Кузнецов Б.Т. Финансовая математика
Подождите немного. Документ загружается.
41
При
м:
е
р
2.11.
В
фо
t l
"
еж
е
годн
о
посту
пают
ср
е
д
с
т в
а
11
0 10
()(Ю
ру
б
lJ
т
ечение
C
CM
~.
ле
г
;
ив ко
т
о
р
ые
начисл
яются
п
рсцепт
ы 110
ст
ве
ке
15 %
roJ\06101X
,
при
ч е
м
вм
п
ла
ты
иро
из
ео
л
ят
ся
If
п
ро
ц
ент
ы
пв
чи
с
п
я
ю
гс
я
11
0-
KllapTMbIlO
Опр
е
д
еяигь
со
в
ре
меину
ю
езо
и
м
оеп.
фон
да.
Реш
с н
h
е
Сов
рс
мепив
я
стоим
ость
фснд
в
нах
од
итс
я
по ф
о
р
мул
е
(223)
l
-(
l+
I~L)
-"
'"
1
_
(
I+
U
~
5 )
·
41
А
=-
R· - = 10 000 -
---'
'-
"" 12
885,О3
руб
.
•
J 0,15
2.2.5. Н
е
и
р
е
р
ыв
иые
р
ен
т
ы
.
22 5 1
Р
снт
а
с
lil:nрс
р
ш
m_
llI1чtц:А
СNtit.М
'lpot~
lImO(l
.
Фор
мула
Д
Л
Я
выч
и
слеияя
Н
8
РШI
(
t>1\I
соА
C
Y M ~
Ы
р-
с
рочио
й
ренты
с
иеп
рерывиым
яв
чнсле
иве
м
и
рецеп тп в
си
едует
из
с
оо
тно
ш
ен
и
й
(2 18)
и
(2
11
1)
пр
и
т
~OO
(
1+
L)
""
_I
Jim
8(Р
)
=
11
т
,
_
C
'
""
~
;;т.
,-
--,-
_
,"
~.
'"О
,
,
'"
'"~
.
~
J
г
Р
1 + - - 1
m
Замени
в
н
о
м
и
нальну
ю
ставку
j
Ш
!.
с
и
л
у ро
с
та
6
11
п
ре
д
ел
lim
(1
+
.i..
)m=
е
'
".
-100
т
е
го
аиачеи
и
ем
,
пол)'
ч
им
ф
орму
лы
ДЛИ
lI
а
ра
.щ
е Н
1IC
,IiI
с
у
м
м
ы
и к
оа
фф
и
ци
е
н
та
на
ращ
ен
ия
ре н
т
ы
с н е
п
ре
р
ы
в
ны
м
ивч
и
св
ени
ем процепто
в:
••
1
S = R.s(P)"
(
р
)
I!
- (2.24)
", 'n,
.!
=
,,
(
е
Ц
'
-
l
)
'
Д
л я
J
'O
д
о
во
il
ренты
,
к о
г
д
а.
р
"" 1,
фор
м у
я
ы
(
22
4)
пр
и о б р
ета
ю
т
II
И
Д:
е' "
-1
S = R ll
n,
6 .
11
.. 6 =: J (2.25)
, • 1
Пр
я
м
е
р
2.12.
В
фоll
А
еж
е
годно
п осту
п
ают
с
р
е
д
ств а
110
10000
руб.
11
теч
е
ни
е
с е
м
я
лет,
н
а к
ото
ры
е
н
а
ч
и
сл
я
ю
тс
я п
роц
е
н
т
ы
п
о
с и
л
е
р о
ст
а
15%
год
о
в
ы
х
,
пр
ичем
в
ыплат
ы
п р о и з
водя тся
п
оква
р твл
ь
но
(
р
аз в го
д
у),
а
п
роце
нты
ивч
вслмются
непре р
ы
вно.
О
п реде
л ит
ь
к
о
э
ф
фи
ци
е
н т
наращени
я
ренты
11
вел
и ч и
ву
фо
нда
lIа
к
оне
ц
с
ро к
а
.
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
Реш
е
нв
е
.
Коэффициевч-
наращени
я
11
нар
вшеиная
с
умма
р
е
нт
ы
пвхц
дя
тся
по
фо
р
м
у
л а
м
(2.24).
Д
л
я
п
ок
вартвльиы
х
в
ыплат
:
(р
)
е
6
n
1 e
D
,l 5 1 1
в
•
~
)
~
( - )
~
12,
153 583.
n
~
р
(е
6lР
_l
4
еtl
IЦ
.
