Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы

Подождите немного. Документ загружается.

§ 3.4 411

B B

Рис. 620

A B

Рис. 621

CDM N

Рис. 622

Следовательно, EC параллельно AB. Аналогично докажем,

что остальные диагонали также параллельны соответствующим

сторонам.

Поскольку DEKC — параллелограмм, то S

EKC

= S

EDC

= 1.

Обозначим S

AKE

= x. Тогда

AKE

AKB

1 − x

EKC

CK B

Из уравнения

1−x

находим, что x =

√

5−1

. Следовательно,

ABCDE

= S

ABC

+ S

DEKC

+ S

AKE

= 1 + 2 + x =

5 +

√

3.209. AB =

, BC =

, AC = 11.

Поскольку DM =

= DN , то окружности касаются BD в одной точке (рис. 622).

Обозначим ее через T . Пусть P и Q — точки касания окруж-

ностей со сторонами AB и BC, BP = BT = BQ = x. Вы-

разим площади треугольников ABD и BCD по формуле Геро-

на: S

(x + 5) · x · 2 · 3, S

(x + 6) · x · 2 ·4. С другой

стороны,

. Из полученного уравнения находим,

что x =

. Следовательно, AB = 3 + x =

, BC = 4 + x =

3.210.

Пусть O

, O

, O — центры данных полуокруж-

ностей S

, S

, S соответственно (рис. 623), r и R — радиусы

полуокружностей S

и S

, x — радиус искомой окружности,

— ее центр. Тогда радиус полуокружности S равен r + R,

= r + x, OO

= r + R −x, OO

= R,

= R + x, OO

= r.

412 9 класс

A B C

Рис. 623

Рис. 624

По формуле Герона находим:

(r + R)(R − x)xr,

(r + R)(r − x)xR.

Поскольку S

и S

, то

(r + R)(R − r)xr − (r + R)(r −x)xR =

−

Из полученного у равнения находим, что x =

3.211. Пусть E, F , G и K — точки касания окружности

со сторонами AB, BC, CD и AD описанного четырехугольни-

ка ABCD (рис. 624), M — точка пересечения AC и EG. Тогда

AEM

CGM

AM ·EM sin ∠AME

CM · GM sin ∠CM G

AE · EM sin ∠AEM

CG · GM sin ∠CGM

Поскольку sin ∠AME = sin ∠CMG и sin ∠AEM = sin ∠CGM,

то из полученного равенства отношений следует, что

т. е. прямая EG делит диагональ AC данного четырехугольника

в отношении

Точно так же убеждаемся, что прямая F K делит ту же

диагональ в отношении

, а так как AE = AK и CG = CF ,

то

. Следовательно, прямая F K проходит через

точку M.

Аналогично докажем, что BD проходит через точку пересе-

чения EG и F K.

Список литературы

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1 . Пла нимет рия. — М.:

ГУПИ, 1936.

2. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия 8–9. —

М.: Просвещение, 1991.

3. Атанасян Л. С. и др. Геометрия. Учебник для 7–9 классов обще-

образовательных учреждений. — М.: Просвещение, 1995.

4. Барыбин К. С. Сборник задач по геометрии. Планиметрия. — М.:

Учпедгиз, 1958.

5. Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. — М.: Нау-

ка, 1978.

6. Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические

олимпиады. — М.: Просве щ ение, 1986.

7. Гусев В. А., Орлов Ф. И., Розенталь Ф. Л. Внеклассная ра бота по

математике в 6–8 классах. — М.: Просв е щение, 1977.

8. Делоне Б., Житомирский О. Задачник по геометрии. — М.– Л.:

ГИТТЛ, 1950.

9. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз,

1962.

10. Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олим-

пиад. — М.: Просве щ ение, 1971.

11. Коксетер Г. С., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. —

М.: Наука, 1978.

12. Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах.

Мин. нар. образ ования РСФСР. НИИ школ. — М., 19 90.

13. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи всту-

пительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986.

14. Петерсен Ю. Методы и теории для решения ге ометрических за-

дач на построение. — М.: 1892.

