Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
11
Применим формулу бинома Ньютона:
1
1
1
1 1
1 2
1 1
2
+
= + +
−
⋅
+
−
n
n
n
n n
n
n n
n
( ) ( )(( )n
n
−
⋅ ⋅
+ +
2
1 2 3
1
3
…
+
− − − −
⋅ ⋅
n n n n n
n n
n
( )( ) [ ( )]
.
1 2 1
1 2 3
1
Преобразуем полученное выражение:
1
1
1 1
1
1 2
1 1
1 2 3
1
2
+
= + +
⋅
−
+
⋅ ⋅
−
n
n n
n
n n n
n
( ) ( )( −−
+ +
+
⋅ ⋅
− − − −
=
=
2
1
1 2 3
1 2 1
3
)
( )( ) [ ( )]
n
n
n n n n n
n
n
…
11 1
1
1 2
1
1 1
1 2 3
1
1
1
2
+ +
⋅
−
+
⋅ ⋅
−
−
n n n
+ +…
+
⋅ ⋅
−
−
−
−
1
1 2 3
1
1
1
2
1
1
n n n
n
n
.
()
Из последнего равенства следует, что
1
1
2+
≥
n
n
,
а также сле-
дует, что рассматриваемая последовательность возрастает с воз-
растанием n.
Действительно, при переходе от n к n + 1 каждое слагаемое по-
следней суммы (начиная с третьего) возрастает:
1
1 2
1
1 1
1 2
1
1
1⋅
−
<
⋅
−
+
n n
и т.д.
и добавляется еще один (положительный) член.
Итак, последовательность {a
n
} монотонно возрастает.
Докажем теперь, что {a
n
} ограничена. Очевидно,
1
1
1− <
n
,
1
1
1
2
1−
−
<
n n
и т.д. Поэтому из () получаем неравенство
1
1
1 1
1
1 2
1
1 2 3
1
1 2 3
+
< + +
⋅
+
⋅ ⋅
+ +
⋅ ⋅n n
n
…
.
Замечая, что
1
1 2 3
1
2
1
1 2 3 4
1
2
1
1 2 3
1
2 3
⋅ ⋅
<
⋅ ⋅ ⋅
<
⋅ ⋅
<, , ,…
n
22
1n−
,
12
получаем
1
1
1 1
1
2
1
2
1
2
2 1
+
< + + + + +
−
n
n
n
… .
Члены правой части, начиная со второго, образуют геометри-
ческую прогрессию:
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2 1
+ + + + =
−
−
= −
−
…
n
n
nn−
<
1
2.
Следовательно,
1
1
3+
<
n
n
.
Итак,
2 1
1
3≤ +
<
n
n
.
Мы доказали, что последовательность {a
n
}, где
a
n
n
n
= +
1
1
,
является возрастающей и ограниченной. Поэтому на основании
теоремы 14.4 она имеет предел.
О п р е д е л е н и е. Предел
lim
n
n
n
→∞
+
1
1
называется числом е:
lim
n
n
n
→∞
+
=1
1
e.
(14.9)
Предел (14.9) называется вторым замечательным пределом.
Число е – иррациональное число. Более того, оно является
числом трансцендентным, т.е. не является корнем никакого ал-
гебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Известно, что
e = 2,7182818284…
В большинстве случаев на практике полагают e ≈ 2,72.
Рассмотрим пример. Пусть первоначальный вклад в банк со-
ставил S
0
денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p%. Тогда
1
по истечении года сумма вклада составит
S
p
S S
p
0 0 0
100
1
100
+ = +
,
т.е. умножится на
1
100
+
p
.
Через два года она снова умножится
на
1
100
+
p
.
и составит
S
p
0
2
1
100
+
и т.д. Таким образом, при p%
годовых по истечении n лет сумма вклада будет равна
S S
p
n
n
= +
0
1
100
.
(14.10)
Это формула сложных процентов (см. пример 12.3).
Следует заметить, что проценты по вкладу могут начисляться
не обязательно раз в году, а, например, ежеквартально, ежемесяч-
но, каждый день. Формула (14.10) позволяет вычислить сумму
вклада S
n
по истечении n периодов при процентной ставке p% за
период (независимо от того, какова длина этих периодов).
Представим себе, что банк, находящийся в Москве, закончив
рабочий день, перечисляет (учитывая разницу во времени) некото-
рую сумму S
0
банку, находящемуся во Владивостоке, на 12 часов –
с 20 часов текущего дня до 8 часов следующего дня по московскому
времени. Владивостокский банк возвращает деньги к началу рабо-
ты московского банка, выплачивая 1% за пользование этим крат-
косрочным кредитом. Затем, на следующий день, московский банк
повторяет эту операцию, но уже с полученной суммой в 101% от S
0
и т.д. (Такой договор между банками вряд ли возможен, однако
ставка 1% в день в начале 1990-х годов была реальна.)
По истечении 300 дней московский банк получит сумму
S S S
300 0
300
0
100
1
1
100
1
1
100
= +
= +
≈ ≈ ⋅ ≈
3
0 0
3
0
2 7 19 68S S Se
3
, , ,
т.е. первоначальная сумма увеличится за год почти в 20 раз.
