Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
431
3. Рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)
m
, где m – произвольное
постоянное число. Имеем
f(x) = (1 + x)
m
, f ′(x) = m(1 + x)
m – 1
, f ″(x) = m(m
–
1)(1
+
x)
m – 2
,
… , f
(n)
(x) = m(m – 1)
⋅ ⋅⋅
(m – n +1)(1 + x)
m – n
.
При x = 0:
f(0) = 1, f ′(0) = m, f ″(0) = m(m –1), …,
f
(n)
(0) = m(m – 1)
⋅ ⋅⋅ (m – n +1).
Получаем ряд, который называется биномиальным:
1
1
1
2
1 1
2
+ +
−
+ +
− ⋅⋅⋅ − +
+
m
x
m m
x
m m m n
n
x
n
!
( )
!
...
( ) ( )
!
.... .
Определим радиус сходимости этого ряда
R
a
a
n
n
n
=
→∞
+
lim .
1
Так как
a
m m m n
n
a
m m m n
n n
=
− ⋅⋅⋅ − +
=
− ⋅⋅⋅ − +
+
( ) ( )
!
,
( ) ( )1 1 1 1
1
(( )
( )!
,
m n
n
−
+1
то
R
n
m n
n
=
+
−
= − =
→∞
lim | | .
1
1 1
Таким образом, биномиальный ряд сходится при x ∈ (–1, 1) и
расходится вне отрезка [–1, 1].
Оценка остаточного члена этого ряда связана с определен-
ными сложностями, поэтому примем без доказательства, что
lim ( ) .
n
n
R x
→∞
= 0
при x ∈ (–1, 1).
Итак, при x ∈ (–1, 1)
( )
!
( )
!
...
( ) (
1 1
1
1
2
1
2
+ = + +
−
+ +
− ⋅⋅⋅ − +
x
m
x
m m
x
m m m n
m
11)
!
... .
n
x
n
+
(34.8)
Заметим, что если m – целое положительное число, то начи-
ная с члена, содержащего x
m + 1
, все коэффициенты равны нулю и
ряд превращается в конечный многочлен.
4. При m = –1 биномиальный ряд имеет вид
1
1
1 1
2 3
+
= − + − + + − +
x
x x x x
n n
... ( ) ... .
(34.9)
Интегрируем это равенство от 0 до x, где |x | < 1:
dt
t
t t t t dt
x
n n
x
1
1 1
0
2 3
0
+
= − + − + + − +
∫ ∫
( ... ( ) ...) .
432
Отсюда получаем разложение функции f(x) = ln (1 + x):
ln( ) ...
( )
... .1
2 3
1
2 3 1
+ = − + − +
−
+
+
x x
x x x
n
n n
(34.10)
Это равенство справедливо в интервале (–1, 1). Можно пока-
зать, что оно справедливо и при x = 1. Таким образом, область
сходимости ряда (34.10) есть (–1, 1].
34.3. прИложенИе степенных рядов
к прИблИженным вычИсленИям
Используя разложения в ряд Маклорена элементарных функ-
ций, можно получить значения этих функций с любой точностью.
Для этого надо взять достаточное число членов ряда. Точность
вычисления определяется остаточным членом формулы Мак-
лорена.
1. Рассмотрим разложение показательной функции f(x) = e
x
.
Как уже отмечалось,
е
x
n
n
x
x x
n
R x= + + + + +1
2
2
!
...
!
( ),
где
R x
x
n
n
n
( )
( )!
=
+
+1
1
е
θ
, и при всех x показательная функция разла-
гается в ряд
е
x
n
x
x x
n
= + + + + +1
2
2
!
...
!
... .
(34.5)
Радиус сходимости этого ряда бесконечен, т.е. ряд сходится на
всей числовой прямой.
Ряд (34.5) пригоден для вычислений при небольших значениях x.
Если же x велико по абсолютной величине, то его представляют в
виде суммы целой и дробной частей:
x = E(x) + q,
где E(x) – целая часть x (т.е. наибольшее целое число, не превос-
ходящее x), а q – дробная его часть, 0 ≤ q < 1. Тогда
e
x
= e
E(x)
e
q
.
Первый множитель e
E(x)
, являющийся целой степенью числа e,
находят с помощью умножения, второй, т.е. e
q
, – с помощью раз-
ложения (34.5).
433
Остаток ряда оценивается следующим образом:
0
1
< <
+
R x
x
n n
n
n
( )
!
.
П р и м е р 34.1. Найти
е
с точностью до 10
–6
.
