от введения топологии в пространстве управлений и в том,

чтобы сходимость на множестве пар задавать лишь равномерной:

сходимостью траекторий. При этом возникают новые моменты.

в доказательстве существования оптимальных управлений.

Первая теорема существования в нелинейной задаче быстро-

действия c компактной областью управления U(x, t) была полу-

чена А, Ф. Филипповым [64] в предположении, что правая-

часть системы f(x, и, t) непрерывна по СВОИМ переменным вмес-

те с частными производными по л; и множество U(x, t) полуне-

прерывно сверху относительно включения по (x, t) (см. [6, 40°,

64]).

В этих предположениях было доказано существование оп-

тимальных управлений в задаче быстродействия при условии

выпуклости множества допустимых скоростей

Q{x,t)^{qm

:q = f(x, и, t), u&J^x, t)} (\)>

и априорных условиях ограниченности множества допустимых

траекторий (см. (2)). Аналогичные теоремы в общих задачах

терминального управления были получены Важевским

[228],.

Роксиным

[207],

Варгой

[222].

Рассмотрим основные моменты.

в доказательстве этих теорем.

Предкомпактность множества допустимых траекторий..

Для доказательства предкомпактиости множества допустимых.

траекторий требуется установить равномерную ограниченность

и равностепенную непрерывность. Нетрудно видеть, что доста-

точно найти условия ограниченности. В [64] А. Ф. ФИЛИППОВ

указал оценку

f(x,u,t)<C(\x\

+ l), (2>

при которой ограниченность допустимых траекторий доказы-

вается по аналогии с леммой Беллмана-Гронуолла [40°, 79°].

В работе [207] Роксин предложил условие такого жб

типа: • , • ,

|/(х, и, t)\ <^{t)g(\x\), g(\x\)=

(|x|) при

|x|{to}

оо, • (3)

где функция |х(£) предполагается суммируемой. Доказательст-

во ограниченности множества допустимых траекторий при усло-

вии (З) основано на построении мажорирующего дифференци-

ального уравнения без управляющего параметра и применении

теорем сравнения и продолжимости. Различные модификации и,

обобщения условий (2), (З) имеются в работах [95, 180].

Условия ограниченности множества траекторий в задаче Лаг-

ранжа рассматриваются в § 5.

Замкнутость множества допустимых траекторий. Каждая

допустимая траектория в задаче

x = f(x,u,t), x(i

)

—.**-»

(4)

tt(t)eU,

^<t<t

. (5>

223.

I(x,u) = <f(x'(t

))-*-liii (6)

••(данный случай рассматривается здесь для простоты) является

траекторией дифференциального включения

xeQ{x,t),

x{t

) = x

, (7)

где множество Q(x, t) определено в (1). Под замкнутостью

множества допустимых траекторий понимается замкнутость от-

носительно включения (7). А. Ф, Филиппов доказал [64], что

множество допустимых траекторий замкнуто относительно рав-

номерной сходимости, если Q(x, t) выпукло, f(x, и, t) непре-

рывно, U компактно. При этом он использовал обычные свойст-

ва интеграла Лебега (лемма о среднем [8]). Аналогичный ме-

тод у Варги

[222].

Чезари [95, 96] обобщил метод Филиппова

на случай неограниченного множества Q(x, t). При этом он

предположил, что Q(x, t) удовлетворяет следующему свойству

'(Q-свойство Чезари на

(x,t))\

Q(x, 0—n conv U Q{x,T). (8)

\х~х\<й

\t-(\<6

Отметим, что для выполнения Q-свойства Чезари по (х, t) су-

щественна непрерывность функции f(x, и, t) no совокупности

переменных. Модификация метода Филиппова—Чезари и обоб-

щение его на случай функций f(x, и, t) с условиями Каратео-

дори имеется в работе

[125].

По поводу метода Филиппова—

Чезари см. также [29°, 40°, 94°, 93, 97, 98, 113, 161, 167].

В работе [207] Роксии предложил другой метод

доказательства замкнутости множества допустимых траекто-

рий. При этом он выделял слабую в L

сходимость производ-

ных x(t), что при выполнении условия (2)

ИЛИ

(3) и компакт-

ности U эквивалентно равномерной сходимости траекторий.

