Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
101
Обычно
0lim =
∞→
At
t
e
, поэтому первая из них –
)(ty
пер
называется
переходной составляющей, а
вторая
)(ty
уст
– установившейся
составляющей, так как
)()(lim tyty
уст
t
=
∞→
.
Из выражения (2.150) сле-
дует, что если в равенстве (2.148)
число
0
=
β
, то переходную со-
ставляющую рассматриваемой
динамической системы, вызванную ступенчатым воздействием
)(1
0
tgg =
, можно получить, выбрав вектор
0
1
0
bgAx
э
−
=
. Такой вектор
называется эквивалентными начальными условиями.
Реакция линейной системы на δ-функцию. Рассмотрим теперь
случай, когда на входе системы (рис. 2.16) действует толчковое воздейст-
вие, т. е.
)(
0
tgg δ=
. В этом случае по формуле (2.149) будем иметь
)()()(
0
0
0
)(
0
tgdbgecxecty
t
tATAtT
δβ+ττδ+=
∫
τ−
. (2.151)
Как и ранее, найдем сначала интеграл
Eedededede
AA
t
AA
t
A
==ττδ=ττδ+ττδ=ττδ
⋅−
ε
τ−
ε
τ−
ε
τ−τ−
∫∫∫∫
0
000
)()()()(
.
Здесь использовались свойства (2.140)
δ
-функции, переходной матрицы
At
e
, а также, так называемое селектирующее свойство
δ
-функции. Это
свойство заключается в следующем: если
)(
tf
– непрерывная функция
при
0
≥
t
и
0
≥
a
, то
)()()(
0
afdaf
at
t
=τ−τδτ
>
∫
.
В предыдущем равенстве, очевидно
τ−
=τ
A
ef )(
, а
0
=
a
.
Подставляя найденное значение интеграла в (2.151), получим
t
y
y
пер
0
y
уст
y
Рис. 2.17
102
=δβ++= )()(
000
tgbgecxecty
AtTAtT
)()(
000
tgbgxec
AtT
δβ++=
. (2.152)
Из полученного выражения видно, что реакция линейной дина-
мической системы на толчковое воздействие
)(
0
tgg δ=
при
0
=
β
эквивалентна реакции этой же системы на эквивалентные начальные
условия
00
bgx
э
=
.
Реакция системы на гармоническое воздействие. Для получения
расчетных соотношений будем считать, что действующее на систему
(рис. 2.16) синусоидальное воздействие
tgtg
m
ω= sin)(
является мни-
мой частью комплекса. Тогда реакция системы
)(ty
на это воздействие
тоже является мнимой частью реакции
)(tJ
системы на комплекс
tj
m
eg
ω
, т.е.
tj
mm
egtgtg
ω
=ω= Imsin)(
,
)(Im)( tJty
=
.
Итак, полагая
tj
m
egtg
ω
=)(
и подставляя в (2.149), будем иметь
=β+τ+=
ωωττ−
∫
tj
m
t
m
jtATAtT
egdbgeecxectJ
0
)(
0
)(
tj
mm
t
AEjAtTAtT
egbgdeecxec
ωτ−ω
β+τ+=
∫
0
)(
0
. (2.153)
Снова найдем сначала интеграл
∫
τ=
τ−ω
t
AEj
detI
0
)(
)(
.
Данный интеграл, очевидно, можно найти в общем виде, если
0)det(
≠
−
ω
AEj
. Это означает, что матрица А системы не должна иметь
собственных чисел, равных
ω
j
, т.е. входное воздействие
tgtg
m
ω=
sin)(
и система (рис. 2.16) не должны находиться в «ре зо -
нансе ». В противном случае, как видно из полученных ниже выражений,
103
амплитуда выходной переменной системы будет непрерывно нарастать.
Поэтому будем полагать, что
0)det(
≠
−
ω
AEj
. Тогда
)()()()(
)(1
0
)(1
EeAEjeAEjtI
tAEj
t
AEj
−−ω=−ω=
−ω−τ−ω−
.
