Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

271

тему рівнянь:

⎩

⎨

⎧

розв’язавши яку, знаходимо: А = 1,

В = – 1.

Отже,

)2()1(

−

+⋅+ kkkk

Підставимо отри-

маний вираз у математичне сподівання М(Х):

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+−+−+−⋅=

...

4)(

−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−⋅=

4.1.14. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини

Х – кількість появ події А в двох незалежних випробуваннях,

якщо ймовірності появи події в цих випробуваннях однакові і

відомо, що M(X ) = 0,9.

Розв’язок.

Згідно умови задачі n = 2, М(Х) = 0,9. Використаємо фор-

мулу математичного сподівання для повторних незалежних

випробувань: М(Х) = np

або 0,9 = 2р; звідки р = 0,45. Тоді

495,0)45,01(45,02)(

−

⋅== npqXD

4.1.15. Проводяться незалежні випробування з однаковою

ймовірністю появи події А в кожному випробуванні.

Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа

появ події в 3 незалежних випробуваннях рівна 0,63.

Розв’язок.

Згідно умови задачі n = 3, D(Х) = 0,63. Використаємо

формулу дисперсії для повторних незалежних випробувань:

D(Х) = npq = np(1 – p); 0,63 = 3р(1 –

р), або 021,0

=+− pp .

Розв’язавши квадратне рівняння, отримуємо:

;3,0

7,0

272

4.1.16. Знайти середнє квадратичне відхилення числа

появ події в чотирьох повторних незалежних випробуваннях,

якщо математичне сподівання числа появ цієї події в п’яти не-

залежних випробуваннях рівне 7.

Розв’язок.

Для повторних незалежних випробувань математичне

сподівання і дисперсія числа появ події відповідно рівні

pnXM

)( = і pqnXD

)(

, де 5

n ; 4

n . Підставив-

ши в формулу математичного сподівання М(Х) = 4,

(4 = 5р) отримаємо значення р = 0,8. Тоді q = 1 – p = 0,2.

Отже,

64,02,08,04)(

⋅

⋅=XD

, звідки == )()( XDX

8,064,0 == .

4.1.17. Три стрільці виконують по чотири постріли. Ймо-

вірність влучення кожного з пострілів для першого становить

0,8, для другого – 0,9, для третього – 0,85. Знайти мате-

матичне сподівання і середнє квадратичне відхилення загаль-

ного числа пробоїн у мішені.

Розв’язок.

Нехай Х

– число пробоїн у мішені зроблене і-тим стріль-

цем, де і = 1, 2, 3; Х – загальне число пробоїн. Тоді

321

XXXXX

++==

∑

. Отже, математичне сподівання:

∑∑

=++===

321

)()()()(

XXXMXMXMXM

)()()(

321

XMXMXM

+= .

Враховуючи, що для повторних незалежних випробувань

iii

pnXM =)( , де ;4

n ;8,0

p ;9,0

p 85,0

p , от-

римаємо:

⋅

⋅= )85,09,08,0(485,049,0485,04)( XM

2,1055,24 =⋅=

273

Дисперсія

∑∑

=++===

321

)()()(

XXXDXDXDXD

)()()(

321

XDXDXD ++= .

Оскільки

iiii

qpnXD

)( , де 2,01

−

pq ; −=1

1,0

− p ; 15,01

−

= pq , то +

⋅

2,08,04)(XD

⋅

⋅+⋅⋅+ 1275,009,016,0(415,085,041,09,04

51,13775,04 =⋅=

Звідки

229,151,1)()( === XDX

Отже,

2,10)( =XM ; 23,1)(

4.1.18. Дисперсія кожної з 25 однаково розподілених

взаємно незалежних випадкових величин дорівнює 6,25. Об-

числити середнє квадратичне відхилення середнього ариф-

метичного цих величин.

Розв’язок.

n = 25; D(X) = 625.

)()( XDX =

, але

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++++

XXXX

DXD

.......

)(

).......(

XXXXD

Оскільки випадкові величини однаково розподілені, то

)(...)()(

21 i

XDXDXD == .

625

)()(

)(

====

XnD

. Звідси, =)(X

525 == .

4.1.19. Кидають n гральних кісток. Знайти математичне

сподівання таких кидків, в кожному з яких випадає рівно m

шісток, якщо загальне число кидків N.

274

Розв’язок.

Імовірність Р того, що в одному підкиданні випаде рівно

m шісток обчислимо за формулою Бернуллі:

mnm

CqpCP

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

оскільки імовірність випадання „6” рівна

=p то

11 =−=−= pq

Нехай N – число таких підкидань. Оскільки всі підкидан-

ня незалежні між собою і імовірності появи m шісток в

кожному досліді рівні

, то математичне М(Х) сподіван-

ня числа Х рівне

)(

mnm

NCNPXM

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

де N –

число підкидань.

