Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)

Подождите немного. Документ загружается.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

311

Взагалі алгебру можна визначити як непорожню

множину об’єктів із визначеними на них операціями.

Стосовно нашої ситуації такими об’єктами є пропози-

ційні змінні, а операціями – пропозиційні зв’язки

Характерною особливістю S

є те, що Sin ML має

лише один вид правил, а саме правила утворення. Це

обумовлює те, що в S

формули розглядаються в статично-

му варіанті, де не досліджується перехід від одних формул

до інших, тобто не досліджується процес доведення. А от-

же, завдання, які розв’язуються засобами S

, такі:

1) типологія ППФ на синтаксичному рівні;

2) типологія ППФ на семантичному рівні;

3) систематичний огляд логічних законів;

4) визначення відношення логічного слідування;

5) систематичний аналіз логічних відношень.

Після цих зауважень перейдемо до побудови мови сис-

теми S

. Перш за все потрібно описати (задати) алфавіт.

Алфавіт – це сукупність вихідних символів даної

формалізованої мови. Алфавіт S

складається із:

а) нелогічних символів;

б) логічних символів;

в) технічних символів.

Розглянемо послідовно кожну складову частину алфаві-

ту мови логіки висловлювань.

Нелогічні символи

Нелогічними символами є множина пропозиційних

змінних: p, q, r, s, p

, q

, r

, s

...

Пропозиційні змінні використовуються для позначення

простих висловлюваннь природної мови. Іншими словами,

пропозиційні змінні – p, q, r, s тощо використовуються як

замінники простих висловлювань при виявленні логічних

форм контекстів природної мови.

Наприклад, пропозиційна змінна р може позначати мно-

жину конкретних простих висловлювань типу: «Місяць –

природний супутник», «Всі планети – космічні об’єкти»,

«7 є простим числом», «Книга є джерелом інформації» тощо.

Тобто, тут йдеться про словесну, вербальну подібність S

з алгеброю як від-

повідним розділом математичної науки.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

312

Логічні символи

Логічними символами в системі S

є істинністно-

пропозиційні зв’язки:

 – заперечення;

& – кон’юнкція;

∨ – слабка диз’юнкція;

∨ – сильна диз’юнкція;

∾

—

еквіваленція.

Технічні символи

До технічних символів у системі S

відносяться:

– ліва та права дужка ( ; ) і

– кома ( , ).

Переліком вихідних символів завершується побудова

алфавіту системи S

Наступним етапом у побудові S

є задання дефініції

ППФ.

Дефініція ППФ належить до індуктивних визначень:

1. Будь-яка пропозиційна змінна є формулою.

2. Якщо А – формула, то А (читається: «не А» або

«неправильно, що А») – також формула.

3. Якщо А і В – довільні формули, то А & В (читається:

«А і В»), А ∨ В (читається: «А або В»), А ⊃ В (читається:

«якщо А, то В»), А∾В (читається: «А тоді і тільки тоді,

коли В»), А ∨ В (читається: «або А, або В») – теж фор-

мули.

4. Ніякі інші вирази, окрім вказаних у пунктах 1,2,3,

не є формулами класичної логіки висловлювань.

Зауважимо, що латинські літери А і В, які вживаються

у дефініції формули, належать не до OL, а до ML в S

. Ін-

шими словами, вони належать тій мові, на якій ми гово-

римо про вирази OL в системі S

, і слугують для позначен-

ня довільних формул із OL. На відміну від букв p, q,r, s...,

які є пропозиційними змінними, вони називаються мета-

змінними, або метабуквами.

Отже, вирази, які мають метабукви: А, А & В, А ∨ В,

А ⊃ В, А∾В, А ∨ В – не формули, а схеми формул пев-

ного виду.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

313

Наприклад, вираз А ∧ В може представляти нескінчен-

ну множину формул OL в S

, які мають вигляд: (p ∧ q),

(p ⊃ q) ∧



[(p ∾ q) ∨ s] ∧ (



p ∨



q) тощо,

а вираз В ⊃ В буде схемою для формул (p ⊃ p),

[(p∾r) ∧



r] ⊃ [(p∾r) ∧



r],

[(p ⊃ q) ∨ s] ⊃ [(p ⊃ q) ∨ s] тощо.

