Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах

Подождите немного. Документ загружается.

факторного пространства) должны соответствовать четким

требованиям.

Рассмотрим это на примере двухфакторного эксперимен-

та. В традиционной практике сначала исследуется зависи-

мость выхода системы

от одного фактора

, при фиксиро-

ванном значении другого:

(

)

.....

constxxfy

−

;

(

)

.....

constxxfy

−

Считается, что для построения кривой

()

xfy

доста-

точно знать положение 5-ти точек на графике или провести 5

опытов в интервале значения фактора

. Таким образом, об-

щее количество опытов

составит:

nN =

где

– число уровней фактора, при которых проводятся

опыты;

k – число факторов.

Для нашего примера

= 25

Графически факторное пространство изобразится квадра-

том с началом координат в центре фигуры. Найдём уравне-

ние приближённой регрессии для двух переменных в виде:

221100

xbxbxby

где

–фиктивная переменная равная 1.

Таблица 6.1

Матрица опытов 5*5

Значение аргумента

Номер опыта i

1 -1 1

2 -0,15 1

3 0 1

4 0.5 1

5 1 1

6 -1 0,5

7 -0,5 0,5

… … … …

25 1 -1

Система уравнений для определения коэффициентов

в соответствии с (5.1):

∑∑∑∑

====

=++

0212

iiii

xyxxbxxbxb

;

b xxb xb xx yx

++ =

∑∑ ∑∑

;

bxxbxxbx yx

iii

++=

∑∑ ∑∑

Если изменение переменных назначено с равными шага-

ми (интервалами) в пределах от

(

до

€

(см. таблицу 6.1.), то

слагаемые:

∑∑∑

===

0)(;0)(;0)(

xxxxxx

Следовательно, с арифметических позиций для опреде-

ления коэффициентов b

нет необходимости в проведении

всех опытов. В пределе, достаточно осуществить экспери-

мент на границе области исследования: опыты №1, 5, 21, 25.

(см. рис. 6.2). Тогда, с учётом значения переменных в кодо-

вых координатах, коэффициенты уравнения регрессии опре-

делятся:

∑∑

;

∑∑

;

Таким образом, целенаправленный процесс выбора усло-

вий проведения опытов в факторном пространстве области

исследования представляет собой планирование эксперимен-

та.

Конструирование планов экспериментов происходит на

основе группы специальных критериев, представляющих со-

бой формализованные требования, которыми должна обла-

дать будущая модель процесса.

Одно из важнейших свойств плана- ортогональность.

Ортогональность плана – обеспечение независимых друг от

друга оценок коэффициентов. Это условие формально дости-

гается при выполнении равенства:

∑

iku

0)(

Наиболее важными критериями, при решении техниче-

ских задач представляются характеристики, связанные с ми-

нимизацией дисперсии оценок коэффициентов модели.

Планы, минимизирующие обобщённую дисперсию, на-

зываются

-оптимальными (от англ.: determinant – опреде-

литель).

Минимальная средняя дисперсия оценок коэффициентов

обеспечивается

– оптимальными планами (от англ.: aver-

age variance - средняя дисперсия).

Большое значение в построении моделей имеет точность

предсказания выходного параметра. Для оптимизации планов

экспериментов с этих позиций используют следующие кри-

терии и свойства [6].

Рототабельность (от англ.: rototable - вращающийся) –

свойство, позволяющее получать одинаковую дисперсию

предсказываемых значений функции во всех равноудалённых

от центра факторного пространства точках.

Униформность (от англ.: uniform – равномерный) – дис-

персия оценки модели в некоторой области остается посто-

янной. Обычно это достигается повторением опытов в центре

плана.

Если желательно обеспечить минимум средней диспер-

сии оценки выхода

{}

модели, то выбирается

– опти-

мальный план, а если минимум максимального значения дис-

персии

{}

, то

– оптимальный.

При выборе плана исследования могут оказаться важным

такие свойства как композиционность и насыщенность (ко-

личество опытов).

Разработаны планы с минимально-возможным для оце-

нок коэффициентов количеством опытов, равных или близ-

ких числу оцениваемых параметров в модели

– ротота-

бельные планы.

Композиционность плана обеспечивает возможность ис-

пользования точек плана первого этапа (для построения ли-

нейной или частично квадратичной модели) в плане второго

этапа (для получения полной квадратичной модели процес-

са).

