Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы

Подождите немного. Документ загружается.

§ 3.4. Площадь 171

3.193. Две окружности пересекаются в точках A и K. Их

центры расположены по разные стороны от прямой, содержа-

щей отрезок AK. Точки B и C лежат на разных окружностях.

Прямая, содержащая отрезок AB, касается одной окружности

в точке A. Прямая, содержащая отрезок AC, касается другой

окружности также в точке A. Известно, что BK = 1, CK = 4,

tg ∠CAB =

√

. Найдите площадь треугольника ABC.

3.194. В остроугольном треугольнике ABC с углом C, рав-

ным 30

◦

, высоты пересекаются в точке M. Найдите площадь

треугольника AMB, если расстояния от центра окружности,

описанной около треугольника ABC, до сторон BC и AC со-

ответственно равны

√

2 и

√

3.195. На отрезке AB лежат точки C и D, причем точка C —

между точками A и D. Точка M взята так, что прямые AM

и M D перпендикулярны и прямые CM и MB тоже перпенди-

кулярны. Найдите площадь треугольника AM B, если известно,

что ∠CMD =

, а площадь треугольников AMD и CMB рав-

ны S

и S

соответственно.

3.196. (Формула Брахмагупты.) Докажите, что если сто-

роны вписанного четырехугольника равны a, b, c и d, то его

площадь S может быть вычислена по формуле:

S =

(p − a)(p − b)(p − c)(p −d),

где p =

(a + b + c + d) — полупериметр четырехугольника.

3.197. Окружность, вписанная в треугольник, точкой ка-

сания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а про-

тиволежащий этой стороне угол равен 120

◦

. Найдите площадь

треугольника.

3.198. Площадь треугольника ABC равна 15

√

3. Угол BAC

равен 120

◦

. Угол ABC больше угла ACB. Расстояние от вер-

шины A до центра окружности, вписанной в треугольник ABC,

равно 2. Найдите медиану треугольника ABC, проведенную из

вершины B.

172 9 класс

3.199. В окружность радиуса 7 вписан четырехугольник

ABCD. Известно, что AB = BC, площадь треугольника BCD

в два раза меньше площади треугольника ABD, ∠ADC = 120

◦

Найдите все стороны четырехугольника ABCD.

3.200. На прямой, проходящей через центр O окружности

радиуса 12, взяты точки A и B так, что OA = 15, AB = 5 и A

лежит между O и B. Из точек A и B проведены касательные

к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону

от прямой OB. Найдите площадь треугольника ABC, где C —

точка пересечения этих касательных.

3.201. Точки K, L, M, N и P расположены последователь-

но на окружности радиуса 2

√

2. Найдите площадь треугольни-

ка KLM, если LM k KN , KM k N P , MN k LP , а угол LOM

равен 45

◦

, где O — точка пересечения хорд LN и MP .

3.202. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым уг-

лом C, углом B, равным 30

◦

, и катетом CA = 1 проведена

медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15

◦

к гипо-

тенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F .

Найдите площадь треугольника CDF .

3.203. Окружность радиуса 3 проходит через вершину B,

середины сторон AB и BC, а также касается стороны AC тре-

угольника ABC. Угол BAC острый, и sin ∠BAC =

. Найдите

площадь треугольника ABC.

3.204. Остроугольный равнобедренный треугольник и тра-

пеция вписаны в окружность. Одно основание трапеции являет-

ся диаметром окружности, а боковые стороны параллельны бо-

ковым сторонам треугольника. Докажите, что трапеция и тре-

угольник равновелики.

Задачи третьего уровня

3.205. Внутри правильного треугольника имеется точка,

удаленная от его вершин на расстояния 5, 6 и 7. Найдите

площадь треугольника.

3.206. Стороны четырехугольника равны a, b, c и d. Извест-

но, что в этот четырехугольник можно вписать окружность и

около него можно описать окружность. Докажите, что его пло-

щадь равна

√

abcd.

§ 3.4. Площадь 173

3.207. Пусть a, b, c, d — последовательные стороны четы-

рехугольника. Докажите, что если S — его площадь, то S 6

(ac + bd), причем равенство имеет место только для вписан-

ного четырехугольника, диагонали которого взаимно перпенди-

кулярны.

3.208. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника

ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади.

Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

3.209. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D.

Окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, каса-

ются стороны AC в точках M и N соответственно. Известно,

что AM = 3, MD = 2, DN = 2, NC = 4. Найдите стороны

треугольника ABC.

3.210. На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC

и AC построены как на диаметрах полуокружности S

, S

и S по

одну сторону от AC. Найдите радиус окружности, касающейся

всех трех полуокружностей, если известно, что ее центр удален

от прямой AC на расстояние a.

3.211. Докажите, что точка пересечения диагоналей описан-

ного вокруг окружности четырехугольника совпадает с точкой

пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которо-

го служат точки касания сторон первого четырехугольника с

окружностью.

Ответы, указания, решения

7 класс

§ 1.1

1.1. 12. 1.2. 3 : 2, 2 : 5, 2 : 3. 1.3. 2 : 1, 1 : 2, 1 : 4. 1.4. 3,5, 8,5.

