Кузнецов Б.Т. Финансовая математика

КУЗНЕЦОВ Б.Т.

Финансовая математика

Рекомендовано для студентов экономических

вузов в качестве учебного пособия для вузов

Издательство «ЭКЗАМЕН»

МОСКВА

2005

Дн, 1999.

УДК 336.6(075.8) ББК 65.261 я73

К89

Кузнецов Б.Т.

К89 Финансовая математика: Учебное пособие для вузов / Б.Т. Кузнецов. —

М.: Издательство «Экзамен», 2005. — 128 с. (Серия «Учебное пособие для

вузов») ISBN 5-472-00153-6

В книге приведены методы расчетов финансовых и коммерческих операций,

с которыми сталкиваются банковские служащие, финансисты-аналитики,

экономисты и бухгалтеры.

Для студентов и аспирантов экономических специальностей.

Подписано в печать с диапоз

и

тивов 10.06.2004

Формат 84x108/32. Гарнитура «Тайме». Бумага офсетная

Уч.-изд. л. 6,72. Усл. печ. л. 7,88

Тираж 15 000 (1-й завод - 5000) экз. Заказ № 4917

О Издательство «ЭКЗАМЕН», 2005

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение........................................... 4

Глава 1. Простые и сложные проценты.... 5

1.1. Стоимость денег но времени............... 5

1.2. Простая процентная ставка............... 6

1.3. Сложная процентная ставка................ 9

1.4. Конверсия валюты............................. 16

1.5. Эквивалентность процентных ставок..... 24

1.6. Контрольные вопросы и задания............ 26

Глава 2. Потоки платежей........................... 28

2.1. Общий случай................................... 28

2.2. Постоянная рента................................. 30

2.3. Переменная рента................................. 52

2.4. Использование во взаиморасчётах долларового эквивалента ... 59

2.5. Определение параметров потока платежей................ 63

2.6. Финансовая эквивалентность обяза

т

ельств................ 79

2.7. Ставка дисконтирования............................ 92

2.8. Контрольные вопросы и задания................. 94

Глава 3. Погашение задолженности и доходность кредитных операций 96

3.1. Баланс финансовой операции при использовании сложной и простой

ставок наращения......... 96

3.2. Составление плана погашения задолженности............. 100

3.3. Доходность финансовых операций при удержании коммиссионных. 105

3.4. Доходность при покупке и продаже финансового инструмента. . 106

3.5. Доходность потребительского кредита................... 111

3.6. Доходность долгосрочной кредитно

й операц

ии с периодической

выплатой процентов.... 113

3.7. Доходность долгосрочной кредитной операции с периодическими

равными расходами по долгу....... 117

3.8. Методы сравнения коммерческих контрактов.............. 121

3.9. Контрольные вопросы и задания...................... 124

Список литературы 126

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

4

Введение

В рыночных товарно-денежных отношениях большое значение имеет умение

проводить различные финансово-коммерческие расчёты. Знание основ этой

дисциплины необходимо специалистам, занятым в сфере финансов, учёта,

аудита, управления, без них не сможет нормально работать ни один

современный бизнесмен.

Финансовые расчёты являются основой инвестиционного анализа, без

которого немыслимо развитие процесса инвестирования, занимающего

важнейшее место во всей современно

й эконо

мике. В переводе с латинского

слово «инвестиция» означает «вложение». В современном понимании

инвестиция означает вложение капитала с целью его увеличения в будущем.

В настоящее время эффективность инвестиций определяется, как правило,

на научной основе, в основу которой положена финансовая математика.

Финансовая математика входит составной частью в управленческий анализ,

без кот

о

рого невозможно управление любым современным предприятием

независимо от его величины, организационно-правовой формы, сферы

деятельности.

К задачам, решаемым с помощью расчётов финансовых и коммерческих

операций, можно, в частности, отнести:

— определение конечных финансовых результатов операции для каждой из

участвующих в ней сторон,

— определение взаимосвязи параметров операции или сделки и их влияния

на конечн

ый рез

ультат,

— разработку бизнес-планов,

— нахождение параметров эквивалентного изменения условий сделки.

