Карасева Р.Б.Высшая математика.Ч1.Электронное учебное пособие

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=++

=

+

−

;3111

;5113

;1111

верно.

Ответ: 1,1,1 === zy

x

. Решение единственное.

Пример 4.

4

;8573

;7532

;124

4321

321

=→

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=−+−

−=−−−

−

=

+

−

n

xxxx

xxx

.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

−−−−

−−

=

00000

11110

10241

~

55550

10241

~

8

5173

75132

10241

*A

Отсюда 4*rangrang

=

<

= n

A

, решений множество, 224 =− неиз-

вестных могут быть выбраны произвольно. Исходная система эквивалент-

на треугольной:

⎩

⎨

⎧

++−=

−−=−

.1

;214

432

321

xxx

Если положить

2;1

43

=

= xx (

−

2,1 произвольные числа), то полу-

чим

42215;211

12

+

−

=

+

−= xx .

Пример 5.

.3

;5423

;8247

;232

321

=→

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+−

=++

=

−

+

n

xxx

Здесь

213

,, xxx .

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

1000

1210110

2321

~

5234

8472

2321

*A

Отсюда заключаем: 3*rang,2rang

=

A

, следовательно, система

неразрешима (несовместна).

Пример 6.

.3

;2043

;543

;1332

;12

321

32

321

=

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=++−

=+

=−+

=+−

n

xxx

xx

xxx

Здесь

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

=

0000

2100

16720

12111

~

582900

16720

12111

~

16720

5430

11350

12111

~

20413

5430

13132

12111

*A

Заключаем: n

A

=

== 3*rangrang , т.е. система уравнений разрешима, ре-

шение единственно.

Треугольная система имеет вид:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=+−

=

+

−

.2

;1672

;12

3

32

321

x

xx

xxx

Отсюда

;9

1

=x ;1

2

−=x .2

3

=

x

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить методом Гаусса данные системы уравнений:

а)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=++

−=−+

=+−

=

+

;0342

;23

;0

;232

zyx

б)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=−++

−=−++

=++−

=−++

;6778

;4455

;42

;032

4321

xxxx

в)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+−++

=++++

;033654

;091253

;02543

;05432

54321

xxxxx

г)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+++

;202975

;122773

;73892

;2254

;332

4321

xxxx

д)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=++−+

;42320161210

;94132212018

;83729221816

;52723151412

54321

xxxxx

е)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+++

;95133516930

;65108425725

;4069263515

;2544172310

4321

xxxx

ж)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=−+−

−=−+−

=−+−

.635221927

;1748363247

;1645282135

;343292336

;952342845

4321

xxxx

2. Найти уравнение и определить вид кривой второго порядка, проходящей

через пять точек:

()( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

3

2

6,5;

3

2

6,5;

3

2

6,5;0,3;0,3.

3. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы четыре точ-

ки

()( )( )

(

)

444333222111

,,;,,;,,;,, zyxzyxzyxzyx лежали в одной плоскости.

4. Написать уравнение, найти центр, радиус сферы, проходящей через точ-

ки:

()()()

(

)

0,0,1;1,1,1;1,1,1;1,1,1

−

−− .

5. Какая система линейных уравнений задаёт три различные прямые на

плоскости, проходящие через одну точку?

6. Какая система линейных уравнений задаёт три прямые на плоскости, об-

разующие треугольник?

7. Рассмотреть все возможные случаи, встречающиеся при решении систем

линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными, в каждом случае дать

геометрическую интерпретацию данной системы.

Ответы

1. а) ;1−=

x

;0=y ;1=z б) система несовместна;

в) множество решений:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+=

−−=

=

;15

;122

;

531

532

54

xxx

xx

г)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−−=

=

+=

;

6

7

2

1

;

3

2

;

6

31

2

1

43

2

41

xx

x

xx

д)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=

−+−=

+−=

;

9

1

9

2

;

6

5

6

5

2

5

;

9

20

18

53

542

541

xx

xxx

е) система несовместима; ж) .3;4;2;1

4321

−=

−

=

xxxx

2. Гипербола .1

259

22

=−

yx

3. .0

1

444

333

222

111

=

zyx

4.

02

222

=−−++ xzyx

.

Центр находится в точке

()

0;0;5,0 , радиус равен

2

3

.

5. Система трёх уравнений с двумя неизвестными, в которой расширенная

матрица и три матрицы коэффициентов при неизвестных для любой пары

уравнений все имеют ранги 2.