Из слабой в L1 сходимости x

(t)-*x*(t) следует, что при

•всех у.5/?" и почти всех tQ[t

, t1] справедливо неравенство

llmmin

f(x

(t),

и, t)Ky

x* (t)<Шmax

у'f(x

(t),

и, t). (9)

Допустимость предельной траектории x*(t) выводится из (9)

при условии выпуклости и компактности Q(x, t) с помощью тео-

ремы отделимости выпуклых множеств в R

. Глубокое развитие

метода Роксина на задачи Лагранжа с некомпактным множест-

вом 0 имеется в работах Олеха [194, 195, 197) (см. § 5). Отме-

тим, что в данном методе несущественна непрерывность

f(x, и, t) no t, он переносится на случай неограниченного мно-

жества Q(x, /) при выполнении Q-свойства Чезари по х при

почти всех tQ [to, U]- По поводу метода Роксина—Олеха см.

также работы [41, 116, 148, 160, 198, 210, 220].

Еще один метод доказательства замкнутости множества до-

пустимых траекторий дифференциального включения (7) отно-

сительно слабой в Li сходимости производных связан с приме-

•224

пением теоремы Мазура о слабом замыкании и использовался

в работах [47, 112°, 78, 79, 104]. Теорема Мазура позволяет

перейти от слабой сходимости производных к поточечной схо-

димости их выпуклых комбинаций и сразу приводит к теоремам

замкнутости с Q-свойством Чезари по х. На таком пути Берко-

виц получил [78] новую теорему замкнутости, в ко-

торой вместо Q-свойства Чезари требуется обобщенное условие

Липшица для функции f(x, и, t) по х. Близкие методы и ре-

зультаты имеются в работах [80, 81, 101, 103, 109, 146].

В работах Важевского [228—232] доказано, что при ус-

ловиях выпуклости, компактности и полунепрерывности сверху

множества Q(x, /) дифференциальное включение (7) эквива-

лентно уравнению в континпенциях (паратингенциях) Заремба

[237] и Маршо [172] (ем. также [6]). Данный результат поз-

воляет вывести утверждения о замкнутости множества допусти-

мых траекторий из соответствующих результатов классических

работ [172, 237]. Дальнейшее развитие и обзор результатов в

этом направлении имеется в [149, 150].

В работах [160—162] предложен аксиоматический подход к

проблеме замкнутости множества траекторий дифференциаль-

ных включений относительно общих сходимостей. Полученные

при этом результаты частично проанализированы в докладе

Олеха

[197].

Вопросы замкнутости рассматривались также

в работах [106, 154, 221, 234+

Необходимость выпуклости множества скоростей для

замкнутости допустимых траекторий. Замечательным является

тот факт, что выпуклость множества допустимых скоростей

Q(x, /) при некоторых дополнительных условиях не только до-

статочна, но и необходима для замкнутости множества допусти-

мых траекторий задачи (4)

—

(6) относительно равномерной схо-

димости. Это утверждение было доказано при различных пред-

положениях Варайя

[220],

Бруновским [89] и Чезари

[100].

Полученный результат обусловливается непрерывностью време-

ни в задаче (4)—(6), на которой основаны методы доказатель-

ства работ [89, 100, 220].

Метод Бруновского позволяет доказать необходимость вы-

пуклости Q(x, () для замкнутости множества допустимых тра

екторий любого дифференциального включения типа (7). Oi

предполагает непрерывность по Хаусдорфу множества Q(x, t)

и представимость его в специальном виде, связанным с приме-

нением теоремы Майкла о непрерывных сечениях многозначных

отображений [182'—184]. В силу этих предположений возни-

кают дополнительные условия выпуклости множества U в сис-

темах управления типа (4), (5). По существу, метод Брунов-

ского аналогичен методам Морозова—Плотникова и Поляка,

развитым при доказательстве необходимости условий выпук-

лости функции f°(x, и, t) по и для полунепрерывности снизу

интегрального функционала (2.1) (см. § 2).

]

5—798

8 225

Метод Варайи существенно использует специфику диффе-

ренциальной системы (4), условие Липшица по х для функции

f(x, и, t) и теоремы измеримого выбора (см. п. 4). При этом

не возникает дополнительного условия выпуклости множества

U, которое играет принципиальную роль в доказательстве Бру-

новского.

Метод Чезари связан с переходом к расширению задачи

(4)

—

(6) и применением теоремы аппроксимации (см. § 4)..

B нем существенно используется условие Липшица по х для

функции /

(x,

и, t) и ряд других дополнительных предположений.