Р е ш е н и е. Так как члены разложения (34.5) имеют вид
u u
k
u
k
k
k
k
k
k
0 1
1
1
1
2 1
1
2
1 2= =
−
= =
−
−
, ...,
( )!
,
!
( , , ...., ), .n u
u
k
k
k
то =
−1
2
Имеем
е
1
2
0
1
2
= +
=
∑
u R
k n
k
n
.
Подсчитаем слагаемые с двумя запасными знаками:
u u
u
u
u
u
0 5
4
1
0
1
10
0 00026042
2
0 50000000
= = =
= =
, , ,
, ,
66
5
2
1
7
6
12
0 00002170
4
0 12500000
1
= =
= = =
u
u
u
u
u
, ,
, ,
44
0 00000155
6
0 02083333
16
0 0
3
2
8
7
=
= = = =
, ,
, , ,u
u
u
u
00000010
8
0 00260417 1 64872117
4
3
8
,
, , , .u
u
S= = =
Округляя сумму до шести десятичных знаков после запятой, по-
лучаем
е =1 648721, .
2. Перейдем к разложению логарифма и вычислению значений ло-
гарифмической функции. Логарифмическая функция f(x) = ln(1 + x)
разлагается на (–1, 1] в степенной ряд:
ln( ) ... ( ) ... .1
2 3 4
1
1
2 3 4 1
+ = − + − + + −
+
+
+
x x
x x x x
n
n
n
(34.11)
Непосредственное применение этого ряда затруднительно, в част-
ности, из-за его медленной сходимости. Заменим в (34.11) аргу-
мент x на –x:
ln( ) ... ... .1
2 3 4 1
2 3 4 1
− = − − − − − −
+
−
+
x x
x x x x
n
n
(34.12)
434
Вычтем (34.12) из (34.11):
ln ... ,
1
1
2
3 5
3 5
+
−
= + + +
x
x
x
x x
(34.13)
где |x | < 1.
Ряд (34.13) сходится довольно быстро – быстрее геометриче-
ской прогрессии со знаменателем q = x
2
. Кроме того, выражение
1
1
+
−
x
x
при указанных значениях x может принимать любые поло-
жительные значения. Поэтому формула (34.13) очень удобна для
вычисления логарифмов.
Так как члены ряда (34.13) меньше членов геометрической
прогрессии 2(x + x
3
+ x
5
+ ...), то остаток ряда оценивается сле-
дующим образом:
R x
x
n x
n
n
( )
( )( )
.<
+ −
+
2
2 1 1
2 1
2
(34.14)
П р и м е р 34.2. Вычислить ln8 с точностью до 10
–6
.
Р е ш е н и е. Из равенства
1
1
8
+
−
=
x
x
можем найти x = 0,777...,
но для ускорения сходимости ряда лучше представить
8
8
2
2
= е
е
.
Тогда
ln ln ln ln .8
8
2
8
2
2 2
= + = +е
е е
Полагая
1
1
8
2
+
−
=
x
x
е
,
находим
x =
−
+
=
8
8
0 03969989
2
2
е
е
, .
Из (34.14) следует, что при таком x оста-
ток приблизительно равен первому из отброшенных членов. Как
и в предыдущем примере, будем проводить вычисления с двумя
запасными знаками:
u x
u
x
u
x
1
2
3
3
2 0 07939978
2
3
0 00004171
2
= =
= ⋅ =
= ⋅
, ,
, ,
55
5
0 00000004= , .
Получаем ln8 = 2,079441.
(Аналогичным образом вычисляют значения функций sin x и
cos x, используя их разложения в ряд Маклорена.)
435
3. Рассмотрим вычисление значений «неберущихся» интегралов
c помощью рядов Маклорена. Известно, в частности, что перво-
образная от е
–х
2
не является элементарной функцией.
П р и м е р 34.3. Вычислить интеграл
е
−
∫
x
a
dx
2
0
.
Р е ш е н и е. Разложим подынтегральную функцию в ряд,
заменяя x в разложении показательной функции (34.5) на –x
2
:
е
−
= − + − + + − +
x n
n
x x x x
n
2
1
1 2 3
1
2 4 6 2
! ! !
... ( )
!
... .
Интегрируя обе части этого неравенства, получим
е
−
∫
= −
⋅
+
⋅
−
⋅
+
x
a
dx
x x x x
2
0
3 5 7
1 1 3 2 5 3 7! ! !
...
00
a
=
= −
⋅
+
⋅
−
⋅
+
a a a a
1 1 3 2 5 3 7
3 5 7
! ! !
... .
