Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах
Подождите немного. Документ загружается.
111
Таблица 2
Характеристика входных факторов
Обозначение в
координатах
Уровни
варьирования
Верх.ний Нижний
Наименование
Ед.
изм.
Натураль
ных
Кодо
вых
+1 -1
Отношение массовых
частей вяжущего и рас-
твора
В/Р X
1
1/1,3 1/1
Отношение массовых
частей вяжущего и дре-
весного заполнителя
В/3
Х
2
3/1 2/1
Плотность раствора
хлористого магния
Г/см
3
ρ
Х
3
1,05 1,2
Опыты проводились по плану полного факторного экс-
перимента ПФЭ 2
3
. Матрица плана, характеристика опытов и
результаты представлены в таблице 3.
Таблица 3
Реализация плана ПФЭ 2
3
№
опыта
Матрица плана
Величина плотности в
сериях опытов, кг/ м
3
Средняя
плотность
j
1
X
2
X
3
X
1
Y
2
Y
3
Y
j
Y
1 -1 +1 -1 1,22 1,25 1,22 1,23
2 +1 +1 -1 1,0 1,06 0,98 1,04
3 -1 -1 -1 0,97 0,95 0,87 0,93
4 +1 -1 -1 0,72 0,80 0,76 0,76
5 -1 +1 +1 1,24 1,28 1,27 1,26
6 +1 +1 +1 1,23 1,23 1,26 1,24
7 -1 -1 +1 1,15 1,14 1,25 1,18
8 +1 -1 +1 1,0 0,95 0,93 0,96
Математическая модель параметра находится в виде
уравнения:
3211233223311321123322110
XXXbXXbXXbXXbXbXbXbbY +
+
+
+
+++=
112
Расчет коэффициентов производится по матрице,
имеющей вспомогательные столбцы (
YX
) (см. табл.4).
Таблица 4
Расчетная матрица плана ПФЭ 2
3
Расчет коэффициентов производится по формулам
(6.10):
08,1
8
6,8
8
1
8
1
0
===
∑
=p
p
yb
;
075,0
8
6,0
1
−=
−
=b
;
112,0
8
896,0
2
==b
;
085,0
8
68,0
3
==b
;
022,0
8
18,0
12
==b
;
015,0
8
12,0
13
==b
;
025,0
8
22,0
23
−=
−
=b
;
025,0
8
22,0
123
==b
.
Дисперсия воспроизводимости процесса в каждом опы-
те определна по формуле (6.3) и представлена в таблице 5.
№
Опыта
1
YX
2
YX
3
YX
Y
21
XYX
31
XYX
32
XYX
321
XXYX
1 -1,23 1,23 -1,23 1,23 -1,23 1,23 -1,23 1,23
2 1,04 1,04 -1,04 1,04 1,04 -1,04 -1,04 -1,04
3 -0,93 -0,93 -0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 -0,93
4 0,76 -0,76 -0,76 0,76 -0,76 -0,76 0,76 0,76
5 -1,26 1,26 1,26 1,26 -1,26 -1,26 1,26 -1,26
6 1,24 1,24 1,24 1,24 1,24 1,24 1,24 1,24
7 -1,18 -1,18 1,18 1,18 1,18 -1,18 -1,18 1,18
8 0,96 -0,96 0,96 0,96 -0,96 0,96 -0,96 -0,96
∑
=
8
1j
ijj
XY
-0,6 0,896 0,68 8,6 0,18 0,12 -0,22 0,22
113
Таблица 5
Значение выхода
j
Y в серии
опытов
№
Опыта
1
Y
2
Y
3
Y
Среднее
значение
выхода
Y
2
yj
S
1
1,22 1,25 1,22 1,23 0,0003
2
1,0 1,06 0,98 1,04 0,0028
3
0,97 0,95 0,87 0,93 0,0028
4
0,72 0,80 0,76 0,76 0,0016
5
1,24 1,28 1,27 1,26 0,00045
6
1,23 1,23 1,26 1,24 0,0003
7
1,15 1,14 1,25 1,18 0,00037
8
1,0 0,95 0,93 0,96 0,0013
Расчетное значение критерия Кохрена
p
G
:
22,0
01325,0
0028,0
==
p
G
.
Табличное значение этого критерия при уровне значимости
05,0=
α
составляет
516,0
)05,0;8;2(
=
Т
G
. Следовательно, по ус-
ловию (6.1) дисперсии воспроизводимости всех опытов
можно считать однородными и в дальнейшем можно исполь-
зовать среднее значение
0016,0
2
=
Y
S
.
Табличное значение критерия Стьюдента для принятого
уровня значимости
05,0
=
α
и числа степеней свободы
16=
Y
f
составляет
12,2
)05,0;16(
=
t
:
Дисперсия
2
bi
S
одинаковая для всех коэффициентов со-
ставит:
2
bi
S
= 0,0016/8=0,0002.
Критическое значение коэффициентов в уравнении рег-
рессии:
1кр
b
= 2,12*0,014 = 0,029.
114
Соответственно, по условию (6.11) коэффициенты
12
b
,
13
b
,
23
b
,
123
b
можно считать незначимыми и исключить из
уравнения. Тогда имеем следующее выражения для описания
зависимости плотности материала от его компонентов:
321
085,0112,0075,008,1 bbb
+
+
−=
ρ
Дисперсия адекватности полученной модели проверяет-
ся по критерию Фишера
F
. Вспомогательные расчеты при-
ведены в таблице 6.
Таблица 6
Расчетные значения целевой функции
№
Опыта
1
X
2
X
3
X
Y
Y
€
2
)
€
( YY −
1 1 1 1 1,23 1,2 0,0009
2 1 1 -1 1,04 1,03 0,0001
3 1 -1 1 0,93 0,98 0,0025
4 1 -1 -1 0,76 0,81 0,0025
5 -1 1 1 1,26 1,35 0,0081
6 -1 1 -1 1,24 1,18 0,0064
7 -1 -1 1 1,18 1,13 0,0025
8 -1 -1 -1 0,96 0,96 0,0000
Итого:
∑
=−
8
1
2
023,0)
€
( YY
Дисперсия адекватности определится из выражения (6.12):
lN
YY
S
N
J
J
ад
−
−
=
∑
=1
2
2
)
€
(
=
48
023,0
−
=0,00575.
Расчетный критерий Фишера равен:
59,3
0016,0
00575,0
2
2
===
Y
ад
расч
S
S
F
Табличное значение критерия Фишера при уровне зна-
чимости
05,0
=
α
и степенях свободы
4=
ад
f
и
115
8)12(8 =−=
e
f
равно
2,4
)8;4:05,0(
=
Т
F
. Следовательно, полу-
ченное уравнение адекватно эксперименту.
6.3.2. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)
При формулировании идей планирования эксперимен-
тов отмечалось, что получение коэффициентов уравнения
регрессии возможно при минимальной информации - количе-
стве опытов. Одним из планов с такими свойствами является
план ПФЭ. В то же время при возрастании числа факторов
более 2-х оказывается, что число опытов ПФЭ превышает
минимально необходимое для вычисления коэффициентов,
например, линейной
модели:
∑
=
+=
k
i
iio
xbby
1
А если, по каким-либо соображениям необходима (или
достаточна) именно линейная модель, то естественно появля-
ется стремление к сокращению числа опытов до минимально
- допустимого. Такая возможность представляется использо-
ванием не всего плана ПФЭ, а только его части. Однако, что
бы эта часть, так же как и ПФЭ обладала свойством ортого
-
нальности, необходимо соблюдать определенные правила,
основное из которых требует представления части плана как
для ПФЭ, но для меньшего числа факторов. Такой план при-
нято называть дробной репликой от ПФЭ или дробным фак-
торным экспериментом ДФЭ. Для иллюстрации сказанного
обратимся к ПФЭ 2
3
(см. табл. 6.6.). Линейное приближение
поверхности отклика при трех факторах имеет вид:
3322110
xbxbxbby
+
+
+
=
Минимальное количество опытов равно числу коэффи-
циентов, что соответствует ПФЭ-2
2
(таблица 6.8).