В общем случае пусть сумма S
0
помещена в банк на t лет под p%
годовых и проценты начисляются n раз в году. Тогда процентная
ставка за
1
n
часть года составит
p
n
%,
а размер вклада за t лет (при
nt начислениях) составит
S S
p
n
n
nt
= +
0
1
100
,
1
или, если обозначить
p
r
100
= :
S S
r
n
n
nt
= +
0
1 .
Преобразуем последнее выражение:
S S
r
n
n
n
r
rt
= +
0
1 .
Введем обозначение:
n
r
m= .
Пусть n → ∞. Тогда m → ∞. Полу-
чаем
S S S
m
S
n
n
m
m
rt
= = +
=
→∞ →∞
lim lim
0 0
1
1
ee
rt
.
Эта формула
S S S S
rt
p
t
= =
0 0
100
e e, или
,
называется формулой непрерывных процентов.
Рассмотрим теперь функцию
f x
x
x
( ) .= +
1
1
Здесь x изменяется непрерывно, принимая любые (а не только
натуральные) значения.
Т е о р е м а 14.5. П
редел функции
f x
x
x
( ) .= +
1
1
при x → ∞
существует и равен е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x → +∞ . Для каждого значения x
существует такое натуральное число n, что
n ≤ x ≤ n + 1.
Из этих неравенств получаем:
1 1 1
1n x n
≥ ≥
+
,
1
1
1
1
1
1
1
+ ≥ + ≥ +
+n x n
,
1
1
1
1
1
1
1
1
+
≥ +
≥ +
+
+
n x n
n x n
.
1
Очевидно, если x → +∞, то n → ∞. Найдем пределы перемен-
ных, между которыми заключена функция
1
1
+
x
x
:
lim lim
n
n
n
n
n n n
→∞
+
→∞
+
= +
+
1
1
1
1
1
1
1
= +
+
=
= ⋅
→∞ →∞
lim lim
n
n
n
n n
1
1
1
1
e
11 e;=
+
+
=
+
+
→∞ →∞
lim lim
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
nn
n
+
+
+
= = =
1
1
1
1
…
e
1
e.
Итак, обе переменные величины, между которыми заключена
функция
1
1
+
x
x
,
имеют один и тот же предел е. Следовательно,
по теореме 14.3
lim .
x
x
x
→+∞
+
=1
1
e
Для случая x → -∞ с помощью замены x = -y легко доказать,
что также
lim .
x
x
x
→−∞
+
=1
1
e
Итак,
lim .
x
x
x
→±∞
+
=1
1
e
(14.11)
Сделаем в (14.11) замену
1
x
= α.
Тогда x → ±∞ равносильно
a → 0. Получаем
lim( )
α
α
α
→
+ =
0
1
1 e.
(14.12)
Мы получили для числа е три формулы: (14.9), (14.11) и (14.12).
Число е – одна из фундаментальных величин в математике.
1
Показательная функция с основанием е (рис. 14.3)
y = e
x
(и вообще функция вида y = e
ax
) играет важную роль в математике
и ее приложениях. Она применяется в статистике, физике, химии,
в исследовании демографических процессов и т.п. Эту функцию
(и ее график) называют экспонентой.
x
y
0
1
y
x
= e
рис. 1.. Экспонента
Логарифм с основанием е называется натуральным логарифмом
и обозначается символом ln: log
e
x = ln x.
вопросы
Что такое общий член последовательности?
Могут ли в числовой последовательности различным номерам
соответствовать одинаковые числа?
Пусть все члены монотонной последовательности умножили
на -1. Будет ли полученная последовательность монотонной?
Пусть число 4 является пределом числовой последовательно-
сти. Можно ли утверждать, что вне интервала (3, 5) содержит-
ся лишь конечное число членов последовательности?
Имеет ли предел последовательность 1, 0, 1, 0, 1, 0, …?
Пусть число 5 является пределом числовой последовательно-
сти. Может ли эта последовательность иметь отрицательные
члены?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Может ли число –1 быть пределом числовой последователь-
ности, все члены которой положительны?
Может ли последовательность иметь два различных предела?
Пусть для всех x выполняется неравенство f(x) ≥ 5,001. Может
ли в этом случае быть
lim ( ) ?
x
f x
→
=
1
5
Что такое число е?
Какая функция называется экспонентой? Какая кривая назы-
вается экспонентой?
7.
8.
9.
10.
11.
1
Глава 1
НеПрерЫвНосТь фуНкции
1.1. осНовНЫе ПоНяТия
Понятие непрерывности функции является одним из основ-
ных понятий математического анализа.
О п р е д е л е н и е 1. Ф
ункция f(x) называется непрерывной в
точке x
0
, если выполняются следующие три условия: 1) f(x) опре-
делена в точке x
0
; 2) существует конечный предел f(x) при x → x
0
;
3) этот предел равен значению функции в точке x
0
, т.е.
lim ( ) ( ).
x x
f x f x
→
=
0
0
(15.1)
Заметим, что равенство (15.1) и условие непрерывности f(x) в
точке x
0
можно записать в виде
lim ( ) lim .
x x x x
f x f x
→ →
=
0 0
С геометрической точки зрения непрерывная функция – это
функция, график которой есть непрерывная кривая.
