Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах
Подождите немного. Документ загружается.
141
чениями Z. Но надежность полученных значений y
€
невелика
и зависит удаление точки от границ факторного пространст-
ва. Чем дальше расположена точка, тем менее вероятные зна-
чения получаются. Однако решение экстрополяционной за-
дачи в некоторых случаях имеют практический интерес или
используются для нахождения области оптимума.
Для линейных моделей степень влияния каждого фактора
на поведение системы можно оценить по
величине соответ-
ствующего коэффициента в уравнении (6.11). Чем больше
значение /b
i
/, тем сильнее его влияние на изменение y. В
квадратичных моделях величина коэффициентов при линей-
ных членах не является критерием значимости фактора и этот
вопрос необходимо рассматривать с учетом значений и зна-
ков коэффициентов при квадратичных членах и эффектах
взаимодействия. Обычно эта задача решается проще всего
решается графическим методом.
Выбор метода
определения экстремума целевой функции
зависит от степени уравнения (6.11).
Если область экстремума описывается линейным уравне-
нием, то экстремальные значения целевой функции лежат на
границе области, - в вершинах квадратах (при к=2), кубах
(при к=3) или гиперкуба (при к>3). В соответствии со знака-
ми у коэффициентов b
i
определяют минимальное
v
y или мак-
симальное
y
€
значение целевой функции, подставляя в урав-
нения граничные условия по входным факторам.
Если процесс описывается полиномом второй степени, то
поиск экстремумов может осуществляться методом перебора.
При этом вычисляются значения целевой функции при всех
комбинациях входных факторов в принятых интервалах их
изменения с некоторым шагом квантования
i
х
Δ
. Этот прием
достаточно трудоемок и реализуется на ЭВМ.
142
7. Метод подобия и моделирования в технических задачах
В ряде случаев проведение натурального эксперимента
невозможно по объективным причинам или не рационально
по экономическим соображениям. Тогда оказывается полез-
ным использование метода исследования физических про-
цессов на геометрических моделях системы.
Метод физического моделирования основан на теории
подобия, которая в свою очередь обосновывается теорией
размерности.
7.1. Теория размерности физических величин
Величины, численное значение которых зависит от при-
нятых масштабов (единиц измерения) называются размер-
ными. Вообще говоря, практически все величины, отражаю-
щие физическую суть предмета, явления, процесса имеют
или могут быть выражены через некую единицу измерения.
Поэтому в теории размерности принято называть размерны-
ми только те величины, которые допускают различные еди-
ницы
измерения. И наоборот, если величина имеет одинако-
вую единицу измерения не зависимо от системы измерения,
то её относят к «безразмерным» [11].
Выделяют основные и производные единицы измерения.
В качестве основных единиц в технических задачах исполь-
зуются метр, килограмм, секунда, градус Кельвина.
Производные единицы измерения выражаются через ос-
новные и
как, правило, получаются из определения физиче-
ских величин; например сила –кг м/с
2
– Ньютон, ускорение -
м/с
2
, и т. п.
Зависимость единицы измерения производной величины
от единицы измерения основной называется размерностью и
выражается формулой размерности имеющей степенной вид:
143
tml
T
M
L
**
,
где, L, M, T – соответственно размерности длины, массы
и времени.
Физические закономерности выражаются функциональ-
ными зависимостями между величинами, характеризующими
физическое явление. Численное значение этих размерных ве-
личин зависят от системы единиц измерения.
Если имеется размерная величина
y
, которая является
функцией
u
независимых аргументов – размерных величин –
i
x
, то связь между ними выражается уравнением:
);...;...;;(
321 uk
xxxxxfy =
(7.1)
Если
k
величин функции f имеют независимые размер-
ности, а (u-k) – зависимые, то, принимая первые k величин за
основные величины, через них можно выразить размерности
остальных (u-k) величин:
X
1
= [x
1
]; X
2
= [x
2
];… X
k
= [x
k
];
[
]
mk
k
mmm
xxxxy ...
3
3
2
2
1
1
=
[
]
pk
k
pp
k
xxxx ...
