Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах
Подождите немного. Документ загружается.
121
Таблица 1
Полуреплика от ПФЭ
3
2
Матрица плана
№
опыта
1
x
2
x
3
x
0
x
21
xx
31
xx
32
xx
y
1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1,23
2 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 1,24
3 +1 -1 -1 +1 -1 - +1 0,76
4 -1 -1 +1 +1 +1 - -1 1,18
Расчет коэффициентов производится по формулам
(6.10):
1,1
4
41,4
4
1
4
1
0
===
∑
=j
j
yb
;
107,0
4
43,0
1
4
1
1
−=
−
==
∑
=
xyb
j
j
;
13,0
4
53,0
2
4
1
2
===
∑
=
xyb
j
j
;
102,0
4
41,0
3
4
1
3
===
∑
=
xyb
j
j
.
Уравнение регрессии примет вид линейной модели:
321
102,013,0107,01,1 xxxy
+
+
−=
Вычисленные по полученному уравнению значения целевой
функции представлены в таблице 2.
Таблица 2
Расчетные значения целевой функции
№
1
x
2
x
3
x
j
y
j
y
€
2
)
€
(
jj
yy −
1 +1 +1 +1 1,23 1,22 0,0001
2 -1 +1 -1 1,24 1,24 0,0001
3 +1 -1 -1 0,76 0,76 0,000
4 -1 -1 +1 1,18 1,18 0,000
Дисперсия адекватности определится из выражения
(6.12):
122
lN
yy
S
N
p
p
ад
−
−
=
∑
=1
2
2
)
€
(
=
48
0002,0
−
=0,00005.
Расчетный критерий Фишера равен:
031,0
0016,0
00005,0
2
2
===
y
ад
расч
S
S
F
Табличное значение критерия Фишера при уровне значи-
мости
05,0=
α
и степенях свободы
4
=
ад
f
и
4)12(*4 =−
=
y
f
равно
2,4)4;4;05,0( =
Т
F
. Следовательно, полученное уравне-
ние адекватно эксперименту.
Интересно отметить, что линейное уравнение, полученное
по дробной реплике, имеет меньшую дисперсию адекватно-
сти, чем линейное уравнение, полученное на основе ПФЭ.
6.4 Планы второго порядка
В большинстве случаев, многофакторную систему не
удаётся адекватно охарактеризовать линейной или неполной
квадратичной моделями. Для описания сложных объектов
или области исследования с “широкими” границами более
подходящими оказываются планы второго порядка, позво-
ляющие вычислить все коэффициенты в уравнении типа (6.5)
при сохранении всех основных преимуществ метода плани-
рования эксперимента. Особенности составления планов вто
-
рого порядка обусловлены необходимостью вычисления ко-
эффициентов
ii
b
при квадратичных взаимодействиях факто-
ров
ii
xx
. А учитывая, что в двухуровневых планах значение
фактора устанавливается
±1, то любой столбец в матрицах
плана, соответствующий квадрату фактора будет состоять из
значений равных +1 и оценкой всех коэффициентов при
квадратичных эффектах будут смешаны между собой и со
свободным членом -
0
b
. Поэтому планы второго порядка не-
123
возможно реализовать на двух уровнях значений входных
факторов. И структуры планов разрабатываются исходя из
необходимости получения несмешанных оценок коэффици-
ентов
ii
b
. Подробную характеристику этих планов можно
найти в [9,10]. Здесь рассматриваются наиболее часто упот-
ребляемые планы в силу их хороших числовых характери-
стик (
−−− EGD ,,
оптимальности) удобности применения на
практике, особенно перехода к ним от простых планов и ис-
пользования имеющейся информации.
6.4.1. Трехуровневый полный факторный эксперимент
Информацию для расчетов коэффициентов при квадра-
тичных планах уравнения (6.5) дают планы с варьированием
значений факторов как минимум на 3-х уровнях. Если это ус-
ловие выполняется для всех аргументов, то такие планы на-
зываются полными и обозначаются как ПФЭ
k
n
количество
опытов
N
составит
k
nN =
.
Наиболее распространены планы с 3-х уровневым варь-
ированием - ПФЭ
k
3
. Их матрицы для 2-х и 3-х факторов
приведены в таблицах 6.12. и 6.13.
Таблица 6.12
Матрица планов ПФЭ
k
3
для
k
=2
Матрица
№
1
x
2
x
i
y
1 +1 +1
2 0 +1
3 -1 +1
4 +1 0
5 0 0
6 -1 0
7 +1 -1
8 0 -1
9 -1 -1
124
Таблица 6.13
Матрица планов ПФЭ
k
3
для
k
=3
Матрица плана Матрица плана
№
1
x
2
x
3
x
i
y
N
1
x
2
x
3
x
i
y
1 +1 +1 +1 15 -1 0 0
2 0 +1 +1 16 +1 -1 0
3 -1 +1 +1 17 0 -1 0
4 +1 0 +1 18 -1 -1 0
5 0 0 +1 19 +1 +1 -1
6 -1 0 +1 20 0 +1 -1
7 +1 -1 +1 21 -1 +1 -1
8 0 -1 +1 22 +1 0 -1
9 -1 -1 +1 23 0 0 -1
10 +1 +1 0 24 -1 0 -1
11 0 +1 0 25 +1 -1 -1
12 -1 +1 0 26 0 -1 -1
13 +1 0 0 27 -1 -1 -1
14 0 0 0
Основным недостатком этих планов является большое
число опытов при
2>k
.