116
Таблица 6.8
План ПФЭ-2
2
Мат
р
и
ц
а план
а
№ опытов
1
x
2
x
21
xx
0
x
1
+++
+
2
-+-
+
3
+--
+
4
--+
+
Если в этом плане столбец
21
xx
использовать для вычис-
ления коэффициента при факторе
3
x
то получается план
дробного факторного эксперимента или полуреплика от ПФЭ
2
3
(таблица 6.9).
Таблица 6.9
Полуреплика от ПФЭ 2
3
Матрица плана
№
опыта
1
x
2
x
3
x
0
x
21
xx
31
xx
32
xx
1
+
+ +
+
+
+
+
2 - + + + -
+
-
3 + - + + - - +
4 - - + + + - -
Однако такая замена или усечение плана, хотя и ведет к
заметному снижению числа опытов, но не позволяет оценить
раздельно коэффициенты при всех эффектах (
x
), и это при-
водит к смешанным оценкам генеральных коэффициентов
β
так как столбцы при линейных и парных членах одинаковы:
(табл. 6.9).
2311
β
β
+=b
;
1322
β
β
+
=
b
;
1233
β
β
+
=
b
где
β
- математическое ожидание коэффициента.
Для быстрого определения «смешанности» коэффици-
ентов применяют понятия об определяющем контрасте и ге-
нерирующем соотношении.
117
Последнее обозначает соотношение между выражаемым
i
x
входным фактором и выражающими (
pkji
xxxx ...,,
). Для
рассматриваемого примера генерирующее соотношение вы-
глядит следующим образом:
213
xxx =
(6.13)
Умножив (6.13) на
i
x
, получим:
321
2
3
xxxx =
(6.14)
Имея в виду, что в кодовых координатах в планах ПФЭ
n
2
переменные
i
x
, принимают значение ±1 выражение (6.14)
перепишется как:
321
1 xxx=
(6.15)
Произведение (6.15) называется определяющим контра-
стом, который служит для определения одинаковых столбцов
в плане ДФЭ и, соответственно, смешанных оценок коэффи-
циентов. Это достигается умножением определяющего кон-
траста на тот или иной фактор:
23113232
2
111321
)1(
ββ
+=⇒==⇒⋅= bxxxxxxxxxx
13223131
2
222321
)1(
ββ
+=⇒==⇒⋅= bxxxxxxxxxx
2331121
2
333321
)1(
ββ
+=⇒==⇒⋅= bxxxxxxxxxx
При использовании ДФЭ необходимо иметь представ-
ление о разрешающей способности дробной реплики - о сме-
шанности коэффициентов. В предыдущем примере для ДФЭ
13
2
−
вариант генерирующего соотношения был только один:
213
xxx =
. Однако если факторов больше, например четыре, то
вариантов полуреплики может быть несколько и в качестве
генерирующих соотношений можно взять любое из имею-
щихся сочетаний:
3214324314214
;;; xxxxxxxxxxxxx
=
=
==
(6.16)
Выбор варианта зависит от поставленной задачи и
предположения об отсутствии физической взаимосвязи меж-
118
ду эффектами. Так, если полуреплика плана построена на ос-
новании генерирующего соотношения
3214
xxxx
=
(табл.
6.10.), то коэффициенты уравнения регрессии будут смешаны
следующим образом:
4321
1 xxxx
=
,
соответственно имеем:
23411
β
β
+=b
;
13422
β
β
+
=
b
;
12433
β
β
+
=
b
;
341212
β
β
+=b
;
241313
β
β
+
=
b
;
231414
β
β
+
=
b
В моделях технических систем довольно часто тройные
взаимодействия бывают равными нулю, тогда коэффициенты
при линейных эффектах получаются несмешанными:
11
β
=b
;
22
β
=b
;
33
β
=b
;
12344
β
β
+
=b
;
44
β
=
b
.
