Карасева Р.Б.Высшая математика.Ч1.Электронное учебное пособие

Федеральное агентство по образованию

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)

Центр дополнительного

образования

Высшая математика

Часть I

Электронное учебное пособие

Омск – 2006 г.

УДК

ББК

К

Высшая математика. Часть 1 : Электронное учебное пособие. Автор: доцент каф. «Высшая математика»

Карасева Римма Борисовна – Омск: СибАДИ, 2006.

Первая часть учебного пособия содержит пять модулей, в которых излагаются элементы

теории множеств и математической логики, основы линейной и векторной алгебры, методы

аналитической геометрии, введение в математический анализ. Каждый модуль включает

лекционный материал, сопровождаемый большим количеством примеров, задачи с

решениями, задачи для самостоятельного решения с ответами, образец теста. Материал

соответствует требованиям

государственного общеобразовательного стандарта.

Раздел I Матрицы и системы

§1. Матрицы и действия с ними

§2. Определители

§3. Обратная матрица

§4. Крамеровские системы линейных уравнений

§5. Ранг матрицы

§6. Однородные системы

§7. Системы линейных уравнений: общий случай

§8. Метод Гаусса

§9. Собственные векторы и

собственные значения матрицы

Раздел II Векторная алгебра

§1. Основные понятия и определения

§2. Линейная зависимость и независимость

векторов

§3. Орт и направляющие косинусы

§4. Скалярное произведение векторов

§5. Векторное произведение векторов

§6. Смешанное произведение векторов

Раздел III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§1. Введение

§2. Прямая на плоскости

§3. Кривые второго порядка

§4. Плоскость и прямая в пространстве

Раздел IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§1. Функции

§2. Числовые последовательности

§3. Предел функции

§4. Замечательные пределы

§5. Непрерывность функции в точке

§6. Точки разрыва графика функции и их

классификация

§7. Вычисление пределов

Контрольная работа №1 (часть 1)

Контрольная работа №1 (часть 2)

Контрольная работа №1 (часть 3).

Контрольная работа №1 (часть 4)

Раздел V. ПРИЛОЖЕНИЯ

Вопросы к экзамену

Правила выполнения и оформления

Контрольных работ

Рекомендуемая литература

§1. Матрицы и действия с ними

Матрицей размера

nm × называют совокупность nm × чисел, распо-

ложенных в виде таблицы из

m

строк и

n

столбцов:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

nmmm

n

aaa

L

LLLL

L

21

22221

11211

.

Числа

ji

a

, составляющие матрицу, называют элементами матрицы

(

−i номер строки, −j номер столбца, на пересечении которых стоит элемент

ji

a ,

;,,2,1 mi K=

nj ,,2,1 K=

).

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется

квадратной, а число строк – её порядком. Остальные матрицы называют

прямоугольными.

Для краткости можно обозначить матрицу одной буквой, например А, В

и т.п., или записывать

(

)

ji

a , где ;,,2,1 mi K

=

nj ,,2,1 K

=

.

Матрицу размера

n×1 называют матрицей-строкой:

()

n

aaa ,,,

21

K

.

Матрицу размера

1×m

называют матрицей-столбцом:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

m

a

L

2

1

.

Матрицу, у которой все элементы равны нулю, называют

нулевой, обо-

значают буквой О.

Квадратную матрицу, у которой равны нулю все элементы, кроме, быть

может, стоящих на

главной диагонали (т.е. диагонали, идущей из левого

верхнего в правый нижний угол), называют

диагональной:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ

n

L

LLLLL

L

000

3

2

1

, или

⎩

⎨

⎧

≠

=

λ

=

.при0

;при

ji

a

i

ji

Введем обозначение:

⎩

⎨

⎧

≠

=

=δ

.при0

;при1

ji

Диагональную матрицу, у которой все диагональные элементы равны

единице, называют

единичной:

()

ji

Е δ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

100

010

001

L

LLLL

L

.

Две матрицы одного и того же размера

(

)

ji

aA

=

и

(

)

ji

bB = считают

равными тогда и только тогда, когда для всех

i

и

j

выполняется равенство

jiji

ba = .