Построить план, удовлетворяющий одновременно всем

или большинству критериев практически невозможно. По-

этому при выборке стратегии эксперимента предпочтение от-

даётся одному из основных для конкретного исследования

критерия. Надо отметить, что

– оптимальность является

более полной численной характеристикой по сравнению с

другими критериями. Поэтому при выборе плана, если нет

дополнительных требований или при их неопределённости,

можно ориентироваться именно на этот показатель.

Численно критерии

– оптимальности выража-

ются соответствующими коэффициентами

. «Хо-

рошими» считаются планы, если:

15,1

≤

;

15,1≤

;

3,1≤

6.2. Формализация построения статистической функ-

циональной модели

Системный подход служит не только методологической

основой стратегии исследования, но и позволяет формализо-

вать (упорядочить) процесс построения математических мо-

делей, провести статистическую проверку и анализ уравне-

ний регрессии.

Процесс формализации особенно важен на начальных

этапах, при выборе целевых функций и влияющих факторов,

выявление из множества переменных наиболее существен-

ных. В литературе приводится много примеров систематиза-

ции и анализа априорной информации.

Обычно рекомендуют придерживаться следующего

алго-

ритма: постановка задачи; выбор параметров оптимизации и

входных факторов, выбор плана эксперимента.

Постановка задачи (в данном ограниченном понятии),

содержит схематическое описание объекта как системы,

формируется цель исследования. Если целей несколько, то

полезно оценить их по степени важности (проранжировать).

В соответствии с целями исследования выбираются па-

раметры оптимизации объекта (системы),

которые, по сути,

являются количественным выражением назначенных целей.

И хотя, как правило, исследователь интуитивно обозначает

для себя и цели и параметры, всё же бывает очень полезно

представить эти сведения в табличной форме, например по

таблице 6.2.

Таблица 6.2

Характеристика параметров оптимизации

№

п/п

Наиме

нова-

ние

пара-

метра

Размер

ность

Обозначение

Область

существова-

ния

значения

Область

желае-

мых зна-

чений

Же-

лаемая

точ-

ность

(ошиб-

ки)

Нату-

ральное

Кодо

вое

Min Max

1 … … … У

… … … …

Выбор влияющих факторов остаётся самым ответствен-

ным, и в то же время, слабо поддающимся формализации

этапом. С одной стороны, необходимо включить в план экс-

перимента все наиболее значимые аргументы, с другой, же-

лательно стремиться к сокращению числа входных факторов,

так как большое их количество усложняет и саму модель и её

анализ, увеличивает количество опытов. Наиболее радикаль-

ные рекомендации по этому этапу сводятся к упованию на

талант

и опыт экспериментатора. В реальности, выбор вход-

ных факторов обычно основан на анализе априорной инфор-

мации о физике процесса или поведении системы. Иногда

для уточнения или сохранения числа факторов проводят

предварительные опыты. И недостаток, и избыток несистема-

тической информации об объекте исследования затрудняют

компоновку блока управляющих факторов. Для начала необ-

ходимо составить список всех выявленных факторов,

влияющих на процесс (по форме аналогичной таблице 6.2.) и

затем из них выбрать те, которые включаются в модель сис-

темы.

Остальные факторы должны быть зафиксированы на оп-

ределённом и неизменном уровне.

Таблица 6.3

Характеристика входных факторов

Обозначени- Область

Существова-

ния

Интереса

№

Наиме-

нование

Един.

изм.

Нату-

раль-

ное

Ко-

до-

вое

Min Max Min Max

Точность

Выбор плана производится по критериям оптимальности,

с учётом реальных временно-ресурсных возможностей и

стратегии исследования: желаемые сроки, ограничения на

число опытов, стоимость и затраты времени на реализацию

опыта, возможность их повторения в неизменных условиях,

стремление к оптимизации процесса или к описанию области

исследования и т.п.

После выбора плана и входных факторов рекомендуется

провести процедуру кодирования значений факторов по (6.1)

и составить таблицу 6.4.

Таблица 6.4

Кодирование входных факторов

Уровни варьирования Наименова-

ние

фактора

Обозна-

чение

Нижний

-1

Основной

Верх-

ний+1

Полуинтер-

вал варьиро-

вания

Для удобства организации процесса планирования и рас-

четов, перед проведением исследований, рекомендуется со-

ставить рабочую матрицу, состоящую из плана эксперимен-

тов с фиксированным значением входных факторов (их по-

лезно представить в кодовых и в натуральных координатах)

в каждом опыте, порядкового номера реализации опыта в ка-

ждой серии повторений (проведение параллельных опытов

или их дублирование) и значения выхода системы в соответ-

ствующем опыте (см. таблицу 6.5).

