Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

11

Интервалы и полуинтервалы могут быть, в частности, беско-

нечными: (-∞, a), (b, +∞), (-∞, +∞), (-∞, a], [b, +∞). (Очевидно,

интервал (-∞, +∞) есть вся числовая прямая.)

Все перечисленные множества принято объединять единым

термином промежуток. Говоря «промежуток», мы имеем в виду

либо отрезок, либо интервал, либо полуинтервал.

Окрестностью точки a называется всякий интервал, содержа-

щий эту точку a. Интервал (a - e, a + e) называется e-окрестностью

точки a.

12.. Модуль деЙсТвиТельНоГо числА

О п р е д е л е н и е. Модулем (или абсолютной величиной) дей-

ствительного числа x называется само это число x, если оно неот-

рицательно, и число, противоположное числу x, если x отрица-

тельно:

x x

≥

− <







, ,

, .

если

Очевидно,

x ≥ 0.

Известны, в частности, следующие свойства модулей:

x y x y x y x y+ ≤ + − ≥ −; ;

xy x y

= ⋅ =; .

Модуль разности двух чисел

x a−

есть расстояние между точ-

ками x и a числовой прямой, в частности,

есть расстояние от

точки 0 до точки x. Множество точек x, удовлетворяющих усло-

вию

x a−

< e, есть, очевидно, e-окрестность точки a.

12.. МеТод МАТеМАТическоЙ иНдукции

Метод математической индукции – один из самых важных ме-

тодов математических доказательств. Он применяется для доказа-

тельства утверждений, зависящих от натурального числа n.

12

Метод математической индукции заключается в следующем:

чтобы доказать некоторое утверждение, зависящее от натурально-

го числа n, надо:

1) проверить его справедливость при n = 1 (или при наимень-

шем n, при котором утверждение имеет смысл);

2) предполагая справедливость утверждения для n = k, доказать

его справедливость для n = k + 1.

Затем делается вывод о справедливости данного утверждения

для любого n.

П р и м е р 12.2. Доказать, что 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n

Р е ш е н и е. Обозначим 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = S

1. Очевидно, при n = 1 формула верна: 1 = 1

2. Предполагая S

= k

, докажем, что S

k+1

= (k + 1)

. Действи-

тельно,

k+1

= S

+ [2(k + 1) - 1] = k

+ (2k + 1) = (k + 1)

что и требовалось доказать. На основании метода математической

индукции делаем вывод, что S

= n

П р и м е р 12.3. Доказать

справедливость формулы сложных

процентов

S S

= +













100

где S

– первоначальный капитал,

i – процентная ставка, n – число периодов начисления.

Р е ш е н и е. 1. При n = 1 имеем

S S S

1 0 0 0

100

= + = +













т.е. формула верна.

2. Предполагаем, что

S S

= +













100

Докажем, что S

k+1

S S

= +













1 0

100

Имеем

S S

i i

k k

= +













+ +













1 0 0

100

100 100

= +

























= +













i i

0 0

100

kk+1

что и требовалось доказать. Итак, формула сложных процентов

верна.

1

12.. соедиНеНия и БиНоМ НьюТоНА

Соединения

Пусть Х – множество, состоящее из n элементов: X = {x

, x

, … , x

Из элементов множества Х будем образовывать различные под-

множества, которые называются соединениями. В зависимости от

того, содержит ли соединение все элементы множества Х или

часть их, и от того, играет ли роль порядок расположения элемен-

тов, различают три вида соединений:

• размещения;

• перестановки;

• сочетания.

О п р е д е л е н и е. С

оединения, содержащие каждое m эле-

ментов из данных n элементов множества Х, которые отличаются

друг от друга либо самими элементами, либо их порядком, назы-

вают размещениями из n элементов по m.

Например, при составлении расписания на определенный

день в классе, где изучаются 10 предметов и каждый день по 5 уро-

ков, рассматривают размещения по 5 элементов из 10.

Число размещений из n элементов по m обозначают A

. Спра-

ведлива формула

= n(n - 1)(n - 2)

…

[n - (m - 1)], 1 ≤ m ≤ n. (12.1)

О п р е д е л е н и е. С

оединения, каждое из которых содержит

n элементов множества Х и которые отличаются только порядком

элементов, называются перестановками из n элементов.

Число перестановок из n элементов обозначают символом P

Перестановки являются частным случаем размещений, когда

m = n. По формуле (12.1)

= A

= n(n - 1)(n - 2)

…

1, или P

= 1 ⋅ 2

…

(n - 1)n. (12.2)

Произведение 1 ⋅

…

(n - 1)n называют «n факториал» и обозна-

чают n!. При n = 0 по определению полагают 0! = 1. Формулу (12.2)

можно записать теперь так:

= n!. (12.3)

Пользуясь символом n!, можно формулу (12.1) представить в виде

n m

−

( )!

