Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
61
некоторыми функциями остальных двух, как бы сильно они не отлича-
лись друг от друга внешне.
Кроме того, из утверждения 2.1 следует, в частности, вывод о том,
что СДУ нельзя свести к алгебраической системе, понизив с помощью
первых интегралов ее порядок до нуля. Действительно, согласно утвер-
ждению 2.1 порядок СДУ можно понизить лишь до величины
1)1(
=
−
−
nn
, т.е. свести СДУ n-го порядка максимум к одному диффе-
ренциальному уравнению первого порядка с одной неизвестной функци-
ей и к
1
−
n
алгебраических (функциональных) уравнений (как например,
в примере 2.10).
Непрерывная зависимость решений СДУ от начальных значе-
ний. Как отмечалось выше, решение СДУ зависит не только от времени, но
и от начальных условий. Более того, справедливо следующее положение.
Утверждение 2.2. Если правые части СДУ (2.39), (2.40) или (2.41)
),,( gxtf
i
или
),( xtf
i
ni ,1=
определены и непрерывны со своими
частными производными
ji
xgxtf ∂∂ /),,(
,
nji ,1, =
, то решение
),,(
0
gxtx
непрерывно зависит от начальных условий. Более того, в этом
случае существуют и ограничены частные производные
j
i
ij
x
gxtx
tφ
0
0
),,(
)(
∂
∂
=
,
nji ,1, =
(2.62)
решения
),,(
0
gxtx
по начальным значениям
j
x
0
.
При этом, если обозначить
),,(
0
),,(
)(
gxtxx
j
i
ij
x
gxtf
tf
=
∂
∂
=
, (2.63)
где
),,(
0
gxtx
– некоторое решение СДУ, то вектор-функции
T
niiii
][
21
ϕϕϕ=ϕ K
, где
)),,(,(
0
gxtxt
ijij
ϕ=ϕ
удовлетворяют
линейной системе уравнений
∑
=
=
n
j
jiiji
tf
1
φ)(φ
&
,
ni ,1=
(2.64)
62
при начальных условиях
ijij
δ=)0(φ
. Здесь
ij
δ
– символ Кронекера
[12], определяемый выражением
≠
=
=δ
ji
ji
ij
,0
,1
. (2.65)
Система (2.64) иногда называется системой в вариациях или систе-
мой первого (линейного) приближения нелинейной СДУ (2.39).
Хотя система (2.64) линейная, найти ее решение в общем случае
чрезвычайно сложно, так как для этого необходимо, прежде всего, иметь
решение исходной нелинейной системы. Только в этом случае можно
найти функции
)(tf
ij
из (2.64), а затем уже перейти к анализу или ре-
шению этой системы. Однако с точки зрения построения решений нели-
нейной СДУ существование производных этих решений по начальным
значениям очень важно, так как только в этом случае гарантируется ма-
лое изменение решений при малом изменении начальных значений. Осо-
бую важность это свойство решений СДУ имеет при приближенном ре-
шении нелинейной СДУ.
Проще всего вычисляются производные по начальным значениям в окре-
стности точки равновесия автономной нелинейной системы или в случае ли-
нейной системы с постоянными параметрами типа
Axx
=
&
.
Рассмотрим подробнее первый случай. Пусть
0
x
положение равно-
весия однородной системы (2.41), т.е.
0)(
0
=xf
.
Тогда частные производные (2.63)
const
x
xf
f
xx
j
i
ij
=
∂
∂
=
=
0
)(
, (2.66)
а соответствующая система в вариациях (2.64) принимает вид
ϕ
=
ϕ
F
&
, (2.67)
где
][
ij
fF
=
–
n
n
×
постоянная матрица.
Приведем численный пример.
63
Пример 2.11. Пусть уравнения СДУ имеют вид
2
21
xx =
&
,
2
2
xx −=
&
. (2.68)
Найти производные решения задачи Коши этой системы по начальным
значениям переменных состояния в точке равновесия.