_l
Нв
ращепна
я
сумма
:
S ::=
Rs
;;'
~
=
10000
-12,153584 ", 121 535,83
ру
б
.
Д
ля
выплат
ОД
И
Н
раз
в го
ду
ко
эфф
и
ц
и
е н
т
нараще
ния
БУl\ет
ране»
е&"
_ 1
eO.
I~.1
_ 1
8..
,6=
<1
:;:
0;15
", 11,478 722
е
- 1
е
1
Нврв
щённвя
сумма
s =
Ле
n
,6
= 10 000 · 11,478722 = 11
47
87,22
руб.
•
Формула
для
с
о вр
еменной
стоимост
и
р-орочной
ренты
с
вепре
рыв
иы м
начи
с
лени
ем
проценто
в
следует НЗ
со от н о
ш
е н
и й
(2.21)
и
(2.2
2)
п ри
m
--t
00
.
1
-
••
-,
(2
26
)
(2.2
7)
(2.28)
1
е - '"
й
..
·& = , .
,
е
- 1
А
=
по"
,
&
,
Ф
орму
лы
(2.26)
и
(2.27)
по
лучены
путем
эамевы
номинал
ьной
став
ки
j
11
11.
с
и
л у
роста.
t5
11
пр
епелв
lim
(1
+
1.
)
'"
е
г
о
значением
е
',
"'
.....
""
т
Д
,
'
Я
годовой
рент
ы
,
когда
р
= 1,
форм
у
лы
(2.26)
и
(2.27)
п
р
и о б
ре-
тают
в
и
д
:
При
м
с
р
2,13,
В
фо
нд
ежегодно
п
оступают
сре
д
ства
п о
10000
руб
.
в
тече н
ие
сем
и
ле-г,
на
к о
то
р
ы
е
начнсяяютса
п
р
о
ц
е
нт
ы
П
О с
и
л
е р
оста
15
%
годов
ых
,
пр
н
чём
выплаты
П
РОИ
3 9
ОД
Я
ТСЯ
поквартвльи
о
(
р
аз
в
го
ду)
,
а
п
ро
це
н т
ы
начисл
яются
непрерывно.
ОпределИ1'/> коэ
ф
ф
и ци
е
н
т
п
риведения
р
е н
т
ы
н
её
современную
с
то
имост
ь
.
Р
е
ш
е н
н:
е.
Коэффиц
иен
т
при
вед
ения
ренты
и её
современ
н
ая
СТО
имость
для
п о к
ва
ртвя
ь
ны
х
вып
лат
находятся
ПО
формул
ам
(2.26)
н
(2.27):
1
е -
6
n
l _ e -
o
,1
51
0
..
,
1=
p{e.'/I'-
I)
= 4(e.
O,I5I4
_ 1)
= 4,252998,
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
43
11
0ст
О"
!f
1ШJ<
реШllll
!2
1
----'
====~
~
А
=
Я
а
~
~
= 10
ОСЮ
. 4,252
9УВ
= 42529,98
р
у б
.
,
Д
л ~
выипат
О
ДИИ
рва
8
го
ду
ко
эф
ф
и
ц
ие
нт
п
р
иведени
я
ре
нт
ы
и
её
с
о в р
еме
ииа
н
С
ТО
И
М
ОСТ
Ь
о п
ре
де
ля
ются
110
ф
ор
м
у
л
ам
(2.28):
1 -
,,_~n
1-
e
-O.l
~ т
аn,б
= & = '
1,1
5 = 4,016838,
е
- }
е
1
А
= Ra",J = 10
000
· 4,01(1
8 3В
= 40
ша
.зв
р
уб.
•
Связь
М~
Ж
ДУ
J
к
j
можно
н
а
й
ти
п р
ира
в
н я
в
(2
.
19
)
1(
(2.24),
в
такжв
(2 22)
к
(2.25).
На
приме
р
,
имеем
.
(l
+f;)"'
"-i
,,&"
-1
~(1+
~
Г
-1
]
~
>«"
'-1)
Э
то ра
вен
ст
во
пре
в
ращает
ся
в
т
ожде
ст
во
п р
и
выпол
нени
и
у
словия
:
(1
+
~
Г
=,,
5.
О
тсю
да
с
л
едуют
свя
з
и:
6
=
m
ln(
1
+
~)
,
j
=m(е
"'
lб
_
1)
.
Эти
выражен
ия
с о
в а
вд
а
ют
с
(1.
21)
.
2.
2
.5.
2.
Ре
нта
с
пе
nр
еры
в",_
м'Чuсм"'ш:,м
nРОЦЮ111W'"
и
с
не
nре
pt>I
вlWЙ
в~
ПJШтой
ШШJ11eжеil
.