1.5. 6. 1.6. 4; 2. 1.7. 7; 5; 3; 1. 1.8. Указание. 6 = 2 ·5 −2 ·2. 1.9.

Указание. а) 8 = 2·11−2 ·7; б) 5 = 7·7−4 ·11. 1.10. 2. 1.11. 2,5.

1.12. 3 : 7, 4 : 7. 1.13

. 2 : 7 и 5 : 7; 2 : 3 и 5 : 3. 1.14

. m : (m+n)

и n : (m + n); m : (m −n) и n : (m −n); m : (n −m) и n : (n −m).

1.15

. AD : DC = 2 : 3. 1.16. На луче с началом в середине

отрезка AB, содержащем точку B. 1.17. 105

◦

, 75

◦

. 1.18. 45

◦

135

◦

. 1.25. Пусть M — искомая точка. а) Либо M лежит на

отрезке AB и AM : MB = 2 : 1, либо B — середина отрезка AM;

б) либо M лежит на отрезке AB и AM : M B = 1 : 3, либо A

лежит на отрезке MB и AM : AB = 1 : 2. 1.26. Пусть M

и M

— точки, в которых указанное отношение равно 2. а) Все

отличные от B точки между M

и M

; б) все точки прямой, не

лежащие на отрезке M

. 1.27. Указание. 40

◦

= 180

◦

−2 ·70

◦

1.28. Указание. 1

◦

= 19 · 19

◦

− 360

◦

. 1.30. а) 6

◦

; 0,5

◦

; б) 62,5

◦

;

в) 13 ч 5

мин. 1.31. В любом месте между избами B и C.

1.32. В деревне B.

§ 1.2

1.34. Указание. Если AM и A

— медианы равных тре-

угольников ABC и A

(рис. 81), то треугольники ABM

и A

равны по двум сторонам и углу между ними.

1.35. Указание. Если AD и A

— биссектрисы равных

треугольников ABC и A

(рис. 82), то треугольники ABD

и A

равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

§ 1.2 175

B CM

Рис. 81

1.36. Указание. △AOD = △BOC и △AOC = △BOD по

двум сторонам и углу между ними (рис. 83). △ABC = △BAD

и △ACD = △BDC по стороне и двум прилежащим к ней углам.

△ABC = △CDA и △ABD = △ CDB по трем сторонам.

1.37

. Если AD — биссектриса треугольника ABC (рис. 84)

и AB = AC, то треугольники ABD и ACD равны по двум сторо-

нам и углу между ними, поэтому BD = CD, т. е. AD — медиана,

и ∠ADB = ∠ADC = 90

◦

, следовательно, AD — высота.

B CD

Рис. 82

Рис. 83

1.38

. Пусть AD — медиана треугольника ABC и AD ⊥ BC

(рис. 85). Тогда треугольники ADB и ADC равны по двум сто-

ронам и углу между ними, поэтому AB = AC.

1.39. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC и

AD ⊥ BC (рис. 86). Тогда треугольники ADB и ADC равны по

стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB = AC.

1.40. Указание. Пусть P — точка пересечения BK и AM

B CD

Рис. 84

B CD

Рис. 85

B CD

Рис. 86

176 7 класс

B CM

Рис. 87

A CD

Рис. 88

Рис. 89

(рис. 87). В треугольнике ABM биссектриса BP является вы-

сотой.

1.41. AB : AC = 1 : 2. Указание. Пусть P — точка, в которой

данная прямая пересекает медиану BD (рис. 88). В треугольни-

ке ABD медиана AP является высотой.

1.42. Пусть точки K, L, M расположены соответственно

на сторонах AB, BC, AC равностороннего треугольника ABC,

причем AK : KB = BL : LC = CM : M A (рис. 89). То-

гда AK = BL = CM и BK = CL = AM. Поскольку у глы

равностороннего треугольника равны, то треугольники AKM,

BLK и CML равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно,

MK = KL = ML.

1.46

. Пусть A

— точка на продолжении медианы AM за

точку M, причем MA

= AM (рис. 90). Треугольники A

и AMC равны по двум сторонам и углу между ними, поэто-

му A

B = AC = b. Аналогично, A

C = AB = c.

1.47

. Пусть M — середина стороны BC треугольника ABC

и AM — биссектриса треугольника (рис. 91). На продолжении

отрезка AM за точку M отложим отрезок MA

, равный AM.

B C

Рис. 90

B C

Рис. 91

§ 1.2 177

Рис. 92

A B

Рис. 93

Тогда треугольники A

MB и AM C равны по двум сторонам и

углу между ними, поэтому ∠BA

M = ∠CAM = ∠BAM . Зна-

чит, треугольник ABA

равнобедренный. Следовательно, AB =

= A

B = AC.

1.48. а) Нет; б) нет.

1.49

. б) Пусть катет AC и гипотенуза AB прямоугольного

треугольника ABC соответственно равны катету A

и гипо-

тенузе A

прямоугольного треугольника A

(рис. 92).

