Горлач В.В. и др. Лабораторный практикум по колебательным и волновым процессам

Подождите немного. Документ загружается.

4. Выполнить измерения расстояний Δx

max

при двух других

значениях m.

5. По формуле (33м.11)

рассчитать период одномерной

дифракционной решетки, занести

полученные значения d при

различных m в таблицу. Сравнить

среднее арифметическое <d> cо

значением, приведённым в паспорте

установки. Сделать вывод.

*Задание 3. Дифракция на двумерной решётке

Основы теории

Двумерная дифракционная решётка представляет собой скрещен-

ные перпендикулярно друг другу решётки с периодами d

и d

. Если

углы дифракции малы и расстояние от решётки до экрана велико, то

координаты главных максимумов вдоль осей X и Y могут быть

определены как:

max

; y

max

, где (33м.12)

Из выражений (33м.12) получим расчётные формулы для

определения периодов решётки d

и d

= 2mλL/Δx

max

и d

= 2mλL/Δy

max

. (33м. 13)

Выполнение задания 3

Приборы: полупроводниковый лазер, объект исследования –

двумерная дифракционная решётка, миллиметровая линейка, экран.

Цель работы – наблюдение дифракции лазерного излучения на

двумерной решётке; определение расстояний между штрихами; проверка

условия главных максимумов.

1. Установить двумерную дифракционную решётку в положение,

перпендикулярное направлению светового пучка. При этом стрелка,

закреплённая на оси вращения пластинки с решёткой, должна

указывать на выбранное значение угла α

= 0.

63 См. теорию дифракции волн на решётке в работе 33 и также в задании 2 работы 33м.

101

= 0, 1, 2, … ;

= 0, 1, 2, … .

Таблица 33м.2

Результаты исследования

дифракции на одномерной решётке

L = ... ; λ = ... ; α = 0

Δx

max

, мм

<d>= ... мкм; d

пасп

= … мкм

2. Зарисовать полученную на экране дифракционную картину от

двумерной дифракционной решётки.

3. Измерить линейкой расстояние между центрами максимумов

m-го порядка

(расположенных по обе стороны от центрального

максимума) сначала Δx

max

вдоль оси Х, затем Δy

max

вдоль оси Y.

Полученные значения и соответствующие номера m

, m

выбранных

максимумов одного порядка вдоль осей Х и Y занести в табл. 33м.3.

Таблица 33м.3

Результаты исследования дифракции на двумерной решётке

Исходные данные:

= m

= m = …

α = 0;

L = ... cм;

λ = ... нм

Δх

max

, мм <d

, мкм

Δy

max

, мм

> , мкм

4. По формулам (33м.13) рассчитать периоды двумерной

дифракционной решётки d

и d

. Внести их значения в табл. 33м.3.

5. Сравнить значения периодов d

и d

двумерной дифракционной

решетки между собой и с паспортными данными. Сделать вывод.

*Задание 4. Дифракция на четырёх щелях

Приборы: полупроводниковый лазер, объект исследования –

пластинка с четырьмя щелями, миллиметровая линейка, экран.

Цель работы – наблюдение дифракции лазерного излучения на

системе параллельных щелей, определение расстояния между щелями;

проверка справедливости условий максимумов.

1. Установить пластинку, имеющую четыре щели, в положение,

перпендикулярное направлению светового пучка. При этом стрелка,

закреплённая на оси вращения пластинки со щелями, должна

указывать выбранное значение угла α = 0.

2. Зарисовать полученную на экране дифракционную картину.

3. Измерить линейкой расстояние

Δх

max

между центрами

максимумов m-го порядка

(расположенных по обе стороны от

центральной светлой полосы). Измерения величины Δх

max

произвести

64 Значение m выбирать по указанию преподавателя.

65 Основы теории см. в задании 2.

66 Порядок максимума выбирать по указанию преподавателя.

102

три раза и найти среднее значение <Δх

max

>. Исходные данные и

полученные значения занести в табл. 33м.4.

4. По формуле (33м.11) вычис-

лить период пластинки с четырьмя

щелями, записать среднее значение

в табл. 33м.4, сравнить с

паспортными данными установки.

5. Визуально определить число

добавочных максимумов W и число

добавочных минимумов w.

Внести

эти числа в таблицу и сравнить с

теми, которые предсказаны теорией:

теор

= N – 2, w

теор

= N – 1, где N –

число щелей.

Контрольные вопросы

Допуск

1. Какие непосредственные измерения необходимо выполнить в данной работе,

чтобы определить: а) ширину щели; б) период дифракционной решётки?

2. Почему в расчётных формулах ширины щели и периода решётки

рекомендуется использовать не координату максимума (или минимума), а

разность координат максимумов (или минимумов) одного и того же порядка?

