Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
341
Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної
Задача 4.73.
Нехай за+
лежність попиту від ціни
описується функцією
d
(
p
)
=
2
2
p
e
(
p
t
0). Попит
спадає з зростанням ціни, так
як
()dp
c
=–
4
p
2
2
p
e
менше
нуля. Темп зростання
функції
()dp
cc
=
4
2
2
p
e
(4
р
2
– 1)
від’ємний, якщо
р
<
1
2
, і до+
датний, якщо ціна більше
1
2
.
Це означає: для
р <
1
2
попит
спадає більш повільно, а
коли ціна перевищує
1
2
, попит спадає більш швидко.
На проміжку (0;
1
2
) графік попиту опуклий, а на (
1
2
;
f
) — вгну+
тий. Точка (
1
2
;
1
2
e
) — точка перегину (рис. 4.20) для більш точної
побудови графіка обчислимо:
d
(0)
=
1,
d
(1)
|
0,1.
Виторг від реалізації товару за ціною
р
становить:
V
(
p
)
= pd
(
p
)
= p
2
2
p
e
грошових одиниць.
Похідна цієї функції:
()
Vp
c
=
2
2
p
e
(1 – 4
р
2
) додатна, якщо
р <
1
2
, і від’ємна для
р >
1
2
.
Це означає, що з ростом ціни виторг спочатку збільшується (незважаючи
+8
+5
+2
1
4
7
10
+0,500,511,522,533,54
X
Y
e
2е
Рис. 4.19.
342
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Рис. 4.20.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
+0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
X
Y
0,1
d(p) =
2
2 p
e
на падіння попиту) в при
р =
1
2
досягає максимального значення,
що дорівнює:
V
max
= V
(
1
2
)
=
1
2
1
2
e
|
0,3. Подальше збільшення ціни
не має рації, так як воно веде до скорочення виторгу.
Темп зміни виторгу
()
Vp
cc
=
4
р
2
2
p
e
(4
р
2
– 3) додатній, якщо
р >
3
2
, і від’ємний, поки
р <
3
2
.
Проаналізуємо схему знаків першої та другої похідних:
р (0;
1
2
)
1
2
(
1
2
;
3
2
)
3
2
(
3
2
;
f
)
()Vp
c
+ 0 – –0,47 –
()Vp
cc
– – 0 +
V(p)
зростає
опукла
0,3
max
спадає
опукла
0,2
точка
перегину
спадає
вгнута
343
Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної
На проміжку (0;
1
2
) функція зростає більш повільно. Відповідна
частина графіка опукла. Як вже ми визначили, подальше підвищен+
ня ціни невигідно. Спочатку виторг спадає з від’ємним темпом для
р <
3
2
|
0,9,
а потім темп спадання
V
(
p
)
стає додатним. Для
р >
0,9 виторг спа+
дає все швидше та наближається до нуля при необережному зрос+
танні ціни. На проміжку (
3
2
;
f
) функція
V
(
p
) вгнута. В точці
(
3
2
; 0,2) графік перегинається (див. рис. 4.21).
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
+0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
X
V
(
p
)
Рис. 4.21.
344
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
4.8.13. Задачі для самостійного розв’язку
Задача 4.74.
Провести повне дослідження заданих функцій та
побудувати їх графіки:
1)
у
=
2
1
x
x
;2)
у
=
2
1
1 x
;
3)
у
=
2
1
x
x
;4)
у
=
2
2
1
x
x
;
5)
у
=
1
x
+ 4
х
2
;6)
у
=
х
2
+
2
1
x
;
7)
у
=
2
21
(1)
x
x
;8)
у
=
3
2
3
x
x
;
9)
у
(
х
– 1) =
х
3
; 10)
у
(
х
3
– 1) =
х
4
;
11)
у
= 32
х
2
(
х
2
– 1)
3
; 12)
у
=
2
3
(1)
(1)
x
x
;
13)
у
=
x
x
e
; 14)
у
=
х
2
е
–х
;
15)
у
=
х
– ln(
х
+ 1); 16)
у
=
х
2
2
x
e
;
17)
у
= ln(
х
2
+ 1); 18)
у
=
х
3
е
–х
;
19)
у
=
1
1
x
e
; 20)
у
=
х
+
ln x
x
.
