Кузнецов Б.Т. Финансовая математика
Подождите немного. Документ загружается.
21
К
ОХ
8ер
си
А
tllIJI
Ю
Т
Щ
l1
~I
~
=::.:....:=.=...
_----
-=
Д
оход
t
l
ОС1
'
I.
а
n
е
р<.
щ
m
f
буде
т
р
aLш
а
If
УШ
О
rl
ptf
пып
о
лпе пии
УСЛО
Б ИН
1
11:
::;
I
p
•
11
1'
11l
/C
>
/ р
л
о х
олио
с
ть
буде
т
боль
ше нуля
,
а
при
fk < I
p
-
меньш
е
п
ул
я
.
П
о
с
к
ол
ь
к
у
цен
а
г
ш
к
уик
и
валю
ты
И
ц
е н
а
её
прода
ж
и
раз
ли
ч
а
ю
т
ся
в о
д
ин
11
гот
ж
е
м
оме
кг
вр
е
м
е
ни
,
т
о
пр
и
р а
счёт
с д
ох
о
диост
и
з
а
К
о
пад
о
принимать ц
е
пу
п
оку пк
и,
а
з
а
/(
, -
ц
е н
у
п
родаж
и
.
Ир
и
м
ер
1.
23
.
Д
оллар
ы
б
ы
ли
ириобрете
п
ы
п
о
кур
с
у
G
руб
.
/
до
л л
.
и
че
рез
1,2
1'
01\'
п
р
о
да
н
ы
"
О
6,6
р
у
б
.
/
до
ЛJi
,
(6,9
р
у
б,
/додл
,
)
,
Т
е
м"
инфияи
и и за
это
т
п
р
о
м
е
ж
у
т
о
к в
р
ем
ен
и
составил
12%.
О
п
ре
д
ели
т
ь
ДU
Х
UДНОС
ТЬ
ф
и
нансово
й
опе
рац
и
и.
Ре
ш
е
в н
е
.
Д
ля
при
в
е
д
еш
г
ы
х
з
иа
ч
с
ни й от
ио
ш
е
пи
е
к
у р
с
а
пр
о
д
аж
и
к
к урс
у
покупк
и
сос
т
а
в и
т:
/
к,
6,0
к,
б
,
9
k
,1
=
j;,
'o
::;
-6
ее
1
.1
, l k ,2 =
1\"
u =
6""
;::
1.15.
Ин
д
е
к
с
ц
е
н
за
l,
2t
'oJ\a
ра
в
е
н
/
р
=1+
IJ
;::
1 +0,12 ::: 1
,1
2.
Д
о
хол
в
сст
и
Д
Jl
Я
ра
с с
матриваемых
случаев
al = 11
[i;
- 1
:;::
1,« 1,1 - 1= - 0
,0
149
и
ли
- 1
,49%
'
'О
Д
О
6
Ы
Х
,
У
Т,
] ,] 2
ll
'l
':::: n[i; - 1= 1,1.
ут,
1,]5 - 1= 00222
112 I
,
ил
и
2,22%
год
о
вы
х
.
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
__
И
"
,ц
ек
г.
курс
а
дсл
лар
а
!( nI
Ко
(
.чо
га
р
н
фм
и
чсс
к
иЙ
масшт
аб
)
-о-
И
ll
д
е
к с
це н
J,
(лог
а
р и
ф
м
и
ч
е
с
к и й
М
1LC
lU'Г
<>б
)
5
O
~
g
--
"
" "
~.
~ ~
.-
"
• •
~ ~
88
--
" "
••
••
• •
••
• •
• •
• •
••
0 0
о
•
•
,
А
• •
• •
•
•
• •
А
•
,
•
•
•
~
•
• •
• •
•
•
•
~
•
•
~ ~
~
•
~
•
~
·
~
• i
•
•
•
·
~
•
•
е
•
•
-,
,
·, • •
,
••
•
• •
•
•
•
• • •
•
•
•
• •
•
• • • •
Р
ис
.
12
22
50
45
-
•
-
40
-
ье
.е
35
о
~
30
-
о
~
2.5
-
•
20
'"
-
1
15
о
10
~
Если
рас
с
м
втри
в ве
м
ая
фина
нсовая
о
п
е
р
аци я пр
овод
илвс
ь
в
иер
нод
с се
р
е
д
и
вы
2
000
г
.
д
о
с
е
редины
2
002
1'.,
Т
О
ин
дек
с
J
p
р
о
с
б
ы
ст
ре
е
,
ч ем
ин
дек
с
1/0
,
и
В с
оот
в етст
ви
и с
(1.42)
эта
фи
на
нсов
ая о
п
е
рации
61>1
.1
а
уб
ыто
чно
й
.