П
ри
п
о л
у ч
е
н
ии
фо
рмул
дяя
вычис
ле
ни"
ивращёииой
с
у
м м
ы
и
с
ов
рем
е
н
ной сто
и
м
ост
и
рен
ты
С ве п
р
е
р
ы
виым
на
чи
сл
е
н и
е
м пр оц
ентов
11
с
непрерывной
вы
плато
й
плвзе
жей
на.li
.цёи
п
р
е
д
елы
в
в
ы
раж
е н
и
ях
(2.24)
и
(2.26)
при
р
-+
00.
'"
1
(
Р
-+"")
е
-
.'1
..
;4 =
11
т
~
(il
l'
_1).
,..
Несиреденёинс
стъ
раскрывается
по
прав
илу
Л
оп
италя
,
то
е ст
ь:
(
е.
I/ Р
- 1)' -
.;
е
Ц
Р
lim
p(e
4
/
P
_l)
= lim = lim
~
1
=0.
Р
"''''''
1'
.....,.,
(
l/
р)'
Р
....
""
_ ,
Р
ТаКИМ
образом,
'"
1
, -
=
8(
..
;4
) =
л
(2.26
а
)
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
"
Потс>;!)
J1IWтe:wcea
I
г
»,
2
0,15
1
_
O
,
I
~
.
T
-,
-
'--
i-;
, - = 4,33
3748
1
-
••
a
(P-+ОО
)
_ -
е
"'_ - 6
П
ри
м
е
р
2.14.
В
фонд
ежегод но
поступают
с
р
ед
ст
а
в
11
0
10
()()О
руб.
11
те
ч е
н
и
е
с
е
м
и
лет
,
ив
КО1'О
рые
начи
сл
яют
ся
проце
нт
ы
п
о
силе
роста
15
%
ГОДО ВЫХ,
п р в ч ё
м
в
ып
л
ат
ы про
в а
в
о
д
ягся
и
п р оц
ен
ты
ив
ч
и
с в я
ются
не
пре
рывно.
О
нред
ели'!'ь
к
о
э
ффиц
ие
нт п
р и
в е
д
е
ния
ре
н
-гц
и её С О
8
ре
мениую
стоим
ость.
РеШ
е
н
и
е
.
Коафф
м
цмент
пр
иве д
е
ния
р
ент
ы
нахо
д
и
тс я
п
о
ф
о
р
муле
:
С
о
вре
менная
ст
оимость
р ен
т
ы
:
А
=
R a~1""
)
= 10000 . 4,333 748
"'"
43337,48
руб
•
2.2.
6.
Рен
ты
с
выплатам
и
в
н
ач
ал
е
и
в
серед
и
не
п
е
р
иод
ов
.
При
выплатах
11
на
ч але пе р
и
цд
а
(ренте
пренумер
в
ндо
]
на
раще
н
ная
сум
ма
годовой
рент
ы
о
пред
еляется
вы
рвж
евмем:
В
1
= R(l +i)n +
R(l
+i)
n-
I +.". + R(l +i ) =
= R(l + i}[
l+
(l + i) + .. .
+(l+i
)n~
J
]
= n (l + i)" - J (
l+i
),
,
SJ = 3 (1+ i) . (
2.29
)
Зде
сь
В]
и
S -
ивр
ашё
ннвя
су
мма
годово
й
р
е
н-
т
ы
пренумерандо
и
пост
иу
м
е
рв
ндо
с
оот
ветс
тве
нно.
Так
им
образом,
иврвщеиивя
су
мма
годо в
ой
ре
н
т
ы
преиумер
ацдп
н
(1 + i)
раз
бол
ьш
е
ив
раш
ёнпой
суммы
годовой
ренты
пост
вумерандо.
Э
ТО
с
в
я
з
а н о
с
те
м,
что
числ
о
пер
иодов
ивчис
веивя
проц
ентов
для реНТЫ
п
рев
уме
рен
д
о бол
ьше
1\11.
е
ДI\!ШI1,У
_
можно
оокаа
вт
ъ,
ЧТ()
внвяог
ичнвя
аавис
н
мо
сть
су
ществует
м еж
ду
е
о в
р
с
м
е и
IIЫ
М
И
сто
и
мостя
м
и
рен
т
прсну
м
ер
ан
д
о
и
пос
твумерацдо
,
то
есть:
А
\
= АО +
i).
(2
.
