12
1) непрерывной (непрерывно дифференцируемой или гладкой) на
[t
0
, T ], если все координатные функции f
j
: [t
0
, T ] → C (j = 1, ··· , n)
непрерывны (непрерывно дифференцируемы) на [t
0
, T ];
2) кусочно-непрерывной (кусочно-гладкой) на [t
0
, T ], если все коор-
динатные функции f
j
(j = 1, ··· , n) кусочно-непрерывны (кусочно-
гладкие) на [t
0
, T ].
Аналогично определяются также непрерывность, гладкость, ку-
сочная непрерывность и кусочная гладкость м а т р и ц ы - ф у н к ц и и
F : I → C
n×n
, F (t) = (f
(t)
ij
)
n
i,j=1
(здесь I = [t
0
, T ] или I = [t
0
, +∞) ).
Числовую функцию f : [t
0
, +∞) → C или вектор-функцию f :
[t
0
, +∞) → C
n
или матрицу-функцию F : [0, +∞) → C
n×n
называ-
ют кусочно-непрерывной (кусочно-гладкой) на полупрямой [t
0
, +∞),
если она является кусочно-непрерывной (кусочно-гладкой) на любом
принадлежащем ей сегменте.
Заметим, что из вышеприведенных определений следует, что лю-
бую непрерывную на промежутке [t
0
, T ] (или [t
0
, +∞)) функцию f
можно считать также кусочно-непрерывной на нем (так как в этом
случае у функции f вовсе нет точек разрыва). Аналогично, любую
непрерывно дифференцируемую (гладкую) на промежутке [t
0
, T ]
(или [t
0
, +∞)) функцию f можно рассматривать также как кусочно-
гладкую на нем (так как в этом случае в определении кусочно-глад-
кой функции отсутствуют точки τ
k
и, тем самым, число сегментов
на которых функция f должна быть гладкой сводится к одному).
Множество всех непрерывных, вообще говоря, комплекснознач-
ных функций, определенных на промежутке [t
0
, T ] (с обычными опе-
рациями сложения и умножения) принято обозначать через C[t
0
, T ],
а множество всех комплекснозначных функций, определенных на
промежутке [t
0
, T ] и имеющих на нем непрерывные производные до
n-го порядка включительно — через C
n
[t
0
, T ] (аналогичное обозначе-
ние применяется и для случая, когда [t
0
, T ] заменен на бесконечный
промежуток [t
0
, +∞)). Так, f ∈ C[t
0
, T ] обозначает, что функция
f : [t
0
, T ] → C непрерывна на [t
0
, T ]. Аналогично, f ∈ C
n
[t
0
, T ] обо-
значает, что функция f : [t
0
, T ] → C имеет все производные до n-го
порядка включительно, непрерывные на промежутке [t
0
, T ].
О п р е д е л е н и е . Под р е ш е н и е м с и с т е м ы (1) в
промежутке [t
0
, T ] будем понимать любую тройку вектор-функций
(u(t), x(t), y(t)), удовлетворяющих условиям: