Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

11

1 1

y a=

a > 1

y a=

0 < a < 1

а) б)

рис. 1.. График показательной функции y = a

при a > 1 (а) и при 0 < a < 1 (б)

3. Логарифмическая функция y = log

x, a > 0, a ≠ 1. Определена

на (0, +∞), является функцией общего вида; возрастает на (0, +∞)

при a > 1 (рис. 13.6, а); убывает на (0, +∞) при 0 < a < 1 (рис. 13.6, б);

непериодическая.

y y

x x

0 0

1 1

a > 1

y = log

0 < a < 1

а) б)

рис. 1.. График логарифмической функции y = log

при a > 1 (а) и при 0 < a < 1 (б)

Напомним, что показательная функция y = a

и логарифмичес-

кая функция y = log

x являются взаимно обратными.

12

4. Тригонометрические функции:

1) y = sin x (рис. 13.7). Нечетная периодическая функция с пе-

риодом T = 2p, определенная на (-∞, +∞);

−π−2π

2π

−1

y = sin

рис. 1.. График функции y = sin x

2) y = cos x (рис. 13.8). Четная периодическая функция с перио-

дом T = 2p, определенная на (-∞, +∞);

y = cos

−1

−2π

2π

−π π

−

рис. 1.. График функции y = cos x

3) y = tg x (рис. 13.9). Область определения имеет вид

−













πn n, ,

−













πn n, ,

n ∈ Z. Функция нечетная, возрастает на

−













πn n, ,

n ∈ Z. Является периодической функцией с периодом T = p;

−π π

−

y = tg

3π

−

3π

рис. 1.. График функции y = tg x

1

4) y = ctg x (рис. 13.10). Область определения: (pn, p + pn), n ∈ Z.

Четная периодическая функция, убывает на (pn, p + pn), n ∈ Z;

период T = p.

−

y = ctg

3π

π 2π−π

рис. 1.10. График функции y = ctg x

5. Обратные тригонометрические функции:

1) y = arcsin x; 2) y = arccos x;

3) y = arctg x; 4) y = arcctg x.

Функции arcsin x и arccos x определены на [-1, 1], а функции

arctg x и arcctg x – на всей числовой прямой.

1.. ЭлеМеНТАрНЫе фуНкции

Пусть y = f(x) определена на промежутке X, ее область измене-

ния есть Y, и пусть разным значениям x соответствуют разные

значения y. Тогда для каждого значения y ∈ Y существует един-

ственное число x ∈ X, при котором f(x) = y. Полученная в этом слу-

чае функция x = ϕ(y), определенная на X с областью изменения Y,

называется обратной.

Так как обычно независимую переменную обозначают через x,

а функцию – через y, то функцию, обратную к функции y = f (x),

обозначают также в виде y = f

-1

(x).

Взаимно обратными функциями являются, в частности, y = a

и y = log

x (рис. 13.11), y = sin x и y = arcsin x и т.д. Графики вза-

имно обратных функций симметричны относительно прямой

y = x.

1

y = log

y a=

рис. 1.11. Графики взаимно обратных функций

y = a

и y = log

Хорошо известно, что над функциями можно производить

арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, де-

ление.

Рассмотрим еще одно действие над функциями, называемое

взятием функции от функции, или построением сложной функции.

Пусть функция y = f (u) определена на множестве U, ее область

изменения есть Y, а ее аргумент u есть функция от x: u = ϕ(x), оп-

ределенная на множестве X с областью изменения U. Тогда функ-

ция y = f(ϕ(x)), определенная на X, называется сложной функцией,

или функцией от функции (суперпозицией функций).

Например, две функции y = lgu и u = 1 - x

определяют слож-

ную функцию y = lg(1 - x

) с областью определения (-1, 1).

Заметим, что операция взятия функции от функции может

производиться любое число раз. Например, функция

y x= lgsin

получается в результате следующих операций:

y u u v v w w x= = = =, lg , sin , .

О п р е д е л е н и е. Элементарной называется функция, кото-

рая получена из основных элементарных функций и констант

с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, ум-

ножения, деления и взятия функции от функции.

Элементарные функции делятся на алгебраические и трансцен-

дентные.

К а л г е б р а и ч е с к и м функциям относятся:

а) многочлены

y = a

+ a

n-1

+ … + a

;

1

б) дробно-рациональные функции

a x a x a

b x b x b

n n

m m

+ + +

−

0 1

…

т.е. функции, определяемые как отношение двух многочленов;

в) иррациональные функции, т.е. функции, полученные пу-

тем конечного числа суперпозиций и арифметических действий

над степенными функциями с целыми и дробными показателями и

не являющиеся рациональными.

Примеры иррациональных функций:

y x x= +

x x

и т.п.

Вообще, алгебраической называется функция y = f(x), которая

удовлетворяет уравнению вида

+ P

n-1

+ … + P

= 0,

где P

, P

, …, P

– многочлены, зависящие от x.

Функция, которая не является алгебраической, называется

трансцендентной.

К т р а н с ц е н д е н т н ы м относятся показательная, лога-

рифмическая, тригонометрические функции.

1.. ПриМеНеНие фуНкциЙ в ЭкоНоМике

Функции широко применяются в экономической теории. При-

ведем наиболее часто применяемые функции одного аргумента.

Функция полезности (рис. 13.12) – субъективная числовая

оценка данным индивидом полезности u количества x некоторого

товара. В широком смысле функция полезности – зависимость

полезности (эффекта) некоторого действия от его уровня (интен-

сивности).

рис. 1.12. График функции полезности

1

Функция выпуска, однофакторная производственная функция

(рис. 13.13) – зависимость объема y выпускаемой продукции от

объема x перерабатываемого ресурса. Функция выпуска является

частным видом производственной функции, которая выражает за-

висимость результата производственной деятельности от обусло-

вивших его факторов.

