Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Математика: Практикум по аналитической геометрии и алгебре

Подождите немного. Документ загружается.

ходимо получить общее решение, которое для линейных дифференциальных

уравнений равно линейной комбинации частных решений. Пусть

riri

eQBA

, (7)

где

Q - неопределенные коэффициенты, которые могут быть найдены из

начальных условий.

Пример. Рассмотрим химическую реакцию, протекающую по схеме:

т.е. две последовательно-обратимые реакции первого порядка.

Пользуясь изложенным выше методом решения, выпишем сначала

уравнение (6), которое в данном случае имеет следующий вид:

3223

32232112

2112

--+-

kkkk

(8)

Раскрывая определитель, получим:

(

)

(

)

32123221231232232112

=++-++++ kkkkkkkkkk

lll

Это алгебраическое уравнение имеет три решения:

( )

qp +=

, (9)

( )

qp -=

где р=k

(

)

[

]

321232212312

kkkkkkpq ++-=

Подстановка значений

в (5) дает три уравнения, из которых незави-

симыми будут только два. Поэтому из них можно определить только два не-

известных (например, В

и В

), а третье (В

) остается произвольным, кото-

рое можно положить равным единице.

Имеем

( )

3221

1223

(10)

Тогда общее решение примет вид:

( )

3221

1223

(11)

Пусть при

имеем

AA = и 0

== AA , т.е. в начале процесса

присутствует только один реагент. Решения (11) будут удовлетворять этому

условию, если

( )

3221

1223

(12)

Решая относительно

Q , получим:

( )

323

3322312

322

3223212

3221

lll

kkk

(13)

Подставляя (13) в (11), после упрощения окончательно получим:

( )

( ) ( )

llllllll

lll

323

2312

322

2312

3212

323

32312

322

23212

3212

323

3322312

322

3223212

3221

kkkk

kkk

kkkkk

(14)

Определение кратности массообмена

в ректификационных аппаратах

Рассмотрим бинарную смесь, например бензола и толуола. Смесь бен-

зола и толуола подчиняется закону Рауля, согласно которому парциальное

давление любого компонента в парах над смесью жидкостей равно давлению

насыщенного пара этого компонента (при данной температуре), умноженно-

му на его мольную долю в жидкости, т. е.

AAA

PXP ×=

где Х

– мольная доля чистого компонента А в жидкости;

– парциальное давление этого компонента в парах;

– давление пара этого компонента.

Зная общее давление над смесью и парциальное давление легко-

летучего компонента А, мы можем определить содержание его в парах, вы-

раженное в мольных долях:

= ,

где Р – общее давление.

Обозначим дополнительно:

– давление пара чистого менее летучего компонента В;

– парциальное давление пара менее летучего компонента В.

По закону Рауля при принятых обозначениях имеют место равенства:

=Р

; р

=Р

(1-х

)

С другой стороны, по закону Дальтона общее давление Р паров смеси

равно сумме парциальных давлений компонентов, т. е.

р=р

+р

=Р

+Р

(1-х

Следовательно,

ВААА

ААА

р)х(Рх

Рх

Обозначая отношение давлений чистых веществ

, найдем:

( )

ААА

хх

111 -+

Последнее уравнение выражает аналитическую связь у

и х

, необхо-

димую для построения кривой равновесия. Отношение давлений a называет-

ся относительной летучестью. Значение a в данном случае можно приянть

равным 2,48.

При этих обстоятельствах содержание легколетучего компонента в па-

рах будет

х,

4811

482

или в общем виде для уравнений равновесной кривой имеем:

хkk

= , (1)

где k

=1, k

>0.

Уравнение рабочей линии имеет следующий вид:

у=mx+b (2)

Задача состоит в том, чтобы найти число степеней ректификации ме-

жду двумя значениями х, одно из которых соответствует составу продукта, а

другое дает точку пересечения равновесной кривой с рабочей линией для

пространства колонны над местом ввода исходной жидкой смеси. Такого же

рода расчет необходим и для нижней части ректификационной колонны.

Обозначим координату у точки 1 на диаграмме через d.

Тогда координатами точки 2 будут:

xxdkdk =+

;

= (3)

Для точки 3 значение у мы получим из уравнения (2) путем подстанов-

ки величины х, найденной для точки 2. Таким образом, для координат точки

3 имеем:

;

(

)

bdbkmk

Повторяя эту операцию по ступеням, мы найдем координаты х и у для точки 4:

(

)

( )

(

)

2212

121

+-++--

bdbkmk

;

bkdbkmkkk

bkdbkkmk

а также координаты х и у для точки 5:

(

)

( )

;

bkdbkmkkk

bkdbkkmk

2212

121

+-++--

(

)

(

)

( )( )

bkdbkmkkk

bbkmkkdbkbkmbkkmk

22212

2221

+-++--

++++--

Мы можем теперь найти координаты для любой конечной ступени

ректификации путем повторения этого процесса; здесь имеется определенная

схема, по которой они получаются. Но способ образования координат ступе-

ней массообмена не является вполне очевидным и пока остается неизвест-

ным. Поэтому рассмотрим координату у в конце первой полной ступени

массообмена (точка 3):

(

)

bdbkmk

Составим матрицу

(

)

bbkmk

опустив знак деления и d в числителе и знаменателе.