Во
зм
ожн
о зв
ю
к
е
,
Ч
ТО
ку
рс
С
К
Б
мо
жет
рез к
о
в оз
р асти
,
как
э
то
п р
о
и
зош
л
о
,
пвир
имер
,
11
ечёрны
й
в
торник
»
.
Эта
с
итуа
ц и
я
п
р е
д
ста
вл
е
пв
11
110
ри
с.
1.3.
i1~:
-
-J
~
/lp
: :
..
! i
•
•
•
"
"
"
"
"
"
"
"
..---------·
''''
_ _ 1.
"
...
_
?
""
::: :::
::::
::
::
::::
==
~
"
"
".
':
:
~
·
--
-
I .
' , ,
, , , ,
, . , .
, , , .
,, , .
] 1 .-·- ·
......
1:
.- , "
, ,. ' " ,
:} i.:
t
Риt
.
l.
3
п
~
м
курев
С
К
Б
начинается
в
момент
n!
и
з а
ка н
ч и
вается
н
м
о
м
в
ит
114.
Дохо
лиост
ь
финансовый
опе
ра
ции
п
р
и
пок
у п к
е
екв
бу
дет
Н
О,1
0
Ж
ltТeды
lOЙ
В
интервале
врем
ени
от
» 2
до
1"1,
.
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
~
l-.
~~~~=
-"-
1.4.3.
Ко
нверсии
в
а
л
ют
ы
с
н
ар
ащени
е
м
пр
оцент
о
в
.
ПР\{
ивр
в
щ
еви
и
пр
оценто
в
с
коив
ерс
и
си
возм
ож
ны
ва р и
ант
ы:
1)
ру
б
,
~
С
К
Б
-
ивр
в.цеиие
-
СКВ
-
ру
б
.,
2)
С
К
Б
-
р
у
б.
-
нара
щени
е
-
руб
.
-
СК
В.
П
р
и ч
ё
м
на
ра щоии
с
м
о
ж
ет в
ес
т
ис ь ка к
11
0
пр
ост
о
й,
1....
К н
П
О с
лож
н
ой
IJ
jJ
О
Ц
С
II
Т
II
О Й
с
т
а
в
ке
на
р
а
щ
ени
я
.
Р
а
с
см
от
р
им
пер
в
ы
й
вари
вит
пр
и
нвр
ашепи
и
110
с
ио
жиоа
п
ро
це
н т
н
о й с
тав
к
е
.
Об
оз
н
аче
ни
я
н сп ол
ьа
уе
м
ы
х
з
д
есь
ве
нич
ип
со
х
рани
м
те
же
,
ч
то
И
!I
преды
д
ущем
па
рагра
ф
е.
Е
е
.
л
и
r -
пло
ж
ивя
г
о
д
о
ц
в
н
с
та
в к а
ив р е
щеви
я
С
К Б
,
т
о
ф
ор
мул
а
(1.41)
дня
р
в с с
м
вт
р и
в
а
с
мых
усл
о
ви
й пр
и
м
е
т
в и
д
:
С
=
p
~k
(1
+I
')n = 1'{1 +
а) ".
(1.43)
,
Отс
ю
да н
ах
од
им
Д
ОХО
Д Н
ОСТЬ
фи
н
алсо
в о й о
пе
раци
и
:
а
= (1
+
Т
)
fi
- 1. (1.44)
При
м
е
р
1.24. Д
ЛЯ
у
сл
о
в
ий
пр едыду
щег
о
пр
и
м
е
р а
пол
ож
ить
сложну
ю
с
т
авку
иар
вщеиия
е
кв
,
равную
14%
ГОДОВЫХ
.
Реш
е
н
ие
.
а
l
= (1 +r) n!'/
-:
J,
- 1 = (1+0,14) 141,1- 1 =
0,
123
V
л;
1,12
или
12,3%
год
овых,
В
2
= (1 +
г)
,,
{l,: - 1 =
(1
+ 0,14) 1 ,2
l
,l~
- 1 = 0,1654
VI;: 1,12
или
16,54 %
г
о
д
о
в
ы
х.
Т
е п
е
р
ь
11
обо
и
х
са
уч вя
к
пр
о и
з
о
шло
н
а р
ащен
и е
ка
питал
а
.
_
Дл
я в
торого
в
ариа
нта
к
онве
рс
и
и
валю
ты
с
иврещение
м
н
ар езц
ен
ивя
сумма
с
уч
ёто
м
и
нфл
яц
и
и
СКБ
определяет
ся
выра
ж
е
н
и
ем
:
С
екв
=
Р
СК
В
1 Kn
К
(1+
г )"
=
РСК
ВО
+
а
)
n.