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

5

Глава 1 ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

В главе рассмотрены стоимость денег во времени, простая процент-пая

ставка наращения, дисконтирование по простой процентной ставке, простая

учётная ставка, определение срока ссуды и величины простой процентной

ставки, сложная процентная ставка наращения, номинальная процентная

станка наращения, дисконтирование по сложной процентной ставке,

сложная учётная ставка, сила роста, определение срока ссуды и величины

сложной процентной ставки, конверсия валюты, учёт инфляции, покупк

а

валюты, конверсия валюты с нара

щением процентов, эквивалентность

процентных ставок.

1.1. Стоимость денег во времени

Важнейшим фактором в анализе финансовых операций является принцип

неравноценности денег во времени. Рубль, полученный сегодня, стоит

больше рубля, который будет получен в будущем, или наооборот. Поэтому в

финансовых операциях фактор времени играет важнейшую роль [1-3].

Каждый из методов анализа, рассмотренных ниже, учитывает время как

одно из важнейших условий.

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

6

Процентная ставка является также измерителем степени доходности любой

финансовой операции. В этом случае процентная ставка называется

доходностью.

1.2. Простая процентная ставка

1.2.1. Простая процентная ставка наращения. Простая процентная ставка

наращения — это ставка,

где t — число дней ссуды, К — временная база или число дней в году. В

зависимости от принятой на предприятии методики используют два типа

временных баз:

К — 360 — обыкновенные проценты,

К = 365 (366) — точные проценты.

При расчёте срока ссуды при начислении по простым процентам

используются три метода:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Обозначается 365/365.

Количеств

о дней ссуды рас

считывается точно по календарю. Первый и

последний день ссуды принимаются за один. К — 365. Метод применяется

центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Обозначается

365/360. Количество дней ссуды рассчитывается точно по календарю.

Первый и последний день ссуды принимаются за один. К — 360.

Метод

применяется в ссудн

ых операциях коммерческих банков.

3. Обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды.

Обозначается 360/360. Количество дней в каждом месяце принимается

равным 30. К = 360. Применяется при промежуточных расчётах.

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

7

П

ро

стоя

nр"цек

m

..

а.я

C11J<Ш

""

!3lL

~======

__'_

П

р

име

р

1.2.

С

с

уд

а

в

разм

ере

8

М

.1Н

.

J

)уб

.

вы

д

ан

а

28

я

на

в

р

и

по

15

июня включи

тельно под

пр

ост

ы

е п

роцен

ты

22%

Г

О

Д

О

ВЫ

Х.

Оиро

де

ли-гь

величипу

д

о

яга

11 ко

н

це

с ро к

а.

тре

мя

метс

двм

и

.

Р

в

ш

е

ни

е

.

J} 365 j:1fj5.

t = 4 +

28

+:Н

+30 +31 +15 - 1 = 138,

n

==

1

3

о!!

j

З

(j [,

= 0,

37808219,

S

:=

11

. ]

О

ОООLЮ

( 1

+0,378082 19· 0,22)

:=

8 665424,8

руб.

Z) 363

/3

60.

n = 138/ 360 = 0,38333333,

.

'J

' = 8 . 1 000

О

О{

l

+0,

3833

3

333

·0

,22

) = 8 674666

,4

руб

.

3)

эе о

/аш

t "" 3 +4 ·

ЗА

+ 15- 1 = 137, 11 = 137

/360

= 0,380 55

55

5,

S = 8 . 1 000000(1+0,38055

555

· 0,2

2)

= 8 G69777,6

руб

.•

Если

проце

нтн

ыо

ст

а

в

ки

нврещеввя

н

а

м

е

ня

ю

т

ся

(10

време

ии

,

ТО

иаращённая

с

у

м м

а

вычи

сииется

ПО

фо

р

муле

(1.5)

(1.6)

р

==-

s

1

+n!

гце

п

з

,

Тl2,

'"

,Тlk

-

врем

енные

инт

ер

в ал

ы

.

следующ

ие

друг

за

д р

угом,

. . .

вг

, 12 , • • . , 1k

~

с

оотв

етству

ющи

е

ЭТИ

М

и в

т

е р вал

вм

с

та

в

к

и

.