Суммой двух матриц

(

)

ji

aA

=

и

(

)

ji

bB

=

одного и того же размера

nm

×

называется матрица

(

)

ji

cC =

размера

nm

×

, где

jijiji

bac +

=

для всех

i и

j

. Обозначение: B

A

C

+= .

Произведением матрицы

(

)

ji

aA

=

размера

nm

×

на число δ называ-

ется матрица

(

)

ji

cC =

размера

nm

×

:

jiji

ac

×

δ

=

для всех

i

и

j

. Обознача-

ют

A

C

×δ= .

Матрицу

(

)

AAC −=−= 1

называют противоположной матрице

A

.

Матрицу

(

)

ji

cC

=

размера

nm

×

называют произведением матрицы

(

)

ji

aA =

размера

pm ×

на матрицу

(

)

ji

bB

=

размера

np

×

, если для всех

i

и

j

элементы матрицы С находятся по формуле

∑

=

+++=×=

p

k

jpipjijijkkiji

babababac

1

2211

K .

Обозначение

B

A

C

×= .

Заметим, что произведение

B

A

×

возможно, если число столбцов мат-

рицы

A совпадает с числом строк матрицы

B

.

Схематически это можно изобразить так:

A

B

=

C

m

p

nn

m

×

Если определено произведение

B

A

×

, то не обязательно

A

B

× имеет

смысл. Если

A

и

−B

квадратные матрицы одного порядка, то определены

произведения и

B

A

×

, и A

B

× , но, возможно, что A

B

A ×

≠

×

.

Если

A

BB

A

×=×

, то матрицы

A

и

B

называют перестановочными.

Из свойств сложения и умножения чисел легко получают свойства операций

над матрицами:

1.

A

BB

A

+

=+

;

2.

()

(

)

CBACBA

+

=

++ ;

3.

A

=

+=+ 00;

4.

()

0=−+ AA

;

5.

()

(

)

AA

×

β

×

α

=

×β×α ;

6.

()

BABA

×

α

+

×

α

=

+×α ;

7.

()

AAA

×

+

×

=

×+

β

α

β

α

;

8.

()

(

)

(

)

BABABA

×

α

×

=

×

α

=

××α ;

9.

()

(

)

CBACBA

×

=

××

;

10.

()

BACACBA

×

+

×

=

×+ ;

11.

()

CABACBA

×

+

×

=

+× .

Если

(

)

ji

aA =

– матрица размера

nm

×

, то матрица

()

ij

Т

aA = размера

nm ×

называется транспонированной по отношению к

A

.

T

A

иногда обо-

значают

*

A

;

A

′

.

Свойства операции транспонирования:

1.

(

)

AA

T

= ;

2.

(

)

TT

T

BABA +=+ ;

3.

(

)

T

AA ×α=×α

;

4.

(

)

TT

T

ABBA ×=× ;

5.

E

T

=

.

Пример.

1. Найти произведение

B

A

×

матриц:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

1341

0111

0302

A

;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

30

31

42

11

B

;

У матрицы А четыре столбца, у В – четыре строки, поэтому умножения мат-

риц возможно.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=×

2112

64

111

30

31

42

11

1341

0111

0302

BA .

Заметим, что произведение

A

B

×

не определено, так как у В два

столбца, что не равно три – числу строк матрицы А.

2. Найти

B

A

×

и

A

B

×

:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

133

012

111

A ;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

=

111

302

211

B .

Матрицы А, В – квадратные, одного порядка, поэтому оба произведения су-

ществует.

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=×

111

3

02

211

133

012

111

BA

;

14210

724

622

196103163

034002022

132101121

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+−+++

++++++

+

+−

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

=×

133

012

111

302

211

AB

.

234

11111

189

101311321

302902902

201611621

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+−−−−−

++−++++

+

−

+

++

+

=

Заметим, что

A

BB

A

×

≠

×

.

Задачи для самостоятельного решения

1. ;

51

32

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=A

;

23

74

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

=B

;

267

431

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=C

;

601

532

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

=D

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

453

412

E .

Можно ли сложить матрицы

A

и

C

?