(12.1′)

1

О п р е д е л е н и е. Соединения, содержащие каждое m эле-

ментов из данных n элементов множества X, которые отличаются

друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями

из n элементов по m.

Порядок расположения элементов внутри сочетания во внима-

ние не принимается. Число сочетаний из n элементов по m обо-

значается C

. Из определения следует, что

= C

Поэтому

n n n n m

= =

− − − −( )( ) [ ( )]

1 2 1

(12.4)

или

m n m

−

!( )!

(12.4′)

Можно доказать, что

C C C

+ =

(12.5)

Формула бинома Ньютона

Для любого натурального числа n справедлива формула

( ) ,a b C a C a b C a b C b

m n m m

n n

+ = + + + + +

− −0 1 1

… …

(12.6)

которая называется формулой бинома Ньютона.

Для д о к а з а т е л ь с т в а справедливости формулы (12.6) при-

меним метод математической индукции.

1. Пусть n = 1, тогда

( )a b C a C b a b+ = + = +

(мы воспользовались тем, что

C C

1= = = =

2. Предполагая, что формула (12.6) верна при n = k, докажем,

что она верна для n = k + 1, т.е. докажем, что

( )a b C a C a b C a b

m k m m

+ = + + +

+ +

+ −1

0 1

…

+ +

1 1

…

C ab C b

k k

(12.7)

1

Имеем

( ) ( ) ( )

(

a b a b a b

C a C a b C

k k

+ = + + =

= + + +

−

0 1 1

… aa b C b a b

C a C a b C

k m m

k k

−

+ + + =

= + + +

…

)( )

0 1 1 ++ − +

− +

+ + +

+ + + +

1 1

0 1

a b C ab

C a b C a b

k m m

k k

m k m m

…

… …… + +

− +

C ab C b

k k

k k1 1

Приводя подобные члены, получим

( ) ( ) ( )a b C a C C a b C C

k k

+ = + + + + +

+ + +1 0 1 0 1 1

… aa b

C C ab C b

k m m

k k

− +

+ + + +

1 1

… ( ) .

В силу того что

C C

k k

1= =

C C C

k k k

0 1

+ =

C C C

+ =

C C C

k−

+ =

C C

= =

[см. формулы (12.4′), (12.5)], получа-

ем формулу (12.7). На основании метода математической индук-

ции заключаем, что формула (12.6) верна для любого n.

Коэффициенты

C C C C

n n n

n0 1

, , ,, ,… …

в формуле (12.6) называ-

ются биномиальными коэффициентами.

вопросы

Всякое ли множество содержит бесконечное число элемен-

тов?

Могут ли для множеств А и В одновременно быть верными

утверждения: «А есть подмножество множества В» и «В есть

подмножество множества А»?

В каком случае объединение двух множеств совпадает с их пе-

ресечением?

Что такое разность между множеством А и множеством В?

Что такое дополнение множества А до множества В?

Конечным или бесконечным является счетное множество?

Какие числа называются рациональными? Счетным или не-

счетным является множество всех рациональных чисел?

В чем заключается взаимно однозначное соответствие между

множеством всех действительных чисел и множеством всех

точек числовой прямой?

Какой общий термин употребляют для названия числового

множества, являющегося либо отрезком, либо интервалом,

либо полуинтервалом?

Всегда ли верно равенство

= a? Если нет, то чему равен

этот корень

В чем заключается геометрический смысл модуля действи-

тельного числа?

Можно ли утверждать, что модуль суммы двух действительных

чисел равен сумме их модулей? Верно ли аналогичное утвер-

ждение для произведения и частного двух действительных

чисел?

Какому двойному неравенству эквивалентно неравенство

< b?

10.

11.

12.

13.

1

Глава 1

фуНкция

1.1. ПоНяТие фуНкции

Одним из наиболее важных понятий в математике и ее прило-

жениях является понятие функции.

О п р е д е л е н и е. П

усть даны числовые множества X и Y.

Пусть каждому элементу x ∈ X по какому-либо закону f поставлен

в соответствие некоторый (единственный) элемент y ∈ Y. Тогда

говорят, что на множестве X задана функция



y = f(x).

При этом x называется независимой переменной (или аргумен-

том), y – зависимой переменной, множество D(f ) = X – областью

определения функции. Множество R(f ) всех значений функции

называется областью изменения функции. Очевидно, R(f ) ⊆ Y.

Если множество X специально не оговорено, то областью опре-

деления функции считают множество всех таких значений x, при

которых функция y = f(x) вообще имеет смысл (это так называемая

естественная область определения).

Заметим, что для обозначения функции и ее аргумента приме-

няются различные буквы, например:

y = y(x), y = F(x), s = s(t), y = ϕ(x).

Наиболее употребительными являются следующие способы

задания функции:

1) аналитический – связь между аргументом и функцией зада-

ется в виде формулы (или формул). Так, функции

y x y

= + =2 3

, ,

y x

= +

заданы аналитически.