345
Розділ V. Диференціальне числення функції багатьох змінних
Розділ V. Диференціальне числення функції
багатьох змінних
§5.1. Основні поняття
Проілюструємо основні поняття і формули для функції двох
змінних, оскільки перехід до більшого числа змінних не викликає
ніяких труднощів. Якщо
z = f
(
x
,
y
), то частинні прирости за змінни+
ми
х
,
у
і повний приріст функції визначаються рівняннями:
x
'
z = f
(
x +
'
x
,
y
)
– f
(
x
,
y
);
y
'
z = f
(
x
,
y +
'
y
)
– f
(
x
,
y
);
'
z = f
(
x +
'
x
,
y +
'
y
)
– f
(
x
,
y
)
.
Якщо існує
0
lim
x
x
z
x
'o
'
'
, то ця границя називається частинною
похідною функції
z = f
(
x
,
y
) за змінною
х
і позначається одним із
символів:
z
x
w
w
,
x
z
c
,
(,)
x
f
xy
c
,
f
x
w
w
. Аналогічно визначається частинна
похідна за змінною
у
. Частинна похідна за однією із змінних знахо+
диться за правилами диференціювання функції однієї змінної, при+
чому друга змінна вважається при цьому сталою.
5.1.1. Розв’язання прикладів
Знайти частинні похідні функцій двох змінних.
Приклад 5.1.
z = x
3
y –
3
x
2
+
2
y
– 1
.
Розв’язок.
z
x
w
w
=
3
х
2
у –
6
х
,
z
y
w
w
= х
3
+
2
.
346
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Приклад 5.2.
z
= ln(
x
2
– y
2
)
.
Розв’язок.
z
x
w
w
=
22
2x
xy
,
z
y
w
w
=
22
2
y
x
y
.
Приклад 5.3.
z = x
y
.
Розв’язок.
z
x
w
w
= yx
y–1
,
z
y
w
w
= х
y
ln
x.
Головна лінійна відносно
'
х
і
у
частина повного приросту
функції називається
повним диференціалом функції
, який позначається
dz
і обчислюється за формулою:
dz =
z
x
w
w
dx +
z
y
w
w
dy
,
Приймаючи
'
х = dx
i
'
y = dy
знайти повний диференціал
функцій двох змінних
Приклад 5.4.
z = x
2
– xe
y
.
Розв’язок.
z
x
w
w
=
2
x – e
y
,
z
y
w
w
= –
xe
y
,
dz =
(2
x – e
y
)
dx – xe
y
dy.
347
Розділ V. Диференціальне числення функції багатьох змінних
Приклад 5.5.
z =
x
y
.
Розв’язок.
z
x
w
w
=
1
y
,
z
y
w
w
=
2
x
y
,
dz
=
1
y
dx
–
2
x
y
dy
.
Приклад 5.6.
z =
x
2
y
.
Розв’язок.
z
x
w
w
=
1
2
x
2
y
,
z
y
w
w
=
x
2
y
ln2,
dz =
1
2 x
2
y
dx +
x
2
y
ln2
dy.
Частковими похідними другого порядку від функції z
=
f
(
x
,
y
) на+
зиваються частинні похідні від її перших похідних.
2
2
z
z
x
x
x
www
§·
¨¸
ww
w
©¹
,
2
2
z
z
y
y
y
§·
www
¨¸
ww
w
©¹
,
2
z
z
x
yyx
www
§·
¨¸
ww w w
©¹
,
2
z
z
y
xxy
§·
www
¨¸
ww w w
©¹
.
Останні дві похідні називаються
мішаними
і вони рівні між со+
бою за умови їх неперервності.
348
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Диференціал другого порядку
d
2
z
визначається за формулою
d
2
z = d
(
dz
)
і обчислюється при умові неперервності мішаних похідних за фор+
мулою
d
2
z =
2
2
z
x
w
w
(
dx
)
2
+ 2
2
z
x
y
w
ww
dx dy +
2
2
z
y
w
w
(
dy
)
2
.
5.1.2. Приклади для самостійного розв’язання
Знайти частинні похідні
z
x
w
w
та
z
y
w
w
функції двох змінних.
5.7.
z = x
2
– y
2
.
5.8.
z =
xy
.
5.9.
z =
tg(
x – y
).
5.10.
z =
sin(
x
2
+ y
2
).