Следует отметить, что необходимость условия выпуклости

множества Q(x, t) для замкнутости допустимых траекторий в.

топологии равномерной сходимости указывает на ограничен-

ность класса задач, в которых существование оптимальных уп-

равлений может быть доказано по схеме Лебега—-Тонелли.

Теоремы измеримого выбора. При доказательстве-

теорем существования оптимальных управлений в нелинейных

задачах типа (4)—-(6) важную роль играет так называемая

лемма Филиппова о неявных функциях, которая позволяет

по допустимой траектории х* {t), удовлетворяющей для почти

всех tQ[t

, t1] включению

х*

(t)6Q (x* (t), /)=/ (х* C'-f). U, t),

восстановить соответствующее измеримое управление u*(f)~

A. Ф. Филиппов [64] доказал возможность выбора измеримого

управления в случае, когда f(x, и, t) непрерывна по совокуп-

ности переменных, а множество U — компакт конечномерного

пространства, который может полунепрерывно сверху относи-

тельно включения зависеть от (x, t). В дальнейшем лемма Фи-

липпова неоднократно обобщалась во многих работах. Отметим

здесь результат Макшейна и Уорфилда

[181],

которые доказа-

ли возможность выбора измеримого управления в случае про-

извольного метрического сепарабельного пространства U, пред-

полагая при этом справедливой континуум-гипотезу. Различные-

типы условий, при которых лемма Филиппова выполняется в.

общих ситуациях, выделены в [47,

112°].

Лемма Филиппова, по существу, представляет собой утверж-

дение об измеримом однозначном сечении многозначного ото-

бражения Г:

Т~*-2

которое задается специальным образом.

Вопросы измеримого выбора в многозначных отображениях ис-

следовались в многочисленных работах. Полученные в этом

направлении результаты можно разбить на три группы в соот-

ветствии с основными методами доказательства. Первый метод.

восходит к работам А. Ф. Филиппова [64, 65] и Важевского

[229] и существенно использует компактность множества F(t).

В этом методе измеримое сечение измеримого, многозначного

отображения строится в виде лексикографического минимума..

.226

Второй метод охватывает измеримые многозначные отображе-

ния, значения которых — замкнутые множества в полных сепа-

рабельных метрических пространствах. Измеримые сечения та-

ких отображений строятся в виде предела специально выбран-

ных фундаментальных последовательностей. Этот метод

восходит к работам В. A. Рохлина [62], Куратовского и РЫЛЛЬ-

Нардзевского

[153],

Кастена [92] и др. Третий метод выделе-

ния измеримых сечений многозначных отображений основан на

теоремах об униформизации аналитических множеств из дес-

криптивной теории множеств (теоремы Лузина—Янкова [171,

70],

Рохлина [62], фон Неймана [189]). В полученных здесь

результатах не предполагается замкнутости множества T(t), но

существенно используется регулярность меры на Т.

§ 4. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Если множество допустимых скоростей в задаче (3.4)

—

(3.6)

невыпукло, то оптимальное управление в классе измеримых

функций может не существовать (см. [4, 40°, 89°—91°, 41,64,95,

96]).

В таком случае естественно перейти к более широкой за-

даче оптимизации, в которой решения заведомо существуют и

могут быть аппроксимированы допустимыми элементами исход-

ной задачи с близкими значениями функционала. Подобные пе-

реходы неоднократно встречались в классическом вариацион-

ном исчислении, начиная с работ Д. Гильберта. При этом новая

задача называется расширением исходной, а решения расши-

ренной задачи — обобщенными решениями. Важно подчеркнуть,

что переход к расширениям (обобщенным решениям) не озна-

чает преодоления всех трудностей, связанных с существованием

решений ИСХОДНОЙ задачи в классе измеримых управлений. Ре-

шить расширенную задачу, как правило, значительно труднее,

•чем исходную (если в последней существует классическое ре-

шение). Кроме того, теоремы аппроксимации не являются в

большинстве случаев конструктивными, поэтому по решению

расширенной задачи не всегда можно эффективно построить

минимизирующую последовательность допустимых в исходной

задаче элементов. Указанные обстоятельства особенно прояв-

ляются в задачах оптимального управления.

В этом параграфе рассматриваются некоторые расширения

задач терминального управления с компактным множеством У.