ЗО)
Зд
есь
А
1
и
А
-
сое
ременная
сто
имость
годо
во
й
р
е
н
т
ы
пренумера
ндо
11
пост н у ме
ра
н
д
с
с
оот
в
етст
в
еипо
.
При
м
е
р
2.
15.
В
фонд
ежего
дно
в
начале
го
д
а
постуво
ют
с
р
е
д
с
т
в
а
по
10000
руб
.
в
тече
н
ие
се
м
"
.1е'Г
,
на
к
о
торые
на
ч исля
ют
ся
пр
оцен
ты
110
ставке
15 %
содовы
х
.
О
l1ределитъ
в
еличину
фонда
нв
конец
с
р о к а
и
его
со
врем
е
нну
ю
СТОИМОСТ
Ь
.
р
е
ш
е
и
и
е
.
Вел
ич
ина
фон
да
нв
конец
с
р
ока о пр
е
д
ел
я ется
п
о
фор
мул
е
:
8,
=
R
(1+
i
Г
-
1
(l+
i)
=10000
1
,1~
,
:;
1
1
,1
5
=
127
268
,18
руб
.
Со
в
ременная
сто
и
мость
фонда
A
1
= R1 - (17.)_ n (1 +1) = 10000 !.-
o
~;~
~
-
7
1,15 = 47844,83
руб
.
•
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
Jl
OCfflO
Jl"N
M
рента
~L-
=
=='-""=
""
На
рис
.
2.5
пре
д
стввлепв
схема
вып
лат
рен
т
ы
пренуме
рви
до
с
на
чи
слеив
ем
проце
нто
п
по
но
м
инал
ьно
й
про
це
н
тной
с
т
а в ке н с
несд
но
к
рат
ны
м
и
выплатам
и в
ГОдУ
.
р
1 2
' 2 m
I
~
,,~
,
-'-'
~
,
.L.l...c-"-Ll~
I,-'-,
L.LL...ц'
,
~
о
l n
Р
ис
.
2 5
в лю
бо
м
ГОДУ
прои зводи
тс
я Р
вып
лат п о
п
/
р
ру
б.
,
г
д
е
R -
г о
д
ов аи
в
ы
п
лат
а
.
Пр
ич
ё
м
в
ыплат
ы
ос
у
щест
вляютс
я
е
на
ч
але
пе
ри
о
да
[
с
м
.
р
ис.
2.5).
К
о ли
ч
ество
н
ач
ислен
и й
про
це
нто
в
в го
ду
по
иомииап
ь
1
10
11:
став
ке]
равно
m.
Сро
к
р
е
н
ты
n
лет
,
К
ол
и ч
ество
ив
чи
слений
н
а
п е
рвую
в
ыпл
а
ту
любо
г
о
год
а
к
концу
31"01"0
год
а р
а
в но
т,
на
в
то
р
ую
-
(
р
-
l
)
~
,
нв
т
р
е
т
ь
ю
-
(
р
- 2)
~
,
. ,
на
посл ед
нюю
-
~
.
Н
а
ра
щ
е
нная
р
р
р
су
м
ма
на
все
вы
пла
ты
го
да к
концу
атсгс
год
а о п
р
еде
л
яетс
я
сост
н
о
шение
м
.
._
) ,, - 1
"( .
)"
Л(
.
)
~
"
R(
.)~т
RJ
=p
l
+~
+р
l
+
~
р
+;;
l
+
~
р
+
+.
..
+ =
(1
+
~
)
'; = (1+
~)
';
[:
(1
+
!п)
1'
;1
m +
+ R(
1+
1-)
"'"
+... +R(
1+1-
);+
R].
рт
р
7ll1'
З
намен
ат
ель
геомет
рическ
ой
про
г
рес
сни,
сумма.
которой
помещелв
в
квад
р ат
ные
скобки
,
р а в е
н
(1
+
~)
m
IP,
ко
л и
чес
т
во
член
ов
-
Р,
п
о
ЭТ
ОМУ
:
(
1+
~
;)"
~
1
(1+
1.
);
(
I)m" m
1+
- - 1
m
Количесте
с
на
чи
сл
ений до
кон
ца
рент
ы
на
иврвщёину
ю
СУММУ
ьго
го
да
pall
llO
(n
- l
)m
,
на
иврвщеииу
ю
сумм
у
2-1'0
го
д
а
- (n - 2
)m
, .._,
н
а п в
р
ашёии
у
ю
с
умму
пре
дпосл
едиего
года
-
т,
н
а
нврв
щённ
ую
с
ум-
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
"
Лom
о""
плат
еж
ей
му
п
о
сл
е
дие
го
год
а
-
О
,
Тогда
нвращёнивя
сумма
все
й
ренты
:
П
е
р
е
п и
ш
е
м
это
в
ы
р
аж
ен
и
е
е
виде:
(
. )
"'"
81
= S 1 +
~
,
'"
(1<
)"
м
(
1+
L)'
'"
(2.3
1)
г
д
е
81,
.')