Надалі будемо вживати вираз «формула A & B», розу-

міючи, що за цим виразом стоїть будь-яка формула OL

відповідного виду, а не запис A & B, який є схемою фор-

мул.

Дефініція формули в S

дозволяє визначити, чи є будь-

яка послідовность знаків алфавіту формулою, чи ні.

Наприклад, послідовність знаків ((p ⊃ q) ∨ r) ∾ (p ⊃ q)

є формулою, тому що вона побудована у відповідності до

пунктів 1–3 дефініції формули. Так, пропозиційні змінні

є формулами згідно пункту 1, вираз r є формулою згідно

пункту 2. Якщо в якості А взяти вираз

)

((

rqp ∨⊃ , а в

якості В – вираз

)

(

qp ⊃ то весь вираз є формулою згідно

пункту 3.

Якщо ж ми візьмемо послідовності знаків: p ∨); p ⊃ r (;

p ⊃ q (



r; тощо, то вони не будуть формулами у S

відпо-

відно до дефініції формули цієї системи.

За синтаксичними ознаками формули в S

поділя-

ються на:

– елементарні (атомарні) і

– складні (молекулярні).

Елементарною або атомарною формулою називаєть-

ся така формула пропозиційної логіки, яка не має само-

стійних частин. Тобто, це формули, які відповідають

пункту 1 наведеної дефініції: p, q, r, s... .

Складними або молекулярними називаються форму-

ли, які складаються з двох або більше елементарних

формул, з’єднаних логічними зв’язками. Наприклад: p &

q, (p ⊃ q) ∨ r, (

qp ∨ )∾ (r ∧ s) тощо. Іншими словами, скла-

дними формулами в S

є вирази, які відповідають пунктам

2 і 3 дефініції формули.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

314

Будь-яка частина формули є підформулою. Візьмемо

для прикладу формулу: ((p∾r) ⊃ q) ∨ (r & s). Підформу-

лами цієї формули будуть:

1) пропозиційні змінні p, q, r, s;

2) формули – r, (p ∾r), (p ∾r) ⊃ q, r & s,

3) вся формула – ((p∾r) ⊃ q) ∨ (r & s).

Підформули А і В у формулі A & B називаються

кон’юнктами, або кон’юнктивними членами, в формулі

А ∨ В – диз’юнктами, або диз’юнктивними членами, а

в формулі А ⊃ В підформула А називається антецеден-

том, а підформула В – консеквентом.

Степенем формули в S

називається кількість логіч-

них термінів, що входять до складу формули.

Наприклад, формула: ((p ⊃ q) & r)∾ s є формулою 4-го

степеня. А формула (p ∨ q) & r має 3-ій степінь, оскіль-

ки тут наявні три пропозиційні зв’язки: , ∨, &.

Головним логічним знаком в S

називається логічний

термін, який застосовується останнім при побудові

формули.

У формулі

p головним логічним знаком є заперечення

(позначається символом , або ∼, або -). У формулі (p∾ (q ⊃

⊃ p)) головним логічним знаком буде еквіваленція (∾), в

формулі ((p ⊃ r) & q) – кон’юнкція (&), у формулі

()()

qprp ∨⊃& – заперечення (-) тощо.

Для компактності запису формул необхідно прийняти

угоду про опускання дужок. Якщо першим знаком форму-

ли є ліва дужка, а останнім – права дужка, то цю пару

опускають.

Наприклад, маємо формулу ((p ⊃ q) ∨

r ). Відповідно до

даної умови її можна записати (p ⊃ q) ∨

r .

Розташування дужок у формулі має принципове зна-

чення. Застосування лівої та правої дужок дає можливість

визначити область дії кожної пропозиційної зв’язки.

Наприклад, область дії зв’язки «⊃» у формулі А ⊃ (В ∨

∨

A ) є між А і В ∨



С, а у формулі (А ⊃ В) ∨

– між А і В.