Пользуясь правилом для матричного произведения, найдем:

(

)

(

)

221

+--+-

+-+-

=×

bkkbkmkk

bbkmbkbkmbkkmk

bbkmk

Сопоставляя это равенство с выражением (4) для величины y, найдем,

что после введения множителя d у элементов первого столбца эти выражения

становятся идентичными. Если мы составим

( )

bbkmk

=× ,

то получим после подстановки знака деления и d координату у в конце

третьей ступени массообмена.

Применяя математическую индукцию, можно показать, что

( )

bbkmk

будет соответствовать координате у для конечной n-й ступени после ввода

знака деления и d.

Известно, что характеристическое уравнение квадратной матрицы

имеет следующий вид:

(

)

nbkmk

Последнее выражение представляет собой квадратное уравнение:

+с

q+с

=0, (5)

где

=-k

m+k

b-1; с

Мы также знаем, что М удовлетворяет характеристическому уравне-

нию, следовательно

+с

М+с

=0.

Умножим обе части уравнения на М

n-2

, получим:

=-с

n-1

-с

n-2

. (6)

Равенство (6) можно рассматривать как разностное уравнение относи-

тельно матрицы М. Прежде чем воспользоваться известным методом его ре-

шения, нам необходимо найти корни квадратного уравнения (5). Они будут:

( )

--+-±+-= mkbkmkbkmk

2121

411

Обозначив эти корни через r

и r

получим решение (6) в таком виде:

nnn

qrprM

+= . (7)

Так как r

и r

являются числами, то p и q должны быть квадратными

матрицами. Обозначим их следующим образом:

2221

1211

2221

1211

p ==

Формула (7) справедлива для любых значений n и, в частности, для

n=0 и n=1. Если n=0, то

2221

1211

2221

1211

M +===

а в случае n=1, имеем:

(

)

2221

1211

2221

1211

1 qq

bbkmk

M +=

Пользуясь правилами сложения матриц, умножения матрицы на число и

равенства матриц, получим следующие алгебраические уравнения для p

и q

212211121121

211212

2222211211121

221111

qrprk-qrprb

qp0;qp

qrpr1qrqrbkmk

qp1qp

+=+=

+=+=-

+=+=

(8)

Эти уравнения могут быть решены попарно и мы получим:

rbkmk

121

221

(9)

Общее решение (7) разностного уравнения (6) теперь может быть за-

писано так:

nnn

2221

1211

2221

1211

Отсюда найдем:

(

)

(

)

( )( )

rqrprqrp

nnnn

122122221121

212112211111

Отсюда следует, что если обозначать через е значение у для полных

ступеней, то

(

)

(

)

( )( )

nnnn

rqrpdrqrp

212122221121

212112211111

+++

Решая относительно n, получим:

(

)

(

)

( )( )

22211211

12112221

pdpepdp

qdqqdqe

+-+

= ,

где n – число ступеней массообмена в ректификационном аппарате.

Пользуясь формулами (8), это выражение можно привести к виду:

(

)

( )

edrp

= ,

где р=(b-e) (d-k

d-1)-k

md.

Обозначив через d

состав продукта, а через е

координату на оси Х в

точке пересечения линии q с рабочей линией для верхней части колонны,

получим:

е=е

m+b,

d=d

m+b.

Подставляя эти значения в (9), найдем:

(

)

(

)

(

)

( )( )( )

edrkkebmde

fpfpf

212

112

-+++-

= (10)

где r

и r

– корни следующего уравнения:

(

)

121

=+-+-+ mkbkmk

Формула (10) может быть использована для расчета числа ступеней

массообмена при ректификационных процессах, причем этот расчет должен

быть выполнен отдельно для верхней и нижней частей аппарата.

Пример. Проиллюстрируем использование формулы (10) на примере

расчета процесса ректификации бинарной смеси бензола и толуола, посту-

пающей в колонну при температуре кипения. Известно, что для этой смеси

равновесная кривая имеет следующее уравнение

х,,

590410 +

= .

Предположим, что поступающая смесь, дистиллят и кубовый остаток

содержат, соответственно, 0,40, 0,995 и 0,005 мол. долей бензола. Если

флегмовое число составляет 3, то уравнения рабочих линий над и под местом

ввода исходной жидкой смеси, соответственно, будут:

у=0,75х+0,249,

у=1,3773х+0,001886.

Характеристические уравнения, соответственно, имеют следующий вид:

-1,16059q+0,30750=0,

-1,56580q+0,56469=0.

Корни этих уравнений составляют:

=0,75132; r

=0,40927

=1,00250; r

=0,56330.

Подстановка этих значений в формулу (10) дает число ступеней рек-

тификации 9,61 и 9,08, соответственно, для верхней и нижней частей колон-

ны. Эти данные совпадают с результатами, получающимся при пользовании

графическим методом расчета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Щипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая математика, 1990.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987.

3. Баутнер Л.М., Позин М.Е. Математические методы в химической

технике. – Л.: Химия, 1971. – 824 с.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Кумыкова Светлана Каншаубиевна

Нахушева Фатима Беталовна

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИКУМ

ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЕ

Для специальности: 011000 – Химия

Редактор М.П. Машукова

Компьютерная верстка Е.Х. Гергоковой

Корректор Е.Г. Скачкова

Изд. лиц. Серия ИД 06202 от 01.11.2001.

В печать 20.04.2004. Формат 60х84

Печать трафаретная. Бумага газетная. 3.49 усл.п.л. 3.5 уч.-изд.л.

Тираж 150 экз. Заказ № ______.

Кабардино-Балкарский государственный университет.

360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

Полиграфическое подразделение КБГУ.

360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.