6.4.2. План Бокса
k
B
Существенно сократить число опытов в планах второго
порядка позволяют композиционные планы, предложенные
Дж. Боксом и К. Уилсоном [9] и носящие имя первого автора.
Эти планы получаются из планов ПФЭ
k
=
k
2
путем до-
бавления специальных опытов, соответствующих определен-
ным точкам факторного пространства. Общее число опытов в
таких планах определяется уравнением:
α
nnnN
я
+
+
=
0
,
где
я
n
– число опытов в “ядре” плана, за который принимает-
ся ПФЭ или ДФЭ;
0
n
– число опытов в центре плана;
α
n
– число опытов в специальных (звёздных) точках
плана.
125
План Бокса состоит из ПФЭ
k
2
и опытов, последователь-
но реализуемых для каждого фактора на верхнем и нижнем
уровнях при условии, что остальные фиксируются в центре
плана. Матрица плана
3
B
для трех входных факторов пред-
ставлена в таблице 6.14. Число опытов в планах Бокса со-
ставляет:
kN
k
22 +=
;
Таблица 6.14
План Бокса
3
B
Матрица плана
№
1
x
2
x
3
x
i
y
1 +1 +1 +
2 -1 +1 +
3 +1 -1 +
4 -1 -1 +
5 +1 +1 -
6 -1 +1 -
7 +1 -1 -
8 -1 -11 -
9 +1 0 0
10 -1 0 0
11 0 +1 0
12 0 -1 0
13 0 0 +1
14 0 0 -1
Расчет коэффициентов уравнения регрессии, получаемых
по плану Бокса производится по формулам (6.6). Значение
коэффициентов
i
T
приведены в таблице 6.15 [9].
Таблица 6.15
Расчетные коэффициенты планов Бокса
k
B
Коэффициенты
5
10*
i
T
Число
факто-
ров
k
Число
опы-
Тов
Ядро
плана
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
2 8
ПФЭ-2
125000 -75000 16667 50000 25000 25000
3 14
ПФЭ-3
40625 -15625 10000 50000 -9375 12500
4 24
ПФЭ-4
22917 -6250 5556 50000 -10417 6250
5 42
ПФЭ-5
15820 -3320 2941 50000 -9180 3125
126
Пример. Экспериментальные исследования воздухораспре-
делителя с поворотными профильными пластинами.
Воздушная струя, поступающая в помещение из при-
точного устройства (насадка) должна автоматически изме-
нять свою траекторию в зависимости от скорости
0
v
на вы-
ходе. Траектория струи изменяется за счет увеличения угла
α
вектора скорости по отношению к начальному, горизон-
тальному положению. Для обеспечения автоматизации этого
процесса предложено одну из половин поворотной пластины
относительно ее оси выполнить плоской, а другую профиль-
ной, с отрицательной кривизной. Подъемная сила, возни-
кающая при обтекании профильной части, создает момент,
поворачивающий пластину вокруг оси. При некотором угле
поворота
α
поворачивающий момент уравновешивается мо-
ментом от силы тяжести пластины, направленным в противо-
положную от первого момента сторону и пропорциональным
углу поворота
α
.
Угол поворота пластины зависит от соотношения раз-
меров профильной и плоской половин, скорости потока и ша-
га установки пластин. Использование аналитических зависи-
мостей осложнено отсутствием значений аэродинамических
коэффициентов
x
C
и
y
C
для углов атаки больше 14 град. По-
этому характеристики профильных пластин определены экс-
периментальным методом.
Исследования проводились на аэродинамическом стен-
де, состоящем из вентилятора, камеры статического давле-
ния, системы воздуховодов и насадка с профильными пово-
ротными пластинами, установленными в плоскости истече-
ния струи с регулярным шагом
t
. Скорость воздуха измеря-
лась термоанемометром системы ВНИИГС с точностью до
0,1 м/с. Угол отклонения пластины определялся по транспор-
тиру с точностью ± 1 град. (см. рис. 1).
127
Рис.1. Координатник для измерения угла поворота пла-
стины
1 - корпус насадка; 2 - поворотная пластина;
3 - транспортир; 4 – проволока ∅ =0,5 мм.
0
v
Характеристика входных факторов приведена в табл.1.
Таблица 1
Характеристика входных факторов в исследовании
поворотных пластин
Обозначение в
координатах
Уровни
Наименование
Ед.
изм
.