При розташуванні дужок необхідно враховувати степінь

сили пропозиційної зв’язки. За степенем зростання сили

пропозиційної зв’язки вони розподіляються в такій послі-

довності: ∾, ⊃, ∨, &

. Отже, самою сильною пропозицій-

ною зв’язкою є заперечення .

Виходячи з цього, спочатку виконується дія, яка вказа-

на більш сильною зв’язкою.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

315

Наприклад, у формулі А ∾ В & С ⊃ В за допомогою ду-

жок вказується порядок виконання дій: А∾ ((В & С) ⊃ В).

Цей запис показує, що першу дію здійснюють над &, другу –

над ⊃, і третю – над ∾.

А якщо потрібен інший порядок дій, тоді змінюють роз-

ташування дужок. Візьмемо ту ж саму формулу, але змі-

нимо порядок дій:

((А ∾ В) & С) ⊃ В.

У цьому випадку першу дію необхідно виконати над ∾,

другу над – &, і третю над – ⊃.

Якщо у формулі наявні лише декілька імплікацій, то

приймається групування дужок зліва : А ⊃ В ⊃ С є (А ⊃ В) ⊃

⊃ С.

Для виконання групування дужок справа застосовується

крапка:

А ⊃.В ⊃ С. є А ⊃ (В ⊃ С).

Прийняттям цих угод завершується побудова словника

у системі S

. Після цього розглянемо, як можна виразити

логічну форму висловлювань природної мови засобами сло-

вника системи S

Для прикладу візьмемо конкретне висловлювання:

«Якщо студент здібний, але не старанний, то він може

мати посередні результати на сесії або високі».

Щоб виявити логічну форму конкретного висловлю-

вання засобами словника системи S

, необхідно здійс-

нити такі дії:

1) виписати всі прості висловлювання, що входять до

складу складного;

2) кожному простому висловлюванню поставити у

відповідність конкретну пропозиційну змінну;

3) виділити логічні терміни, що входять до складу

складного висловлювання;

4) встановити порядок і спосіб поєднання простих

висловлювань у складне за допомогою логічних сполуч-

ників.

Прокоментуємо кожну дію окремо.

І. Наведене вище складне висловлювання складається із

чотирьох простих висловлювань:

1. «Студент – здібний».

2. «Студент – старанний».

3. «Студент має посередні результати на сесії».

4. «Студент має високі результати на сесії».

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

316

II. Кожному виділеному простому висловлюванню ста-

вимо у відповідність окрему пропозиційну змінну:

першому – р,

другому – q,

третьому – r,

четвертому – s.

III. Виділяємо логічні терміни, що поєднують ці прості

висловлювання у складі складного висловлювання:

виразу «але» відповідає – «&»;

виразу «не» – «  »;

виразу «або» – « ∨ »;

виразу «якщо, то» – « ⊃ ».

ІV. Необхідно виділити головний логічний сполучник.

Тільки після цього можна встановити порядок поєднання

простих висловлювань у складне.

Стосовно нашого прикладу головним логічним сполуч-

ником є « ⊃ ». Тому логічною формою цього складного ви-

словлювання буде імплікативна формула.

Антецедентом буде кон’юнктивна формула, де кон’ю-

нктами будуть р і заперечення q, а консеквентом –

диз’юнктивна формула з диз’юнктами r i s. Записується це

так: (p &



q) i (r ∨ s).

У цілому логічною формою даного висловлювання буде

формула:

(p &q) ⊃ (r ∨ s).

Таким способом можна записати логічну форму будь-

якого складного висловлювання природної мови.

У літературі іноді зустрічається мова S

, де не викорис-

товуються дужки. Йдеться про бездужкову логічну мову

запропоновану Яном Лукасевичем. Розглянемо послідовно

складові словника цієї мови.

Алфавіт

 множина нелогічних символів: p, q, r, s, p

, q

, r

, s

,...

