Карасева Р.Б.Высшая математика.Ч1.Электронное учебное пособие

21122211

2221

1211

aaaa

aa

−=

.

Определитель 3-го порядка вычислим, разложив по элементам первой

строки:

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

333231

232221

131211

aa

a

aa

a

aa

a

aaa

+−=

.

Пример 1.

=

−−

+

−

=−−

32

11

3

12

01

1

13

01

2

132

011

312

(

)

(

)()

4312233012

−

=

−

+

−

=

−

−+−−=

.

Определители третьего порядка можно вычислять по правилу Сарруса

(или правилу треугольников). Определитель матрицы порядка 3 можно найти

как сумму шести слагаемых.

Первые три слагаемых получим, перемножив выделенные элементы

матрицы:

1)

333231

232221

131211

aaa

; 2)

333231

232221

131211

aaa

; 3)

333231

232221

131211

aaa

;

Ещё три слагаемых получим как произведение выделенных элементов, взя-

тых с противоположным знаком:

4)

333231

232221

131211

aaa

; 5)

333231

232221

131211

aaa

; 6)

333231

232221

131211

aaa

.

Пример 2.

() () () ()

=⋅⋅−−⋅⋅−⋅−−⋅⋅−+⋅⋅+⋅−=−− 111203312331201112

132

011

312

4106902 −=+

−

+−+−=

.

Свойства определителей

1. Для любой матрицы

A порядка n

()

∑

=

+

×−=

n

k

jkjk

jk

MaA

1

1det

(разложение определителя по j-му столбцу).

2.

T

A

de

t

de

t

= (строки и столбцы определителя равноправны).

3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или

два столбца), то определитель изменит знак, не изменившись по абсолютной

величине.

4. Если i-й столбец (строка) матрицы

A

есть линейная комбинация столбцов

(строк)

P

и

Q

, т.е. имеет вид

Q

P

⋅

β

+

⋅

α

, то

QP

AAA detdetdet

β

+

α

=

,

где матрицы

P

A и

Q

A получаются из

A

заменой i-го столбца (строки) соот-

ветственно на

P и на Q (линейность определителя по столбцу (строке)).

5. Если в матрице

A

столбцы (строки) линейно зависимы, то .0det =

A

6. Определитель матрицы не изменится, если к какой-либо его строке приба-

вить линейную комбинацию остальных строк. То же верно и для столбцов.

7.

()()

BAABBA detdetdetdet

×

=×=× .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти определители:

а)

41

32

;

б)

αα−

α

sincos

cossin

;

в)

2132

3221

−+

;

г)

1

11

23

++

−

xxx

x

.

2. Решить уравнение:

6

11

5

2

−=

xx

.

3. Решить неравенства:

а)

1

535

32

−<

−− x

xx

;

б)

0

7

42

>

−

xx

x

.

4. Найти определители:

а)

011

101

111

−−

−

;

б)

011

101

110

;

в)

631

321

111

;

г)

xaa

aaa

−−

−

.

5. Вычислить, используя свойства определителя:

а)

182744627846258

182734627846258

528031576415754

−

;

б)

nL

LLLLL

L

000

0300

0020

0001

;

в)

n

a

aa

aaa

L

LLLLL

L

000

300

20

1

.

6. Определитель

nnnn

n

aaa

L

LLLL

L

21

22221

11211

равен

∆

.

Чему равен определитель?

n

nnnn

n

aaa

11211

21

33231

22221

L

LLLL

L

.

7. Вычислить определители:

а)

56000

54500

04340

00323

00021

;

б)

3333

2222

1111

dcba

;

в)

3214

2143

1432

4321

.

8. Не вычисляя определителя, решить уравнение

0

111

1211

1111

=

−

xn

x

L

LLLLL

L

.

9. Доказать, что

222

111

222222

111111

2

cba

baaccb

=

+++

+

++

.

Ответы

6.

()

∆⋅−

−1

1

n

.

8.

1

,,2,1,0

−

= nx K

.

§3. Обратная матрица

Матрица

X

, удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенст-

вам

E

A

X

A ==

, где

−E

единичная матрица порядка

n

, называется обрат-

ной к матрице

A

и обозначается

1

−

A

. Так как

A

и

1

−

A

перестановочны, то

обе они должны быть квадратными порядка

n

. Каждая квадратная матрица с

отличным от нуля определителем имеет обратную матрицу, и притом только

одну. Если существует матрица

1

−

A

, обратная к

A

, то 0det ≠

A

(говорят, что

A

– невырожденная).

Из свойств определителя получаем

EAA =

−1

;

1

=⋅

−

AA

, поэтому

A

1

=

−

.

Схема отыскания обратной матрицы

1

−

A

:

1. Вычислить определитель матрицы

A

. (Если 0det

=

A

, то

1−

A

не существу-

ет).

2. Составить матрицу

(

)

ji

AA

~

= ,

где

ji

A

~

– алгебраические дополнения элементов

ji

a матрицы

A

.

3. Транспонировать

A

~

.

4. Умножить последнюю на

A

det

1

Итак:

()

T

A

~

det

1

=

−

.

Пример

Найдём обратную матрицу для матрицы

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

=

153

132

543

A

.

Сначала вычислим определитель

A

:

,01

153

132

543

det ≠−=

−−

−

=A

значит,

1

−

A

существует.