Нату-
ральных
Кодо-
вых
ниж-
ний
основ
ной
Верх-
ний
Интер-
вал
варьи-
рования
1 2 3 4 5 6 7 8
Шаг установки
пластин
- t
1
x
0,33 0,67 1 0,33
Отношение дли-
ны профиль-ной,
половины к пло-
ской половине
-
1
b
2
x
0,25 0,5 0,75 0,25
Скорость потока
воздуха
м/с
0
v
3
x
3 7,5 12 4,5
Соотношение между шириной профильной и плоской
частей пластин принято равным единице и в исследованиях
не изменялось. Исключение этого фактора из входных в экс-
периментах объясняется наилучшей устойчивостью пласти-
ны с таким соотношением, а также простотой балансировки
128
пластины. Шаг установки пластин
t
в сечении насадка при-
нят по отношению к общей ширине пластины (в направлении
движения воздуха), равной 80мм. Конструкция шарнирного
соединения пластин с корпусом насадка (см. рис. 2) пред-
ставляет собой рейку, установленную в отверстии на ребро,
что позволяет пластине отклоняться на углы до 85 градусов
практически без трения.
Рис. 2. Конструкция шарнирного соединения поворот-
ной пластины с корпусом насадка: 1 - корпус насадка;
2 - поворотная пластина; 3 - отверстие.
В качестве плана эксперимента принят план Бокса
3
B
.
Матрица плана и результаты исследования приведены в таб-
лице 2.
Таблица 2
Матрица плана Бокса В
3
и результаты
экспериментальных исследований характеристик
профильных пластин
Матрица
плана
Расчетная матрица
№
Оп
ыта
1
x
2
x
3
x
1
у
2
у
у
21
xx
31
xx
32
xx
2
1
x
2
2
x
2
3
x
у
€
2
уΔ
1
+
+ + 53 51 52 + +
+ + +
+ 52,5 0,25
2
-
+ + 90 87 89 - -
+ + +
+ 89,5 0,25
3
+
-
+
10 11 10 - +
-
+ + + 9,5 0,25
129
4
-
- + 19 19 19 + - - + + + 13,5 0,25
5 + + - 2 2 2 + - - + + + 2,9 0,81
6 - + - 3 2 3 - +
-
+
+
+ 3,5 0,25
7 + - - 1 1 1 - -
+
+
+
+ 1,5 0,25
8 - - - 2 3 2 + +
+
+ + + 2,5 0,25
9 + 0 0 15 13 14 0 0 0 + 0 0 15 1
10 - 0 0 27 26 27 0 0 0
+
0 0 27 0
11 0 + 0 38 36 37 0 0 0 0
+
0 37,5 0,25
12 0 - 0 7 7 7 0 0 0 0
+
0 7 0
13 0 0 + 40 41 40 0 0 0 0 0 + 41 1
14 0 0 - 2 3 2 0 0 0 0 0 + 1 1
Каждый опыт воспроизводился два раза, по результатам
которых вычислялось среднее значение угла отклонения
α
.
Проверка однородности дисперсий произведена по кри-
терию Кохрена –
G
.
∑
=
N
i
S
S
G
1
2
2
max
где
2
max
S
- максимальная дисперсия в серии опытов;
2
i
S
- дисперсия каждого опыта в плане;
N
- число опытов в плане.
12
)(
2
1
2
.
2
−
−
=
∑
=u
juj
j
yy
S
где
uj
y
.
- значение выхода в каждом опыте.
5
12
)8987()8990(
22
2
2
2
max
=
−
−+−
== SS
В соответствии с табл. 2 имеем:
24,0215
=
=
G
Дисперсии однородны при условии:
130
ТАБЛ
ff
GG
);2:1(
α
<
,
где
ТАБЛ
ff
G
);2:1(
α
- табличные значения критерия Кохрена при
уровне значимости
α
и степеней свободы
1121
1
=−=−
=
mf
и
14
1
== Nf
.
Для
α
= 0,05 табличное значение критерия Кохрена
равно 0,47, что меньше расчетного. Следовательно, диспер-
сии однородны, и для оценки дисперсии воспроизводимости
2
y
S
принимается средняя дисперсия:
5,1
14
14
1
2
1
2
2
===
∑∑
== j
j
N
j
j
y
S
N
S
S
Результаты расчета коэффициентов уравнения регрес-
сии
i
b
по формулам (6.6), и проверка их значимости приведе-
ны в табл.3. Табличное значение критерия Стьюдента
15,2
)05,0;14(
=
табл
t
Таблица 4.3
Расчетные значения коэффициентов регрессии в
уравнении характеристик профильных пластин
Коэф-
фици-
ент
Расчетное
значение
i
b
Дисперсия
коэффици-
ента
{
}
i
bS
2
Критическое
значение ко-
эффи-циента
Вывод о зна-
чимости ко-
эффи-циента
в
0
21 0,63 1,48 Значим
в
1
- 6 0,316 0,75 Значим
в
2
14,7 0,316 0,75 Значим
в
3
+20 0,316 0,75 Значим
в
12
- 3,5 0,35 0,83 Значим
в
13
- 5,5 0,35 0,33 Значим
в
132
+14 0,33 0,83 Значим
в
11
0 0,63 1,48 Незначим
в
22
+ 1,5 0,63 1,48 Значим
в
33
0 0,63 1,48 Незначим
в
123
- 3,5 0,35 0,83 Значим