2
2
1
11
=
+
[
]
qk
k
qq
u
xxxx ...
2
2
1
1
=
Изменив единицы измерения
1
x
,
2
x
,…
k
x
;, соответст-
венно в
1
α
,
2
α
,…
k
α
раз численные значения величин в но-
вой системе будут равны:
111
xx
⋅
=
′
α
yy
mk
k
mm
⋅=
′
ααα
...
2
2
1
1
222
xx ⋅=
′
α
1
2
2
1
11
...
++
⋅=
′
k
pk
k
pp
k
xx
ααα
kkk
xx
⋅
=
′
α
u
qk
k
qq
u
xx ⋅=
′
ααα
...
2
2
1
1
В новой системе измерения соотношение (7.1) примет
вид:
).........;...(
)...;...;(......
2
2
1
11
2
2
1
111
21
2
2
1
1
2
2
1
1
u
pk
k
qq
k
pk
k
pp
kk
nk
mk
k
mmmk
k
mm
xxxxf
xxxxfyy
αααααααα
αααααα
+
=
===
′
(7.2)
144
Положим:
;
1
...
1
;
1
2
2
1
1
k
k
xxx
===
ααα
тогда в функции
f
первые
k
аргументов будут равны 1.
Численные значения параметров
y
;
1+k
x
;…
u
x
определятся по
формулам:
mk
k
mm
ххх
у
П
...
2
2
1
1
=
рk
k
рр
к
ххх
х
П
...
2
2
1
1
1
1
+
=
qk
k
qq
u
ku
ххх
x
П
...
2
2
1
1
=
−
Соответственно соотношение (7.1) запишется в виде:
)......1,..1(
1 ku
ППfy
−
=
(7.3)
Таким образом, связь между
1
+
n
размерными величи-
нами
y
,
,
1
x
,
2
x
…
n
x
, независимая от выбора системы единиц
измерения, принимает вид соотношения между
()
kn −+ 1
ве-
личинами
1
П
,
2
П
…
ku
П
−
, представляющими собой безраз-
мерные комбинации из
(
)
1
+
n
размерных величин. Это явля-
ется общим выводом теории размерностей и называется
П
-
теоремой. [9].
Соответственно, если рассматриваемая безразмерная ве-
личина является функцией ряда размерных величин, то эта
функция зависит только от безразмерных комбинаций, со-
ставленных из определенных размерных величин. И всякое
физическое соотношение между размерными величинами
можно представить как соотношение между безразмерными
величинами.
Из (7.3) следует, что если число основных единиц изме-
рения равно
числу аргумента (т.е.
kn
=
), то функциональная
зависимость может быть представлена только в виде:
145
mn
n
mm
xxcxy ....
2
2
1
1
=
,
где
c
– безразмерная постоянная, определяемая из экспери-
ментальных данных.
Всякую систему уравнений, описывающих поведение
объекта, можно сформулировать как соотношение между
безразмерными величинами. Среди определяющих парамет-
ров должны быть величины с размерностями, через которые
могут быть выражены размерности всех остальных зависи-
мых параметров. Некоторые из определяющих параметров
могут быть физическими размерными постоянными.
Например,
статическое состояние газа выражается сле-
дующими определяющими параметрами:
- температурой
t
T
,
[
]
C
;
- плотностью
ρ
,
[
]
3
LM
;
- давлением
P
,
[
]
LTM
2
.
Предположим, что состояние газа определяется темпера-
турой, плотностью и одной физической постоянной, напри-
мер коэффициентом теплоемкости
[
]
122 −−
= CTLc
ν
. Размер-
ность давления можно выразить через независимые размер-
ности
t
T
,
ρ
и
v
c
:
P
=f(
t
T
;
ρ
;
v
c
)
Тогда безразмерный комплекс
K
, образованный этими
параметрами будет иметь вид:
t
Tc
P
K
ρ
ν
=
или
TcKP
ν
ρ
=
Имея в виду, что размерность
[
]
122 −−
=⋅ CTLcK
v
, получает-
ся уравнение Клайперона:
RKC =
ν
;
ρ
RTP
=
.