5.11.
z =
ln(
x
3
–
2
xy
).
5.12.
z =
e
x– y
.
5.13.
z =
2
sin(x + y)
.
5.14.
z =
sin
x –
cos
y
.
5.15.
z =
2sin
xy
.
5.16.
z =
3cos(
x
2
y
3
).
Знайти повний диференціал функцій двох змінних.
5.17.
z = x
2
y
4
.
5.18.
z =
1
2
ln(
x
2
+ y
2
).
5.19.
z = e
x – 2y
.
5.20.
z =
sin(
xy
).
5.21.
z = x
2
ln
y
.
5.22.
z = x
2
y – y
2
x
.
5.23.
z =
xy
.
5.24.
z
= tg
x
y
.
5.25.
z =
22
x
y
.
5.26
.
z =
22
xy
.
Показати, що функція
z = f
(
x
,
y
) задовольняє рівняння.
5.27.
z = y
ln(
x
2
– y
2
),
2
11 2zz
xx yy
y
ww
ww
.
349
Розділ V. Диференціальне числення функції багатьох змінних
5.28.
z = x
arctg
y
x
,
x
z
x
w
w
+ y
z
y
w
w
=
0.
5.29.
z =
ln(
x
2
+ y
2
),
2
2
z
x
w
w
+
2
2
z
y
w
w
= 0.
5.30.
z =
arctg
y
x
,
2
2
z
x
w
w
+
2
2
z
y
w
w
= 0.
5.31.
z =
ln(
x
2
+ xy + y
2
),
x
z
x
w
w
+ y
z
y
w
w
= 2.
5.32.
z =
22
x
y
,
2
z
x
w
§·
¨¸
w
©¹
+
2
z
y
§·
w
¨¸
w
©¹
= 1.
5.33.
z =
ln(
e
x
+ e
y
),
z
x
w
w
+
z
y
w
w
=
1.
5.34.
z = e
x
cos
y
,
2
2
z
x
w
w
+
2
2
z
y
w
w
=
0.
5.35.
z = e
xy
,
x
2
2
2
z
x
w
w
– y
2
2
2
z
y
w
w
= 0.
5.36.
z = x
ln
y
x
,
x
z
x
w
w
+ y
z
y
w
w
= z
.
Похідна
z
l
w
w
функції
z = f
(
x
,
y
) за напрямком
l
(cos
D
,
sin
D
)
обчислюється за формулою
z
l
w
w
=
z
x
w
w
cos
D
+
z
y
w
w
sin
D
,
а обчислена в точці
М
(
х
,
у
) дає швидкість зміни функції в напрямку
в точці
М
.
350
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Вектор
,
z
z
x
y
§·
ww
¨¸
ww
©¹
називається
градієнтом функції в точці
М
, він
направлений в сторону найскорішої зміни функції і позначається так:
grad
z =
,
z
zzz
ij
x
yxy
§·
ww w w
¨¸
ww w w
©¹
.
Геометрично рівняння
z = f
(
x
,
y
) задає деяку поверхню. Щоб
уявити собі вигляд поверхні перетнемо її площиною
z = C
(стала) і
таке рівняння
f
(
x
,
y
)
= С
задає в площині
хОу
криву, яка в економіці
називається
ізоквантою
. Якщо на ізокванті взяти деяку точку
М
(
х
0
,
у
0
),
то вектор+градієнт в цій точці буде перпендикулярним до ізокванти.
Задача 5.37.
z
=
x
2
–
xy
+ 2
y
. Знайти
z
l
w
w
в точці
М
(1; 3) в на+
прямку
11
,
22
l
§·
¨¸
©¹
.
Розв’язок
.
z
x
w
w
=
2
х – у
,
z
x
w
w
M
=
2
1 – 3 = –1,
z
y
w
w
= –x +
2,
z
y
w
w
M
= –1 + 2 = 1.
z
l
w
w
M
=
z
x
w
w
cos
D
+
z
y
w
w
sin
D
=
–1
1
2
+ 1
1
2
= 0.
Задача 5.38.
Нехай
z =
4
– x
2
– y
2
і
М
(1; 2)
.
Знайти grad
z
в точці
М
і намалювати цей вектор.
Розв’язок.
z
x
w
w
=
–2
х
,
z
y
w
w
=
–2
у
,