Таблица 6.10
Полуреплика ДФЭ 2
4-1
при генерирующем
соотношении
3214
xxxx
=
Матрица плана
Матрица плана
№
Опы-
та
1
x
2
x
3
x
4
x
№
опыта
1
x
2
x
3
x
4
x
1 +1 +1 +1 +1 5 +1 +1 -1 -1
2 -1 +1 +1 -1 6 -1 +1 -1 +1
3 +1 -1 +1 -1 7 +1 -1 -1 +1
4 -1 -1 +1 +1 8 -1 -1 -1 -1
Если же использовать генерирующее соотношение
214
xxx =
, то получается иная система совместных оценок:
421
1 xxx
=
2411
β
β
+=b
;
1422
β
β
+
=b
;
123433
β
β
+
=
b
;
121244
β
β
β
=+
=
b
1342323
β
β
+=b
;
2341313
β
β
+
=
b
;
1233434
β
β
+
=
b .
Таким образом, в этом случае коэффициенты при ли-
нейных эффектах смешаны с двойными коэффициентами
(исключая
3
b
), а тройные взаимодействия участвуют в фор-
119
мировании значений коэффициентов парных взаимодейст-
вий. Поэтому, генерирующее соотношение
214
xxx
=
(или на
использовании других парных взаимодействий
314
xxx =
,
324
xxx =
) можно рекомендовать, если наибольший интерес
представляют коэффициенты
3
b
,
23
b
,
13
b
,
34
b
.
Имя в виду, что при числе возможных генерирующих
соотношений больше одного появляется возможность ис-
пользовать их все для вычисления коэффициентов и соответ-
ственно сократить число опытов.
Предположим, что в плане ДФЭ
5
2
используются гене-
рирующие соотношения;
214
xxx
=
,
315
xxx
=
тогда для вычис-
ления коэффициентов достаточно только восемь опытов и от
ПФЭ
5
2
остается четвертая часть которая и называется чет-
вертьрепликой от ПФЭ или ДФЭ
25
2
−
(таблица 6.11).
Таблица 6.11
План ДФЭ 2
5-2
Матрица плана Матрица плана
№
Опыта
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
№
Опыта
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1 +1 +1 +1 +1 +1 5 +1 +1 -1 +1 -1
2 -1 +1 +1 -1 -1 6 -1 +1 -1 -1 +1
3 +1 -1 +1 -1 +1 7 +1 -1 -1 -1 -1
4 -1 -1 +1 -1 -1 8 -1 -1 -1 +1 +1
Соответственно определяющие контрасты будут пред-
ставлены:
421
1 xxx=
;
531
1 xxx
=
.
Если перемножить определяющие контрасты между со-
бой, то получается обобщающий определяющий контраст:
5314215432
1 xxxxxxxxxx
=
=
=
(6.17)
Из (6.17) получаются система совместных оценок:
135124234500
β
β
β
β
+
+
+
=b
120
35241234511
β
β
β
β
+
+
+
=b
1351434522
β
β
β
β
+
+
+
=b
15123424533
β
β
β
β
+
+
+
=b
1351223544
β
β
β
β
+
+
+
=b
13124523455
β
β
β
β
+
+
+
=b
Разрешающая способность четвертьреплики невелика. В
ней все линейные эффекты смешаны с эффектами парного
взаимодействия. Математическая модель процесса будет
иметь вид:
5225322355443322110
xxbxxbxbxbxbxbxbby +
+
+
+
+++=
Минимальное количество опытов дробной реплике для
k
-факторов составляет:
1
+
=
kN
.
В этом случае дробная реплика представляет собой насы-
щенный линейный ортогональный план для построения мо-
дели:
∑
=
+=
k
i
ii
bxby
1
0
(6.18).
и все линейные эффекты смешаны со всеми эффектами взаи-
модействия.
Не смотря на ограниченность модели типа (6.18) ее час-
то используют для нахождения области экстремума целевой
функции.
Пример.
Для построения модели процесса по дробному
факторному эксперименту воспользуемся результатами пре-
дыдущего примера. План матрицы ДФЭ
13
2
−
c генерирующим
соотношением
213
xxx =
приведен в таблице 1.