рис. 1.1. График функции выпуска

Функция издержек – зависимость издержек производства от

объема продукции. Функция издержек также есть частный вид

производственной функции.

Функция спроса и предложения – зависимость объема спроса D

и предложения S от цены на товар p.

Рассмотрим какой-нибудь товар. Пусть D(p) – количество

(число единиц) товара, которое покупатель на рынке желает ку-

пить при данной цене p за единицу. D = D(p) называется функцией

спроса на товар. Эта функция – убывающая. Обычно она имеет вид

D = kp

+ c, (13.1)

где a < 0 (рис. 13.14).

рис. 1.1. График функции спроса

С другой стороны, пусть S(p) – число единиц товара, предлага-

емого продавцами на рынке по цене p. Очевидно, предложение

1

растет с ростом цены. Поэтому функция предложения S = S(p) –

возрастающая функция. Она обычно имеет вид

S = p

+ d, (13.2)

где b ≥ 1 (рис. 13.15).

рис. 1.1. График функции предложения

Для экономики представляет интерес условие, когда спрос

р а в е н предложению:

D(p) = S(p). (13.3)

Цена p = p

, при которой выполняется равенство (13.3), назы-

вается равновесной. Точка пересечения кривых D и S (графиков

функций D = D(p) и S = S(p)) называется точкой равновесия.

При увеличении благосостояния населения константа c в фор-

муле (13.1) увеличивается, кривая D поднимается вверх, точка

равновесия смещается вправо (рис. 13.16).

D, S

′

рис. 1.1. Положение точки равновесия в зависимости

от благосостояния населения

вопросы

Что такое естественная область определения функции?

Какие существуют способы задания функций?

Каким свойством обладает график нечетной функции?

Какой общий термин употребляют, говоря о возрастающей и

убывающей функциях?

Сколько разных периодов имеет периодическая функция?

Пусть функция y = f(x) имеет наименьший период Т. Является

ли периодической функция y = f(3x) и если является, то каков

ее наименьший период?

Как получить график обратной функции из графика самой

функции?

Какая функция является обратной для функции y = x

Относится ли функция y = 2x + 3 к основным элементарным

функциям?

Как можно получать элементарные функции из основных эле-

ментарных?

Будет ли элементарной функцией сумма элементарных функ-

ций? А квадратный корень из элементарной функции?

Какие функции одной переменной наиболее часто применя-

ются в экономике?

10.

11.

12.

1

Глава 1

ПределЫ

1.1. ПоследовАТельНосТь.

Предел ПоследовАТельНосТи

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n

поставлено в соответствие одно определенное действительное

число x

, то говорят, что задана числовая последовательность:

, x

, …, x

, … . (14.1)

Иначе говоря, числовая последовательность – это функция на-

турального аргумента: x

= f(n), т.е. функция, определенная на

множестве натуральных чисел.

Последовательность (14.1) записывается коротко в виде {x

Числа x

, x

, …, x

, … называют членами последовательности,

а n-й член x

– общим членом последовательности.

Последовательность считается заданной, если задан ее общий

член или указан способ получения любого ее элемента. Напри-

мер, формула

2 1

5 2

определяет последовательность

2 1

5 2

, , , , ,, .… …

(14.2)

Последовательность может быть монотонной или немонотон-

ной, ограниченной или неограниченной. (Нет необходимости опре-

делять эти понятия, так как в § 13.1 уже были даны определения

монотонной и ограниченной функции.)

В частности, последовательность (14.2) является монотонно

убывающей. Действительно, рассмотрим разность x

- x

n+1

x x

n n

− =

−

+ +

−

2 1

5 2

2 1 1

5 1 2

2 1

5 2

( )

22 3

5 7

+ + − + +

+ +

( )( ) ( )( )

( )( )

2 1 5 7 2 3 5 2

5 2 5 7

n n n n

n n

+ + − − −

+ +

10 19 7 10 19 6

5 2 5 7

5 2

2 2

n n n n

n n n( )( ) ( )(

55 7n + )

Итак, x

- x

n+1

> 0, т.е. x

n+1

< x

для любого n.

10

Рассмотрим эту же последовательность (14.2). Если, например,

n = 100, то

201

502

;

если n = 100 000, то

200 001

500 002

Мы видим,

что с ростом n члены последовательности x

все меньше отлича-

ются от

и это различие может стать как угодно малым.

В частности, при n = 100 000

− = − =

200 2

0 0000003999

001

500 002

< 0,0, … 000001.

О п р е д е л е н и е. Число a называется пределом последователь-

ности {x

}, если для любого (сколь угодно малого) числа e > 0 су-

ществует такой номер N, что при всех n > N выполняется нера-

венство

x a

− < ε.

(14.3)

Если последовательность {x

} имеет предел a, то она называет-

ся сходящейся (к числу a). В этом случае пишем:

lim .

x a

→∞

(14.4)

Иногда вместо (14.4) пишут: x

→ a при n → ∞.

Если вернуться к последовательности (14.2), то мы видим, что

для e = 0,000001 неравенство (14.3) выполняется при n > 100 000.

Выясним геометрический смысл предела числовой последова-

тельности. Неравенство (14.3) равносильно двойному неравенству

-e < x

- a < e, или a - e < x

< a + e.

Это означает, что при n > N все члены последовательности {x

}

находятся в e-окрестности точки a (рис. 14.1).

a − ε a + εa

рис. 1.1. e-окрестность точки a

Следовательно, вне этой окрестности может находиться лишь

конечное число членов этой последовательности.