6. Система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными, в которой

ранги матриц из коэффициентов при неизвестных в любой паре уравнений

равны двум, а ранг расширенной матрицы равен трём.

7. Уравнения вида aO

Y

OX =+ и aOZO

Y

OX

=

+

, при 0⇔a не имеет

геометрического смысла, при 0

=

a удовлетворяют координатам любой

точки плоскости или пространства. Далее исключаем уравнения такого ви-

да.

Для систем с двумя неизвестными

1)

() ( )

3*;2

=

= ArAr . Система решений не имеют. Прямые не проходят

через одну точку, причем хотя бы две прямые различны и пересекаются.

2)

() ( )

2* == ArAr . Система имеет единственное решение. Прямые прохо-

дят через одну точку, причем хотя бы две прямые различны.

3)

() ( )

2*;1

=

= ArAr . Система решений не имеет, прямые параллельны или

совпадают, причем хотя бы две прямые различны.

4)

() ( )

1* == ArAr

. Решение зависит от одного параметра. Все прямые сов-

падают.

Для систем с тремя неизвестными:

1)

() ( )

4*;3

=

= ArAr . Система не имеет решений. Плоскости не проходят

через одну точку, причем хотя бы три из них различны и проходят через

одну точку.

2)

() ( )

3* == ArAr

. Система имеет единственное решение. Плоскости про-

ходят через одну точку, причем хотя бы три из них не проходят через одну

прямую.

3)

() ( )

3*;2

=

= ArAr

. Система не имеет решений. Плоскости не проходят

через одну точку, причем хотя бы три плоскости различны и любые три

различные плоскости либо не имеют общей точки, либо проходят через

одну прямую.

4)

() ( )

2* == ArAr . Решение зависит от одного параметра. Все плоскости

проходят через одну прямую, причем хотя бы две из них различны.

5)

() ( )

2*;1

=

= ArAr . Система не имеет решений, плоскости параллельны

или совпадают, причем хотя бы две из них различны.

6)

() ( )

1* == ArAr

. Решение зависит от двух параметров. Все плоскости

совпадают.

§9. Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть задана квадратная матрица

A

. Рассмотрим уравнение

,X

A

X

λ

=

(4)

где

−X неизвестный числовой вектор, высота которого равна порядку

A

,

а

−

λ

неизвестное число. При любом

λ

уравнение (4) обладает, в частно-

сти, тривиальным решением

0

=

X , однако нас будут интересовать только

такие

λ

, при которых эта система имеет нетривиальные решения. Эти

значения

λ

называют собственными значениями матрицы

A

, а решения

X

уравнения (4) при таких

−

λ

её собственными векторами.

Собственные значения и собственные векторы находят следующим

образом. Так как

E

XX = (

−

E

единичная матрица), то уравнение (4) мож-

но переписать в виде

()

0

=

⋅

−

XEA

λ

(5)

Получили систему n линейных однородных уравнений с n неиз-

вестными, где −n порядок

A

. Для наличия нетривиального решения не-

обходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю, т.е.

(

)

,0det

=

−

EA

λ

или

0

21

22221

11211

=

−

λ

nnnn

n

aaa

L

LLLL

L

.

Это уравнение называется

характеристическим уравнением мат-

рицы

A

, служит для нахождения собственных значений

λ

. Раскрыв опре-

делитель, мы получим алгебраическое уравнение, степень которого равна

порядку матрицы

A

. Значит, матрица порядка n имеет n собственных

значений, среди которых, правда, могут быть совпадающие.

Найдя собственное значение, соответствующие ему собственные

векторы найдем из векторного уравнения (5) число собственных векторов,

соответствующих одному собственному значению

λ

равно кратности

λ

.

Множество решений этой системы образуют

подпространство собствен-

ных векторов

матрицы

A

, соответствующих собственному значению

λ

.

Пример 1.

Собственные значения матрицы

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

14

23

A найдём из характе-

ристического уравнения

()

054

14

23

det

2

=−−=

−−

−

=−

λλ

λ

EA ,

получаем ,5

1

=

λ

1

2

−=

λ

.

Подпространство собственных векторов, соответствующих 5

1

=

λ

,

есть множество решений системы уравнений

(

)

0

=

−

XEA

λ

.

⎩

⎨

⎧

=−−

.044

;022

21

xx

Т.е.

(){}

1,1

1

−=

µ

L

, −

µ

действительное.

Для 1

2

−=

λ

(){}

2,1

2

µ

=L , −

µ

действительное.

Пример 2.

