Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

441

8.2. Гипербола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.3. Парабола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.4.

Общееуравнениелиниивторогопорядка. . . . . . . . 98

8.5.

Преобразованиякоординат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.6.

Преобразованиеобщегоуравнения

линии

второгопорядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

глава.9. Пря

МЫе.линии.и.ПлОскОсТи..

в.ПрОсТрансТве .                         108

9.1.

Плоскостьвпространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.2.

Прямаявпространстве.Прямаяиплоскость

пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

раздел.III..

линеЙнЫе.МОдели.в.ЭкОнОМике

глава.10. ОБщие.сведения.О.линеЙнОМ.

ПрОграММирОвании.                    116

10.1. Задачаобиспользованииресурсов. . . . . . . . . . . . 116

10.2.

Общаязадачалинейногопрограммирования. . . 117

10.3.

Элементытеориидвойственности. . . . . . . . . . . . 120

лава.11. М

Одель.леОнТьева.линеЙная..

МОдель.ОБМена.                          131

11.1. МодельЛеонтьева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.2.

Линейнаямодельобмена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

раздел.IV..

введение.в.аналиЗ

глава.12. ЭлеМенТЫ.ТеОрии.МнОжесТв.           138

12.1. Понятиемножества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

12.2.

Операциинадмножествами.Счетные

несчетныемножества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

442

12.3. Числовыемножества.Числоваяпрямая. . . . . . . 140

12.4. Модульдействительногочисла. . . . . . . . . . . . . . . 141

12.5.

Методматематическойиндукции . . . . . . . . . . . . 141

12.6.

СоединенияибиномНьютона. . . . . . . . . . . . . . . 143

лава.13. ф

ункция.                                 147

13.1. Понятиефункции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.2.

Основныеэлементарныефункции. . . . . . . . . . . . 149

13.3.

Элементарныефункции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

13.4.

Применениефункцийвэкономике. . . . . . . . . . . 155

лава.14. Предел

Ы .                                 159

14.1. Последовательность.Предел

последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

14.2.

Пределфункции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

14.3.

Бесконечномалыевеличины.Бесконечно

большие

величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

14.4. Основныетеоремыопределах . . . . . . . . . . . . . . . 164

14.5.

Двазамечательныхпредела. . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

лава.15. н

еПрерЫвнОсТь.функции .              178

15.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

15.2.

Свойствафункций,непрерывныхнаотрезке. . . 181

15.3.

Экономическаяинтерпретация

непрерывности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

15.4.

Сравнениебесконечномалых. . . . . . . . . . . . . . . . 183

раздел.V..

дифференциальнОе.исчисление

глава.16. ПрОиЗвОдная.функции..

дифференциал.                          187

16.1. Производная. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

443

16.2. Применениепроизводнойвэкономике. . . . . . . 189

16.3. Дифференцируемостьфункции.Связьмежду

дифференцируемостьюинепрерывностью . . . . 191

16.4.

Вычислениепроизводной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

16.5.

Производныеосновныхэлементарных

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

16.6. Дифференциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

лава.17. с

вОЙсТва.дифференцируеМЫх..

функциЙ.                                 208

17.1. Основныетеоремыдифференциального

исчисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

17.2.

ПравилоЛопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

17.3.

ФормулаТейлора........................... 215

лава.18. и

сследОвание.функциЙ..

с.ПОМОщью.ПервОЙ.ПрОиЗвОднОЙ.     222

18.1. Признакмонотонностифункции. . . . . . . . . . . . . 222

18.2.

Экстремумфункции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

18.3.

Первоедостаточноеусловиеэкстремума . . . . . . 223

18.4.

Наибольшееинаименьшеезначенияфункции

на

отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

глава.19. исследОвание.функциЙ..

.ПОМОщью.вТОрОЙ.ПрОиЗвОднОЙ.

ПОлнОе.исследОвание.функциЙ.

и.ПОсТрОение.графикОв. . . . . . . . . . . . . . . . . 228

19.1. Второедостаточноеусловиеэкстремума. . . . . . . 228

19.2.

Выпуклостьивогнутостьграфикафункции.

Точки

перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

19.3. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

19.4.

Общаясхемаисследованияфункций

построенияграфиков...................... 232

19.5. Исследованиефункциинамаксимумиминимум

помощьюпроизводныхвысшихпорядков. . . . 236

444

глава.20. ПрилОжения.ПрОиЗвОднОЙ..

в.ЭкОнОМическОЙ.ТеОрии. . . . . . . . . . . . . . . 240

20.1. Максимизацияприбыли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

20.2. Эластичность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

20.3.

Оптимизацияналогообложения. . . . . . . . . . . . . . 242

раздел.VI..

инТегральнОе.исчисление

глава.21. неОПределеннЫЙ.инТеграл..

МеТОдЫ.инТегрирОвания. . . . . . . . . . . . . . . . 244

21.1. Первообразнаяинеопределенныйинтеграл . . . 244

21.2.

Основныеметодыинтегрирования . . . . . . . . . . . 247

21.3.

Интегрированиерациональныхдробей . . . . . . . 251

21.4.

Интегрированиеиррациональныхфункций . . . 258

21.5.

Интегрированиетригонометрических

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

лава.22. О

ПределеннЫЙ.инТеграл..

и.егО.свОЙсТва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

22.1. Понятиеопределенногоинтеграла. . . . . . . . . . . . 263

22.2.

