Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах

Подождите немного. Документ загружается.

151

Соответственно формула (7.8) приобретает традицион-

ный вид:

ρλ

p ⋅⋅=Δ

7.2. Подобие и моделирование физических процессов

Из теории размерности логически следует, что процессы,

протекающие при одинаковых значениях безразмерных ком-

плексов, характеризующих суть явления, можно рассматри-

вать как физически подобные.

Два явления считаются подобными, если по заданным

характеристикам одного можно получить характеристики

другого простым пересчетом, который аналогичен переходу

от одной системы единиц измерения к другой системе. [11]

Это означает, что одно и тоже физическое явление мож-

но изучать в одном масштабе времени, а полученные резуль-

таты распространять на иные масштабы. Это используется в

методике моделирования. Под моделированием понимается

замена изучением этого же явления в модели иного (больше-

го или меньшего масштаба).

Необходимым и достаточным условием подобия двух

яв-

лений является постоянство численных значений безразмер-

ных комбинаций составленных из определяющих парамет-

ров, которые определяют собой все остальные величины.

Размерные характеристики в натуре и на модели связаны ме-

жду собой масштабами.

Если явление определяется

– параметрами, из которых

имеют независимые размерности, то для

величин с неза-

висимыми размерностями переходные масштабы могут быть

произвольными, и они определяются условиями задачи или

эксперимента. Для остальных размерных величин переход-

ные масштабы определяются из формул размерности.

152

В технических задачах наиболее часто используются

приемы механического и теплового подобия.

Механическое подобие предполагает выполнение трех

основных составляющих:

геометрического подобия;

кинематического подобия;

динамического подобия.

Геометрическое подобие требует постоянства масштаба

между всеми линейными размерами:

C =

где

– соответственно, линейные размеры натураль-

ного объекта и его модели.

Соответственно масштабы площадей

и объемов

будут равны:

;

Кинематическое подобие подразумевает подобие траек-

торий, описываемых, сходственными точками модели и на-

туры. Кинематическое подобие определяется масштабами

времени

, скоростей

, ускорением сходственных эле-

ментов

, а так же одинаковой ориентацией их векторов.

С =

;

С =

;

С =

;

Имея в виду, что скорость равна

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

, а ускорение

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

, имеем:

С =

;

С =

153

Для динамического подобия необходимо, чтобы все силы

одинаковой природы, действующие на любую пару сход-

ственных элементов, отличались бы только постоянными

масштабами

;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

=⋅=

LМ

атF

;

[]

MVm =⋅=

;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

24 −

⋅⋅==

TlF

СССС

Условие динамического (и даже иногда геометрического)

подобия в точной мере соблюсти практически невозможно.

Поэтому, на практике стремятся установить условия подобия

для частных случаев, либо искусственно создать условия,

способствующие сохранению подобия. Например, при иссле-

довании деформаций упругой конструкции (ферма, балка,

оболочка) на её геометрической модели возникают физиче-

ские сложности, вытекающие из

природы усилий [11].

Для определения размеров модели задаётся некоторый

характерный её размер

[

]

. Если в рассматриваемом со-

стоянии равновесия вес конструкции существенен, то удель-

ный вес

[

]

/ смкг

должен фигурировать в качестве оп-

ределяющего параметра. Кроме силы веса на конструкцию

действуют внешние силы

[

]

/* смкг

. Упругие свойства ма-

териала определяются модулем Юнга

[

]

/ мкг

и безразмер-

ным коэффициентом Пуассона

. Таким образом, состав оп-

ределяющих параметров будет представлен следующим:

. Из них можно составить три безразмерных

комплекса -

, которые должны быть одинако-

выми для натуральной фермы и её модели:

154

1==

;

1==

МММН

НННМ

BgE

;

МН

НМ

ВР

Если натуральный объект и его модель выполнены из

одного материала то и значения

у них одинаковы.

Соответственно имеем:

;

1==

ММ

НН

;

МН

НМ

ВР

Положим, что модель меньше натурального сооружения

раз. Тогда для соблюдения подобия необходимо выпол-

нить условия:

1== n

или

НМ

ngg

(7.9)

== n

или

/ nРР

НМ

. (7.10)

Условие (7.10) о соотношении внешних воздействий вы-

полнить не составляет сложности. Но требование (7.9) про-

тиворечит природе силы веса, так как в обычных условиях:

-const. Поэтому в реальности подобие таких систем в кото-

рых существенными параметрами являются

обеспечить невозможно.