Следует заметить, что одна функция может определяться и на-

бором формул: разным участкам области определения функции



Точнее говоря, числовая функция.

1

соответствуют разные формулы (разные аналитические выраже-

ния). Например:

x x

− ≤

− >











1 1

, ,

, ;

если

2) табличный – функция задается таблицей, содержащей зна-

чения аргумента x и соответствующие значения функции f(x).

Примерами могут служить таблицы бухгалтерской отчетности,

таблица логарифмов. На табличном способе задания, хранения и

обработки информации основаны по существу и базы данных,

следовательно, в их основе – также табличная форма функцио-

нальной зависимости;

3) графический – функция задана графически, если начерчен ее

график, т.е. соответствие между аргументом и функцией задано

посредством графика. К достоинствам этого способа можно от-

нести его наглядность, к недостаткам – невысокую точность.

Существуют и другие, менее распространенные способы зада-

ния функций, например словесный, заключающийся в том, что

функция описывается правилом ее составления.

Перейдем к рассмотрению основных свойств функций:

1) четность и нечетность. Функция y = f(x), заданная на сим-

метричном относительно начала координат интервале, называет-

ся четной, если для любых значений x из ее области определения

выполняется равенство f(-x) = f(x). Если же f(-x) = -f(x), то функ-

ция называется нечетной. Функция, которая не является четной

или нечетной, называется функцией общего вида.

Например: 1) y = x

– четная функция, так как f(-x) = (-x)

= x

= f(x); 2) y = sin x – нечетная функция, так как f(-x) = sin (-x) =

= -sin x = -f(x); 3) y = x

+ sin x – функция общего вида, так как

f(-x) = (-x)

+ sin (-x) = x

- sin x, f(-x) ≠ f(x), f(-x) ≠ -f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Ox,

а график нечетной функции – относительно начала координат;

2) монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающей на

промежутке X, если для любых x

, x

∈ X из неравенства x

> x

сле-

дует f(x

) > f(x

); функция называется убывающей, если из x

> x

следует f(x

) < f(x

Функция называется монотонной на промежутке X, если она

или возрастает на всем этом промежутке, или убывает на нем.

Заметим, что мы дали определение функции монотонной в

строгом смысле. Вообще к монотонным функциям относятся

1

неубывающие функции, т.е. такие, для которых из x

> x

следует

f(x

) ≥ f(x

), и невозрастающие, т.е. такие, для которых из x

> x

следует f(x

) ≤ f(x

);

3) ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной в

данной области, если существует такое число M > 0, что

f x M( ) ≤

для всех x из этой области.

Например, функция

x +

ограничена на всей числовой пря-

мой, так как

x +

≤

для любого x ∈ R;

4) периодичность. Функция y = f(x) называется периодической,

если существует такое число T ≠ 0, что f(x + T) = f(x) для всех x из

области определения функции.

В этом случае T называется периодом функции. Очевидно, если

T – период функции y = f(x), то периодами этой функции являют-

ся также 2T, 3T и т.д. Поэтому обычно периодом функции называ-

ют наименьший положительный период (если он существует).

Например, функция y = sin x имеет период T = 2p, а функция

y = tg 3x – период

T =

1.2. осНовНЫе ЭлеМеНТАрНЫе фуНкции

Перечислим основные элементарные функции и кратко на-

помним их основные свойства, известные из школьного курса

математики.

1. Степенная функция y = x

, a – любое действительное число:

1) a – натуральное число. Область определения функции – вся

числовая прямая. Функция является нечетной при a нечетном и

четной при a четном.

Если a – нечетное, то функция возрастает на (-∞, +∞); если a –

четное, то убывает на (-∞, 0] и возрастает на [0, +∞);

2) a – целое отрицательное число. В этом случае функция оп-

ределена при всех значениях x, кроме x = 0.

Функция является нечетной при a нечетном и четной, если

a – четное. Если a – нечетное, то функция убывает на (-∞, 0) и

(0, +∞);

n ≠ 0. Если n – четное, то функция определена на

[0, +∞); если n – нечетное, то на (-∞, +∞). Функция возрастает

на всей области определения.

10

На рис. 13.1–13.4 изображены графики степенной функции

при различных значениях a.

y x=

рис. 1.1. График степенной

функции y = x

при a = 2

рис. 1.2. График степенной

функции y = x

при a = 1 и a = 3

y x=

рис. 1.. График степенной

функции y = x

при a = -1

рис. 1.. График степенной

функции y = x

при

a =

Степенная функция не является периодической ни при каком a.

2. Показательная функция y = a

, a > 0, a ≠ 1. Эта функция оп-

ределена на всей числовой прямой; является функцией общего

вида; возрастает на (-∞, +∞) при a > 1 (рис. 13.5, а), убывает на

(-∞, +∞) при 0 < a < 1 (рис. 13.5, б). Непериодическая.