Сначала рассматриваются задачи со свободным правым концом

(типа (3.4)

—

(3,6)), затем анализируются новые моменты в за-

дачах с ограничениями (регулярность обобщенных решений,

корректность в смысле A. Д. Иоффе [14] и др.). Расширения

задач минимизации интегральных функционалов затрагиваются

в § 5.. ,

15*

.227

Расширение Варги. В работе [222] Варга наряду с

задачей (3.4)

—

(3.6) рассмотрел задачу минимизации функцио-

нала (3.6) на траекториях дифференциального включения

x(t)eR(x(t),

0=-conv/(.*(i), U, t), x(t

) = x

. (1)

Существование оптимальных траекторий в расширенной задач

—

при выполнении условий ограниченности типа (3.2) вытекает из

теорем замкнутости (§ 3). Варга доказал, что при выпол-

нении условия Липшица для функции f(x, и, t) no x любую тра-

екторию включения (1) слабую, (relaxed) траекторию по тер-

минологии [222]) можно равномерно на [t

, ti] аппроксимиро-

вать последовательностью допустимых траекторий системы (3.4) -

Метод доказательства Дж. Варги близок к методу Н. Н. Бого-

любова [86] для простейшей задачи вариационного исчисления*

но менее конструктивен, что связано с наличием ограничений

(3.4), (3.5). Варайя [220] предложил другой метод до-

казательства теоремы аппроксимации в расширении Варги, ко-

торый основан на применении теоремы Ляпунова о векторных

мерах, см. также [20, 79°, 139]. Дальнейшие результаты в этом

направлении имеются в работах [19, 117, 118, 122, 185].

Расширение Гамкрелидзе. В работе [57°] Р. В. Гамкре-

лидзе предложил расширение задачи (3.4)

—

(3.6), которое за-

писывается в стандартной для теории оптимального управле-

ния форме: минимизировать функционал (3.6) на множестве

пар

{JC

(t),

oo(0}i

<t<t

®(t)={a,i(t), u

{

(t), i=l,. .., n+l> ,

удовлетворяющих ограничениям

/2+1

g (x,

<o,

0=2

(

*)>

Vo)

(-)

/=1

«"

№Q = P X U^\

< i < ti. (3)

где P

—

;

:а

>0, 2

—

n-мерный симплекс. Существо-

вание оптимальной пары

{.x*(t).

*001>

<t<t

в расширен-

ной задаче вытекает из теоремы Филиппова в силу того, что

(л;,

Q, 0 - R (х, 0 = conv / (x, U, t). (4-)

В. Гамкрелидзе указал явный способ построения минимизи-

рующей последовательности допустимых управлений {M-

/;)

(t)>

to<t<ti> k = l.2 в задаче

(3.4) —(3.6)

по оптимальному,

управлению (o*(t)=={a* (t), «*(0> i

—1.

•

•.. n+1}> t

< - •<

г»

обобщенной задачи (3.6), (2), (3). Общий член u

lh)

(t) этой по-

следовательности строится следующим образом. Отрезок [to, ti ]

разбивается на к частичных подотрезков //

равной длины:

258

mes/y*> =

---=---,

/=1. ...Л.

Отрезок /('О разбивается на л +

измеримых пересекаюшихся

множеств /(f),

г ==

1, ..., я+1, удовлетворяющих условию

mes/}*>•--- \ a](t)dt, i = l /t+1; /=1 /г.

Управление и

(Л

)(г.) определяется в виде

й<*>(*)-•=«;(*), ЩЧ\ i =

l,.-.,/i

+ l;

j=l,...,k;

£ = 1,2, ....

Доказывается равномерная на [i

, t1] сходимость соответствую-

щей последовательности траекторий

{x(

)(f)},

/г=-1,2, .. .,

системы (3.4) к оптимальной обобщенной траектории х* (О

в предположении, что функция f(x, и, t) удовлетворяет усло-

вию Липшица по х.

При нахождении оптимальных управлений в расширенной

задаче (3.6), (2), (3) возникает ряд принципиальных труд-

ностей. Основная из них состоит в том, что управление ©*(t)

является особым в смысле принципа максимума Понтрягина

относительно всего симплекса Р

[43°],

что сильно затрудняет

решение расширенной задачи с помощью необходимых условий

оптимальности. Различные вопросы, связанные с расширением

Гамкрелидзе, исследователь-

Расширение Я

НГ

а. В 1937 году Янг [235, 236] пред-

ложил общую конструкцию расширения для простейшей задачи

классического вариационного исчисления. B работах Мак-

шейна [176—179] дано обобщение этой конструкции и перене-

сение ее на ряд вариационных задач с ограничениями. Распро-

странение конструкции Янга на различные задачи оптимального

управления производится в работах [14, 17, 19, 117, 118, 122—

124,

165°, 180, 181, 190, 222—227].