1.2.2.

Д

и

с

кон

ти

р

о

ва

н и

е.

При

д

и

сконт

ировании

сумм

ы

5,

кото

рв

я

бу

.ц

е

·г

е

ыпввв

ч

е

р ез

срок

n,

по

ставке

д

и

с к

онт и р

о

в

а

н

и

я

i

в

ычи

сля



е

'

ГСЯ с

овр

е

м

еин

а я

вели

ч

ина

(СТОИМ

ОСТЬ

)

Р

су

ммы

В

.

Д

руг

ими

сл

о в а

м

и,

п

р

и

д

ис

конт

ировани

и по

из

вест

ны

м

:

ивращёи

но

й

с

у

м м

е

,

п р оце

н-гно

й

ставке

и

с

ро

к

е

ссу

ды

определяют

С.Qв

ре

меЮIУЮ

сто

имост

ь

эгой

н

а

р

в

щё

нной

СУММ!>!

.

И

сп

ол ь

з у

я

(1.3),

получим фор м

у

лу

диско

ит

ироввни

я

пр

остых

П!

кщеН

ТО

IJ

(1.8)

(1.7)

D

=S

-P

1

1+

ni

назы

в

ае

тся

диско

нтны

м

нож

и

те

л

ем

.

Раз!

ЮСТЬ

Мно

ж

ител

ь

называе

тся

д

искон

то

м

С су

м

мы

S.

Из

фор

мулы

(1.1)

следует

,

ч'гс

про

цен

ты

вы

ч

исляют

ся

п

о

фо

р

муле

J

",8

-

Р

,

Сра

вн

и",

последню

ю

фо

р

му

л

у с

фо

рм

у

ло й

(1.8),

в

идим

,

'{

то по

форме

проценты

н

д

иско

н

т

со

вп

ад

ают

.

Не

следуе-г

за.БЬС

6аТ

1>

о

б

их

раз

ли

ч

ном

ф

инансовом

ее

д

е

р

жа

н и

и.

!1

р и

м

е

р

1.3.

Ч

ере

з

159

дн

ей

долж

ник

уплатит

8,5

тыс

.

ру

б

.

К

р

е



ди

т

в

ы

дан

1 1

0

Д

просты

е

п

роц

е

н

т

ы

19 %

го

до

вых

.

Какова

пер

в

оп вчвль

нвя

сумма

д

ол

га.

н

д

ис

ко

нт

11р

И

У СЛ

О

В

ИИ

,

ч то в

ре

менная

б аз

а

р

ав н

а

:НЮ

д н

е

й

?

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

Р вш

е н

в е

.

я

j~

~

= 7841,

!J3

руб

.

1+

3600,19

0=

S -

р

= 8500 - 7841,93 .= 658,07

р

у

б

.

•

J)

= 8nd,

] .2,3.

П

р

о

с

т

а

я

у

ч

ё

тн

ая

ст

авка.

Б

анк

м

о

же

т

у

честь

ве

к

с

ель

д

о

иа

с

т-у

иле

иия

ср о к

а пл

а т

е

ж

а

с

диск

о

нто

м

,

то

е с

т

ь к

упить

е

го

у

в

ла

д

ел

ь



цв п

о

ц ене

,

к о

т

о

рая

меньше

но

минал

а

,

у

к

а

за

нио

го

е

ве

ксе

л

е

.

Н

о м

и

.

ивл

-

это

с

у

м

м а

де

не

г

,

ук

азаи

н

ая

на

ве

кселе

,

к

ото

ру

ю

п

ол

у

чи

т

елв

д

е

ле

ц

ве кс

ел

я

при

его

пог

аш

ении

н

м

омен

т

ивсту

л яеии

я

с

ро

ка

пл

а

т

е

жа

.

Разм

ер

ди

с к

оп-г

а

при

уче

те

ио

пр

ос

той

уч

ет н

ой

ст

а вк

е

о

п

ре

деля

е

тс

я

11

0

фо

рму

ле

:

где

d -

простая

у

че

т-па

х

ста

в к

а

,

n -

С

Р

О

К

ОТ

м

ом

е

н

та у

чёта

д

о

м

омсита

пог а

ш

е

ни

я

.