Матрица

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

12

13

A

имеет характеристическое уравнение

ii −=+=⇒=−− 2;2054

21

2

λλλλ

.

Собственному значению

1

λ

соответствуют собственные векторы

()

1,1

1

−= iX

µ

r

, а собственному значению

−

2

λ

собственные векторы

()

1,1

2

+−= iX

µ

r

, −

µ

действительное число, отличное от нуля.

Пример 3.

Матрица

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

11

13

A

имеет собственные значения 2

21

==

λ

.

Отсюда получаем векторные подпространства

(){}

1,1

21

µ

=

LL ,

−

µ

действительное число.

§1. Основные понятия и определения

Геометрическим вектором называется направленный линейный отре-

зок, у которого один конец (точка

А

) начало, другой конец (точка

В

) – ко-

нец.

Обозначение:

a ,

A

B .

Рис. 1

Длина вектора a , AB – это расстояние между его началом и кон-

цом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым,

обозначается

0

; 00 = . Нулевому вектору приписывают любое направле-

ние. Все нулевые векторы считаются равными.

Векторы называются

коллинеарными, если они расположены на

параллельных прямых.

Два вектора

a

и b называются равными, если:

1. Они равны по длине ba = ;

2. Коллинеарны;

3. Сонаправлены.

Рис. 2

Такие векторы называются свободными.

Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов,

характеризующихся величиной и направлением, например: перемещение,

скорость, напряженность электрического или магнитного поля.

Арифметические действия с векторами

1. Сложение. Суммой ba + векторов a и b называется вектор, проведен-

ный из начала

a к концу b , если конец a и начало b совмещены, опера-

ция сложения векторов обладает свойствами:

abba +=+ (коммутативность),

(

)

(

)

сbaсba ++=++ (ассоциативность),

aa =+ 0 (наличие нулевого вектора),

()

0=−+ aa (наличие противоположного элемента),

где

()

a− есть вектор, противоположный a .

а

B

A

а

b

ось

U

1

А

1

В

А

В

а

Разностью

x

ba =− векторов a и b называется такой вектор

x

, что

ab

x

=+ .

Рис. 3

2. Умножение на число. Произведением a

λ

вектора

0

≠

a

на число 0

≠

λ

,

называется вектор, модуль которого равен

aa

⋅

=

λ

и который на-

правлен в ту же сторону, что и вектор

a

, если 0>

λ

, и в противополож-

ную, если 0

<

λ

. Если 0=

λ

или 0

=

a , то 0

=

a

λ

.

Итак:

aa ⋅

=

⋅

λ

,

aa ↑↑⋅⇒>

λλ

0,

aa ↑↓⋅⇒<

λλ

0.

Операция умножения вектора на число обладают свойствами:

(

)

baba

λλλ

+=+ (дистрибутивность относительно сложения векто-

ров),

()

aaa

µ

λ

µ

λ

+=+

(дистрибутивность относительно сложения чи-

сел),

()()

aa

µ

λ

µ

λ

= (ассоциативность),

aa =⋅1 (умножение на единицу).

Пусть

−

n

aaa ,,,

21

K векторы,

−

n

λ

,,,

21

K числа.

Вектор

nn

aaa

⋅

++⋅+⋅

λ

K

2211

называется линейной комбинацией

векторов

n

aaa ,,,

21

K с коэффициентами

n

λ

,,,

21

K .

Проекция вектора на ось.

Дан вектор

А

Ва = и направленный отрезок или прямая

U

– ось. Спроеци-

руем вектор

А

В на

U

и получим вектор

11

ВА .

Рис. 4

−

11

BA геометрическая проекция вектора

A

B на ось

U

.

а

b

ba +

а

b

ba

+

Число

⎩

⎨

⎧

↑↓−

↑↑

=

; если ,

Пр

1111

UBABA

AB

U

– алгебраическая проекция

A

B

на ось

U

.

Основная теорема о проекциях

Пусть

−

n

ааа ,,,

21

K векторы,

−

λ

n

,,,

21

K числа, −

U

ось

Тогда

()

.ПрПрПр

Пр

2211

nn

UUU

nn

U

ааа

⋅λ++⋅λ+⋅λ=

=

⋅

λ

+

⋅

λ

+⋅λ

K

С л е д с т в и е:

1.

(

)

baba

UUU

ПрПрПр +=+ ;

2.

(

)

ab

UU

ПрПр ⋅λ=⋅λ

.

Карасева Р.Б.Высшая математика.Ч1.Электронное учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.