На продолжениях катетов AC и A

за точки C и C

соот-

ветственно отложим отрезки CK и C

, равные соответствен-

но AC и A

. Тогда медианы BC и B

треугольников ABK

и A

являются высотами, поэтому эти треугольники рав-

нобедренные. Они равны по трем сторонам, значит, ∠CAB =

= ∠C

. Следовательно, треугольники ABC и A

рав-

ны по двум сторонам и углу между ними.

в) Этот признак следует из признака равенства треугольни-

ков по стороне и двум прилежащим к ней углам.

1.51

. Если точка M равноудалена от концов отрезка AB

(рис. 93) и не принадлежит этому отрезку, то медиана MC рав-

нобедренного треугольника AMB является его высотой, следо-

вательно, MC — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Об-

ратно, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку AB

равноудалена от его концов, так как высота равнобедренного

треугольника, проведенная к основанию, является медианой.

1.52. Центры O

и O

окружностей (рис. 94) равноудалены

от точек A и B, следовательно, O

— серединный перпенди-

куляр к отрезку AB.

1.54. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A

с гипотенузами AB и A

равны катеты AC и A

и ост-

рые углы ∠B и ∠B

(рис. 95). На продолжении катета BC за

178 7 класс

Рис. 94

точку C отложим отрезок CB

, равный B

. Тогда прямо-

угольный треугольник ACB

равен треугольнику A

по

двум катетам, поэтому ∠B

= ∠B

= ∠B. Значит, треуголь-

ник BAB

равнобедренный, поэтому AB = AB

= A

. Сле-

довательно, треугольник ABC равен треугольнику A

по

катету и гипотенузе.

1.55. Из условия задачи следует, что BC + AC = BD + AD

и BC + BD = AC + AD (рис. 96). Складывая и вычитая эти ра-

венства, получим, что BC = AD и AC = BD. Значит, треуголь-

ники ABC и BAD равны по трем сторонам, поэтому ∠BAC =

= ∠ABD, треугольник AOB равнобедренный. Следовательно,

AO = BO.

1.56. а) Пусть BM и B

— медианы треугольников ABC

и A

, AB = A

, BM = B

, BC = B

(рис. 97).

Отложим на продолжениях медиан BM и B

за точ-

ки M и M

отрезки M P и M

, равные соответственно BM

и B

. Тогда из равенства треугольников P MC и BMA сле-

дует, что P C = AB, а из равенства треугольников P

и B

следует, что P

= A

. Поэтому треугольники

BCB

Рис. 95

§ 1.2 179

A B

Рис. 96

Рис. 97

P BC и P

равны. Следовательно, ∠MBC = ∠M

Значит, треугольники MBC и M

равны. Поэтому MC =

= M

, тогда и AC = A

. Следовательно, треугольни-

ки ABC и A

равны по трем сторонам.

1.57. Указание. Воспользуйтесь признаком равенства пря-

моугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

1.59. Пусть ABCD — данный четырехугольник (рис. 98).

Поскольку AB = AD и CB = CD, точки A и C равноудале-

ны от концов отрезка BD, следовательно, AC — серединный

перпендикуляр к отрезку BD.

1.60. Точка P лежит на серединном перпендикуляре к от-

резку AB (рис. 99), поэтому AP = BP . Аналогично, DP = CP .

Значит, треугольники AP D и BP C равны по трем сторонам,

поэтому равны их медианы P M и P N. Таким образом, точка P

равноудалена от концов отрезка MN, следовательно, она лежит

на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

1.61. Указание. Воспользуйтесь признаком равенства пря-

моугольных треугольников по катету и гипотенузе.

Рис. 98

D C

Рис. 99

180 7 класс

1.62. Указание. Воспользуйтесь признаком равенства пря-

моугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

1.63

. Указание. Из признака равенства прямоугольных

треугольников по гипотенузе и острому углу следует, что каж-

дая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сто-

рон угла.

Из признака равенства прямоугольных треугольников по ка-

тету и гипотенузе следует, что каждая точка внутри угла, рав-

ноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе угла.

1.65. 7 или 9.

1.66. Указание. Искомые прямые перпендикулярны биссек-

трисам углов, образованных данными прямыми.

1.67. Указание. Пусть точка B

симметрична точке B отно-

сительно данной прямой (рис. 100). Если прямая AB пересекает

прямую l, то точка C — искомая.

1.68. Указание. Пусть точка B

симметрична точке B от-

носительно данной прямой. Прямая AB пересекает прямую l в

искомой точке C.

1.69. Указание. Постройте точки, симметричные данным

относительно сторон угла.

1.70. Указание. Постройте точку, симметричную одной из

данных относительно биссектрисы угла при вершине.

1.71

. Указание. Точка пересечения двух биссектрис тре-

угольника равноудалена от всех сторон треугольника, поэтому

она лежит на третьей биссектрисе.

1.72. Указание. Точки M и N лежат на биссектрисе угла A.

1.73. Пусть A — недоступная вершина (рис. 101). Возьмем

Рис. 100

Рис. 101