Подставляя найденное выражение в (2.153), получим
=β+−−ω+=
ω−ω− tj
mm
tAEjAtTAtT
egbgEeAEjecxectJ )()()(
)(1
0
−−ω+=
ω−
m
tjTAtT
bgeAEjcxec
1
0
)(
=β+−ω−
ω− tj
mm
AtT
egbgAEjec
1
)(
+−ω−=
−
44444 344444 21
)(
1
0
))((
ty
m
AtT
пер
bgAEjxec
44444 344444 21
)(
1
))((
tJ
tj
m
T
уст
egbAEjc
ω−
β+−ω
. (2.154)
Следовательно, реакция динамической системы на комплексное
воздействие
tj
m
eg
ω
представляет собой сумму некоторой функции
)(ty
пер
и комплекса
tj
mуст
eJtJ
ω
ω= )()(
. Величина
)(ω
m
J
является
комплексной функцией и может быть представлена следующим образом:
)(1
)())(()(
ωϕ−
ω=β+−ω=ω
j
mm
T
m
eygbAEjcJ
, (2.155)
где
)(ω
m
y
и
)(
ω
ϕ
– амплитуда и фаза функции
)(ω
m
J
, зависящие, как
видно, от частоты
ω
входного воздействия.
Первая составляющая реакции (2.154) динамической системы на
комплексное воздействие является негармонической функцией времени t.
Характер этой составляющей определяется видом переходной матрицы
At
e
рассматриваемой системы. Если эта матрица затухает, то переходная
составляющая при достаточно больших t исчезает. Обычно рассматрива-
ются именно такие системы, и в этом случае реакция системы на гармо-
нические воздействия при достаточно больших t, как видно, тоже являет-
ся гармонической функцией той же самой частоты, но с другой амплиту-
дой и другой фазой.
Действительно, если
0lim =
∞→
At
t
e
, то выражение для
)(tJ
уст
из
104
(2.154), с учетом представления (2.155), принимает вид
))((
)()(
ωϕ+ω
ω=
tj
mуст
eytJ
.
Так как входное воздействие
tgtg
m
ω= sin)(
является мнимой
частью комплекса
tj
m
eg
ω
, то, как отмечалось выше, реакция системы на
это воздействие является мнимой частью комплекса
)(
tJ
уст
. Поэтому из
предыдущего выражения с помощью известной формулы Эйлера для
ajae
ja
sincos +=
выводим окончательно
))(sin()()( ωϕ+ωω=
tyty
m
, (2.156)
где
m
T
m
gbAEjcy
β+−ω=ω
−
1
)()(
, (2.157)
))(arg()(
1
β+−ω=ωϕ
−
bAEjc
T
. (2.158)
Здесь
)(∗
– модуль, а
)(arg
∗
– аргумент [7, 10, 14] комплексной величи-
ны (
∗
).
Графики входного гармонического воздействия и реакции некото-
рой устойчивой (
0lim =
At
e
при
∞
→
t
) динамической системы (когда
1)(
1
>β+−ω
−
bAEjc
T
) приведены на рис. 2.18.
С учетом выражения (2.6) для обратной матрицы равенство (2.157)
можно представить следующим образом:
m
T
m
g
AEj
bAEjc
y β+
−ω
−ω
=ω
)(det
)(adj
)(
. (2.159)
Из выражения (2.159), со всей очевидностью, следует, что если па-
раметры системы или частота гармонического воздействия будут при-
ближаться к резонансным значениям, т.е.
0)det(
→
−
ω
AEj
, то ампли-
туда колебаний системы будет неограниченно возрастать.
Рассмотренные выше модели описывают простейшие воздействия,
при которых реакция системы описывается полученными выше также
простейшими выражениями. Тем не менее, исследования свойств дина-
мических систем, в частности, систем автоматического управления и ре-
105
гулирования, чаще всего проводятся по их реакции именно на эти воз-
действия.
y
уст
g
t
g y
Рис.2.18
С другой стороны, приведенные методы решения дифференциаль-
ных уравнений и их систем могут применяться практически без измене-
ний и в случае других воздействий более сложной формы.