Для моделирования таких объектов предлагается заме-

нять силы тяжести с ускорением

на центробежную силу с

соответствующим ускорением

, которое можно устанавли-

вать соответствующей и постоянной угловой скоростью вра-

щения объекта. При малых размерах модели и большом ра-

диусе вращения центробежные силы инерции можно считать

плоскопараллельными и на модель будут действовать посто-

янные массовые силы, аналогичные силе тяжести.

Наиболее широкое применение метод моделирования

нашел в задачах тепло- , аэро- и

гидродинамики.

Тепловое подобие подразумевает подобие характеристик,

определяющих условие теплообмена: температур, коэффици-

155

ентов интенсивности теплообмена, и т.п.

Например, уравнение, описывающее процессы теплопро-

водности между твердыми телами и жидкостями в модели и

натуре запишутся следующим образом:

СТ

ММжМстМк

ТТ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−=−

λα

)(

...

(7.11)

СТ

ННжНстНк

ТТ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−=−

λα

)(

...

Где

– коэффициент конвективной теплоотдачи от

стенки к жидкости;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

– температура в направлении от стенки через бес-

конечно тонкий слой жидкости

)( x

∂

;

- коэффициент теплопроводности материала;

ст

– соответственно температуры жидкости и стен-

ки.

Соотношение между величинами характеризующими,

теплообмен в натуре и модели выразится их масштабами:

;

Мж

Нж

Мст

Нcт

;

С =

Используя принятые масштабы уравнение 7.12 для нату-

рального объекта можно записать следующим образом:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−=−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−=−

ММжНстМ

СТ

МtМжtМстМ

ТТС

ССТСТС

λα

)(

(7.12)

Из соотношения уравнений (7.11) и (7.12) следует:

или в соотношении размерных величин:

156

НМ

МН

или

ММ

НН

- const.

Следовательно, условием подобия является постоянство

безразмерного комплекса

, который называется крите-

рием Био (Bi).

Критерии подобия выражают соотношения между раз-

личными физическими эффектами, характеризующими дан-

ное явление. Например, критерий Bi можно рассматривать

как отношение термического сопротивления стенки (

) к

сопротивлению теплоотдачи

(

)

Теория подобия основывается на ряде положений, вы-

полнение которых обеспечивает условия моделирования яв-

ления.

1. У подобных явлений критерии подобия равны.

Обычно критерии подобия получают из дифференциаль-

ных уравнений, описывающих явление.

Выделяют определяемые и определяющие критерии. За

определяющие принимаются критерии, отражающие влияние

конкретных факторов на физический процесс и содержащие в

своем

составе известные величины.

Определяемые (не определяющие) критерии содержат в

своем составе искомые величины.

2. Связь между определяемыми и определяющими кри-

териями может быть представлена в виде некоторой функ-

ции.

По результатам экспериментов на модели можно опреде-

лить вид функции и распространить их на все подобные яв-

ления. Естественно, что полученная зависимость

будет спра-

ведлива в тех диапазонах значений определяющих критериев,

в которых проводились опыты на модели.

3. Необходимые и достаточные условия подобия физиче-

ских явлений состоят в подобии условий однозначности и ра-

157

венстве одноименных определяющих критериев.

При моделировании стохастических систем подобие со-

блюдается при условии совпадения плотностей вероятностей

сходственных параметров, представленных в виде относи-

тельных характеристик. При этом дисперсии и математиче-

ские ожидания всех параметров (с учетом масштабов) долж-

ны быть одинаковыми.

При исследовании сложных систем их подобие обеспе-

чивается подобием всех сходственных

элементов, являющих-

ся общими для всех подсистем. В практике моделирования

таких систем часто реализуется приближенное подобие, до-

пускающие некоторые упрощения и соблюдающие равенства

только основных критериев подобия. В [12] приводится оп-

ределение метода приближенного моделирования как “сме-

шанного теоретически-экспериментального метода, состоя-

щего в установлении требований, предъявляемых теорией

для получения полного

подобия в модели, и в выявлении пу-

тем экспериментального сравнения модели с образцом, какие

из требований могут не выполнятся без заметного искажения

подобия”. Метод приближенного подобия в исследовании

технических систем имеет то преимущество, что он осуще-

ствим, и фактически, всегда является единственно реализуе-

мым на практике.