-
ивращёниая
с
у м м
а
рент
ы
пренумервидо
11.
постнумервидо
е
нач
ислением
пр
оцент
о в
1
10
но
м
ин
альн
о
й п
роце
нт
ной
ста
вке
11
с и
еод
но
крвз-иым
и в
ы
п
л а
там
и
в
году
соответственно.
Ан
ало
гичн
о
нахо
ДИТСЯ
формул
а
для
совре
мен ной
сто
и
мост
и
р ен
т
ы
:
(2.32)
где
А
1 ,
А
-
с
ов р е
м
е
н
н
ая
стоимость
ренты
преиумераид
о
и
носгну
м
е
р
ан
д
о
с
нв
ч
н
ся
еии
е
м
п
ро
це
н
то
в
[Ю
иоминальвой
про
це
нтпой
с
тав
к
е
11
с
иеопио
кр втными
в
ып ла
та
м
и в
году
соответст
венно
.
П
р
н
N
е
р
2.
16.
В фо
н
д
ежегод но
в
начале
г
о
д
а пое
тупвют
с
р
е
д
с
т
в
а
11
0 10
00
0
р
у
б.
11
те
чен и
е
семи ле
т,
н а
которые
начи
с
ля ются
про
цен
т
ы
п о
ста вк
е
15 %
годов
ых,
п
р
и
чем
в
ы
пл а
ты
про
в э
в
од
ятт
я
пс
квартвхьио
,
а
п
р
о
ц
ент
ы
нач
и
сл
я
ются
ОДИН р аз
в
году
.
О
п
р
е
д
е
лит
ь
нвр
в
щё
н н
у
ю
сум
му
и
современну
ю
сто
имость
фо
нда
.
Р
еш
ени
е
.
Нарвщённая
су
м
м
а
нвкцдя-гся
п
о
формуле
(2.31):
в
,
_ R (
1+
~
~
)
-
",
"c;-
-
_
l
,
(
1+
~)
;
-
~
гe-
l]
Нврвщёвиая
с
у
м м
а.
Р
Р
Н
'Г
Ы
постиумерапц
о
с
тэ.
К
ИМИ
же
ха
рвктер
ис
т-и
кам
и
о
п
ре
д
еле
н а
в
пр
имере
2,8
;
s =
п~
{p
'
= 10000 - 12,108 76 = 12
1087
,6
ру
б
.
т
n,
Jj
.",
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
47
~
L-
----'="'''''''''''='--
''
Н
ар
ащ
ённая
сумм
а
и
ск
ом
ой рент
ы:
(
.
)
",fP
(О
15
12/4
3
1=8
l
+
~
= 1210S7,6 1 +
~
2)
= 125 685,38
р
у
б
.
СОВ
РСМС
II
Щ
I.Я
С
ТО ИМОС
'!
'Ь
ренты
погтиу
м
е
раид
о с та к и
м
и
ж
е
хара
к-гер
и
ст
икв
ми
опр
ед
е
лена
в
прим
ер
е
2.
10
,
А
=
H
a
~
~
= 10000 · 4,264
9
!Н
= 4264
D,
81
р
уб
.
Соврем
е
н
на
я ст
о
имо
с
т
ь и с
к
ом
ой
рен
т
ы:
(
.)"1'
(015)"1'
А
1
=
А
1 +
~
= 42649,81 1 +-t- = 44 269,25
р
у
б
.
•
11
<1.
рис.
2.6
пр
е
д
с
та
вл
ена сх
ема
ренты
с в
ып
ла
та м
и
[J
се
ред
и
не п
е
ри
ода
с
нач
исле
нием
процентов
п о
ио
мвпвльи
ой
пропоит
но
й с
та
в ке
И
С
и
еод
нокр
вти
ым
н
в
ып
ивте
м
и
В
г
од
у
.
1
,
р
1 Z
т
о
I I
1
•
Р и
с
.
2.6
В
л
юб
о
м
гс
ду
произво
д
ится
Р
Bbln Jla:t'
по
п
/
р
ру
б
. ,
[
'
д
е
R -
го
д
о
в
вя
выипа
т
а.
В
ыплаты
производ
ятся
11
ивчвле
пер
иод
е.