106
Г л а в а 3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 3.1. Переход от уравнений в переменных состояния
к уравнениям вход-выход
Для решения различных задач теории систем целесообразно исполь-
зовать соответствующие формы представления моделей систем. В связи с
этим в теории и практике анализа динамических систем широко использу-
ются методы преобразования моделей, и в частности, преобразование мо-
делей в переменных состояния в модели вход-выход и обратно. Рассмот-
рим такое преобразование подробнее.
Общий случай. Уравнения динамических систем в переменных со-
стояния, как показано выше, имеют вид
,BgAxx
+
=
&
(3.1)
DgCxy
+
=
, (3.2)
Здесь
n
Rx∈
,
k
Rg ∈
и
q
Ry∈
– векторы состояния, входа и выхода,
соответственно; A, B, C и D – матрицы коэффициентов.
Соответствующее уравнение вход-выход в матричной форме запи-
шется следующим образом:
)()()()( pgpBpypA
=
, (3.3)
где
)(pg
,
)(py
– изображения по Лапласу векторов входа и выхода;
)(pA
– полином, а
)(pB
– матрица, элементами которой являются не-
которые полиномы. Матричное уравнение (3.3) можно представить сле-
дующим образом:
,)()()( pgpWpy
yg
=
(3.4)
где
)()()(
1
pBpApW
yg
−
=
– передаточная матрица.
Для вывода соотношений, определяющих полиномы и матрицы в
уравнениях вход-выход (3.3) и (3.4), перейдем в уравнениях (3.1), (3.2) к
изображениям по Лапласу при нулевых начальных условиях. В результа-
те будем иметь
)()()( pBgpAxppx
+
=
107
или
.)()()( pBgpxApE
=
−
Отсюда
.)()()(
1
pBgApEpx
−
−=
(3.5)
На основе этого выражения для каждой компоненты
)(px
i
вектора
)(px
можно записать
,,...,2,1),()()(
1
nipBgApEepx
T
ii
=−=
−
(3.6)
где
[
]
[ ]
[ ]
.100
,010
,001
2
1
K
K
L
M
=
=
=
T
n
T
T
e
e
e
Из (3.6) следует, что выражение
BApEepW
T
igx
i
1
)()(
−
−=
,
ni ,1=
(3.7)
определяет передаточные матрицы, которые описывают связь соответст-
вующей переменной состояния системы
i
x
с вектором входа
g
.
Уравнение (3.2) в изображениях по Лапласу имеет вид
)()()( pDgpCxpy
+
=
или с учетом (3.5)
.)(])([)(
1
pgDBApECpy +−=
−
(3.8)
Следовательно, передаточная матрица системы (3.1), (3.2) определя-
ется выражением
DBApECpW
yg
+−=
−1
)()(
. (3.9)
108
Известно, что матрицу
1
)(
−
− ApE
можно представить (П.1.20) сле-
дующим образом
,)(
)(
1
)(
1
ApEadj
pA
ApE −=−
−
(3.10)
где
01
1
1
)det()( apapapApEpA
n
n
n
++++=−=
−
−
K
– характери-
стический полином системы. В общем случае присоединенная матрица
,)]([)( pqApEadj
ij
=−
где
)(pq
ij
– некоторые полиномы от
p
(см. П.4.7). При этом
,1)(deg −≤ npq
ij
(3.11)
т.е. степень элементов присоединенной матрицы не превышает величины
1
−
n
, где
n
– порядок системы.
С учетом формулы (3.10) из выражения (3.9) следует еще одна фор-
мула для передаточной матрицы (3.9) системы (3.1), (3.2):
.)(
)(
1
)( DBApEadjC
pA
pW
yg
+−=
(3.12)
Подставим (3.12) в (3.4) и обозначим
.)()()( pDABApEadjCpB
+
−
=
(3.13)
Тогда получим
)()(
)(
1
)( pgpB
pA
py =
.