Методика приближенного моделирования конкретного

физического

объекта может быть признана корректной,

только если установлена величина возможной ошибки от за-

мены полного подобия приближенным.

Проиллюстрируем возможности метода приближенного

моделирования физических процессов на примере исследо-

вания вентиляции в помещении с теплоизбытками в теплый

период года, разработанного в ЛИСИ [13].

Вентиляционные процессы, связанные с переносом мас-

сы вещества и тепловой

энергии, протекают в условиях есте-

158

ственной и вынужденной конвекции, сложного лучистого те-

плообмена, в значительных по объему помещениях. Поэтому

метод приближенного моделирования проявляется в этом

классе систем наиболее полно.

Пример.

В натуральных условиях объектом моделирования явля-

ется (рис. 7.2) помещение с источником тепла интенсивно-

стью

(70% тепла передается конвекцией), степенью чер-

ноты материала поверхности

. Температура наружного

воздуха в теплый период составляет

, внутреннего воздуха

в рабочей зоне помещения (в пределах объема на высоте 2 м

от пола)

, на внутренних поверхностях наружных огражде-

ний

ВП

. Температура на поверхности источника тепла со-

ставляет

НП

Исследуемый процесс представляет собой естественную

вентиляцию (аэрацию) данного помещения: приток воздуха в

помещение осуществляется через проемы в ограждающих

конструкциях площадью

пр

, удаление воздуха производится

через фрамуги в аэрационном фонаре площадью

выт

. При

движении через помещение наружный воздух воспринимает

(ассимилирует) тепловыделения и к моменту выхода из по-

мещения имеет температуру

ух

Задача сводится к выявлению распределения полей

температур по объему помещения и влияния на это распреде-

ление количества вентиляционного воздуха, проходящего че-

рез помещение в единицу времени – воздухообмена

Анализ процесса формирования полей температур и ско-

ростей движения воздуха в рабочей зоне помещения при

аэрации (вид системы вентиляции, в котором поступление и

удаление воздуха из помещения осуществляется под дейст-

вием естественных эффектов – гравитационных сил) показы-

159

вает, что он зависит от многих факторов: высоты и геометри-

ческой формы помещения; габаритов источника тепла, вели-

чины общих тепловыделений и соотношения между их кон-

вективной и лучистой составляющими; площадей, размеще-

ния и аэродинамических характеристик приточных и вытяж-

ных аэрационных проемов; теплотехнических свойств огра-

ждающих конструкций и т. д.

Рис.7.2. Схема объекта

Система уравнений, описывающих большинство из ука-

занных факторов, включает следующие зависимости.

1. Уравнения теплообмена поверхностей источников

тепла и теплового баланса помещения:

- конвективного:

() ()

НП

ВНП

НПВНПmкк

Ftt

cFttQ

...

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

=−=

;

(7.13)

- лучистого:

160

НП

ПВНП

Пл

СQ

100100

⋅⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕε

;

(7.14)

-теплового баланса:

∑

−⋅+−=

прyxpoНВii

ttcVttFKQ

)(*)(

, (7.15)

где

mк.

- коэффициент конвективного теплообмена при оп-

ределяющей температуре

; В данном случае определяется

через критерий Нуссельта

. Численное значение

критерия Nu вычисляется через критерий Релея

по эмпи-

рическим формулам типа:

RacNu

′

где

()

ВНП

cgl

Ra −=

λν

- критерий Релея;

- коэффициент объемного расширения;

- определяющий линейный размер;

- удельная теплоемкость среды;

- плотность воздуха;

- коэффициент теплопроводности воздуха;

- кинематический коэффициент вязкости;

- показатель степени в критериальном уравнении;

- степень черноты поверхности;

- коэффициент излучения абсолютно черного тела;

НП

ПВ

- температуры соответственно нагретых и

внутренних поверхностей;

- угловой коэффициент излучения;

- коэффициент теплопередачи

-го ограждения;

- поверхность i -го ограждения;