 логічні терміни:

N (заперечення), К (кон’юнкція), А (диз’юнкція), С (ім-

плікація), Е (еквіваленція), І (сувора диз’юнкція).

Дефініція формули:

1) пропозиційна змінна є формулою;

2) якщо α формула, то Nα також формула;

3) якщо α і β формули

, то Кαβ, Аαβ, Сαβ, Еαβ і Іαβ –

також формули;

4) ніщо, окрім перерахованих у пунктах 1-3, не є фо-

рмулами.

У мові Я.Лукасевича α і β – метазмінні.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

317

Якщо ми маємо формулу (( p ∾ q) ⊃ (p ∨ (r & s ))), то

засобами даної мови її можна записати – CNEpqApKrNs.

Цей запис був застосований Я.Лукасевичем при дослі-

дженні арістотелівської силогістики.

Отже, ми розглянули синтаксис метамови S

(Sin ML).

Тепер проаналізуємо семантику метамови в S

(Sem ML).

2. Семантика логічних символів

При характеристиці структуру системи S

, зазначалося,

що семантика метамови S

представлена правилами ін-

терпретації. Термін «інтерпретація» походить від ла-

тинського слова interpretatio, що у перекладі означає

роз’яснення, тлумачення.

У логіці під інтерпретацією розуміють приписуван-

ня деякого змістовного смислу, значення символам і

формулам формальної системи.

Завдяки цьому формальна система перетворюється в мо-

ву, що описує відповідну предметну область. Сама ця

предметна область і види значень, що приписуються сим-

волам і формулам, також називається інтерпретацією.

За допомогою правил утворення (ПУ) ми здійснили син-

таксичну побудову формальної системи, яка є своєрідною

грою з символами, коли можна комбінувати символи

відповідно до правил, з’єднувати їх, роз’єднувати тощо.

Для того, щоб система набула смислу, стала мовою, описом

певних об’єктів, властивостей і відношень між ними, необ-

хідно надати їй інтерпретацію.

До правил інтерпретації Sem ML в S

відносяться

два правила:

1) правило інтерпретації пропозиційних змінних;

2) правила інтерпретації пропозиційних зв’язок.

Правило інтерпретації пропозиційних змінних поля-

гає в тому, що кожна пропозиційна змінна може мати

одне із двох значень: або «істину» («і»), або «хибу» («х»),

але не те і інше одночасно. Фактично правило інтерпре-

тації пропозиційних змінних є функцією приписування

окремій пропозиційній змінній одного з двох логічних

об’єктів: «істина» або «хиба».

Правилами інтерпретації пропозиційних зв’язок є

таблиці істинності.

Таблиця істинності – це такий вид таблиць, за до-

помогою якого встановлюється істинністне значення

складного висловлювання при даних значеннях простих

висловлювань, що входять до його складу.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

318

Таблиці істинності є визначенням пропозиційних зв’я-

зок і мають такий вигляд:

p

р & q р ∨ q р ⊃ q

р ∾ q

р ∨ q

іхііііііх

хіі х х і х х і

хі х і і х і

хх х х і і х

Після того, як ми визначили табличним методом зна-

чення логічних сполучників, можна встановлювати зна-

чення будь-якого складного висловлювання.

Проілюструємо це на прикладах.

Маємо формулу: (p ∧ q) ⊃

Відомо, що антецедент цієї формули (p ∧ q) відповідає

значенню «і», а консеквент – q – «х».

Відповідно до таблиці істинності для імплікації уся

формула матиме значення – «х».

Щоб побудувати таблицю істинності для довільної

формули, необхідно виконати такі дії:

1) скласти без повторів список пропозиційних змін-

них, що входять до складу формули;

2) кожна пропозиційна змінна розпочинає новий сто-

впчик таблиці;

3) для кожної підформули у тій послідовності, в якій

вони входять до складу формули, будується відповідний

стовпчик таблиці;

4) кількість рядків у таблиці істинності обчислю-

ється за формулою 2

(де 2 означає кількість логічних

значень, які приписуються пропозиційним змінним «іс-

тину» або «хибу», а n – кількість пропозиційних змін-

них, що входять до складу формули). Кожен набір зна-

чень повинен відрізнятися від інших;

5) визначається головний логічний сполучник у фор-

мулі;

6) останній стовпчик таблиці істинності будується

для головного логічного сполучника, який відповідає

значенню всієї формули.