Кол
и
чест
в
о
нач
исл
ений
пр
о
ц
ен то
в
[1 ro
J1Y
110
исм
ии
вл ьиой
СТ
Ш
Ж
С
j
р в
он
о
т
n
.
С
рок
ренты
11
ле
т
,
Кол
иче
ство
и
ечи
слеам
й
Ш\
пе
рвую
н
ып лв
ту
люб
ого
го
д
а
к
ко
н
цу
этого
г
о
д
а равно
н
а
8'ГО
Р
УЮ -
I
IВ
п
р
е
д
п
осл
е
днlOЮ
-
(p
-1)
~+
~,
,
2,
m m
(
р
-2)
-
+
-
,
... ,
р
"
3т
2;
'
н а п
ос
л
е
днlO
lО
-
m
"
Н
а
р
а
щ
е
н н
а я
су
м
ма
н а вс е
в
ы
пл а
ты
го
д
а
1<;
ко
нцу
это
г
о
г о
д
а
оп
ре лела
ется
е о
от
т
юшеихем
:
R] = ; (1+
~
)";Im
+;;'
+:(
1+
~
)
P;2
т+
;;'
+
...
+
m m m
+:
(1+
~)1i
+2P
+:
(1+
~)2P
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
П
о
то
"
,-"
nJI
Umt'
.ж
е
-а
П
е
ре
пи
ш
е
м
э то
в
ы
р
аже
ние
в вид
е:
R . -
п
]
+" ,
+
p
(
L
+~
)~
+
р
'
З
I
UI.М
С
Iщ
те
J
I
Ь
л
'О
\I:
ге о
мет
ри
ческ
ой
иро
г
ресс
и и
,
с
умм
а
кот
о
р
о
й
31111
11-
•
"Ш
Щ
11
квадрп
т
ных
ск о б
к
ах
,
ра
в
си
( 1+
~)
;;
,
к
оли
ч
е
ств
о
ч
неио
в
-
р
,
поэ
том
у
uбщfl.~
сум
м
а
:
R
(H~
)'O
-1(lt -
m
i
-);;
R
1
==
р
~
('--
-'j
~
)
~
'
О
ТоI
'
''-
1
+~
- 1
.n
КОЛ
It
'
Iее:т В()
Н:l.ч
lt
с
ле
llИ
П
ДО конц
в
pe
llТbl
на
lI
а
p;u
ц
ё
нн
у
ю
CY
IoII
MY
г -
гс
1
'1:1
,1
11.
Р.
в
11I
10 (71 - l
)m,
пв
нар
вщ
ё
ни
ую
CYMI.IY
2--го
roдa
-
(п
- 2)
711.
, ,•.,
11
11.
II
а.
Р
i\
щ
ё
н н
ую
С
ум ы у
п
ред послед н
е го
го
да
-
711.
,
н а н
а
ращ
ё"IIУ
Ю
СУ
М
М
У
носледие
го
{"
о,
;
\а
-
О
.
Т
о
г
да
н
ар
ащ
ё
ки
вя
с
у
м
м
а
все
й
petfТ
Ы
:
(
.
)'
0-
". ( .
)'0
_
""
( '
)"
8'
0
==
R
1
1+
~I
+ R\ 1+
~
+,,. + R , 1
+
:п
+
• •
" "(
')
'.
" 1/
.1
'"
" I +
па
'
(2.33)
гл
е
.'>1,
г
-
S
~
II <\
I
},
·
ШI
;;
IIII
:l.
И
I'
у
м
м
а
pt'
11
1bl
с H
I.oII r.r1
3
Тi\
M
H в
се
р
ед
и
не
п
ер
и
"
-1
<\
Н
I"
'III
I
~
JI
.
>(
"
rIJ
У
\\
t
'I'
,
ш
.
't
о
с
начисл
ением
ирец
ен
тов по
исмк
н
ельи
оя
I
I
Р
t
Щ
t' l
t
l
l l
"
Й ст ав
ке
а
г
-
исоднок
р
а т
иы
м
и
выилвтв
ми
в г
о
ду
соот
еет
r J
111
'1111
"
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
49
Аналогично
находит
ся
форм
ула
ДJlЯ
современпп
й
ст
о
иМОС
Т
И р
енты:
(
2
. :
И)
гд
е
А
,
л
,
А
~
сов
ре
меина
я
С1
ОО
М
1ОС
Т
Ь
рен
ты
с
еып
лвта
м
и
в
се
р
е
липе
п
ерио
да
,
и
рент
ы
п с
с
т
пу
мерапдс
с
пвч
и
сасиие м
процент
ов
п
о
ном
и
н
ал ь
но
й
процентной
г-тапке
и
с
неодио
крвтными
выплатами
1)
го
д
у
ео
от-вет ств
еино
.