Суть-

конструкции Янга состоит во введении такой тополо-

гии в пространстве управлений, из которой вытекает равномер-

ная сходимость траекторий системы (3.4). Последовательность

управлений {u

(t)}, i

<t<i

k=l, 2 сходится к'и(*), i

<t<t\, в этой топологии, если

т т

[ р (а

(/), t)dt-+{p(a (t), t)dt (5)

О 0

для любой непрерывной действительной функции р(и, t). По-

полнение множества допустимых управлений задачи (3.4) —(3.6)

во введенной топологии приводит к обобщенным управлениям в

смысле Янга. Показано, что множество обобщенных управлений

компактно в рассматриваемой топологии (как единичная сфера

сопряженного пространства) и совпадает с множеством измери-

мых отображений отрезка T=[t

t{\ в пространство регуляр-

229

ных вероятностных мер на U. Таким образом, расширенная за-

дача в смысле Янга для задачи (3.4)

—

(3.6) состоит в миними-

зации функционала (3.6) на множестве пар

{x(t),

\i(t)},

<t<t\, связанных соотношением

'*{*)= ]f(x(t)> ». t)vit){du), (6)

где x(t) абсолютно непрерывна, а мера [x(t) неотрицательна,

удовлетворяет для почти всех tG [to> h\ условию нормирован-

ности [ \

\>-

(t) (d«)=-l ] и отображение \р{и, t) \x(t) (da) из-

U ) и

меримо на [t

, t{\ для любой непрерывной действительной

функции p(«, t). Если мера |J.(2.) для почти всех

tP.

, t

] со-

средоточена в одной точке и (t), то пара {х (t), a (t)} является

Допустимой в задаче (3.4)

—

(3.6).

Существование обобщенного

оптимального управления и теорема аппроксимации в расшире-

нии Янга вытекает из самой конструкции обобщенной задачи.

Отметим, что расширение Гамкрелидзе можно считать част-

ным случаем расширения Янга, в котором мера \x(t) сосредото-

чена в конечном числе точек. C другой стороны, любое обоб-

щенное управление в форме Янга для задачи (3.4)

—

(3.6) мож-

но представить и в форме Гамкрелидзе в силу соотношений (4),

(6) и леммы Филиппова о неявных функциях. Расширение

Гамкрелидзе полностью учитывает специфику задачи (3.4)

—

(3.6),

в то время как конструкция Янга справедлива для значи-

тельно более широкого класса задач оптимизации (см. [19, 117,

'.18,

129, 185, 227]). Различные модификации расширения Янга

i другие методы доказательства теорем существования и ап--

гроксимации в обобщенных задачах имеются в работах [165°,

180,190,224,225,227].

Другие расширения задач терминального управления.

В работах [208, 116] предложено расширение задачи (3.4)

—

(3.6),

связанное с переходом к обобщенным динамическим сис-

темам в смысле Роксина

[209].

Обобщенные траектории

i таком расширении, называемые движениями, в каждый мо-

ент времени проходят по замыканию множества достижимости

ястемы (3.4). Показано, что множество движений замкнуто в

•опологии равномерной сходимости и каждое движение может

оыть равномерно аппроксимировано допустимыми траекториями

системы (3.4). Таким образом, множество движений совпадает

с множеством слабых траекторий в смысле Варги.

Другая интерпретация слабых, траекторий в смысле Варги

дана в работах Важевского [230—232], где введено понятие

квазитраектории. В основу определения квазитраектории поло-

жена возможность ее аппроксимации допустимыми траектория-

ми задачи (3.4)

—

(3.6).

Компактность множества квазитраекто-

рий доказана с помощью перехода к уравнению в континген-

230

-днях. Квазитраектории в смысле Важевекого рассматривались

также в работах [53, 199, 219].