Побудуємо таблицю істинності для формули:

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

319

((((p ∧ q) ⊃



r) ∨ s) ∨ q) ∾ s

pqr s

rp∧q (p∧q)⊃r ((p∧q)⊃r)∨ s

(((p∧q)⊃r)∨

∨ s)∨q

((((

∧

)⊃



r)∨

∨ s)∨ q)∾

ііііх і х і х х

іііхх і х х і х

ііхіі і і і х х

ііххі і і і х і

іхі іх х і і і і

іхіхх х і і і х

іххі і х і і і і

іхххі х і і і х

хіі іх х і і х х

хііхх х і і х і

хіхіі х і і х х

хіххі х і і х і

хх і іх х і і і і

хх і хх х і і і х

ххх і і х і і і і

хххх і х і і і х

Із цієї таблиці очевидно, що дана формула істинна для

семи наборів логічних значень пропозиційних змінних і

хибна для решти. Таким способом можна обчислити логіч-

не значення для формули будь-якої складності.

3. Типологія формул за семантичними ознаками

За синтаксичними ознаками всю множину правильно

побудованих формул (ППФ) в S

поділяють на прості

(атомарні) і складні (молекулярні).

За семантичними ознаками ППФ в S

поділяють на:

 тотожно-істинні (або тавтології, або логічні тотож-

ності, або логічні закони, або загальнозначущі формули);

 тотожно-хибні (або протиріччя, або не загально-

значущі формули);

 виконувані формули.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

320

Тотожно-істинною формулою називається така фор-

мула, яка при будь-яких наборах значень пропозиційних

змінних набуває значення «і» («істина»). Іншими словами,

це такі формули, які істинні в силу своєї логічної структури.

Наприклад, формули p ⊃ (q ⊃ p), (p ⊃ p), ((p ∧ q) ⊃ r) ⊃

((p ∧

r ) ⊃ q ) тощо. Якщо побудувати таблиці істинності

для цих формул, то можна переконатися, що вони істинні

при будь-яких наборах значень пропозиційних змінних.

Для прикладу візьмемо формулу p ⊃ (q ⊃ p):

q ⊃ pp ⊃ (q ⊃ p)

іі іі

іх і і

хі хі

хх і і

Тотожно-істинні або загальнозначимі формули (за

термінологією Л.Вітгенштейна – тавтології) назива-

ють в сучасній логіці логічними законами.

З логічними законами ми вже зустрічалися у традицій-

ній логіці. Але якщо основні формально-логічні закони

мають нормативний, методологічний характер, тобто вони

регламентують процес міркування, забезпечуючи послідов-

ність, несуперечливість, обгрунтованість наших думок, то

закони сучасної логіки (тобто, тотожно-істинні формули)

– це регламентуючі параметри при побудові логічних

конструкцій. Досить виразно про це сказав творець сучас-

ної логіки Л.Вітгенштейн: «... із тавтології «дощ або йде,

або не йде» (А ∨

A ), ми нічого не можемо дізнатися про

погоду. Речення логіки не вважаються образами дійсності,

що зображують можливі стани речей. Вони просто фор-

мули, що вказують на припустимі в мові перетворення.

Вони – частина символізму, подібно до того як «0» є ча-

стина символізму арифметики»

Отже, закони логіки – це такі формули, які є істинними

завдяки своїй логічній формі, а логічну форму виражають ті

пропозиційні зв’зки, що входять до складу формули.

Тотожно-хибною формулою називається формула,

яка хибна при будь-яких наборах значень пропозиційних

змінних.

Наприклад:

() ()

qpppqppp ∨⊃⊃∧ &,, тощо.

Л. Витгенштейн. Логико-философський трактат. – М., 1958. – С. 13, 4, 461.