Считаем алгебраические дополнения

ji

A

~

()

8

15

13

1

~

11

=

−−

−

−=

+

A ;

()

;5

13

12

1

~

21

12

=

−

−=

+

A

()

;1

53

32

1

~

31

13

−=

−

−=

+

A

()

;23

15

54

1

~

12

21

=

−−

−

−=

+

A

()

;18

13

53

1

~

22

−=

−

−=

+

A

()

;3

53

43

1

~

32

23

=

−

−=

+

A

()

;11

13

54

1

~

13

31

=

−

−=

+

A

()

;7

12

53

1

~

23

32

=−=

+

A

()

.1

32

43

1

~

33

−=

−

−=

+

A

Итак,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

−

=

1711

31829

158

~

A

.

Транспонируем

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

=

131

7185

11298

~

T

A

.

Получаем обратную матрицу

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

==

−

131

7185

11298

131

7185

11298

1

~

det

1

T

A

.

Для проверки правильности нахождения

1

−

A

нужно перемножить

A

и

1−

A

в любом порядке. Должна получиться единичная матрица.

Проверка:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

−

=⋅

−

100

010

001

153

132

543

131

7185

11298

1

AA

.

Существует ещё один способ отыскания обратной матрицы, редко ис-

пользуемый из-за трудоемкости.

Любую невырожденную матрицу

A элементарными преобразованиями

(см. гл. V) только строк (или только столбцов) можно привести к единичной

матрице

E

. Если совершенные над

A

элементарные преобразования в том же

порядке применить к единичной матрице

E

, то в результате получится мат-

рица

1−

A

, обратная

A

.

Свойства обратной матрицы

1)

(

)

AA =

−

1

;

2)

(

)

;

11

1

−−

−

= ABAB

3)

(

)

(

)

T

AA

1

−

=

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать свойства 1, 2 и 3 обратной матрицы.

2. Найти обратные матрицы для следующих матриц:

а)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

43

21

;

б)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

dc

ba

; в)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

αα

α

−

α

cossin

sincos

;

г)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−− 325

436

752

; д)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

122

212

221

; е)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

−−

1111

.

3.

Найти неизвестную матрицу

X

из уравнений:

а)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

12

64

31

52

X

; б)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

521

234

311

111

012

111

X ;

в)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− 13

42

35

23

12

X ;

г)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

12

X

; д)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

10

01

12

X

.

4. Какой вид имеет матрица, обратная к диагональной?

5. Найти все матрицы второго порядка, совпадающие с обратными к ним. Т.е.

для них верно

1−

=

A

или

E

A

=

2

.

6. Как измениться обратная матрица

1

−

A

, если в данной матрице

A

:

а) переставить i-ю и j-ю строки;

б) i-ю строку умножить на число

с

, не равное нулю?

в) к i-й строке прибавить j-ю, умноженную на число с или совершить

аналогичное преобразование столбцов?

7. Пользуясь указанным приемом (с помощью элементарных преобразова-

ний), найти обратные матрицы

1

−

A

,

1

−

B

. Для удобства вычислений припи-

сать к данной матрице

A

справа единичную матрицу и выполнять элементар-

ные преобразования строк, приводящие

A

к

E

над строками всей выписан-

ной матрицы, если

A

и

B

имеют вид

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

753

532

310

A

;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

1221

1672

4130

1100

B .

Ответы

1. 2)

(

)

(

)

;

1111

EABBAABAB =⋅=⋅

−

−−−

3)

(

)

(

)

.

111

EAAEEAAEAA

T

=⋅⇒==⇒=

−−−

2. а) ;

12

25

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

б) ;

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ac

bd

bcad

с)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

1111

4

1

.

3. а) ;

80

232

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

б) ;

035

254

023

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

−

в) ;

1834

1324

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

г) ;

212

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

+

ba

е)

X

не существует.

5.

,,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

±

ac

ba

E

bca −=1

2

.

6. В матрице

1−

A

:

а) поменяются местами i-й и j-й столбцы;

б) i-й столбец умножается на

с

1

.

в) из j-го столбца вычитается i-й, умножается на с.

При преобразовании столбцов матрицы А аналогично меняются строки

1

−

A

.

7. ;

2

1

4

3

4

1

2

3

4

3

4

1

121

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

=

−

A

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−−

−−

=

−

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

5

6

5

2

1

6

7

3

10

6

7

2

1

16

1

B

.

§4. Крамеровские системы линейных уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+++

.

;

2211

22222121

11212111

mnnmmm

nn

bxaxaxa

K

LLLLLLLLLLLLL

K

(1)

Коэффициенты этих уравнений, записанные в виде матрицы, называют-

ся

матрицей системы:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

nmmm

n

aaa

A

L

LLLL

L

21

22221

11211

.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют

столбец свобод-

ных членов:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

m

b

B

L

2

1

.

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, на-

зывается

расширенной матрицей системы:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

m

nmmm

n

b

aaa

A

L

LLLL

L

2

1

21

22221

11211

*

.

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, система называется

од-

нородной

. Решением системы (1) является всякая совокупность значений

переменных

n

xxx ;;;

21

K

, при подстановке которых в систему (1) все уравне-

ния обращаются в верные равенства.

Системы, не имеющие решений, называются

несовместными, имею-

щие решения –

совместными.

П р а в и л о К р а м е р а решения системы.

Карасева Р.Б.Высшая математика.Ч1.Электронное учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.