Таким образом, уравнение Клайперона можно рассмат-
ривать как следствие единственной гипотезы о том, что дав-
ление, плотность, температура и теплоемкость, независимо
от значений других характеристик, связанны между собой
146
соотношением, имеющим физической смысл.
Теория размерности может применяться для определения
безразмерных комплексов (критериев), когда математическое
описание явления ещё отсутствует.
Например, из опыта известно, что теплоотдача между
твердой поверхностью и жидкостью зависит от восьми раз-
мерных величин:
- характерного размера поверхности,
l
м,
[]
L
;
- скорости жидкости,
υ
м/с,
[
]
1−
LT
;
- плотности жидкости,
ρ
кг/м
3
,
[
]
3−
ML
;
- динамической вязкости
μ
, Па с ,
[
]
11 −−
LMT
;
- теплопроводности
λ
, Вт/м К,
[
]
13 −−
CLMT
;
- удельной теплоемкости
ν
C
,Дж/кг К,
[
]
122 −−
CTL
;
- подъемной силы, отнесенной к единице массы
Tg Δ
β
,
м/с
2
[
]
2−
LT
;
- коэффициента теплоотдачи поверхности
α
, Вт/м
2
К
[
]
13 −−
CMT
;
Имеется четыре основных единицы измерения: длина
L
,
масса
M
, время
T
и температура
C
.
Безразмерные комплексы
K
представляются в виде про-
изведений степеней основных размерных величин:
()
z
y
mnxuts
TgClK
αβλμρυ
ν
Δ=
(7.4)
где
z
x
y
mnu
t
s
,,,,,,,
- неизвестные показатели системы.
Замена величин, входящих в (7.4) их размерностями при-
водит к выражению:
)()()3223()23(13
2122111131
][
][][][][][][][
zxmzmnuzyxmntyxmnutsz
yxтnuts
CMTLCMT
LTCTLCMLTTMLMLLTLK
−−−+++−−−−−−+++−−+−−
−−−−−−−−−
⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
Условием безразмерности комплекса
K
является равен-
ство нулю суммы показателей степеней при каждой основной
размерности.
147
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
=+++++
=+++−−+
0
0
03232
023
zxm
zmnu
znxmyt
yxmnuts
(7.4а)
В связи с тем, что показателей степени 8, а уравнений в
системе (7.4а) четыре, то для остальных (8-4) степеней (на-
пример,
nzy
x
,,,
) значения могут быть назначены произволь-
но. Тогда из (7.4а) имеем:
)(
)(
23223
23
zxm
nxzzxnu
ynxzyxmnt
yxmntus
+−=
−=−++−=
−−=−−−−−=
−
−
−
+
−=
и далее (7.4) перепишется:
zxyzxnnxynxnzyx
CTglК
αβλμρυ
ν
⋅Δ⋅⋅⋅⋅⋅=
+−−−−−++
)(
)()()2()(
С учетом свободы выбора
nzy
x
,,,
получаются следую-
щие критерия подобия:
1.
z
=1;
0==
=
nxy
Критерий Нуссельта
N
u
:
λ
α
l
Nu =
.
2.
n
= -1;
0=== xzy
Критерий Рейнольдса Re:
Re
μ
υρ
l
=
.
3.
x
=1;
n
=1;
0
=
= zy
Критерий Прандтля Pr:
Pr
λ
μ
ν
C
=
.
4.
y
=1;
n
=-2;
0
=
= zx
Критерий Грасгофа
Gr
:
223
)(
ρμβ
lTgGr Δ=
.
При других значениях
nzy
x
,,,
получаются лишь различ-
ные комбинации полученных критериев.
Другой иллюстрацией возможности теории размерности
может служить изучение движения воды в трубах. Примене-
ние теории размерности О. Рейнольдсом в конце 19 века по-
148
зволила согласовать и объединить многие эмпирические за-
коны найденные для различных условий движения.
Рис. 7.1.
