Кочетков П.А. Пособие по математике для поступающих на дистанционное обучение в МГИУ
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
П.А. Кочетков
ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА
ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ В МГИУ
Москва 2004
УДК 517
К75
Кочетков П.А. Пособие по математике для поступающих
на дистанционное обучение в МГИУ: Учебное пособие. – М.,
МГИУ, 2004. – 54 с.
ISBN
Данное пособие предназначено для абитуриентов, посту-
пающих в Институт дистанционного обучения на экономические
и технические специальности.
Рассмотренные примеры и задачи достаточно полно отра-
жают требования, предъявляемые абитуриентам на вступитель-
ных экзаменах в ИДО.
Пособие будет полезно лицам со средним, средним специ-
альным и высшим образованием, имеющим большой перерыв в
обучении и желающим повторить основные разделы математики.
Подписано к печати 03.04.2004
Формат бум. 60х90/16 Бумага множ.
Усл. печ. л. 3,5 Уч.-изд. л. 3,75 Тем. план 2004г.
Тираж 500 Заказ №
РИЦ МГИУ, 109280, Москва, Автозаводская, 16.
ISBN © Кочетков П.А., 2001
© МГИУ, 2001
© ИДО, 2001
© ИДО, 2004
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ...............................4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ..........4
1.1. Основные формулы и определения...............................4
1.2. Решение стандартных задач ..........................................7
1.3. Задачи для самостоятельного решения.......................12
1.4. Задачи повышенной сложности ..................................13
2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА.......................................................................14
2.1. Основные формулы и определения.............................14
2.2. Решение стандартных задач ........................................15
2.3. Задачи для самостоятельного решения.......................21
2.4. Задачи повышенной сложности. .................................22
3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ...................23
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ...............................23
3.1. Основные формулы и определения.............................23
3.2. Решение стандартных задач ........................................27
3.3. Задачи для самостоятельного решения.......................29
3.4. Задачи повышенной сложности ..................................30
4. ПРОГРЕССИИ..............................................................................31
4.1. Основные формулы ......................................................31
4.2. Решение стандартных задач ........................................31
4.3. Задачи для самостоятельного решения.......................33
5. ПЛАНИМЕТРИЯ..........................................................................35
5.1. Основные формулы и определения.............................35
5.2. Решение стандартных задач ........................................37
5.3. Задачи для самостоятельного решения.......................41
6. СТЕРЕОМЕТРИЯ.........................................................................43
6.1. Основные формулы и определения.............................43
6.2. Решение стандартных задач ........................................45
6.3. Задачи для самостоятельного решения.......................47
7. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ...............................................................49
7.1. Решение стандартных задач ........................................49
7.2. Задачи для самостоятельного решения.......................51
8. ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ...................52
4
1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
1.1. Основные формулы и определения
Квадратное уравнение:
.0,0
2
≠=++ acbxax
acbD 4
2
−= – дискриминант квадратного уравнения.
1) Если D > 0, то уравнение имеет два различных действи-
тельных корня:
a
Db
x
2
1
−−
=
;
a
Db
x
2
2
+−
=
. В этом случае квад-
ратный трехчлен
).)((
21
2
xxxxacbxax −−=++
2) Если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых действи-
тельных корень:
a
b
хx
2
21
−==
. В этом случае квадратный трех-
член
.)(
2
1
2
xxacbxax −=++
3) 1) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных
корней.
Теорема Виета. Если х
1
, х
2
– корни приведенного квадратно-
го уравнения
0
2
=++ qpxx , то pxx
−
=
+
21
, а qxx =
⋅
21
.
Геометрическая трактовка квадратного трехчлена
cbxaxy ++=
2
– парабола на плоскости Охy. При a > 0 – ветви
параболы направлены вверх, при a < 0 – ветви параболы направ-
лены вниз. Корни х
1
, х
2
квадратного уравнения – точки пересече-
ния параболы с осью Ох.
5
а > 0, D > 0.
Парабола пересекает ось Ох
в двух точках.
а > 0, D = 0.
Парабола касается ось Ох.
а < 0, D > 0.
Парабола пересекает ось Ох
в двух точках.
а > 0, D = 0.
Парабола касается оси Ох.
а > 0, D < 0.
Парабола лежит выше оси Ох.
а < 0, D < 0.
Парабола лежит ниже оси Ох.