Свойстваопределенногоинтеграла. . . . . . . . . . . 266

22.3.

Основнаяформулаинтегрального

исчисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

22.4.

Заменапеременнойиинтегрирование

по

частямвопределенноминтеграле. . . . . . . . . . 273

22.5. Приближенноевычислениеопределенных

интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

лава.23. Прил

Ожения.ОПределеннОгО..

инТеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

23.1. Геометрическиеимеханическиеприложения

определенногоинтеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

23.2.

Приложенияопределенногоинтеграла

экономике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

445

глава.24. несОБсТвеннЫе.инТегралЫ. . . . . . . . . . . . . 285

24.1. Несобственныеинтегралысбесконечными

пределамиинтегрирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

24.2.

Несобственныеинтегралыотнеограниченных

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

24.3.

Признакисходимостинесобственных

интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

раздел.VII..

функции.нескОльких.ПереМеннЫх

глава.25. евклидОвО.ПрОсТрансТвО..

ПОняТие.функции.нескОльких.

ПереМеннЫх.Предел,..

неПрерЫвнОсТь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

25.1. Евклидовопространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

25.2.

Множествавевклидовомпространстве . . . . . . . 295

25.3.

Понятиефункциимногихпеременных. . . . . . . . 297

25.4.

Пределинепрерывность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

лава.26. ч

асТнЫе.ПрОиЗвОднЫе..

и.их.ЭкОнОМическиЙ.сМЫсл.

ПОлнЫЙ.дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

26.1. Частныеприращенияичастные

производные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

26.2.

Полноеприращениеиполный

дифференциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

26.3.

Производнаяпонаправлению.Градиент. . . . . . 310

26.4.

ФормулаТейлора........................... 313

лава.27. Экс

ТреМуМЫ.услОвнЫе..

ЭксТреМуМЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

27.1. Локальныйэкстремумфункциинескольких

переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

27.2.

Наибольшееинаименьшеезначения

функции

взамкнутойобласти. . . . . . . . . . . . . . . . 323

446

27.3. Условныйэкстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

27.4. Методнаименьшихквадратов. . . . . . . . . . . . . . . . 327

лава.28. Задачи

.ОПТиМиЗации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

28.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

28.2.

Наибольшеезначениевогнутойфункции.

Условия

Куна–Таккера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

раздел.VIII..

дифференциальнЫе.и.раЗнОсТнЫе.

уравнения

глава.29. дифференциальнЫе.уравнения..

ПервОгО.ПОрядка.и.их.ПриМенение..

в.неПрерЫвнЫх.МОделях..

ЭкОнОМики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

29.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

29.2.

Видыдифференциальныхуравненийпервого

порядкаиметодыихрешения. . . . . . . . . . . . . . . . 343

29.3.

Применениедифференциальныхуравнений

внепрерывныхмоделяхэкономики. . . . . . . . . . . 349

лава.30. д

ифференциальнЫе.уравнения..

вТОрОгО.и.вЫсших.ПОрядкОв. . . . . . . . . . . 356

30.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

30.2.

Дифференциальныеуравнения,допускающие

понижениепорядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

30.3.

Линейныедифференциальныеуравнения

n-го

порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

30.4. Структураобщегорешениянеоднородного

линейногодифференциальногоуравнения . . . . 369

лава.31. р

аЗнОсТнЫе.уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

31.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

31.2.

Линейныеразностныеуравнения. . . . . . . . . . . . . 391

31.3. М

одельделовогоциклаСамуэльсона—Хикса. . . 394

раздел.IX.рядЫ

глава.32. числОвЫе.рядЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

32.1. Понятиечисловогоряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

32.2.

Основныесвойстварядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

32.3.

Рядыснеотрицательнымичленами. . . . . . . . . . . 401

32.4.

Рядысчленамипроизвольногознака. . . . . . . . . 408

лава.33. ф

ункциОнальнЫе.рядЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

33.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

33.2.

Свойстваравномерносходящихсярядов . . . . . . 417

33.3.

Степенныеряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

лава.34. р

ядЫ.ТеЙлОра.и.МаклОрена. . . . . . . . . . . . . 428

34.1. Разложениефункциивстепеннойряд . . . . . . . . 428

34.2.

Разложениенекоторыхэлементарных

функций

врядМаклорена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

34.3. Приложениестепенныхрядов

приближеннымвычислениям . . . . . . . . . . . . . . 432

сПисОк.лиТераТурЫ.                              437

Учебное издание

Владимир Леонидович Клюшин

ВЫСшАя МАТЕМАТИКА

ДЛя ЭКОНОМИСТОВ

Учебное пособие

Редактор И.В. Мартынова

Корректор М.В. Литвинова

Компьютерная верстка О.В. Савостиной, Г. А. Волковой

Оригинал-макет подготовлен

в Издательском Доме «ИНФРА-М»

ЛР № 070824 от 21.01.93

Сдано в набор 11.01.2006. Подписано в печать 20.04.2006.

Формат 60×90/16. Печать офсетная. Бумага офсетная.

Гарнитура «Newton». Усл. печ. л. 28,0. Уч.-изд. л. 29,56.

Тираж 3000 экз. Заказ №

Издательский Дом «ИНФРА-М»

127282, Москва, Полярная ул., д. 31в.

Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43. Факс: (495) 363-92-12.

E-mail: books@infra-m.ru; http://www.infra-m.ru

Отдел «Книга — почтой»:

(495) 363-42-60 (доб. 246, 247)