Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах

161

o

V

- объемное количество воздуха, поступающего

удаляемого из помещения в единицу времени (воздухооб-

мен);

ух

t

и

пр

t

- температуры воздуха соответственно уда-

ляемого (уходящего) из помещения и поступающего (при-

точного) в него.

2. Уравнения расходов воздуха и потерь давления

p

Δ

в аэрационных проемах:

- объемный расход:

ooo

FV

ω

=

; (7.16)

- массовый расход:

ρμρω

pFFG

oooo

Δ== 2

; (7.17)

ρ

ω

ξ

2

0

=Δp

, (7.18)

где

o

ω

- скорость воздуха в проеме;

o

F

- площадь аэрационного проема;

μ

- коэффициент расхода проема;

ξ

- коэффициент местного сопротивления проема.

3. Закономерности развития осесимметричных конвек-

тивных (при соотношении сторон источников тепла в плане

не более 1:3) и плоских приточных (при соотношении сторон

приточных отверстий более 1:10) струй на основных участ-

ках.

Для конвективных потоков в направлении координаты

развития струи

Z

:

z

V

∼

3/53/1

3/1

zQ

c

g

к

в

p

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ρ

β

(7.19)

z

ω

∼

3/13/1

3/1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

zQ

c

g

к

в

p

ρ

β

(7.20)

162

z

tΔ

=

)(

Вz

tt −

∼

(

)

3/53/2

3/1

22 −

−

zQgc

к

в

p

ρβ

(7.21)

Для плоских (приточных) струй в направлении развития

по оси

x

по отношению к соответствующему параметру в

живом сечении отверстия (индекс o ):

oo

х

b

x

mV

V

41,1

=

(7.22)

x

b

m

o

х

=

ω

(7.23)

x

b

n

tt

t

o

Впр

Вх

o

х

=

−

=

Δ

, (7.24)

где

к

Q

- тепловая мощность конвективного источника тепла;

o

b

- размер (ширина) плоского отверстия для выпуска

приточной струи;

m

- коэффициент изменения скорости по оси струи;

n

- коэффициент изменения избыточной температуры в

струе.

4. Уравнения физических констант воздуха в зависимо-

сти от определяющей температуры:

t

+

=

273

1

β

; (7.25)

λ

=

()

2

100076,045,2

−

+ t

; (7.26)

t

v

+

⋅=

−

387

)237(

10415,0

5,2

8

; (7.27)

t

+

=

273

353

ρ

, (7.28)

5. Уравнения для определения аэрационного воздухо-

обмена

o

V

и избыточной температуры уходящего воздуха

ух

tΔ

:

3/1

22

3/13/1

3/1

)()(

2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

вытпр

oизб

в

p

o

FF

НQ

c

g

V

μμ

ρ

β

; (7.29)

163

()

3/1

22

3/13/2

3/1

22

)()(

2

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=−=Δ

вытпр

oизб

в

pпрyxух

FF

НQcgttt

μμ

ρβ

,(

7.30)

где

изб

Q

- теплоизбытки в помещении;

o

H

- размер аэрационных проемов;

«

пр

» и «выт » - параметры, относящиеся соответственно

к приточным и вытяжным аэрационным проемам.

В условиях установившихся тепловых и аэродинамиче-

ских процессов и несжимаемой среды имеем:

0=

∂

=

∂

=

∂

τ

ρ

τ

ω

τ

t

В этом случае анализ уравнений (7.19-7.30) методом

теории подобия позволяет получить критерии, определяющие

процесс аэрации:

- критерий Релея

Ra

)(Pr)(

3

впн

m

mm

tt

v

cgl

GrRa −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=≡

λ

ρ

β

ρ

-критерий Архимеда

Ar

)()(

2

впнвв

tt

gl

Ar −=

ω

β

- критерий Рейнольдса Re

Re

в

v

l

)(

ω

=

- критерий Эйлера

Eu

2

)(

ωρ

в

p

Eu

Δ

=

- критерий Нуссельта Nu

n

m

k

m

Rac

la

Nu

′

==

)(

λ

Анализ полученных выражений показывает, что выпол-

нить подобие всех условий однозначности и равенство всех

164

определяющих критериев в натуре и модели, в данном случае

физически невозможно.

Например, согласно требованиям теории полного подо-

бия необходимо соблюсти равенство критериев Релея в нату-

ральном объекте и в модели -

[

]

[

]

М

m

Н

m

RaRa

=

:

Н

впн

m

М

впн

m

ttl

v

gc

ttl

v

gc

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)()(

33

λ

ρ

β

λ

ρ

β

ρρ

Отсюда определим масштабы подобия

i

С

для всех од-

нородных физических величин:

1

3

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ttl

m

v

cg

CC

СС

СССС

λ

ρβ

, (7.31)

где

tt

C

- масштаб разности температур

)(

впн

tt

−

.