С помощью этого равенства можно при любом a вычислить
данный интеграл с любой степенью точности. В частности, для
вычисления интеграла
е
−
∫
x
dx
2
0
1
с точностью до 10
–4
достаточно
взять семь членов разложения. Получаем
е
−
∫
≈
x
dx
2
0
1
0 7468, .
Заметим, что здесь остаток ряда не превышает по модулю пер-
вого из отброшенных членов, так как ряд знакочередующийся.
вопросы
Что такое ряд Маклорена? Для какой функции его можно
определить?
Обязательно ли ряд Маклорена функции f(x) сходится к этой
функции?
1.
2.
436
В чем заключается критерий разложимости функции в ряд
Маклорена?
Что такое ряд Тейлора?
Что такое биномиальный ряд? Какова его область сходимости?
3.
4.
5.
437
список литературы
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по мате-
матическому анализу. – М.: Высшая школа, 2000.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры: Учебник. – М.: Высшая школа, 1998.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии: Учебник для вузов. – Ростов-
на-Дону: Феникс, 1997.
Высшая математика для экономистов: Учебник / Н.Ш. Кремер,
Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: Банки и биржи; ЮНИТИ,
2004.
Замков О.О., Черемных Ю.Н., Толстопятенко А.В. Математи-
ческие методы в экономике: Учебник. – М.: Дело и Сервис,
1999.
Красс М.С. Математика для экономических специальностей:
Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1999.
Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб. пособие. – М.:
ИНФРА-М, 2001.
Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник /
Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2003.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб.
пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.
Математика в экономике: Учебник: В 2 ч. – 2-е изд., перераб.
и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003.
Справочник по математике для экономистов / Под ред.
В.И. Ермакова. – М.: Высшая школа, 1997.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. – СПб.:
Лань, 2001.
Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и мо-
дели в управлении: Учеб. пособие. – М.: Дело, 2000.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
438
Anthony Martin, Biggs Norman. Mathematics for Economics and
Finance. Methods and Modeling: 2
nd
ed. – UK: Cambridge Uni-
versity Press, 1998.
Fuente de la Angel. Mathematics Methods and Models for Econo-
mics. – UK: Cambridge University Press, 2000.
14.
15.
439
Оглавление
ПредислОвие. 3
раздел.I..
ЭлеМенТЫ.линеЙнОЙ.алгеБрЫ
глава.1. векТОрЫ.и.деЙсТвия.с.ниМи..
линеЙнЫе.ПрОсТрансТва . 4
1.1. Линейныеоперациинадвекторами. . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.
Скалярноепроизведениевекторов. . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.
Линейнаязависимостьвекторов. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.
Базисирангсистемывекторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.
Разложениевекторапобазису. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.
Линейныенормированныепространства.
Евклидово
пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
глава.2. Ма
ТрицЫ.и.деЙсТвия.с.ниМи. 15
2.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.
Линейныеоперациинадматрицами.
Транспонированиематриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.
Умножениематриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.
Обратнаяматрица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
г
лава.3. О
ПределиТели . 26
3.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.
Свойстваопределителей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.
Минорыиалгебраическиедополнения. . . . . . . . . . 32
440
3.4. Применениеопределителей.................... 35
3.5. Рангматрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
г
лава.4. с
исТеМЫ.линеЙнЫх.уравнениЙ. 41
4.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.
Методырешениясистемлинейныхуравнений. . . 43
4.3.
Совместностьсистемлинейныхуравнений. . . . . . 53
4.4.
Однородныесистемылинейныхуравнений. . . . . . 56
4.5.
Неоднородныесистемы.Структураобщего
решения
системылинейныхнеоднородных
уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
глава.5. л
инеЙнЫе.ОПераТОрЫ. 61
5.1. Понятиелинейногооператора . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.
Действияслинейнымиоператорами. . . . . . . . . . . . 63
5.3.
Собственныевекторыисобственныезначения
линейногооператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
г
лава.6. к
вадраТичнЫе.фОрМЫ. 67
6.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2.
Каноническийвидквадратичнойформы. . . . . . . . 73
6.3.
Положительноиотрицательноопределенные
квадратичныеформы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
раздел.II..
ЭлеМенТЫ.аналиТическОЙ.геОМеТрии
глава.7. линии.на.ПлОскОсТи . 80
7.1. Основныепонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2.
Общееуравнениелиниипервогопорядка.
Прямая
наплоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
глава.8. в
ажнеЙшие.кривЫе..
вТОрОгО.ПОрядка. 92
8.1. Окружность.Эллипс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92