Умножая обе части этого уравнения на полином
)(pA
, придем к
равенству (3.3).
Таким образом, выражения (3.9), (3.12) и (3.13) представляют собой
искомые соотношения, определяющие полином и матрицы в уравнениях
вход-выход (3.3) и (3.4) системы (3.1), (3.2).
Если матрица
,)]([)( pBpB
ij
=
то из (3.13) следуют равенства
)()()( pAdbApEadjcpB
ijjiij
+−=
,
qi ,1=
,
kj ,1=
. (3.14)
109
Подчеркнем, что в этой формуле
i
c
– i-я строка матрицы
C
,
j
b
– j-
й столбец матрицы
B
,
ij
d
– элемент матрицы
D
из (3.2), стоящий на
пересечении i-й строки и j-го столбца.
Элементами матрицы
)(pW
yg
являются определенные выше ска-
лярные передаточные функции
)(pW
ij
, т.е.
,)]([)( pWpW
ijyg
=
поэтому
на основе (3.14) можно записать следующие соотношения
=+
−
==
ij
jiij
ij
d
pA
bApEadjc
pA
pB
pW
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
pA
pAdbApEadjc
ijji
+−
=
,
qi ,1=
,
kj ,1=
. (3.15)
Подчеркнем, что
)(pW
ij
– это передаточная функция между j-м
входом и i-м выходом системы (3.1), (3.2). Знаменателем всех этих пере-
даточных функций является характеристический полиномом
)(pA
((2.16) при
p
=
λ
) системы (3.1), (3.2). Числитель же
)(pW
ij
– это сум-
ма произведения i-й строки матрицы
C
на присоединенную матрицу
)( ApEadj
−
и на j-й столбец матрицы
B
, а также произведения
ij
d
на
полином
)(pA
.
Обозначим
ijij
mpB =)(deg
– степень числителя передаточной
функции (3.15). Пусть так же
ij
mm max=
. Принимая во внимание соот-
ношение (3.11) не трудно заключить, что всегда справедливо неравенство
n
m
≤
(3.16)
Это неравенство устанавливает одно из фундаментальных свойств
передаточных функций и матриц системы (3.1), (3.2). При этом если
,0≠
ij
d
то
.nm
ij
=
(3.17)
Из (3.16), (3.17) вытекает следующий очень важный вывод. Если в
каком-либо канале
ij
yg →
число
0=
ij
d
, то степень числителя соот-
110
ветствующей передаточной функции
)(pW
ij
не может быть больше ве-
личины
1
−
n
. Если же в этом канале число
0≠
ij
d
, то степень числителя
соответствующей
)(pW
ij
в точности равна
n
.
Соотношения (3.14), (3.15) позволяют найти передаточные функции
между любым входом
j
g
и любым выходом
i
y
многомерной системы,
заданной уравнениями в переменных состояния (3.1), (3.2).
Рассмотрим применение полученных формул.
Пример 3.1. Найти передаточную матрицу системы
,
10
21
32
21
gxx
+
−
−−
=
&
.
01
02
32
11
gxy
+
=
Решение. В данном случае матрицы
)( ApE
−
,
)(adj ApE
−
и
полином
)det()( ApEpA
−
=
равны
+−
+
=−
32
21
)(
p
p
ApE
,
+
−+
=−
12
23
)(adj
p
p
ApE
,
74)(
2
++= pppA
.
Найдем сначала произведения
[ ] [ ]
,5
0
1
15
0
1
12
23
11)(adj
11
+=
−+=
+
−+
=− ppp
p
p
bApEc
[ ]
,93
1
2
15)(adj
21
+=
−+=− pppbApEc
[ ] [ ]
,122
0
1
13122
0
1
12
23
32)(adj
12
+=
−+=
+
−+
=− ppp
p
p
bApEc