Если допустить, что при одинаковой рабочей среде в

модели и натуре, имеет место равенство коэффициентов тем-

пературного расширения

МН

β

=

, плотностей среды

МН

ρ

=

, коэффициентов теплопроводности

НМ

λ

=

и кине-

матической вязкости

МН

ν

=

, а так же ускорений и теплоем-

костей воздуха (

1

=

cg

CС

), то из ( 7.31) следует:

3

1

l

tt

С

C =

или

3

)()(

lНвпнМвпн

Сtttt −=−

А это значит, что если принять линейный масштаб мо-

дели хотя бы равным

5

=

l

С

, то для того чтобы обеспечить

условие подобия в модели следует увеличить, разность тем-

ператур поверхности источника тепла и окружающего возду-

ха (t

nн

- t

в

) в 125 раз по сравнению с натурой, что технически

невыполнимо.

То же самое можно сказать и относительно скоростей

воздуха в модели. При том же линейном масштабе они долж-

ны быть больше, чем в объекте исследований, в 5 раз.

Для выхода из создавшейся ситуации в теории модели-

рования вводится понятие автомодельности.

165

В области автомодельности физические процессы оста-

ются себе подобными независимо от численных значений

критериев подобия (например, критерии Re и

Ra

при разви-

тых турбулентных течениях), которые при этом должны быть

не меньше некоторых предельных величин, называемых кри-

тическими.

Так, например, если в натуре режимы естественных и

вынужденных течений турбулентные (

[

][]

Кр

m

Н

m

RaRa ≥

;

[][]

Кр

В

Н

В

ReRe ≥

), то в модели их подобие обеспечивается ус-

ловием:

[

]

[

]

Кр

m

М

m

RaRa ≥

[

]

[

]

Кр

В

М

В

ReRe ≥

.

Это дает возможность ввести понятие о масштабах этих

критериев:

Нm

Крm

Нm

Мm

Ra

С

m

][

≥=

Нв

Крв

Нв

Мв

m

С

][Re

Re

≥=

.

Но тогда нарушается подобие полей температур на по-

верхностях источников и стоков тепла (подобие граничного

условия первого рода). Эти поверхности, а также прилегаю-

щие к ним пограничные слои среды приходится исключить

из области, в которой реализуется подобие. При этом моде-

лирование переходит в неполное, или приближенное. Оно

корректно только для решения задач, относящихся к пара-

метрам среды (воздуха) на удалении от указанных поверхно-

стей.

Приведенные примеры показывают, что метод модели-

рования физических процессов не является универсальным,

годящимся для решения любых задач. Его применение долж-

но обосновываться и сопровождаться глубоким анализом

166

возможности выполнения условий подобия. В то же время,

для многих технических задач методики моделирования раз-

работаны достаточно полно и перешли уже в разряд стан-

дартных приемов исследования.

7.3. Особенности моделирования стохастических

систем

Опыт применения метода моделирования в сложных

технических системах показывает, что результаты, получен-

ные на модели, не всегда согласуются с поведением нату-

ральной системы. Наряду со сложностью обеспечения самого

процесса моделирования, одной из основных причин такого

положения является рассмотрение работы натурального объ-

екта и модели (чаще последней) как детерминированных сис-

тем.

Даже допуская, что натуральная система является сто-

хастической, применение метода подобия в «классической»

интерпретации неизбежно накладывает ограничения на полу-

чение статистической информации на модели в силу ее еди-

ничности (как объекта исследования), а пересчет результатов

с модели на натуру представляет детерминированный про-

цесс.

Отличие в подходах к моделированию стохастических и

детерминированных систем заключается в признании того

факта, что и в модели и в натуре первых результаты пред-

ставляют собой математические ожидания и имеют некую

дисперсию с соответствующим законом распределения.

Принципы подобия в статистическом смысле требуют

выполнение следующих условий [14]:

- константы подобия должны формироваться как отношения

средних арифметических значений соответствующих вели-

чин

для модели и натуры (оригинала);

167

- должна соблюдаться тождественность плотностей распре-

деления безразмерных величин, характеризующих свойства

модели и натуры.

Масштаб подобия в стохастических натуральном и мо-

дельном объектах, характеризующиxся случайными величи-

нами, соответственно

nННН

XXX

.2.1.

,.....,,

и

nМММ

XXX

.2.1.

,.....,,

с плотностями распределения

(

)

Н

Xf

и

(

)

М

Xf

рассматрива-

ется как отношение математических ожиданий

X

v

соответст-

венных случайных величин:

iМ

iН

riX

X

C

.

..

w

v

=

, ni ,.....,2,1

=

.

Подобие в поведении систем будет соблюдаться при

подобии математических ожиданий (начальных моментов).

Этот вид подобия называется статистическим подобием пер-

вого порядка [15].

Условия подобия более высоких порядков выражаются

через подобие центральных моментов. Для обеспечения по-

добия в статистическом смысле необходимо, что бы каждая

константа удовлетворяла условию:

k

i

n

h

n

i

h

riX

М

n

hh

Нhh

riX

C

X

C

/1

1

..

,......,

..