15. Погорелов А. В. Геометрия 7–11. — М.: Просвещение, 1996.

414 Список литературы

16. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. I. — М.: Наука, 1991.

17. Пржевальский Е. Собрание ге ометрических теорем и задач. —

М., 1909.

18. Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии для 6–9 классов средней

школы. Ч. I. Планиметрия. — М.: Просве щение, 1964.

19. Саранцев Г. И. Сборник задач на геометрические преобразова-

ния. — М.: Просвещение, 1981.

20. Сборник з адач по математике для поступающих во втузы. Под

ред. Сканави М. И. — М.: Высшая ш кола, 1988.

21. Факультативный курс по математике / Сост. Никольская И. Л. —

М.: Просвещение, 1991.

22. Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиа-

ды. — СПб.: Политехника, 1994.

23. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — М.: Наука,

1986.

24. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи

и теоремы планиметрии. — М.: Н аука, 1967.

25. Яковлев Г. Н., Купцов Л. П., Резниченко С. В., Гусятников П. Б.

Всероссийские математические олимпиады. — М.: Просве щение,

1992.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Раздел первый. 7 класс

Зада-

чи

Реше-

ния

§ 1.1. Измерение отрезков и углов . . . . . . . . . . . . . . . 5 174

§ 1.2. Признаки равенства треугольников . . . . . . . . . . . 9 174

§ 1.3. Параллельно с ть. Сумма углов треугольника . . . . . 16 183

§ 1.4. Геометрические построения. Окружность . . . . . . . 26 194

§ 1.5. Касательная к окружности . . . . . . . . . . . . . . . . 33 200

§ 1.6. Геометрическое место точек . . . . . . . . . . . . . . . 41 210

§ 1.7. Геометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . 47 215

Раздел второй. 8 класс

§ 2.1. Параллелограмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 227

§ 2.2. Средняя линия треугольника . . . . . . . . . . . . . . 63 237

§ 2.3. Трапеция. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональ-

ных отрезках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 24 6

§ 2.4. Теорема Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 252

§ 2.5. Декартовы координаты на плоскости . . . . . . . . . . 86 265

§ 2.6. Движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 27 1

§ 2.7. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 292

§ 2.8. Площадь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5 303

§ 2.9. Подобные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 312

§ 2.10. Вписанный угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 326

Раздел третий. 9 класс

§ 3.1. Пропорциональные о трезки в круге . . . . . . . . . . . 144 342

§ 3.2. Теорема косинус ов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 356

§ 3.3. Теорема синусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 371

§ 3.4. Площадь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 390

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Издательство МЦНМО представляет книги по математике

для школьников и учителей

Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник

задач. 2005

Бобров C. П. Волшебный двурог. 2006

Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. 2002

Васильев Н. Б, Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. 2006

Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. 2006

Виленкин Н. Я., Виленкин А. Н., Виленкин П. А. Комбинаторика.

2006

Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э. Э. Функции и графики

(основные приемы). 2006

Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. 2006

Горбачев Н. В. Сборник олимпиадных задач по ма тематике. 2006

Гордин Р. К. Это должен знать каждый ма тшкольник. 2004

Евдокимов М. А. От задачек к задачам. 2004

Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. 2005

Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986–2005. 2006

Заславский А. А. Геометрические преобразова ния. 2004

Звонкин А. К. Малыши и математика. Домашний кружок для до-

школьников. 2006

Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нес тандартные

задачи. 2006

Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математ ического

кружка). 2006

Кулыгин А. К. (сост.). ХХVI I Ту рнир им. Ломоносова. 2005

Кулыгин А. К. (сост.). ХХVI II Турнир им. Ломо носова. 2006

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? 2004

Московские математические олимпиады 1993–2005 г. 2006

Московские олимпиады по информатике. 2006

Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах.

2004

Понарин Я. П. Элементарная г еометрия. Т. 1, 2. 2004, 2006

Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. 2006

Шень А. Программирование: теоремы и задачи. 2004

Ященко И. В. Приглашение на математический праздник. 2005

Книги издательства МЦНМО можно приобрести

в магазине «Математическая книга»,

Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru