Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
291
0
cos
2
)(
2
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
x
xf
π
Знайти М(X) і D(X).
Розв’язок.
Математичне сподівання М(Х) рівне:
,0cos
2
)(
2
2
=⋅=
∫
xdxxXM
π
π
π
оскільки підінтегральна
функція непарна з симетричними відносно початку координат
межами.
Дисперсія рівна:
==−⋅=
∫∫
−−
xdxxxdxxXD
22
2
2
222
2
2
cos
2
0cos
2
)(
π
π
π
π
ππ
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∫∫∫
−−−
xdxxdxxdx
x
x 2cos
1
2
2cos12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π
π
π
π
π
π
ππ
.3225,0
2
1
12223
1
23
11
23
1
2
33
2
2
3
≈−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−
ππππ
π
π
π
π
π
x
=
=∫==
==
=
∫
−
xxdxvxdxdu
dvxdxux
xdxx
2sin
2
1
2cos;2
;2cos;
cos
2
22
2
2
π
π
при
2
π
≤x ,
при
2
π
>x .
292
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⋅−=
∫
−
−
π
π
π
π
π
π
sin
22
1
22sin
2
1
2sin
2
1
2
2
2
2
2
2
xdxxxx
=⋅−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∫
−
xdxx 2sin2)sin(
22
1
2
2
2
π
π
π
π
+⋅=
−=∫==
==
=
−
2
2
2cos
2
2cos
2
1
2sin;
;2sin;
π
π
x
x
xxdxvdudx
dvxdxux
=+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+=
−
−
∫
2
2
2
2
2sin
4
1
)(
2
cos
22
1
2cos
2
1
π
π
π
π
π
π
π
π
xсosxdx
.
2
)sin(
4
1
sin
4
1
44
π
ππ
π
π
−=−−+−−=
4.3.14.
Нижче подано функцію, яка залежить від певних
параметрів:
а)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
∞≤≤
+
=
dx
xd
bax
c
xf
,0
,
)(
;
б)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
=
−
0,0
0,
)(
x
xecx
xf
x
λα
;
в)
2
)(
)(
bx
cexf
−
=
α
;
г)
[]
⎩
⎨
⎧
∈
≤≤−×
=
dcx
dxcaxk
xf
,0
,
)(
;
293
д)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<++
≥++++
=
0,0
0,
)(
2
22
cbxax
cbxaxcbxax
xf
;
е)
2
)(
cxbxa
d
xf
+
+
=
.
Визначити значення параметрів, для яких ця функція буде
щільністю розподілу.
Розв’язок.
а) Графік функції
)(,)( ∞≤≤
+
= xd
bax
c
xf
має вигляд
(див. рис. 4.3.3а).
Рис. 4.3.3а.
Оскільки функція щільності невід’ємна функція, тобто
лежить вище осі Х, необхідно, щоб параметр С був додатний
х
0
0
>+
>
bax
c
0
0
<+
<
bax
c
0
0
<+
>
bax
c
0
0
>+
<
bax
c
d
d
)(xf
294
(с > 0) при
a
b
d −>
і від’ємним )0(
<
c при
0
<
+
bax
, і
a
b
d −<
. Для визначення інших параметрів, для яких ця
функція могла б бути щільністю розподілу, використаємо рів-
ність
1)( =
∫
∞
∞−
dxxf
, яка для даної області існування функції
буде мати вигляд:
−+=+=
+
+
=
+
∞→
∞
∞∞
∫∫
bax
a
c
bax
a
c
bax
baxd
a
c
dx
bax
c
x
a
dd
limln
)(
∞→+− bax
a
c
ln .
Таким чином, інтеграл розбігається і дана функція щіль-
ністю не є.
б) Для невід’ємності функції необхідно, щоб
0>c , ос-
кільки при додатному х:
.0,0 >>
− x
ex
λα
Для визначення інших параметрів скористуємось рів-
ністю:
1
0
=
−
∞
∫
dxecx
x
λα
або
1
0
=
−
∞
∫
dxexc
x
λα
, звідки
dxex
c
x
λα
−
∞
∫
=
0
1
. Обчислимо:
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∞→∞→
→→
==
=→=
=
−
∞
−
∞
∫∫
λλ
λ
λ
λ
α
λα
dz
e
z
zx
zx
dz
dx
z
xzx
dxex
zx
00
;,
;0,0
;
;
295
.
1
0
1
dzez
z−
∞
+
∫
=
α
α
λ
Оскільки
dxexГ
x−−
∞
∫
=
1
0
)(
α
α
– гамма функція, то
)1(
1
1
0
+=
+
−
∞
∫
α
λ
α
λα
Гdxex
x
, звідки =
+
=
+
)1(
1
1
1
α
λ
α
Г
c
)1(
1
+
=
+
α
λ
α
Г
, 0>c .
в) Для невід’ємності функції необхідно, щоб
0>c . Для
визначення інших параметрів скористаємось рівністю:
1)(
22
)()(
===
−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
∫∫∫
dxecdxcedxxf
bxbx
αα
, звідки
dxe
c
bx
2
)(
1
−
∞
∞−
∫
=
α
. Щоб
dxe
bx
2
)( −
∞
∞−
∫
α
був збіжним, необхідно,
щоб параметр а був від’ємним:
0<− a .
Отже,
=
∞→∞→
−∞→−∞→=
==−
=
−−
∞
∞−
∫
;,
;,;
1
;,)(
2
)(
tx
txdt
a
dx
dxadttbxa
dxe
bxa
,
2
2
1
2
11
22
0
aa
dte
a
dte
a
tt
ππ
=⋅⋅=⋅⋅==
∫∫
∞
−
∞
∞−
звідки
.0; >= c
а
с
π
296
г) Графік функції axky −= зображений на рис.4.3.3б,
причому при
0>k графік знаходиться над віссю Х, при
0<k – під віссю Х. Оскільки задана функція повинна бути
функцією щільності, а отже, додатньою
(
)
0)( ≥xf , .0>k
Нехай
dca << . Тоді умовою функції щільності є
рівність:
1=−
∫
dxaxk
d
c
, або
1)( =−
∫
dxaxk
d
c
. Отже,
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−
∫∫∫
d
c
d
c
d
c
d
c
d
c
ax
x
kdxaxdxkdxaxk
2
)(
2
,1
2
)()(
2
22
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−==
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
a
cd
cdkcda
cd
k
звідки,
.
2
)(
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
a
cd
cd
k
Рис. 4.3.3б.
Х
Y
)( xf
0>k
0<k
c
x
=
a
x
=
c
x
=
d
axky −=
)( xaky
−
=
)( axky
−
=
297
Якщо adc
<
< , то
=−=−
∫∫
dxxakdxaxk
d
c
d
c
)(
,
2
)( ka
cd
dc ⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−=
звідки,
.
2
)(
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
a
cd
dc
k
Якщо
dac
<
< , то
=−=
∫∫
dxaxkdxxf
d
c
d
c
))(
−
⎢
⎣
⎡
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−=
∫∫∫∫∫
xdxxdxdxakdxaxdxxak
d
a
a
c
a
c
d
a
a
c
)()(
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−==
⎥
⎦
⎤
−
∫
a
c
a
c
a
c
a
c
d
a
ax
xx
axkdxa
22
22
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−= )(
22
)(
2222
ada
adca
caak
,
2
)()(
2
22
22222
adca
k
dcaca
k
−+−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−
=
звідки,
22
)()(
2
adca
k
−+−
=
.
д) Графіком функції f(x) = ax
2
+ bx + c є парабола, яка в
залежності від знаку параметра а і дискримінанта D має виг-
ляд, зображений на рисунку 4.3.3в, г, д.
Оскільки функція щільності є додатньою, то інтеграл по
області (α,β), де функція
0)( ≥xf
дорівнює 1:
1)( =
∫
dxxf
β
α
.
Але інтеграли від функцій, зображених на рис. 4.3.3в, г є
розбіжними. Тому використаємо дану властивість до функції,
зображеної на рис. в) по області
),(
21
xxx
∈
, де х
1
, х
2
– корені
рівняння f(x) = 0. У функції f(x) виділимо повний квадрат.
298
Рис. 4.3.3в, г, д.
Отже,
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=++
∫∫
dx
a
c
x
a
b
xadxcbxax
x
x
x
x
22
2
1
2
1
)(
∫∫
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
1
2
1
2
2
2
2
242
x
x
x
x
a
b
xadx
a
b
a
c
a
b
xa
1
4
4
24
4
2
1
2
1
2
2
2
2
2
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
∫∫
x
x
x
x
dx
a
bac
dx
a
b
xadx
a
bac
,
звідки
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∫∫
dx
a
bac
dx
a
b
x
a
x
x
x
x
2
1
2
1
2
2
2
4
4
2
1
. Обчислимо зна-
менник даного виразу, прийнявши до уваги, що
:
2
4
2
21
a
acbb
x
−±−
=
х
f(x)
0
0
<
>
D
a
a
b
x
2
−=
в
0
0
>
>
D
a
f(x)
г
х
х
1
a
b
x
2
−=
х
2
0
0
>
<
D
a
д
f(x
х
х
1
х
2
a
b
x
2
−=
299
==
==+
=+=+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∫∫
dtt
dtdxt
a
b
x
t
a
b
xt
a
b
x
dx
a
b
x
t
t
x
x
2
22
11
2
2
1
2
1
;;
2
;
2
;
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+−
=
−
==
3
22
4
22
4
33
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
1
a
b
a
acbb
a
b
a
acbb
ttt
t
t
()
;
12
4
3
2
4
2
4
3
2
3
2
3
2
3
2
a
acb
a
acb
a
acb
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
×
−
=
−
=
−
∫
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
2
1
2
1
a
bac
x
a
bac
dx
a
bac
x
x
x
x
(
)
=
−
⋅
−
=
−++−+−
×
а
acb
a
bac
a
acbbacbb 4
4
4
2
44
2
2
222
.
4
)4(
3
2
3
2
a
acb −
−=
Отже,
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
)4(
6
4
)4(
12
)4(
1
acb
a
a
acb
a
acb
a
−
−=
−
−
−
=
,
або
,
)4(
6
1
2
3
2
2
acb
a
−
−=
де знак “-” вказує на те, що а < 0.
Тому опустимо його, щоб не прийти до протиріччя, адже
6а
2
> 0 є додатнім числом, і вираз 0)4(
2
3
2
>− acb . Отже,
2
3
22
)4(6 acba −= при acba 4,0
2
>< .
Приклад. Нехай а = – 2, с = – 1, тоді 6а
2
= 6(–2)
2
= 24,
4ас = 8 і умова щільності функції запишеться так:
300
2
3
2
)8(24 −= b . З цього рівняння знайдемо b: ,)8(24
322
−= b
або
,)8(576
32
−= b або 8320033529,8
2
−= b , звідки b
2
=
= 16,320033529 і b =
±
4,03984347. Таким чином, функція
щільності має вигляд:
.103984347,42)(
2
1
−+−= xxxf
)03984347,4( =b або .103984347,42)(
2
2
−−−= xxxf
)03984347,4( −=b
.
Перевіримо, що при даному співвідношенні параметрів
f
1
(х) є щільністю, тобто 1)(
1
2
1
=
∫
dxxf
x
x
. Маємо:
+−=−+−
∫∫∫
2
1
2
1
2
1
2
1
3
203984347,42
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dxxdxdxx
=
±
==−+
4
320033529,803984347,4
2
03984347,4
2
1
2
2
1
2
1
xx
x
x
x
x
x
[]
+−−=
=
=
=
33
2
1
288836083,073108565,1
3
2
73108565,1
288836083,0
x
x
[]
=−−+ 44224957,1288836083,073108565,1
2
03984347,4
22
.00000,1=
Аналогічно: 1)(
2
2
1
=
∫
dxxf
x
x
, маємо:
=−−−
∫∫∫
dxxdxdxx
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
03984347,42
2
=−=−== ;288836083,0;731085651,1
21
xx
[]
×−−−−−=
2
03984347,4
)731085651,1()288836083,0(
3
2
33
[
]
+−−−−−× 288836083,0()731085651,1()288836083,0(
22