Решение. В данном случае решение задачи Коши системы (2.68)
легко определяется и имеет вид
)1(),(
22
201001
5,0
−−=
− t
exxxtx
,
t
exxtx
−
=
2002
),(
.
Его частные производные по начальным значениям
. ,0
,)1( ,1
20
2
22
1
2
21
20
2
20
1
12
10
1
11
t
t
e
x
x
φ
x
x
φ
xe
x
x
φ
x
x
φ
−
−
=
∂
∂
==
∂
∂
=
−−=
∂
∂
==
∂
∂
=
(2.69)
Как видно, в общем случае производные решения СДУ по начальным
условиям это некоторые функции времени. В частности, в рассматриваемом
случае при
0
=
t
==
=
10
01
)]([
0t
ij
tφΦ
,
а при
1
=
t
=
368,00
865,01
20
x
Φ
.
Положением равновесия рассматриваемой системы (2.68) является,
очевидно, начало координат, т.е. точка с координатами
0
0
1
=x
и
0
0
2
=x
.
Производные (2.69) при
0
10
=x
и
0
20
=x
равны:
1
11
=ϕ
,
0
12
=ϕ
,
0
21
=ϕ
,
t
e
−
=ϕ
22
.
Предположим теперь, что решение системы (2.68) неизвестно. Тогда
производные этого решения по начальным условиям можно определить
путем решения системы (2.64) с учетом определения (2.65).
64
В этом случае сначала по (2.66) вычисляются коэффициенты
ij
f
, т.е.
значения частных производных
,02 ,0
0
00
2
2
1
12
1
1
11
==
∂
∂
==
∂
∂
=
=
==
x
xx
x
x
f
f
x
f
f
1 ,0
2
2
22
1
2
21
−=
∂
∂
==
∂
∂
=
x
f
f
x
f
f
.
В результате система в вариациях (2.67) принимает вид
ii
ϕ
−
=ϕ
10
00
&
,
2,1
=
i
, (2.70)
а её начальные условия по (2.65):
T
]01[)0(
1
=ϕ
;
T
]10[)0(
2
=ϕ
.
Как не трудно установить, решение линейной системы ДУ в вариа-
циях (2.70) имеет вид
=ϕ
0
1
1
,
=ϕ
−
t
e
0
2
.
Очевидно, что производные по начальным значениям решения СДУ
(2.68) в точке
0
=
x
, найденные непосредственно из решений СДУ и из
системы в вариациях (2.70), совпадают.
Непрерывная зависимость решений СДУ от параметров. Если
входные воздействия постоянные, т.е.
T
n
gggg ][
21
K=
, где
i
g
–
постоянные величины, то
i
g
можно рассматривать как параметры СДУ.
В ряде случаев значения коэффициентов передач
i
k
или постоянных вре-
мени
i
T
элементов динамических систем также могут принимать различ-
ные постоянные значения. В этих случаях решения соответствующих СДУ
(2.39), (2.40) или (2.41) будут зависеть от этих параметров. Данная ситуа-
ция описывается [14, 15] обычно так
),,(
µ
=
xtfx
&
, (2.71)
где
][
21 k
µ
µ
µ
=
µ
K
– вектор параметров системы (2.71), а ее
решение представляется в виде
65
),,()(
0
µ= xtxtx
.
Оказывается, имеет место [14, 15] следующее
Утверждение 2.3. Если в СДУ (2.71) существуют и непрерывны ча-
стные производные правых частей
l
i
f
µ∂
∂
,
ni ,1=
,
kl ,1=
(2.72)
то решения
),,(
0
µxtx
являются непрерывными функциями по t и по
µ
.