6
Основные алгебраические формулы:
1)
))((
22
bababa +−=− – разность квадратов;
2)
222
2)( bababa ++=+ – квадрат суммы;
3)
222
2)( bababa +−=− – квадрат разности;
4)
32233
33)( babbaaba +++=+ – куб суммы;
5)
32233
33)( babbaaba −+−=− – куб разности;
6)
))((
2233
babababa +−+=+ – сумма кубов;
7)
))((
2233
babababa ++−=− – разность кубов.
Абсолютная величина (модуль х) x :
≥
<−
=
0если,
,0если,
xx
xx
x
Тогда:
≥−−
<
−
+−
=−
.0если,
,0если,
axax
axax
ax
Степенная функция
n
xy = (n – число)
n – четное
n – нечетное
Свойства степенных функций:
1)
mnmn
xxx
+
=⋅
2)
knkn
xx
⋅
=)(
7
1.2. Решение стандартных задач
1) Решить неравенство:
.032
2
>
−
−
xx
Решение:
Вначале решаем квадратное уравнение:
.032
2
=
−
− xx
Получаем:
21
2
42
2
4)3(42
12
±=
±
=
⋅−−±
=x
Тогда: х
1
= 3, х
2
= –1.
Используем метод интервалов:
Следовательно, решением неравенства будут интервалы:
x < –1, x > 3.
Ответ: x < –1, x > 3.
2) Решить уравнение:
.
3
1
13
1
+
=
−
xx
Решение:
Преобразование:
0
)3)(13(
)13(3
3
1
13
1
=
+−
−
−
+
=
+
−
− xx
xx
xx
Тогда:
0
)3)(13(
24
=
+−
−
xx
x
в результате получаем: 4 – 2х = 0.
В итоге: х = 2.
Ответ: х = 2.
8
3) Решить неравенство:
.4
1
6
≥
+
x
Решение:
Преобразование:
.0
1
42
1
446
4
1
6
≥
+
−
=
+
−
−
=−
+
x
x
x
x
x
меняем знак в числителе и знак неравенства:
0
1
24
≤
+
−
x
x
.
В результате получаем систему уравнений:
()
−≠
≤+
−
1
01
2
1
4
x
xx
Используем метод интервалов:
В результате получаем
−≠
≤≤−
1
2
1
1
x
x
Ответ:
2
1
1 ≤<− x
.
4) Решить неравенство:
xx 2
1
1
1
≥
+
Решение:
Преобразуем:
0
)1(2
1
)1(2
)1(2
2
1
1
1
≥
+
−
=
+
+
−
=−
+ xx
x
xx
xx
xx
9
В результате получаем систему уравнений и неравенств:
−≠
≠
≥
−
+
1
,0
,0)1)(1(
x
x
xxx
Воспользуемся методом интервалов:
Тогда получаем решение:
.1,01 ≥
<
<
−
x
x
Ответ:
.1,01 ≥<<
−
x
x
5) Решить уравнение:
.512 xx
=
−
Решение:
1-ый случай: х < 12.
Тогда получаем: – х + 12 = 5х, 6х = 12.
Решаем систему:
<
=
12
126
x
x
Ответ: х = 2.
2-ой случай: х
≥
12.
Тогда: х – 12 = 5х, 4х = – 12
Решаем систему:
≥
−
=
12
124
x
x
Система не имеет решений.
Ответ: х = 2.
6) Решить уравнение:
.1
1
2
=
−x
Решение:
1-ый случай: х < 1.
Тогда:
.1
1
2
=
+
−
x
10
Решаем уравнение:
0
1
1
1
12
1
1
2
=
+
−
+
=
+−
−+
==
+− x
x
x
x
x
Решаем систему:
=+
<
01
1
x
x
Решение: х
1
= –1.
2-ой случай: х
≥
1.
Тогда:
.1
1
2
=
−x
Решаем уравнение:
0
1
3
1
12
1
1
2
=
−
−
=
−
+−
=−
−
x
x
x
x
x
Решаем систему:
=−
>
03
1
x
x
Решение: х
2
= 3.
Ответ: х
1
= –1, х
2
= 3.
7) Решить неравенство:
.22 xx >
−
Решение:
1-ый случай: х < 2.
Получаем: – х + 2 > 2x, 2 > 3x.
Тогда получаем систему:
>
<
x
x
32
,2
Решение системы:
3
2
<x .