Под

ст

а

в

ин

э

т о

зна

че

ние

D ф

о р

мулу

(1.8),

П

О

,

'

У

'

1

11

!11

фо

р

му

лу

ДЛ

Н р

вс

ч

ё

тв

с

у

м

ы

,

выданной

влад

ел ь

цу

в

екселя

пр

и

у

чёто

:

Р

=

В

{l

-

nd).

(1.9

)

Множ

и

тель

(1 -

nd

)

наз

ыв

а

е

тся

дискоитцы

м

мно

жителем

.

О

БЫ

Ч

Н О

п

р "

рас

ч

етах

ирв

н

и м

аю

т

К

= 360.

П

р о

стая у

чётн

вя

станк

а

може

т

б

ыт

ь

и

сио

л

ь

э о е

а

нв

и

п

р и р

ас

ч

е те

но

мин

ал

а

,

ко

то

рый

р

ас

с

чи

т

ывается

D

э т

о

м

с

л

у

ч

ае

по

ф

о

р

м

у

ле

р

s= .

1 n'

(1.10)

П

ри

~

t

е р

1.1.

В

е

кс

е

ль

,

и

м

е

ющ

ий

но

м

ипвльиу

ю

СТО

И

МОС

Т Ь

80

00

р у

бле

й

,

У

' \

т

ё

н в

ба

н

ке

п

о у че

т

н о й

став

к

е

18,5 %

ГО

Д

О В

Ы

Х

з

а

132

дня

до

е

г о

по

га

шения

.

Оп

р

е

де

л

ить

с

у м м

у,

п

ол

уче

нн у

ю

с

л в

д

еяьц

е

м

ве

к

сели

пр

и

учете

.

Р

вш

е

ии

е

.

Р

= 8 (1 -

nd

) =

80

00 · (1 - 0,185 ' 132(360) =

74

57,33

руб

,

•

1.2,4.

Опр

ед

ел

ен

и е

срока

с с

у

ды

и

в е

л и

ч

ин

ы

п

роце н

тн

о

й

с

т

авки

.

В

те х

сяучаях,

ког

да

из

ве ст

ны

в

еличин

а

д

ол

га

е

н а

чал

е и

11

конц

е

с

ро к а

ссу

д

ы

,

в

та

кж

е

пр

о

це н тн вя

с

тавка

,

м

о

ж

н

о

опр

е

дел

и т

ь с

ро

к

этой

ссуды

.

Д

л

я

пр

остой

став

к

и

на

р а

щ

е

н

ия

с

ро

к

сс

уды

оп

редел

яетс

я

р

е

ш

е н

н е

м

(1.3)

от н ос

и

тел

ь н о

п

:

l

-{

P/

S)

n = d •

(S/ P) - l

n = . .

•

Дл

я

п

рос

то

й

уче

т

н

о й

ст

а

в

к

и

сро

к

сс

у

д

Ь1

о п

ред

еля

ется

от

но

с

и

т

ел

ьно

n;

(

I

.

Щ

р

е

ш

е

н

и

е

м

(1.9)

(1.12)

&Л

И

tleo6xO,1HMO

оиред

е

лнть

срок

fI

д

н я х

,

то

используют

фо

р

му

-

лу

(1.4).

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

1.3 Сложная процентная ставка

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

10

llр

tКmь<с

u

СЛОЖ

>i

blС

щ

юц

с

"m

t>

1

П

р и

м

е

р

1.8.

Ка

кой

в е

л

ичин

ы

Д

ОСТ

И

Г

Н

С

'Г

Д

ОЛГ,

р а

вный

6000

руб

.

,

ч

е

рез

4

г

о д

а пр и

рост

е

1'

10

с

ло

ж

но

й

с

та

вк

е

иеращсиия

18

,5%

го

довых?

Р

е

ш

е

11

и

С.

S =

Р(!

+i)" =

6000·

(1

+0,185)4 =

11

8 31

,щ

J

руб

.•

П

ри

наращени

и

г

ю

сл

о

жным

проце

птам

наращёипая

су

м

ма

б

ы

с

т

р о

рвс

тё

т

"Р

И у

в е

л и ч

е н и и

числ

а

периодов

[яот].