3. Правила безопасной работы с лазером.

Защита

4. В чём отличие картины, наблюдаемой на экране при дифракции монохрома-

тического света на решётке, от картины при дифракции на одиночной щели?

5. *Как зависит ширина одного из боковых главных максимумов при

дифракции на решётке от параметров установки: а) количества щелей;

б) периода решётки; в) расстояния до экрана?

6. *Вывести условие: а) максимума; б) минимума – при дифракции на

одиночной щели по методу зон Френеля.

7. Объяснить, опираясь на условие главных максимумов, почему

дифракционная решётка разлагает падающее на неё немонохроматическое

излучение в спектр. Лучи какого цвета– синего или красного – больше

отклоняются от центрального (белого) максимума?

8. Привести два примера применения дифракционной решётки.

67 См. также контрольные вопросы к работам 33 и 33к.

103

Таблица 33м.4

Результаты исследования

дифракции на четырёх щелях

N = 4; m = … ; α = 0;

L = ... см; λ = ... нм; d

N(пасп)

= ... мкм

Δх

max

, мм <Δх

max

> = ... мкм

>= ... мкм;

W = … ; W

теор

= … .

w = … ; w

теор

= …

Лабораторная работа 33к

ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

НА ОДНОЙ ЩЕЛИ И НА ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКЕ

Рекомендуемая литература

[3]. §7.3.3 – 7.3.5. С. 275. Дифракция Фраунгофера на одной щели

(дифракция в параллельных лучах). Изменение картины дифракции при

изменении ширины щели. Одномерная дифракционная решётка. Условия

наблюдения главных максимумов. Характеристики дифракционной

решётки (угловая дисперсия, разрешающая способность).

[7]. §3.6.1. С. 332. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля;

§ 3.6.3. С. 343. Дифракционная решётка.

Описание рабочего окна программы

Компьютерная программа моделирует распределение интенсив-

ности при дифракции плоских волн на узкой одиночной щели

(задание 1) и на дифракционной решётке (задание2).

Начальные значения всех параметров (длина волны, постоянная

решётки, масштаб и др.) устанавливаются в программе автомати-

чески. Для их корректировки служат прогрессбары

, сдвигаемые

левой кнопкой мыши. Нажатием кнопок  или  значения парамет-

ров можно уменьшать или увеличивать мелкими шагами.

Программа позволяет задавать длину волны в видимом диапазоне

электромагнитного излучения (400 ... 780 нм). Волны от 400 до 500

нм излучает синий виртуальный источник, от 500 до 600 – зелёный, и

от 600 до 780 – красный. Источники могут включены как порознь, так

и вместе в любой комбинации друг с другом. Цвет видимой картины и

кривой распределения интенсивности соответствует цвету источника.

Длину волны можно изменять с шагом 1 нм.

Вид рабочего окна при выполнении программой задания 1

показан на рисунке.

Прокрутка экрана позволяет просматривать всю дифракционную

картину от 0 до 90

в ту и другую сторону, не меняя масштаба

изображения. Масштаб, принимающий значения от 1 до 10 град/дел,

сжимает картину по горизонтали. Это даёт возможность при макси-

мальном значении масштаба 10 град/дел наблюдать одновременно все

68 См. сноску на с. 44.

104

максимумы, сосчитать их и определить номер максимума наиболь-

шего порядка m

наиб

Ширина щели устанавливается в пределах от 1,0 до 30,0 мкм;

постоянная решётки – от 1,0 до 5,0 мкм; число щелей – от 2 до 25.

Задание 1. Дифракция на щели

Цель работы: выяснить зависимость положения минимумов

освещённости экрана от ширины щели и длины волны падающего

света; проверить условие минимумов

a∙sinφ

min

= m∙λ , (33к.1)

где a – ширина щели; φ– угол между первоначальным направлением

пучка света и направлением на минимум m-го порядка; m = 1, 2, 3, …;

λ – длина световой волны.

69 Теоретическое обоснование эксперимента см. в работе 33м.

105

Включить источник 1

Длина волны 780 нм

Включить источник 2

Длина волны 600 нм

Включить источник 3

Длина волны 400 нм

Парасетры установки:П

Рабочее окно программы

Закрыть

√

Дифракция

на щели

√

Параметры установки:

Параметры источников:

 

Ширина щели 30,0 мкм

Прокрутка экрана (градусы)

Постоянная решётки 2,0 мкм

Количество щелей 20

Масштаб 5 град/дел

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

Видимая картина дифракции на щели

Распределение интенсивности





Дифракция на

решётке

Выполнение задания 1

1. Активировать программу «Дифракция на щели» соответствую-

щей кнопкой внизу рабочего окна. Установить рекомендованные

преподавателем параметры (ширину щели, длину волны). Подобрать

удобный для наблюдения масштаб изображения. Зарисовать распре-

деление интенсивности. Занести

значения а, λ и φ

min

в табл. 33к.1.