Существует несколько эквивалентных определений непрерыв-
ности.
Обозначим разность x - x
0
через Dx. Будем говорить, что при
переходе от значения x
0
к значению x аргумент получает прираще-
ние Dx = x - x
0
. При этом функция y = f(x) получает соответству-
ющее приращение Dy = f(x
0
+ Dx) - f(x
0
). С учетом сказанного ра-
венство (15.1) равносильно равенству
lim .
∆
∆
x
y
→
=
0
0
О п р е д е л е н и е 2. Функция y = f(x) называется непрерывной
в точке x
0
, если она определена в этой точке и некоторой ее окрест-
ности и выполняется равенство
lim .
∆
∆
x
y
→
=
0
0
(15.2)
1
(Это определение легко запоминается в следующей форме:
функция непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумен-
та соответствует бесконечно малое приращение функции.)
П р и м е р 15.1. Покажем,
что функция y = sin x непрерывна
в произвольной точке x. Придадим аргументу приращение Dx.
Тогда функция получит приращение
∆ ∆
∆ ∆
y x x x
x x x x x x
= + − =
+ + + −
sin( ) sin cos
( )
sin
( )
2
2 2
==
= +
2
2 2
cos sin .x
x x∆ ∆
Если Dx → 0, то
sin
∆x
2
0→
(так как
sin
∆ ∆x x
2 2
<
); при этом
cos x
x
+
∆
2
ограничена. Поэтому
lim lim cos sin .
∆ ∆
∆
∆ ∆
x x
y x
x x
→ →
= +
=
0 0
2
2 2
0
Следовательно, функция y = sin x непрерывна.
Аналогично можно доказать, что любая основная элементарная
функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Справедливы следующие у т в е р ж д е н и я:
1. Если
функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x
0
, то их сумма
ϕ(x) = f(x) + g(x) также непрерывна в этой точке.
2. П
роизведение двух непрерывных функций есть непрерыв-
ная функция.
3. Ч
астное двух непрерывных функций есть функция непре-
рывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращает-
ся в нуль (т.е. если f(x) и g(x) непрерывны в точке x
0
и g(x
0
) ≠ 0, то
ϕ( )
( )
( )
x
f x
g x
=
непрерывна в точке x
0
).
4. Если u = ϕ(x) непрерывна при x = x
0
и f(u) непрерывна в точ-
ке u
0
= ϕ(x
0
), то сложная функция y = f(ϕ(x)) непрерывна в точке x
0
.
Доказательства этих утверждений просты и основаны на свой-
ствах пределов.
10
Д о к а ж е м, например, утверждение 2. Пусть f(x) и g(x) непре-
рывны в точке x
0
:
lim ( ) ( ),
x x
f x f x
→
=
0
0
lim ( ) ( ),
x x
g x g x
→
=
0
0
и пусть ϕ(x) =
= f(x)g(x). Так как предел произведения равен произведению пре-
делов, то
lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) (
x x x x x x
x f x g x f x g x
→ → →
= =
0 0 0
0
ϕ
00 0
) ( ).= ϕ x
Итак,
lim ( ) ( ),
x x
x x
→
=
0
0
ϕ ϕ
т.е. ϕ(x) непрерывна в точке x
0
.
Т е о р е м а 15.1. Всякая
элементарная функция непрерывна
в каждой точке, в которой она определена.
Доказательство следует из утверждений 1–4, сформулирован-
ных выше
.
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x
0
, то точ-
ка x
0
называется точкой разрыва функции f(x). Различают точки
разрыва первого рода, когда существуют конечные пределы
lim ( )
x x
f x
→ −
0
и
lim ( )
x x
f x
→ +
0
, и точки разрыва второго рода, когда хотя бы
один из этих односторонних пределов бесконечен или не сущест-
вует. Среди точек разрыва первого рода следует отметить также
точки устранимого разрыва, когда предел функции f(x) при x → x
0
существует, но или он не равен f(x
0
), или функция не определена
при x = x
0
.
П р и м е р 15.2.
1.
f x
x
( ) .= arctg
1
Здесь x
0
= 0 – точка разрыва первого рода,
так как
lim arctg
x
x
→ −
= −
0
1
2
π
,
lim arctg
x
x
→ +
=
0
1
2
π
.
2.
f x
x
( ) .=
1
Здесь x
0
= 0 – точка разрыва второго рода, по-
скольку
lim ,
x
x
→ +
= +∞
0
1
lim .
x
x
→ −
= −∞
0
1
3.
f x
x
x
x
x
( )
sin
, ,
, .
=
≠
=
0
0 0
Здесь x
0
= 0 – точка устранимого разры-
ва, так как существует
lim
sin
.
x
x
x
→
=
0
1
Этот разрыв можно устранить,
если изменить значение функции в точке x = 0, положив f(0) = 1.
С учетом того, что основные элементарные функции непрерывны.