4.1.20. Двічі кидають монету. Описати простір елемен-

тарних подій.

Нехай X – число появ “тризуба”. Знайти розподіл випад-

кової величини, математичне сподівання М(X) та дисперсію

D(X).

Розв’язок.

Простір елементарних подій такий:

Ω = {“цифра-цифра”, “цифра-тризуб”, “тризуб-цифра”,

“тризуб-тризуб”}.

Нехай Х – число появ

“тризуба”. Тоді:

;

)0( ===

xP ;

)1( ===

)2( ===

Отже, даний закон розподілу має вигляд:

0 1 2

275

=++=

∑

0)( =⋅+⋅+⋅==

∑

pxXM

0)()()(

222222

=−⋅+⋅+⋅=−= XMXMXD

4.1.21. Випадкова величина X має розподіл:

Обчислити:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

≤

Розв’язок.

=+++++=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

≤ 171,0231,0148,0102,0074,0012,0

738,0=

– як сума імовірностей несумісних подій:

)5,0()2,0()1,0()0()1,0()5,0(

−=+

−

= xxxxxx

4.1.22. На фінансовому ринку представлені акції трьох

видів (A, B, C). Норма прибутку акцій залежить від ринкової

кон’юнктури (%). Проаналізувати ситуацію і вибрати тип

акції, що найбільш приваблива для інвестора з точки зору

міри її ризику. За величину ризику прийняти коефіцієнт

варіації.

Оцінка можливого результату

Песимістична Стримана Оптимістична

Види

проектів

Прибу-

ток R

Ймовір-

ність

1і

Прибу-

ток R

Ймовір-

ність

2і

Прибу-

ток R

Ймовір-

ність

3і

А 59 0,25 29 0,53 19 0,22

В 49 0,3 39 0,45 29 0,25

С 39 0,27 29 0,5 19 0,23

X –1 –0,5 –0,1 0 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2

P 0,005 0,012 0,074 0.102 0,148 0,231 0,171 0,160 0,081 0,016

276

Розв’язок.

1. Визначимо сподівану норму прибутку m(R) для кож-

ного виду акцій:

M (R) = m(R) =

∑

⋅

M(R

) = 59·0,25 + 29·0,53 + 19·0,22 = 17,75 + 15,37 + 4,18 =

= 34,3 (%);

M(R

) = 49·0,3 + 39·0,45 + 29·0,25 = 39,5 (%);

M(R

) = 39·0,27 + 29·0,5 + 19·0,23 = 29,4 (%).

2. Визначимо варіацію V(R) (дисперсію) норм прибутку

кожного виду акцій за формулою:

V(R) = D(R) = M(R

) – (M(R))

V(R

) = 59

·0,25 + 29

·0,53 + 19

·0,22 – (34,3)

= 218,91 (%)

;

V(R

) = 42

·0,3 + 39

·0,45 + 29

·0,25 – (39,5)

= 54,75 (%)

;

V(R

) = 39

·0,27 + 29

·0,25 + 19

·0,.23 – (29,4)

= 49,84 (%)

3. Визначимо середні квадратичні відхилення

)(R

від

сподіваних норм прибутків кожної акції або їх ризики за фор-

мулою:

)()( RDR =

(%).06,784,49)(

(%);4,775,54)(

(%);8,1491,218)(

4. Обчислимо коефіцієнти варіацій CV, як величину ри-

зику, що припадає на одиницю прибутку за формулою :

)(

CV(R

) =

3,34

8,14

= 0,432;

277

CV(R

) =

5,39

4,7

= 0,187;

CV(R

4,29

06,7

= 0,24.

Висновок: Потрібно вибрати акцію виду В, оскільки для

неї коефіцієнт варіації, а отже і ризик, найменший.

4.2. Початкові і центральні теоретичні моменти.

Для того, щоб краще врахувати вплив на математичне

сподівання тих можливих значень випадкових величин, зна-

чення яких є великими в порівнянні з іншими елементами

розподілу, але є малоймовірними, переходять до величин

і т. д. Це стосується як дискретних, так і неперервних

випадкових величин.

Початковим моментом k-того порядку випадкової вели-

чини Х називають математичне сподівання величини

)(

XM=

(4.2.1).

Отже

)(

XM=

; )(

XM=

[

]

)()()(

νν

−=−= XMXMXD .

Центральним моментом k-того порядку випадкової

величини Х називають математичне сподівання величини

[]

XMX )(− :

[

]

XMXM )(( −=

(4.2.2).