5. Задачи терминального управления с ограничениями на

траектории. Если в задаче

(3.4) —

(3.6) имеются дополнитель-

ные ограничения типа

худеЕфф (7)

или другие фазовые ограничения, то теоремы аппроксимации в

•описанных выше расширениях могут не выполняться; при этом

минимальное значение функционала (3.6) в расширенной зада-

че может быть строго меньше минимального значения в исход-

ной задаче (3.4)—-(3.6), (7). Такие задачи оптимального уп-

равления называются некорректными [14, 15], а описанные выше

конструкции называются в таких случаях квазирасширениями

исходной задачи [19]. Примеры некорректных задач приведены

в работах [29°, 14, 19, 40, 222].

В работе A. Д. Иоффе [17] выделены классы систем (3.4),

в которых любое обобщенное по Янгу управление может быть

аппроксимировано в топологии (5) последовательностью допус-

тимых управлений в исходной задаче с теми же граничными

условиями для соответствующих траекторий системы (3.4) (ре-

гулярность обобщенных решений). Среди выделенных

А.

Д. Иоф-

фе систем, для которых соответствующие задачи оптимального

управления с ограничениями (7) поставлены корректно, нахо-

дятся системы, линейные по фазовым переменным, одномерные

системы, системы со строго выпуклым множеством скоростей

Q(x, t) и др. Корректность относительно более общих ограни-

чений исследовалась в работе Е. С. Левитина [40].

Варга [226] доказал^ что минимальные значения функ-

ционала в исходной и расширенной по Янгу задаче (3.4)

—

(3.6),

(7)*

совпадают, если расширенная задача нормальна в класси-

ческом смысле [142,

118°].

При этом остается открытым вопрос-

о возможности аппроксимации обобщенных траекторий допусти-

мыми траекториями исходной задачи с ограничениями. Отметим

в связи с этим результаты И. Н. Петрова [53], который для

случая двумерной автономной задачи быстродействия нашел

условия, при которых обобщенная оптимальная траектория реа-

лизуется в исходной задаче. Последнее СВОЙСТВО, в частности,

выполняется, если начальная точка х

принадлежит границе

множества управляемости относительно начала координат.

§ 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

Задачи минимизации интегральных функционалов (задачи

Лагранжа) обладают рядом особенностей по сравнению с зада-

чами терминального управления. Их можно свести к задачам

* В [226] рассмотрены более общие типы задач.

.231

терминального управления, но при этом возникают завышенные.

условия существования решении. Методы доказательства тео-

рем существования в нелинейных задачах Лагранжа являются

во многом развитием и соединением соответствующих методов

в линейных по управлению системах (§ 2) и методов исследо-

вания задач терминального управления (§ 3). При этом воз-

никают некоторые новые моменты, на которых акцентируется

внимание в этом параграфе. Вначале рассматривается развитие

метода Лебега-—Тонелли на нелинейные задачи Лагранжа:

замкнутость снизу (аналог полунепрерывности снизу для нели-

нейных задач) и предкомпактность минимизирующей последо-

вательности. Здесь же приводятся априорные условия на пара-

метры задачи, при которых траекторные множества ограниче-

ны.

Далее рассматривается метод выпуклой миноранты Рока-

феллара, который состоит в переходе к специальному классу

выпуклых по (х, х) вариационных задач. Последний тип задач

допускает исчерпывающее исследование с помощью методов.

выпуклого анализа, основанных на теоремах отделимости вы-

пуклых множеств. Расширения задач Лагранжа затрагиваются

в п. 3. В п. 4 приводятся теоремы существования в классах уп-

равлений, удовлетворяющих функциональным ограничениям

(равномерно ограниченные вариации и т. п.).

Развитие метода Лебега—Тонелли. Будем рассматривать

следующую задачу Лагранжа:

х=/(х, и, t), x(t

) = x

, x(zf

)=-.A:

, (1>

u{t)eu, x(t)ex, t

<t<t

(2>

I (.x,

=[/° (x, it, t) dt

inf. (3>

Изложенные ниже результаты справедливы и в более об-

щих ситуациях (произвольные граничные условия, интегральные

ограничения, функционалы типа Больца и т. д.). Задачу

(1)

—(3) можно записать в следующем виде, который удобен

при исследовании ряда вопросов:

x(t

) = x

, x(z.-)=x

, \f°(x, x,

t)dt~>inf,

(4>

-о

где

/°(x, v,

_ (inf {/о (х, и,

t):aeU,

f(x, a, t) = v), x£X,

joo,

x$X. (°>

Эквивалентность задач (1) —(3) и (4) доказывается с помощью

теоремы измеримого выбора при весьма общих предположе-

ниях (см. [18, 79°, 206]). Для установления теорем существова-

232