При этом существуют и непрерывны производные
l
i
il
xtx
t
µ∂
µ
∂
=µϕ
),,(
),(
0
,
kl ,1=
,
ni ,1=
. (2.73)
Обозначим при всех
lji ,,
)(
,,
0
),,(
µ
=
∂
µ∂
=
xt
j
i
ij
xx
x
xtf
f
,
),,(
0
),,(
µ=
µ∂
µ∂
=
xtxx
l
i
il
xtf
g
. (2.74)
Тогда производные (2.73) решений СДУ (2.71) по параметрам
l
l
xtx
µ∂
µ
∂
=ϕ
),,(
01
1
,
K
l
n
nl
xtx
µ∂
µ
∂
=ϕ
),,(
0
,
kl ,1=
(2.75)
в точке
0
µ=µ
определяются решением неоднородной системы
)()(
1
tgtf
n
j
iljlijil
∑
+ϕ=ϕ
=
&
,
ni ,1=
,
kl ,1=
(2.76)
при начальных условиях
0)0( =ϕ
il
,
ni ,1=
,
kl ,1=
. Здесь функции
)(tf
ij
и
)(tg
il
определяются по (2.74) также в точке
0
µ=µ
.
Пример 2.12. Рассмотрим СДУ вида
β+α=
11
xx
&
,
12
xx γ=
&
, (2.77)
Здесь
γ
β
α
,,
– параметры, т.е. вектор
][ γβα=µ
. Найти производ-
ные решения этой СДУ по параметрам
γ
β
α
,,
.
66
Решение. В данном случае решение задачи Коши имеет вид
α−β+=
αα
)1(),(
1001
tt
eexxtx
, (2.78)
αγβ−αβ+α−γ+=
α
txexxtx
t 2
102002
))(1(),(
,
а его производные по параметрам с учетом обозначений (2.75) определя-
ются выражениями
)1(
)(
2
101
11
tt
ee
xtx
αα
−
α
β
+
α
β+α
=
α∂
∂
=ϕ
,
α−=
β∂
∂
=ϕ
α
)1(
1
12
t
e
x
,
0
1
13
=
γ∂
ϕ
∂
=ϕ
,
−
α
β+αγ=
α∂
∂
=ϕ
α
2
10
2
21
)(
t
e
xt
x
23
10
2
)1(
α
γβ
+
α
β+α
−γ−
α
tx
e
t
,
2
2
22
/))1(( ααγ−−γ=
β∂
∂
=ϕ
α
te
x
t
,
αβ−αβ+α−=
γ∂
∂
=ϕ
α
txe
x
t 2
10
2
23
))(1(
.
Как видно, производные решения СДУ по параметрам также явля-
ются функциями времени. С другой стороны, по формулам (2.74)
α=
∂
∂
=
1
1
11
x
f
f
,
0
2
1
12
=
∂
∂
=
x
f
f
,
γ=
∂
∂
=
1
2
21
x
f
f
,
0
2
2
22
=
∂
∂
=
x
f
f
,
1
1
11
x
f
g =
α∂
∂
=
,
1
1
12
=
β∂
∂
=
f
g
,
0
1
13
=
γ∂
∂
=
f
g
,
0
2
21
=
α∂
∂
=
f
g
,
0
2
22
=
β∂
∂
=
f
g
,
1
2
23
x
f
g =
γ∂
∂
=
.
67
Подчеркнем, что в этих выражениях
1
x
это решение СДУ (2.77), оп-
ределяемое выражением (2.78).
Подставляя отсюда
ij
f
и
il
g
в (2.76) получаем две системы в вариа-
циях по параметрам, решения которых определяют указанные выше
шесть производных
il
ϕ
решений
),,,,(
01
γβα
xtx
,
),,,,(
02
γβα
xtx
по
параметрам
γ
β
α
,,
:
11111
x+αϕ=ϕ
&
,
1
1212
+αϕ=ϕ
&
,
1313
αϕ=ϕ
&
,
1121
γϕ=ϕ
&
,
1222
γϕ=ϕ
&
,
11323
x+γϕ=ϕ
&
.