Отже,

[]

0)((

−

= XMXM

[

]

)()((

XDXMXM =−=

Мають місце такі співвідношення:

122

ννμ

−= (4.2.3);

11233

ννννμ

+−= (4.2.4);

121344

364

ννννννμ

−+−= (4.2.5).

278

Модою Мо(Х) дискретної випадкової величини Х нази-

вають таке її можливе значення, для якого імовірність його

настання найвища. Якщо випадкова величина має кілька мод,

то вона називається полімодальною.

Задачі

4.2.1. Дискретна випадкова величина Х задана законом

розподілу:

Знайти центральні моменти 1, 2, 3 і 4 порядків.

Розв’язок.

Центральний момент І-го порядку дорівнює нулю.

Покажемо це:

44,05,06,03,04,02,01,0

=⋅+⋅+⋅==

∑

;

+−⋅+−⋅=−=

∑

)44,04,0(3,0)44,01,0(2,0)(

νμ

хр

0)44,06,0(5,0 =−+ .

Центральний момент другого порядку – це дисперсія:

×+−⋅=⋅−==

∑

3,0)44,01,0(2,0)()(

pxХD

νμ

++=−⋅+−× 00048,002312,0)44,06,0(5,0)44,04,0(

0364,001280,0 =+ ;

+−⋅+−=⋅−=

∑

333

)44,04,0(3,0)44,01,0(2,0)(

νμ

=+−−=−⋅+ 0020480,00000192,00078608,0)44,06,0(5,0

005832,0−= ;

+−⋅+−⋅=⋅−=

∑

444

)44,04,0(3,0)44,01,0(2,0)(

νμ

0,1 0,4 0,6

0,2 0,3 0,5

279

≈++≈−⋅+ 0003276,00000007,00026726,0)44,06,0(5,0

003,00030009,0 ≈≈ .

4.3. Неперервні випадкові величини і їх числові

характеритики

Неперервну випадкову величину Х в повній мірі можна

задати диференціальною функцією або щільністю імовірності

)()( xFxf

′

= (4.3.1), яка визначає щільність розподілу імо-

вірності для кожної точки х. Знаючи щільність розподілу f(x),

можна обчислити інтегральну функцію розподілу F(x) за фор-

мулою:

∫

∞−

dxxfxF )()(

(4.3.2).

Теорема. Імовірність того, що неперервна випадкова ве-

личина Х набуде значення з інтервалу [a, b] дорівнює означе-

ному інтегралу від щільності розподілу, взятому в межах від a

до b:

∫

=<<

dxxfbXaP )()(

(4.3.3).

1. Щільність розподілу – невід’ємна функція:

0)( ≥xf .

Графік щільності розподілу – крива розподілу розташована

або над віссю 0х, або на цій осі.

2. Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах

від

∞−

до

∞

дорівнює 1:

∫

∞

∞−

=1)( dxxf (4.3.4).

Геометрично це означає, що вся площа криволінійної

трапеції, що обмежена віссю 0х і кривою розподілу, рівна 1.

Модою Мо(Х) для неперервної випадкової величини Х

називають таке її можливе значення, при якому існує мак-

симум густини розподілу.

280

Медіаною Ме(Х) неперервної випадкової величини Х на-

зивають таке її можливе значення, для якого виконується

рівність:

))(())(( =>=< XMeXPXMeXP

. Оскільки,

))(()(( XMeFXMeXP =< , то

))(( =XMeF

(4.3.5).

Математичне сподівання неперервної випадкової величи-

ни Х, означеної на всій числовій осі, рівне невласному

інтегралу:

∫

∞

∞−

= dxxxfXM )()( (4.3.6).

Для того, щоб математичне сподівання існувало, необ-

хідно, щоб цей інтеграл збігався абсолютно. Якщо ж функція

щільності симетрична і має моду Мо(Х) та медіану Ме(Х), але

невласний інтеграл розбігається, то за математичне сподіван-

ня приймають їх значення.

Якщо можливі значення випадкової величини Х належать

інтервалу [a, b], то

її математичне сподівання рівне визначе-

ному інтегралу:

∫

dxxxfXM )()( (4.3.7).

Дисперсією неперервної випадкової величини Х нази-

вають математичне сподівання квадрату її відхилення від

математичного сподівання. Отже, якщо можливі значення Х

належать всій числовій осі 0х, то

[] []

)()()()()( XMdxxfxdxxfXMxXD −=−=

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

(4.3.8);

якщо

[]

baX ,∈ , то

[] []

)()()()()( XMdxxfxdxxfXMxXD

−=−=

∫∫

(4.3.9).

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової

величини визначається, як і для дискретної, рівністю:

)()( XDX =