2. Не меняя ширины щели, про-

вести опыт с другой длиной волны.

3. Изменить в несколько раз шири-

ну щели и выполнить действия по

пп. 1, 2 с теми же двумя длинами волн,

как в первых двух опытах. Вычислить

значения sinφ

min.

Проанализировать

результаты и сделать вывод.

Задание 2. Дифракция на решётке

Основы теории

Монохроматический свет длины волны λ, проходя через решётку,

даёт на экране дифракционную картину – систему светлых полос

(максимумов) и тёмных промежутков (минимумов), параллельных

щелям решётки. Теория дифракции даёт формулу, позволяющую

рассчитать положение главных максимумов

d ∙sinφ

= m∙λ, (33к.2)

где d – период решётки; φ

– угол между первоначальным

направлением света и направлением на максимум заданного порядка

(угол дифракции); m – порядок спектра (номер максимума, считая от

центрального, для которого m = 0); λ – длина волны падающего света.

Разрешающая способность R дифракционной решётки характери-

зует способность пространственно разделять близко расположенные

спектральные линии с длинами волн: λ

= λ и λ

= λ + Δλ, λ

≈ λ

= λ.

R =

 λ

(формула-определение),

где Δλ = λ

– λ

– минимальная разность длин волн, при которой линии

видны раздельно.

70 Теоретическое обоснование эксперимента см. также в работах 33 и 33м.

106

Таблица 33к.1

Результаты изучения

дифракции на щели

а, мкм λ, нм φ

min

, град sinφ

min

Разрешающая способность зависит от общего числа штрихов N на

рабочей ширине решётки и от порядка спектра m:

R = m∙N (формула-закон)

Цель работы: проверить справедливость условия главных

максимумов d∙sinφ

= m∙λ. Для этого путём виртуального экспе-

римента выяснить, как зависит:

1) угол дифракции от периода решётки φ

(d) для одного порядка

максимума (m = const) и одной длины волны (λ = const);

2) угол дифракции от длины волны φ

(λ) при d = const и

m = const;

3) угол дифракции от числа щелей φ

(N) при постоянной рабочей

ширине решётки ℓ = d∙N = const; λ = const;

4) наибольший номер максимума от числа щелей m

наиб

(N) при

λ = const и при неизменной рабочей ширине решётки ℓ = d∙N = const.

Результат каждого из экспериментов (1 – 4) сравнить с тем, что

предсказывает теория.

Выполнение задания 2

1. Активировать программу «Дифракция на решётке».

2. Выполнить исследования в соответствии с пп. 1 – 4 постав-

ленной цели работы, меняя один-два раза регулируемый параметр при

прочих равных условиях. (Номера экспериментов 1 – 4 указаны в

квадратиках в верхней строке табл. 33к.2.) Постоянные величины в

верхней строке таблицы задавать по указанию преподавателя. При

выполнении экспериментов 3 и 4, изменяя число штрихов N, следует

соответственно изменять и период d так, чтобы рабочая ширина

решётки ℓ = d∙N оставалась постоянной.

3. Построить графики зависимостей sinφ

(d) и sinφ

(λ).

4. Используя условие главных максимумов (33к.2), вывести

формулу m

наиб

= d/λ. По этой формуле произвести расчёты

наиб

теор

проверить экспериментальные данные

наиб

эксп

, полученные при

выполнении п. 4 (см. цель работы).

5. Вычислить разрешающие способности R = m∙N в спектре

второго порядка (m = 2).

71 Формула выводится из критерия Рэлея: две соседние спектральные линии видны раздельно,

если максимум одной линии приходится на минимум другой.

107

6. Результаты виртуальных экспериментов и вычислений внести

в табл. 33к.2 и записать обоснованные выводы в соответствии с целью

работы.

Таблица 33к.2

Результаты экспериментов по дифракции на решётке

λ = … нм;

m = ...

d = ...мкм;

m = ...

N∙d = ℓ = const;

λ= …

N∙d = ℓ = const;

λ = …

λ,

N d,

наиб

эксп

наиб

теор

m=2

R Δλ

Контрольные вопросы

Допуск

1. Какие параметры, начальные значения которых устанавливаются

компьютерной программой автоматически, можно изменять? Какая цель

эксперимента достигается при изменении того или иного параметра?

2. Записать условие главных максимумов в спектре дифракционной

решётки и расшифровать обозначения.

3. Какие величины (наименование, формула, расшифровка обозначений в

формуле) требуется вычислить вручную (на калькуляторе) в задании 2 ?

4. Зависимости между какими величинами предстоит проверить в опытах:

а) с одиночной щелью; б) с дифракционной решёткой?