Так как
1
x
является функцией времени, то решение всех уравнений
полученной системы весьма затруднительно. Однако второе и третье
уравнения относительно просты. Решив их при нулевых начальных усло-
виях, найдем
α−=ϕ
α
)1()(
12
t
et
,
0)0(
1313
=ϕ=ϕ
αt
e
.
Полученные функции, как видно, полностью совпадают с найден-
ными выше производными
β∂∂=ϕ
112
x
и
γ∂∂=ϕ
113
x
непосред-
ственно по решению
),,,,(
01
γβαxtx
(2.78) СДУ (2.77).
Таким образом, при выполнении условий существования и единст-
венности решений СДУ можно всегда найти некоторые функции време-
ни, которые не только будут являться решением данной СДУ, но и иметь
непрерывные производные как по начальным условиям, так и по пара-
метрам.
Отметим еще раз, что отыскание решений нелинейных СДУ общего
вида чрезвычайно сложная проблема. При этом часто весьма полезными
оказываются первые интегралы СДУ. Если же СДУ является линейной и
имеет постоянные параметры, то ее решение существует всегда и нахо-
дится значительно проще.
В дальнейшем будут рассматриваться в основном именно линейные
СДУ с постоянными параметрами. Поэтому перейдём к более подробно-
му рассмотрению методов построения решений этих СДУ.
§ 2.3. Решение линейных дифференциальных уравнений
Как отмечалось выше, линейные дифференциальные уравнения вы-
сокого порядка
1
>
n
используются при описании динамических систем с
68
помощью моделей вход-выход. Ограничимся здесь рассмотрением сис-
тем с постоянными коэффициентами, с одним входом
)(tg
и одним вы-
ходом
)(ty
. В этом случае уравнение вход-выход динамической системы
имеет вид
)()(α)(α...)(α)(
001
)1(
1
)(
tgbtytytyty
n
n
n
=++++
−
−
&
, (2.79)
где
)(
)(
ty
i
– условное обозначение i-й производной по времени от функ-
ции;
i
α
– постоянные коэффициенты,
1,0 −= ni
.
Задание дифференциального уравнения обычно сопровождается зада-
нием начальных условий:
)0( ...,),0( ),0(
)1()1(
0
00
−−
===
nn
yyyyyy
&&
.
Другими словами, наряду с уравнением (2.79), функцией
)(tg
, задаются
значения функции
)(ty
и
1
−
n
ее производных по времени при t=0.
При аналитическом решении уравнений типа (2.79) чаще всего ис-
пользуются классический или операторный методы. Рассмотрим кратко
их основные особенности.
Классический метод. Данный метод в деталях довольно сильно за-
висит от вида функций, стоящих в правой части уравнения (2.79), и от
корней так называемого характеристического уравнения.
Решение уравнения (2.79) классическим методом обычно разыски-
вается в виде суммы
)()()( tytyty
частобщ
+=
. (2.80)
Здесь
)(ty
общ
– решение однородного уравнения
0)(α)(α...)(α)(
01
)1(
1
)(
=++++
−
−
tytytyty
n
n
n
&
, (2.81)
которое получается из (2.79) при
0)(
≡
tg
;
)(ty
част
– частное решение,
определяемое правой частью (2.79).
Вид общего решения
)(ty
общ
зависит от характера корней характе-
ристического уравнения
0
αα
...
α
01
1
1
=++++
−
−
ppp
n
n
n
. (2.82)
Это уравнение получается из левой части уравнения (2.79), если в
69
ней вместо производной
)(
)(
ty
i
поставить
nip
i
,0 , =
и получившееся
выражение приравнять нулю (при этом функция
)(ty
рассматривается
как производная нулевого порядка).
Предположим, среди
n
корней характеристического уравнения
(2.82)
2
2n
корней комплексно-сопряженные, а остальные
21
2nnn −=
– вещественные. Кроме того, будем считать, что все корни различные,
причем комплексные корни
2
,1 , nijp
iii
=ω±σ=
.
