39
где P ∈ C
n
— некоторый векторный параметр “комплексная ампли-
туда", подлежащий определению. Подставляя (16) в первое уравне-
ние системы (1), получим
(A − iωI)P e
iωt
= −U
0
be
iωt
.
Отсюда
P = −U
0
(A − iωI)
−1
b (18)
при условии, что det(A − iωI) 6= 0. Последнее условие выполнено,
если собственные числа матрицы A не лежат на мнимой оси. Далее,
c учетом (17), (18), получаем
y(t) = c
∗
x(t) = −c
∗
(A − iωI)
−1
bU
0
e
iωt
,
или
−y(t) = W(iω)U
0
e
iωt
. (19)
Таким образом, если на вход линейного блока (L), описываемого си-
стемой (1), поступает периодический сигнал (16), то при соответ-
ствующем начальном состоянии x(0) = P , где P — значение опреде-
ляемое (18), выходом будет тоже периодический сигнал (19). Коэф-
фициент W (iω) в (19) есть значение передаточной функции W (p) в
точках мнимой оси.
О п р е д е л е н и е 2. Матричнозначная функция ω → W (iω)
W (iω) = c
∗
(A − iωI)
−1
b, (20)
где ω ∈ (−∞, +∞) — вещественная переменная, а i — мнимая еди-
ница, называется частотной (амплитудно-фазовой) характеристикой
системы (1).
В случае m = ` = 1 из (19) следует смысл функции (20): |W (iω)|
— это отношение амплитуд сигналов на входе и выходе линейного
блока (L), а arg W (iω) — разность фаз этих сигналов.
О п р е д е л е н и е 3. Образ отображения ω → W (iω ) называет-
ся годографом частотной характеристики.
При m = ` = 1 значениями W (iω) являются комплексные чис-
ла, и, поэтому, годографом в этом случае будет некоторая кривая в
комплексной плоскости C. В общем случае т.е. когда либо m > 1,
либо ` > 1 годографом является некоторая “кривая” в пространстве
комплексных матриц порядков ` ×m.