5. Чтобы рабочая ширина решётки не изменялась, какое соотношение

между периодом решётки и общим числом штрихов следует поддерживать

постоянным?

Защита

6. Как изменяется распределение света при дифракции на щели при

увеличении длины волны падающего света (при замене источника синего

цвета на красный)?

72 См. также контрольные вопросы в работах 33 и 33м.

108

1 3

7. *Излучение с длиной волны λ падает на щель шириной a. При условии

a << λ дифракционная картина не наблюдается. Обосновать это утверж-

дение, используя теорию дифракции на одиночной щели.

8. Какой вид имеет график зависимости sinφ(λ), где φ – угол между

направлением на дифракционный минимум m-го порядка и первоначаль-

ным направлением света; λ – длина волны, при постоянной ширине щели

по результатам выполнения задания 1 «Дифракция на щели»?

9. Как меняются положения главных максимумов при дифракции

монохроматического света на решётке, если: а) уменьшить период решётки

при той же её рабочей ширине; б) увеличить число щелей при неизменной

рабочей ширине решётки; в) уменьшить длину волны при прочих равных

условиях?

10. *Как изменяется ширина спектра

m-го порядка при увеличении числа

штрихов при неизменной рабочей ширине решётки?

11. *Как изменяется дифракционная картина при уменьшении периода решётки

при неизменной её рабочей ширине: а) если d > λ; б) если d < λ?

12. Разрешающая сила дифракционной решётки: определение и

физический смысл.

13. Критерий разрешения Рэлея. Зависимость разрешающей способности

от общего числа штрихов и порядка спектра (формула-закон).

14. Как зависит разрешающая способность: а) от порядка спектра; б) от

общего числа штрихов при постоянной рабочей ширине решётки?

15. *Красный свет длиной волны 780 нм при дифракции на решётке даёт 13

максимумов. Сколько дифракционных максимумов можно будет наблюдать

с той же же решёткой, когда на неё будет падать фиолетовый свет (λ = 400

нм)?

16. *В каких пределах можно изменять длину волны монохроматического

света, чтобы при дифракции на решётке наблюдалось не менее трёх

максимумов? Период решётки 2 мкм, рабочая ширина 200 мкм.

17. *Будут ли разрешены две линии с длинами волн 590 и

600 нм

решёткой, имеющей 25 щелей с периодом 2 мкм, в спектре: а) первого

порядка; б) второго порядка?

73 Ширина спектра — здесь ширина видимого участка спектра на экране (расстояние от

фиолетового (400 нм) до красного (780 нм) концов спектра).

109

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Обработка результатов измерений

Статистическая обработка экспериментальных данных производится с

целью определить интервал, в котором находится с некоторой вероятностью Р

(Р < 1) значение измеряемой величины:

a = (1,530 ± 0,004) м, Р = 0,95. (П.1.1)

Результат (П.1.1) многократных наблюдений, выраженный в виде

доверительного интервала, есть утверждение того, что значение величины a

находится в интервале от 1,526 до 1,534 м с вероятностью Р = 0,95, т. е. что не

менее 95 % всех последующих измерений величины a (если размер величины

останется постоянным) дадут значения, попадающие в указанный интервал.

Пусть некоторая искомая величина у является функцией y = f(a, b, c, ...), где

величины a, b, c, ... получены путём многократных непосредственных измерений

(наблюдений) при неизменных условиях. К результату вида (П.1.1):

y =

〈 y 〉 ±  y

, Р = …

при косвенном измерении величины y приводят следующие действия (1 – 8).

1. Найти средние арифметические значения результатов прямых измерений

<a>, <b>, <c>, ...

〈 a〉 =

a

....a

, (П.1.2)

где n – число измерений величины a.

2. Вычислить среднее значение результата косвенного измерения

〈 y 〉 = f 〈a 〉 ,〈b 〉 ,〈c〉 ,...

3. Рассчитать случайные погрешности Δ

, Δ

, ... по формуле



= t

P , n

⋅



a

a

.... a

nn−1 

, Р = 0,95, (П.1.3)

где t

P,n

– коэффициент Стьюдента (табл. П.1.1), определяемый в соответствии с

выбранной доверительной вероятностью Р и числом n непосредственных

измерений величины а;

разности

 a

=∣〈а〉−a

∣ ;  a

=∣〈а〉−a

∣; ...  a

=∣〈а〉−a

∣

представляют собой абсолютные погрешности отдельных измерений.

4. Оценить систематические погрешности θ

, θ

, … (погрешности

средств измерений) по формулам вида

= , (П.1.4)

где К – класс точности; a

max

и a

min –

верхний и нижний пределы измерений

данного прибора.

110

100

К∙ (a

max

– a

min

)