В

т

абл

.

1.1

пр

е

дста

в л

еи

м

но

жите

)

",

па р

ащеиия

в

за

в

ис

и

мости

от

ч

и

с

ла

лег

для

двух

зна

чений

ста

в

ки

.

Т

l1

бл иц

в

l l

n,

лет

i - 10%

i - 20%

5 1,61 2.

49

10

2,594

6,192

20 6,727 38,34

50 117,4

9100,4

Ф

о р

м

ул

у

(1.14)

используют

и

в

ТО М

сл у ч а

е

,

к о

г

да

с

ро

к

для

н

вчвс



пения

п

ро

цен

то в

я

вля

етс

я

д ро

б

ны

м

ч

исл

ом.

П

р и

м

е р

1.9.

Ка

кой

вел

и

ч

и н

ы

достигпет

д

о

лг

,

р

авн

ый

8000

руб.

через

4,6

года

П

р

И

р

о

сте

11

0

сложно

й

ставке

н

а

рв

шеиия

20%

г о

д ов

ы

х

'!

Р

'е

ш

ен

и

е.

s =

Р

(l

+i )" = 8000 ' (1 +0

,2),

6 =

185

06,48

р

уб.

•

1

.3,2

.

Номи

нальная

пр

оце

н

тная

ст

ав

ка

н

аращения.

Ч

ас

то

D

финансовых

опе

р

а ц и

я

х

!I

кач

ес

тв

е п

ери

о

да

иврвшеии

я

пр

о

ц

е

н

то

в

ис

п

ол

ьз

у

ется не

ГОД

,

8.,

на

п

рим

е

р

,

м

еся

ц

,

кв

артал

и л и

дру

го

й

пе

ри

од

.

В

этом

сл

учае

г

о

в о ря т

,

что пр

оце

нты

нач

исляются

m

р

аз

в

году

.

В

ко

н

т

ра

ктах

обычно

ф

и

кс

ир

уется

н

е

ставка

за п

е

р

иод,

а

годо

ва

я ставка,

к

отор

ая

в

Э

ТО

М сл у

ч а

е

наз

ывается

но

мнн

ая

ьной

.

Сло

жна

я

процев

тнви

ста

в ка

н

а

ра

ще

н

ия

я

вляет

ся

част

н

ы м

случае

м

н о

ми

наль

н о

й

пр

и

н

а

ч

ис

ле н

ии

п

ро

ц

е

нто в

од

и н р

аз

в г

оду

.

Есл

и

н

оми

и

вл

ьну

ю

ставку

обоэив

ч

и тъ

ч е

рез

j,

то

п

роц

ен

ты

з

а

О

ДИ

И п

е

р

и

о

д

н

ач

исл

яю

тся

по

ст

ав

ке

j

!m,

а

ко

личе

с

т

в о

нач исле

н и

й р

вв но

т

n

.

Н

араще

нная

с

ум

м

а п

ри

исполь

эо

е

в

ии

и

н

оминал

ьн ой

проц

е

нтн

ой

став

ки н

аращ

ени

я

оп

р

едел

яется

по

фор

м

ухе.

( .

)

т"

S =

р

1 +

~

(1.15)

П

р

и

м

е р

1.10,

К

а

ко

й

величин

ы

д

ост

игнет

ДОЛ

Г

,

рва

н

ы

й

15 000

руб

.

ч

е

р ез

5,7

года

прн

ро

сте

по

сло

ж

н о

й

став

к

е

16,5 %

г

од

овы

х

п р

»

ив

ч

ис



ле

н

и

пр

оц

енто в

раз

в

году

и

поме

сяч

н о

?

Р

е

ш

е

н

и

е.

s =

Р(

1

+

i)

" = 15000 (1 +0,165

)5,7

= 35821,93

руб

.

S =

Р

(1 +

~)т

"

= 15000 (1 +

O

':265)12-

~

7

= 3

817

3,55

ру

б

.

•

Только для ознакомления. Специально для МирКниг

Кузнецов Б.Т. Финансовая математика

Подождите немного. Документ загружается.