)(

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

∏

=

−

vv

μ

где

i

h

- показатели степеней, сумма которых должна быть

равна порядку центрального момента, при котором обеспечи-

вается статистическое подобие.

При моделировании сложных систем соблюдение всех

условий статистического подобия весьма затруднительно.

Поэтому, на практике ограничиваются подобием первого по-

рядка, при котором требуется знать математические ожида-

ния тех свойств модели и оригинала, которые определяют их

поведения.

168

Из теории размерности следует следующее соотноше-

ние:

∏

=

===

l

i

a

riX

jМ

jН

j

ij

C

K

I

1

..

1

v

mj ......3,2,1

=

(7.32)

где

K

- критерий подобия;

j

- номер критерия;

a

- показатели степени, устанавливаемые на основе ана-

лиза размерностей;

l - число величин, определяющих явление.

В условиях, когда моделируется стохастическая систе-

ма, в конкретном эксперименте вероятность выполнения ус-

ловия (7.32) равна нулю, так как вместо математического

ожидания может появиться любое случайное значение соот-

ветствующей величины. Поэтому можно лишь предполо-

жить, что для соотношения (7.32) будет выполняться усло-

вие:

()

(

)

Δ−≤≤Δ− 11

jjj

III

v

, (7.33)

где

Δ - некоторая вероятность.

Вероятность условия (7.33) определяется выражением:

()

(

)

mmmjj

dIdIdIIIIfmjIIP ...,,,,....,.....,.....,2,1,.........

2121,...,2,1

∫∫

==Δ<−

v

(где

()

mm

IIIf ,...,

21,...2,1

- плотность совместного распределения

индикаторов подобия

j

I ) и называется вероятностью подобия

при погрешности подобия

Δ

. Вероятность подобия по (7.33)

определяет подобие поведения одной наугад взятой модели и

одного взятого наугад натурального образца.

При моделировании какой-либо системы обычно огра-

ничиваются одним образцом модели, и определить функцию

плотности распределения вероятности на этом образце не

представляется возможным. Поэтому вычисление вероятно-

сти подобия проводят на основе числовых характеристик

плотности

распределения случайных величин.

169

Для некоррелированных индикаторов подобия можно

записать:

()

(

)

(

)

(

)

mvmm

IfIfIfIIIf ,....,,,...,,

221121,...,2,1

=

и вычисление вероятности подобия проводится по выраже-

нию:

()

(

)

()

∏

∫

∏

=

Δ<−

=

=Δ<−==Δ<−

m

j

II

jjj

j

m

j

jjjj

jj

dIIfIIPmjIIP

11

,.....,2,1,.........

vv

Числовые характеристики плотности распределения в

этом случае представляют собой следующее:

- для математического ожидания:

1=

j

I

v

- для дисперсии

()

(

)

()

∑∑

==

l

i

iij

l

i

ijj

Xa

X

XD

aID

2

1

22

2

1

2

*

ω

v

.

где

()

i

X

XD

X

v

=

ω

- коэффициент вариации величины

i

X

.

Вычисление вероятности подобия при некоррелирован-

ных индикаторах в предположении о логарифмическом нор-

мальном распределении плотности вероятности

()

If

можно

провести по следующему выражению:

()

(

) ()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−Δ−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−Δ+

===Δ<−

ujuj

jjj

I

Ф

I

ФhmjIIP

σσ

0

*

0

*

lg1lglg1lg

,..,2,1,..

v

2

0

1513,1lg

uj

I

σ

−=

Среднеквадратичное отклонение находится из решения урав-

нения:

()

1

1886,0

exp

2

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

uj

j

I

σ

ω

Значение функции

5,0

*

+= ФФ

определяется по стандартным

таблицам, например [4].

170

В детерминированных системах переход от измеренных

на модели величин к тем же величинам натурального объекта

выполняется однозначно с помощью констант (масштабов)

подобия. В стохастических системах, при сохранении подо-

бия первого порядка, переход от измеренной величины моде-

ли к соответствующей величине натуры не правомерен, так

как условие:

,1 Δ<−

j

I

mj ,...,2,1

=

предполагает многозначность значений индикатора подобия

в интервале

()

Δ+Δ− 1;1

.

Определение возможного интервала

(

)

minmax

НН

XX −

зна-

чений какой-либо величины

kН

X

.

для натурального образца

при условии, что значение этой же величины

kМ

X

.

измерено

на модели и известен интервал возможных значений множи-

теля преобразования (масштаба)

rX

C

.

v

при заданной вероятно-

сти подобия

h

и погрешности

Δ

определяется следующим

образом:

rX

a

kMkН

CXX

ij

..

max

.

1

v

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ+

>

(7.34)

rX

a

kMkН

CXX

ij

..

min

.

1

v

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ−

>

.

При этом максимальное и минимальное значение мно-

жителя перехода представляют отношения:

min

max

k

kr

X

C =

Если принять экспериментально найденное (осреднен-

ное по некоторому количеству параллельных опытов) значе-

ние величины в модели

kМ

X

.

&&&

в качестве математического

Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах

Подождите немного. Документ загружается.