При проведении исследований, важное методическое

значение имеет порядок реализации каждого опыта плана,

ибо соответствующий выбор этого порядка может помочь

избавиться от возможной систематической ошибки. Наибо-

лее распространенный и надежный прием для этого основы-

вается на внесении элемента

случайности в порядковые но-

мера - рандомизация опытов. Рандомизацию можно провес-

ти, например, простым извлечением номеров опытов из ур-

ны.

Для оценки воспроизводимости процесса и статистиче-

ской проверки коэффициентов и уравнения регрессии прово-

дят несколько серий опытов по одному плану с учётом ран-

домизации порядка реализации опыта в каждой серии. Коли-

чество серий и опытов, подлежащих дублированию опреде-

лится планом, техническими возможностями по воспроизве-

дению условий опыта, приборной ошибкой, задачами экспе-

римента и т.п.

Таблица 6.5

Рабочая матрица исследования по двух

уровневому плану с двумя входными фаторами

Матрица плана в коор-

динатах

Результаты

опытов в серии

Кодовых

Натураль-

ных

Номер реализа-

ции в серии

№

А В i =1 i =2 Y

Среднее

значение

целевой

функции

1 1 1

1 1

2 -1 1

3 4

3 1 -1

4 2

4 -1 -1

2 3

В зависимости от того, повторяются ли все опыты пла-

на, или только некоторые по выбору, оценку дисперсии вос-

производимости

{}

(или

) проводят по соответствую-

щим критериям.

При одинаковом числе параллельных опытов по всему

плану однородность дисперсии проверяется по критерию

Кохрена (или Кочрена)

∑

)

где

- дисперсия воспроизводимости i-го опыта.

∑

−

iiji

)(

где

- среднее значение выходного параметра в i-ом опыте

по п- повторениям. (см. графу 10, таблица 6.5.).

)

- максимальная из рассчитанных дисперсий по всем

опытам;

Расчетное значение критерия Кохрена

сравнивается с

табличным

: со степенями свободы:

число незави-

симых оценок дисперсии воспроизводимости;

1−= Nf

число степеней свободы оценки дисперсии воспроизводимо-

сти в каждой точке факторного пространства и уровнем зна-

чимости

. (доверительной вероятностью

)1(

−

Если выполнится условие:

()

;;

ffТp

GG <

, (6.3.)

то гипотеза об однородности дисперсии не отвергается. Если

нет, то можно либо изменить уровень значимости (если это

допустимо по мнению исследователя), либо найти способ

снизить максимальную дисперсию

, либо (иногда это име-

ет смысл) снизить точность измерения выхода.

При подтверждении гипотезы об однородности диспер-

сии (6.3) в дальнейших расчётах можно использовать сред-

нюю дисперсию опытов

с числом степени свободы

()

1−= nNf

∑

. (6.4)

В некоторых планах изначально не предусматривается

дублирование всех опытов, а устанавливается повторение

раз только некоторых из них -

. Тогда дисперсия воспро-

изводимости определится по формуле (6.4), но число степе-

ней свободы уменьшится

(

)

−

nNf

На следующем шаге вычисляют коэффициенты

уравнении приближённой регрессии (6.1). Если количество

100

факторов

, то в общем виде уравнение можно представить

следующим образом:

∑∑∑∑

=<<<=

+++++=

iii

eji

ejiije

jiij

iio

xbxxxbxxbxbbY

...

, (6.5)

где

i ,,

- индексы коэффициентов.

Для построения линейных и неполных квадратичных

моделей обычно выбираются ортогональные планы и коэф-

фициенты уравнения (6.3.) регрессии вычисляются по про-

стым соотношениям:

∑

;

∑

;

XXY

ujin

∑

)(

;

где

- индекс номера опыта.

- число опытов в плане.

Построение квадратичных моделей может проводиться

по различным планам [7-10]. Для некоторых из них формулы

вычисления коэффициентов имеют вид:

{}

uiu

STbS

YxTYTb

);(

∑∑∑

===

{}

iuiui

STbs

xYTb

;

∑

{} ( )

Yii

uiu

iuuii

STTbS

YTYxTxYTb

;)(

++=

∑∑∑∑

====

{}

juiuuij

STbs

xxYTb

;

∑

(6.6)

В некоторых случаях полезно использовать несиммет-

ричные планы типа

*…*

, в которых коэффи-