Тогда общее решение уравнения (2.79) будет иметь вид
∑
ϕ+ωψ+
∑
=
=
σ
=
21
11
)cos()(
n
i
ii
t
i
n
i
tp
iобщ
teecty
ii
. (2.83)
Здесь
iii
c ϕψ , ,
– постоянные числа. Они определяются после того, как
будет найдено частное решение
)(ty
част
. Если в (2.79)
0)(
≡
tg
, то
0)( ≡ty
част
тоже, и тогда
)()( tyty
общ
=
.
В дальнейшем будем рассматривать только те уравнения (2.79), в
которых функция
)(tg
имеет вид
kt
etGtg )()(
=
(2.84)
или
[
]
ttGttGetg
kt
β+β=
sin)(cos)()(
21
, (2.85)
или равна сумме правых частей (2.84) и (2.85). При этом вещественное
число k или комплексное число
β
+
jk
не совпадают ни с одним из кор-
ней уравнения (2.82), а
)( ),( ),(
21
tGtGtG
– полиномы соответственно
степеней
21
, , mmm
от t с вещественными коэффициентами или же ве-
щественные числа. При этом
)(
1
tG
или
)(
2
tG
могут быть нулем.
Замечание. Если
)( ),(
1
tGtG
или
)(
2
tG
– постоянное число или
нуль, то и в этом случае их нужно рассматривать как полином от t, но
нулевой степени, т.к. если
0
g
– любое число или нуль, то необходимо
полагать
0
0
)( tgtg
=
, что соответствует (2.84) при
0
=
k
.
Если функция
)(tg
соответствует (2.84) или (2.85), то частное реше-
ние уравнения (2.79) в первом случае ищется в виде
70
kt
част
etQty )()( =
, (2.86)
а во втором случае – в виде
]sin)(cos)([)(
21
ttQttQety
kt
част
β+β=
, (2.87)
где
)( ),( ),(
21
tQtQtQ
– полиномы с неизвестными пока коэффициен-
тами. При этом степень полинома
)(tQ
равна степени полинома
)(tG
в
(2.84), а полиномы
)(
1
tQ
и
)(
2
tQ
имеют одинаковую степень, которая рав-
на старшей из степеней
1
m
и
2
m
полиномов
)(
1
tG
и
)(
2
tG
из (2.85), т.е.
m
m
tqtqqtQ +++= ...)(
10
, (2.88)
m
m
m
m
tqtqqtQtqtqqtQ
221202111101
...)( ,...)( +++=+++=
, (2.89)
где
},max{
21
mmm =
. (2.90)
Здесь
µν
qq
i
,
– неопределенные коэффициенты.
Если функция
)(tg
в (2.79) равна сумме правых частей (2.84) и
(2.85), то частное решение
)(ty
част
ищется в виде суммы правых частей
(2.86) и (2.87) с учетом (2.88) – (2.90).
Для определения коэффициентов
µν
qq
i
,
необходимо найти необ-
ходимое число производных от
)(ty
част
и подставить
)(ty
част
и его
производные в (2.79). Затем приравнять коэффициенты в левой и в пра-
вой части этого уравнения при функциях вида
kti
et
или
tet
kti
βcos
и
tet
kti
βsin
.
В результате получится система линейных алгебраических уравне-
ний относительно коэффициентов
i
q
или
µν
q
. Решив эту систему тем
или иным способом, найдем значения коэффициентов из выражений
(2.88) – (2.90) и соответственно из (2.86) или (2.87). Тем самым будет оп-
ределено частное решение
)(ty
част
уравнения (2.79).
После этого переходим к определению постоянных
ii
c ψ ,
и
i
ϕ
в
(2.83). С этой целью выражения (2.83) и (2.86) или (2.87) подставляем в