р,
СК
В
~
И
н
д
е
к
с
~C
K
B. п
о
каз
ы
вает
,
Ч
ТО в
ел
и
чина
изме
ряется
D
денежных
е
д
ин
и ц
ах
в
ыбранпой
в
ал
ют ы
,
1
р
,
С К В
-
и н
д
е
к
с
ц ен
вы
б
ра
нн
ой
валют
ы
з
а
р
вс
см
втрнааем
ы
й
п ери
од
,
r -
р
убл
ев
ая
го
л
о
в
в
я сл
ожн
ая
ставка
н
в
р в
щ
е
ния.
И
з
этого
вы
р
аж
ени
я
наход
и
тся
фо рм
ул
а для
доход
но
ст
и
фипвис
о
в ой
оп
е
ра
ц
и
и
:
а
=
(
1
+
г)
- 1, (1.45)
V /j,/p,C
KB
П
р
и
М
е
р
1.25.
До
лла
р
ы
б
ы
яи
п
ро
дан
ы
ПО
к
ур
с
у
6
р
у
б
.
;
д
овл.,
а
по
лу
чеинвя
с
у
м м
а
по
м
ещ
енв
н
а
д
е
п
оз
и
т
110
с
л
о
жно
й
пр
о
ц
е
нтн
о
й
ст
а
в к
е
10 %(40 %)
год
о
в
ы
х
.
Че
р
е з
1,2
го
да
нвр ащё
ниая
с
у
м м
а
была
и
ст
рач
е
на
на
о
о к у
п
к
у
д
ол л
а
р
о
в
п о
ку
р
с
у
6,6
руб.
/
до
л
л
.
Темп
и
нф
л я ц
ии д
о
л л
а
р
а
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
1.5 Эквивалентность процентных ставок
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
26
1,6. Контрольные вопросы и задания
1. Как изменяется стоимость денег во времени?
2. Что такое проценты, процентная ставка и наращённая сумма?
3. Какова разница между простой и сложной процентными ставками?
4. Напишите формулы для наращённых сумм при наращении по простой и
сложной ставкам наращения.
5. Опишите три метода расчёта срока ссуды при начислении по простым
процентам.
6. Что такое ре
инвестирование?
7.
Что такое дисконтирование по простым и сложным процентам?
8. В чём разница между дисконтированием и дисконтом?
9. Дайте определение учётной ставки по простым и сложным про-цен гам.
10. Напишите формулы для вычисления выплачиваемых банком сумм при
учёте векселя по простым и сложным процентам.
11. Выведете формулы для срока ссуды и ве
личины проц
ентной ставки при
начислении по простым и сложным процентам.
12. Дайте определение номинальной процентной ставки.
13. Напишите формулу для наращённой суммы при начислении по
номинальной процентной ставке.
14. Опишите переход от дискретной ставки наращения к непрерывной
(силе роста) и напишите формулу для расчёта наращённой суммы при
непрерывном начислении процентов.
15. Опишите смыс
ловое зна
чение индекса цен и темпа инфляции.
16. Напишите формулу, связывающую индекс цен и темп инфляции.
17. Напишите формулу для вычисления индекса цен за несколько
периодов.
18. Напишите формулу для вычисления среднего значения индекса цен за
несколько периодов.
19. Как определяется обесцененная инфляцией сумма при начислении по
простым и сложным процентам?
20. Что та
кое эроз
ия капитала?
21. Опишите связь брутто-ставки с доходностью для простых и сложных
процентов.
22. От чего зависит доходность финансовой операции, связанная с
покупкой валюты?
23. Поясните смысл параметров, входящих в формулу для расчёта
доходности, при покупке валюты с последующим наращением по сложной
процентной ставке.
24. Поясните смысл параметров, входящих в формулу для расчёт
а
доходност
и, при конверсии СКВ в рубли с последующим наращением.
25. Какие процентные ставки называются эквивалентными?
26. Опишите эквивалентность между простой и сложной ставками
наращения.
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
27
27. Опишите эквивалентность между сложной и номинальной процентными
ставками наращения.
28. Опишите эквивалентность между номинальной процентной ставкой
наращения и непрерывной ставкой наращения (силой роста).
29. Опишите эквивалентность между сложной процентной ставкой
наращения и непрерывной ставкой наращения (силой роста).