Движение несжимаемой жидкости по трубе рассматрива-
ется при установившемся режиме со средней скоростью
w
[
]
1−
LT
. Параметры трубы круглого сечения однозначно опре-
деляются её диаметром
d
[
]
L
, длиной
l
[
]
L
и высотой выступов
h
[]
L
. Физические свойства жидкости, влияющие на движение,
определяются плотностью
ρ
[
]
3−
ML
и динамической вязкостью
μ
[
]
11 −−
LMT
.
В общем виде взаимосвязь между этими параметрами
имеет вид:
0),,,,,,(
=
Δ
pwhdlf
μ
ρ
Всего имеются 7 размерных величин (к=7) из которых 3
),,( wd
ρ
имеют независимую размерность (к=3). Следова-
тельно, число безразмерных комплексов составит: 7-3=4.
(
)
lspkFtu
pwhdlK Δ= ,,,,,,
μρ
[ ] [][][]
[
]
[
]
[
]
[
]
lspk
Ftu
LMTLMTLTMLLLLK
121113 −−−−−−
=
=
lsplsklspkFtu
T
M
L
23 −−−++−−+−++
.
Условие безразмерности комплекса
К
:
02
0
03
=++
=++
=
−−+−++
lsp
lsk
lspkFtu
(7.5)
149
Для решения системы уравнений (7.5) воспользуемся
приёмом определения безразмерного комплекса через каж-
дый зависимый размерный элемент
),,,( lhpE
μ
Δ
:
ii
pkt
Ewd
πρ
=
. (7.6)
Для давления
pΔ
:
p
pkt
pwd
πρ
=Δ
(7.7)
[]
[][]
[
]
[]
p
pkpkt
pk
t
TMLLMTLTMLL
π
==
−−+−+−−−−− 21131213
02
01
013
=+
=+
=−
+
−
p
k
pkt
отсюда имеем:
0=t
;
1
−
=
k
;
2
−
=
p
.
Соответственно выражение (7.7) примет вид:
p
pwd
πρ
=Δ
−− 210
или критерий Эйлера
Eu
:
2
w
p
Eu
ρ
Δ
=
;
- для динамической вязкости
(
)
μ
π
:
μ
πμρ
=
pkt
wd
[]
[][]
[
]
[]
μ
π
==
−−+−+−−−−− 11131113 pkpkt
pk
t
TMLLMTLTMLL
01
01
013
=+
=+
=−+−
p
k
pkt
отсюда имеем:
1
−
=
t
;
1
−
=
k
;
1
−
=
p
и соответственно
получаем критерий Рейнольдса Re:
μ
πμρ
=
−−− 111
wd
; Re
μ
ρ
dw
=
;
- для длины
l
;
l
pkt
lwd
πρ
=
[]
[][]
[
]
[
]
l
pkpkt
pk
t
TMLLLTMLL
π
==
−++−−− 1313
150
0
0
013
=
=
=++−
p
k
pkt
соответственно получаем:
1
−
=
t
и
d
l
ld
l
==
−1
π
- калибр
трубопровода;
- для размеров выступов
h
:
h
pkt
hwd
πρ
=
[]
[][]
[
]
[
]
h
pkpkt
pk
t
TMLLLTMLL
π
==
−++−−− 1313
0
0
013
=
=
=++−
p
k
pkt
соответственно получаем:
1
−
=
t
и
d
h
hd
l
==
−1
π
- шеро-
ховатость материала трубопровода;
Таким, образом, функцию
f
от семи параметров можно
заменить функцией
1
f
от четырех:
(
)
0Re;;;
1
=Eu
d
h
d
l
f
или производя запись в безразмерных параметрах:
d
l
d
h
f
w
р
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Δ
Re;3
2
ρ
Далее можно произвести преобразование:
2
1
3
Re; w
d
l
d
L
fp
ρ
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=Δ
(7.8)
Процесс экспериментальных исследований сводится к
определению вида функции
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Re;
d
L
f
1
3
. В частности, для
турбулентного режима течения получено выражение:
λ
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
25.0
1
3
Re
68
11,0Re;
d
h
d
L
f