Найти

B

A

+ и

A

B

+ .

Проверить на примере данных матриц, что

(

)()

CBACBA +

+

=

+

.

Определено ли произведение

C

A

×

? Какого размера матрица получится в ре-

зультате? Определено ли произведение

A

C

×

? Почему?

Найти матрицы

B×4

, D×0,

()

E

×

−

5.

2. Найти матрицу

A

:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+×

126

385

986

743

2 A

.

3. Верно ли, что для любых матриц

A

и

B

: B

A

×

=

×

00, где 0 – число?

4. Имеет ли смысл произведение матрицы-строки на матрицу-столбец? При

каких условиях? Каков размер произведения? Можно ли перемножить матри-

цу-столбец и матрицу-строку?

5. Перемножить матрицы:

а)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

103

112

и

;

01

12

13

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

б)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

3

1

2

и

(

)

321 ; в)

(

)

321 и

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1

4

2

.

6. Найти

T

A

× . Имеет ли смысл произведение

A

T

×

?

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1314

1223

A .

7. Найти

A

−

2

, если

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

011

213

112

A

.

8. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны:

а) нулевой матрице;

б) единичной матрице.

9. Найти матрицы

B

, перестановочные с матрицей

A

:

а)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

=

11

21

A

;

б)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

10

11

A

.

10. Найти матрицу

A

из уравнений:

а)

()

35

42

35

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

×A

;

б)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0

1

11

A

;

в)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

2

3

122

110

113

A

.

11.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

122

413

A ;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

51

12

31

B ;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

23

21

C .

Проверить, что

()

(

)

CBACBA

×

=

×× .

12. Найти

n

A

, если

а)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

10

11

A ; б)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

αα

α

−

α

=

cossin

sincos

A .

13. Для каких матриц

A

верно, что

A

T

=

?

14. Какая матрица является транспонированной для:

а) матрицы-строки?

б) матрицы-столбца?

15.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

211

175

234

A

;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

21

13

32

B

.

Проверить, что

()

TT

T

ABBA ×=×

.

Ответы

8. а)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− ac

ba

; abc 2−

=

; б)

E±

,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− ac

ba

; bca

−

=

12.

9. а)

()

;

2

yAEyx

yxy

yx

+−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

б)

()

yAEyx

x

yx

+−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0

.

10. а)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1313

157

; б)

;

1

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

в)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1

.

12. а) ;

10

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

n

б)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕϕ

ϕ

−ϕ

nn

cossin

sincos

.

§2. Определители

Определители (детерминанты) определены только для квадратных мат-

риц. Определитель матрицы

A

обозначается

A

det ,

A

, или, если нужно вы-

писать элементы матрицы, прямыми чертами по бокам этой матрицы:

nnn

n

aa

A

L

LLL

L

1

111

det =

.

Определитель квадратной матрицы – это число, которое может быть

вычислено по её элементам в соответствии со следующим определением.

О п р е д е л е н и е.

1) Определителем матрицы порядка 1 называется единственный элемент этой

матрицы.

Если

()

3=A

, тогда

3=A

; если

(

)

5

−

=

A

, тогда

5

−

=

A

.

2) Определителем матрицы

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

nnn

n

aa

A

L

LLL

L

1

111

порядка 1>n называется

число

()

∑

=

+

×−=

n

k

kiki

ik

MaA

1

1det

.

Здесь

−i

произвольное целое число от 1 до

n

.

−

ki

M

определитель матрицы порядка

1

−

n

, полученной из матрицы

A

вычёркиванием

i-й строки и k-го столбца.

ki

M

называется минором порядка

1

−

n

матрицы

A

, соответствующим

элементу

ki

a .

Алгебраическим дополнением элемента

ki

a

называется число

(

)

ki

MA

+

×−= 1.

Таким образом, правило вычисления определителя можно сформулиро-

вать как

разложение определителя по элементам i-й строки: определитель

матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки на их

алгебраические дополнения:

∑

=

×=

n

k

kiki

AaA

1

det

.

Применим определение определителя к матрицам порядка 2 и 3:

Карасева Р.Б.Высшая математика.Ч1.Электронное учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.