11
р
и
м
е
р
2.17.
В
ф
онд
е
же
го
дно
11
середине
Н С
р
ИО,ц
в-
по ст
упают
с
р
е
д
ств
а
1
10
1
0rxю
р
у б
.
в
течение
с
е
м
и
ле
т,
,Щ
котор
ые
н а
ч
и
с
л
яют
ся
п
ро
центы
но
с та
в к е
15 %
гол
овых
,
п
р
и
ч
е
м
выпла
ты
п
р он
а
вод
я
т
ся
пе
кв
арт
альпо
,
а
проценты на
ч и
с
л
яют
ся
е
жеме
с
я
чно
.
Опреде
л
итъ
н
а
ра
щё
r
ll1
)
'Ю
(;
У М
М
У и
СО
Щ
I
С
М
С
I
II!
У
Ю
ст
о
им
о
сть
ф
онд
а
.
Р
еш
ен
11
С
.
Н
а р
а
щё
иная
СУММ
3
иахоцкт
с
я
по
фо
р
м
у
ле
(2.33):
На р
а
щ
ёппв
я
с
ум м
а
ренты
посгяуме
раидо
с
та
ки
ми
ж
е
хврвк
те
рис ти
н
ами
о
в р
сд
е
яена
в
при
мере
2
.8:
8 =
U
.S"
;::
~ ,
;
11
т
=
100
00 . 12,10876 = 121087,6
ру
б.
Нврвщ
вн н
вя
С
У
.
\1
ма
и
с
сл
е
дуем
ой
рен
т
ы:
...
"~ /B
S Ч
2
""
8(
1+
;')
'
Р
""
121 087,6 (1+
O~
~
5
)
:::
1233б
5
,07
руб.
С
овре
м
еиная
с
т о и
м
о
ст
ь р е
нт
ы
п
о
с
т
н
умер
внд
о
с
так
и
м
и
же
хврв
ктер
и
стикам
и о п
р
е
делена
в
п
рим
е р е
2.10:
А
:::
Ilа
~
~
= 10000 · 4
,26
4081 =
42б4
fJ
,8
1
р у б
.
Сов р
еме
н
ная
стс
имсст
ь
и с
сле
цу
е
мс
й
ренты:
(
.)~
( 0
15)12
/
В
А
I
/
1
=
А
1 + :"
1р
= 42649,81 1 +
i2
=
43451,9
9
руб
.
•
И
з
е
ссз-
но
шен
и
й
(2.33)
и
(2.34)
следу
ют
фо
рму
лы
ДЛ
Я
др
у
гих
т
ипов
р
ен
-г
,
Для
го
дово й
ренты
1ft = 1,
Р
'" 1:
81
/2
::: 8 (1 +i)1/2,
А
1
/
2
",
А
(
1
+i)1
/
2. (2.35)
Д
ля
рен
ты
с
н
а
ч
и с
л
ением
пр
оцен
тов
111
р
аз
в
rOД.Y
и
п
ри
в
ы
платах
од
и
н
раз В
году
,
то
есть
при
r '" 1:
-
ВЦ2
= S (1+
~Y'J
,
m
A
t
/
2
:::;
А
(1
+
~
Y'J
(2.36)
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
50
Д
л я
ре н
ты
с и
в
чи
с
леии
с
м
ПРО(
\~НТО8
о
д
ин
рв
а
в
го
ду
,
т
о
есть
m =
Г
,
11
при
выплата
х
р
раз
и
г
оду:
L '
S
J
f~
= S (1+
l.
)
'
Р
A
1j 2
=
А
(1
+
1-
)~
. (2
:17
)
т
111
'!
'l
"
I]
"
'
У
.<l
;\
"
(2
;{
.'»)
-(l.:~
7
)
не
личины
,';
к
А
являются
парашеино
й
.' "
,1
.
'1
'
Н
"0
I
'PC~](>
I
L
lL
o
ii
('
1'
ОJl
М
й"
гью
t
ооп
з
ет
стцу
ющнх
р
е
вп-
IЮСТНУ
м
е
pa.Hi\(J
2
.2
.7.
Отл
оженные
ре
н
т
ы
.
От
лож
еиными
называют
ся
рен
ты
,
~.
К
О
']'
Ор ЫХ
и
а
ч ая о
вы
п л а
т
с
дв
ину
т
о
в
пере
д
.