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
28
Глава 2 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
В главе рассмотрены различные типы постоянных и переменных рент,
методы расчёта их наращённых сумм и современных стоимостей,
особенности использования во взаиморасчётах долларового эквивалента с
учётом инфляции и изменения валютного курса, методы определения
параметров потока платежей, финансовая эквивалентность обязательств при
объединении потока платежей в один, замене одного потока платежей
другим потоком, за
мене потока платежей ренто
й, ставка дисконтирования.
2.1. Общий случай
Потоки платежей — это платежи последовательные во времени, например,
выплаты по купонам облигаций, пенсии и т.д.
Рассмотрим основные определения характеристик потоков платежей,
используемых ниже.
Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом)
называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону, а
интервалы (периоды) между платежами одинаковы.
Нерегулярным потоком платежей называются платежи, у которых час
тично
выплаты являют
ся положительными величинами (поступления), а
оставшаяся часть — отрицательными величинами (выплаты сторонним
организациям). Интервалы между платежами в этом случае могут быть не
равны друг другу.
Наращённая сумма потока платежей — это сумма всех выплат с
начисленными на них к концу срока сложными процентами.
Современная стоимость потока платежей — это сумма всех выплат,
дисконтированных на начало срока этого потока по сло
ж
ной процентной
ставке.
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
(2.1)
~
Общ
щ}
СЛУ'C<:I
U
а в
n,
n,
11,
Н
,
П
.
,
, ,
, ,
•
о
n.
"'
n,
'"
n.
..
Ри
с
.
2.1
13
со
о
твег
сч-
в
и
и С
оиределепием
нвращённвя
су
м ма
такого
пото
к
а
пл
атежей
р
агс
читывветс
я
t
LO
фор
му
л
е
:
•
S
:::
L Rt(l +
i)"
' - "' ,
!=1
Ос
ер
е
м
еина
я
ст
о
и
м
ость
пот
ока
пл
атеж
ей
оиредеияется
соотноше
ни
е
м
:
ь
А
= L R
tv"'
, (2.2)
[",
I
'
Д'
и
'"
= 1{(1+i
)'"
(2.3)
-
ДИ
СКОНТНы
й
М
II
ОЖ
И
l'
t
ШЬ
.
С
ов
р е
менную
СТ
О
И
М
ОС ТЬ
,
о
пр
еделя
е
мую
с
о
о
т
н
о
ш
ени
е
м
(2.2),
мо
жнО
п
о
лу
чи
т ь
также
дис
ковтировеннем
ивраш
ёпн
ой
сум
м
ы
(2.1). Д
е й
с
т
u и
телъно:
. , ,
Ву
'"
= L R
t
{1
+i)n.- n,
у"
"
""
L R
t(
1+i)-n'
=:::
L Rtv'" =
А.
1
=1
[=
1
1=
1
Ин
аче
зто
в
ырвж
еин
е
мо
ж
но
записать
tI
ви
де:
s=
А(
1
+i)"' ,
(2.4)
П
р
и
м
е р
2.1.
И
ме
ется
следующ
ий
г
р
афик
пл а
т
е
же
й
в
о в
ремени
:
- 1
ян
в а
р я
1999
г.
-
2i)
ты
с
.
руб
. ,
- 1
и
юл
я.
1999
г
.
- 30
тыс.
руб.
,
- 1
ян
варя
2000
г.
- 10
ты
с
.
р у б
.
,
- 1
ян
варя
2001
г
,
- 40
тыс.
р
уб.
П
пред
ел
и
тт,
с
у
м м
у
эадолжеииос
т и
н а
1
январ
я
2001
г
.
н
её
со
в
р
е
м
е
н
н
у
ю
стоимост
ь
нв
мо
мент
в
ыплаты
пер
во
й с
ум
мы
при
ста в
ке
на р
а
щ
ения
15 %
год о в
ых
.
Р
е
ш
е
и н
е.
Г
р
афи
к
плат
е
же
й п
редставл
ен
ив сх
е
ме
р
и с
.
2.2.
20
30
40
•
01.01.1999 01.07.1999 01
.01.
2000
Ри
с
.
2.2
01.
01.200
1 n
Только для ознакомления. Специально для МирКниг
2.2. Постоянная рента
По моменту выплат в пределах периода между платежами ренты делятся на:
— постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце
периода,
— пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода,
— ренты с платежами в середине периода.
Мы будем рассматривать в основном ренты постнумерандо. Связь рент
постнумерандо с остальными типами будет установлена позже. Рассмотрим
различные вид
ы финансовых рент.
2.2.1. Годовая ре
нта. Годовая рента постнумерандо предусматривает
выплаты и начисление процентов один раз в конце года.
Только для ознакомления. Специально для МирКниг