П
р и
расче
т
е
совре
м
еино й
стоимо
сти
га
к
ой
р е
нты
вначале
па
-солят
с
овре
м
енн
ую
с
т
о и
м
ос
т ь
ис
ход
110
/1:
рент
ы
,
У
ко
то
рой
мо
менто
м пр
иведе
ния
с
читаетс
я
н
ач ал о
выпл
ат,
<\
зате
м
д
и
,"
КQ!\Т
I
IРУ
kYl'
11
0
.
~
У·
[
Щ
Ш
Ы
Й
резул
ьта
з
к и
в
ч
вл
у
о
тло
ж
е
нпо
й
ренты.
Лля
годово
й
от
ложенно
й
р
е
н т
ы
с
о
вр
ем
еипая
сг о и
м
о
с
т
ъ
tA
рас
счит
ы
вается
1
10
фор
муле
.
,
Л
= AII' = Ra,,;,,/ ,
(2
.3~)
I
'
;
~e
А
- ,
г
опре
меин
а
я с т
о
и
мо
сть
ис
х одно й
р
е
нт
ы
,
у
кот
орой
мом
ен
то
м
пр
иислеиия
считает
г
х
ннчвло
в
ьшлвт
,
t -
вр
е
м
}!
з
адер
ж
ки
в в
ы
плате
pCIITbl,
Ц
",
.
-
коэффиц
иент
при
ве
дения
р
ент
ы
к н
в
чвл у
в ы
lлат
,,
v
t
:::
'-'"
(1 + п
-1
,
П
р
11
М
е
р
2 18,
С
пуст
я
тр
и
г
о
д а
пос
л
е
об
рвэо в вннн
ф
онд
а
в н
е
г
о
ивчипа
ю
т
ио
ступ
в
тъ
пр
е
д
гт ва
110 1
00
00
р
уб
.
11
кон
ц е
ка
жд
о го
ГО
Д
"
11
т
е ч
ение по
слс
дую
ших
7
ле-г,
11<1
кото
ры
е
начи
с
ля
ютс
я
проценты
п
о
ст
авк
е
15%
го
д
о
вых
.
О
ор
е
дс аи
т ъ
сов
рем
сивую
СТ
ОИМО
С
Т
Ь
11
ивращёи
ную
с
ум
м
у
фонд
е
.
Ре
ш
е
If
и
С
,
Со вр
е
м
ечпвя
сго
и
мос
г
ь
фо
н
да
о
п
р
ед
е
л
не
ття
11
0
ф
ор
M)'
Jl
t'
(2
,:-1
8),
к
отор
ую
п е
ре
пиш
ем
в
виде
.
,
А
= n
1
- (1:- i)-"
(1 + 1)- 1.
,
П
одс
т ави
н с
юд
а
данн
ые
п р и
ме
ра
.
по
иу
чим
.
:JI1.
"" 10
(1)0
1 -
(
\"
f
l
~,
1 5)
-~
(1 +0,15)-J =
2735
5,44
руб
.
Нараш
еииан
су
мма
фонд
а опреде
ляе
тс
я
ПО
ф
ор
м
ула
м
(2.6)
11
(2.7),
то
есть:
8 =
н Р+
i)" - 1
==
lIJ
ОII
[)
1,1
.1
' - 1
==
110667 99
б
i 0,15 '
ру
.
•
Р
а
с
смгприм
~
Щ
1l<
I
У
Д
С
;
I
(.'
Ш
I
Я
ренты
ме
жду
д
в
умя
у
чвст
ни
к
а
ми.
П
ус
ть
годо
ван
рента
пос
тиу
мервид
о.
вмеющ
вя
годов
ую
в
ы
пи
а
т
у
R
к
г
рпк
11.
д
е
лиг
о
е
М
(
'Ж
;\
)
'
ди у
м
н
учсспснк
в
ми
[
н а
при
ме р
,
к
ес
л
е
ц
ни
кв
.'>1
11),
причам
вна
чал
е
IЮ
,
I
У
'
11I
(
'
f
вы
платы
!I(.'VIJbl l1
у
ч
астни к
.
Пр
и ч
и
та
ЮЩ
i
U:l
l
'
}!
1
'.'1)'
:
\
О
. I
Я
п
г
ьали
г
а.ы
э и
р
оввиио
й
ст
оим
ос
т-
и
ре
н
ты
р
в
а в в
х
.
Нгорой
:У
'
Ы.
,' I
'
l t
и
h.
J
Ю
'; I
~
ч
ае
т
огшвшвеси
плате
ж
и
ре
нты
.
Е
го
до
л
я
ра
п-
Только для ознакомления. Специально для МирКниг