Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

О п р е д е л е н и е 1([16]). К о м п л е к с и ф и к а ц и е й

п р о с т р а н с т в а R

называется n-мерное комплексное линейное

пространство, точками которого являются пары (x, y), где x ∈ R

, y ∈

, обозначаемые x+iy (i — мнимая единица), причем операции сло-

жения и умножения на комплексные числа определяются обычным

образом:

+ iy

) + (x

+ iy

) = (x

+ x

) + i(y

+ y

)

(α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(βx + αy)

Здесь α, β ∈ R, x

, y

; x

, y

; x, y ∈ R

Комплексификация пространства R

обозначается через CR

. Лег-

ко проверить, что CR

= C

Утверждение 1. Если (e

, ··· , e

) — базис в пространстве R

то векторы e

+ i0, ··· , e

+ i0 образуют базис в CR

Предложение 1 доказывается непосредственно с использованием

определения CR

Естественно отождествить векторы x+i0 с x. Поэтому предыдущее

утверждение можно переформулировать так: если e = {e

}

k=1

—

базис в R

, то e также базис в CR

Заметим, что в таком базисе вещественные векторы т.е. векторы

из R

имеют вещественные координаты, а невещественные векторы

из CR

— невещественные координаты.

Пусть A : R

→ R

— вещественный линейный оператор, дей-

ствующий из R

в R

О п р е д е л е н и е 2([16]). К о м п л е к с и ф и к а ц и е й

о п е р а т о р а A называется линейный оператор

A : CR

→ CR

определенный следующим образом:

A(x + iy) =

Ax + i

Ay.

Непосредственно доказывается следующее

Утверждение 2. Пусть (e

, ··· , e

) — базис в R

, а (ε

, ··· , ε

)

— базис в R

. Пусть, далее, A — матрица оператора A. Тогда мат-

рицей комплексифицированного оператора

A будет та же самая

матрица A.

Замечание. Операцией в некотором смысле обратной комплекси-

фикации является операция овеществления.

Овеществление пространства C

(см. [16]) есть вещественное ли-

нейное пространство, совпадающее с C

поточечно, в котором сло-

жение элементов и умножение на вещественные числа определено

как в C

, а умножение на комплексные числа не определено.

Овеществление пространства C

обозначается так: RC

. Исполь-

зуя определение пространства RC

можно установить, что RC

—

2n-мерное вещественное линейное пространство, т.е. RC

= R

, и,

что если (e

, ··· , e

) — базис в C

, то (e

, ··· , e

; ie

, ··· , ie

) — базис

в RC

Овеществление C-линейного оператора A : C

→ C

([16]) — это

R-линейный оператор

A : RC

→ RC

, совпадающий с A поточеч-

но.

Имеет место следующее утверждение, которое доказывается непо-

средственно. Если (e

, ··· , e

) — базис пространства C

, (ε

, ··· , ε

)

— базис пространства C

, а A — матрица оператора A, то матрицей

овеществленного оператора

A является вещественная матрица







α | −β

β | α







где A = α + iβ, α, β — вещественные (m × n)-матрицы.

§ 3. Преобразование Лапласа и некоторые его свойства

Для определения важных в теории управления понятий таких,

как "передаточная функция", "частотная характеристика"системы,

используется интегральное преобразование Лапласа. Поэтому здесь

мы напомним определение этого понятия и установим некоторые его

свойства.

1. Преобразование Лапласа. Обозначим через F = {f(t)} класс

всех комплекснозначных кусочно-непрерывных функций веществен-

ного переменного t, определенных на полупрямой

[0, +∞) и удовлетворяющих условию:

|f(t)| ≤ Ce

γt

при t ≥ 0. (1)

Здесь C и γ — постоянные числа; число C может быть свое для

каждой функции из класса F, а число γ — одно и то же для всех

f ∈ F.

Заметим, что множеству F принадлежат и непрерывные на

[0, +∞) функции, удовлетворяющие условию (1).

Пусть f ∈ F. Тогда в силу условия (1) несобственный интеграл

+∞

f(t)e

−pt

dt,

называемый интегралом Лапласа, сходится абсолютно в области

D = {p ∈ C : Re p > γ}

комплексной плоскости C. При этом сходимость интеграла Лапласа

является равномерной относительно p в любой замкнутой полуплос-

кости D

⊂ D, где D

= {p ∈ C : Re p ≥ γ

}, γ

> γ. Последнее

следует, в силу (1) из следующей оценки

|f(t)e

−pt

| ≤ Ce

−(σ−γ)t

≤ Ce

−(γ

−γ)t

(t ≥ 0),

справедливой для всех p = σ + iν ∈ D

. Здесь i =

√

−1 — мнимая

единица.

О п р е д е л е н и е. П р е о б р а з о в а н и е м Л а п л а с а называ-

ется оператор L, определенный на множестве F и ставящий в со-

ответствие каждой функции из этого множества функцию F (p)

комплексного переменного, заданную в области Re p > γ по следу-

ющему правилу:

F (p) ≡ L[f(t)] =

+∞

f(t)e

−pt

dt. (2)

При этом функцию f называют оригиналом, а функцию F (p) —

изображением функции f при преобразовании Лапласа L, или L-

образом. Часто само изображение F (p) называют преобразованием

Лапласа функции f(t).

Замечание 1. Класс функций F, для которых мы определили

преобразование Лапласа, можно существенно расширить, взяв вме-

сто кусочно-непрерывных функций суммируемые по Лебегу функ-

ции, удовлетворяющие условию (1). Но, в дальнейшем, для наших

целей достаточно ограничиться введенным выше классом F.

Замечание 2. Преобразование Лапласа можно ввести по форму-

ле (2) и для вектор-функций f : [0, +∞) → C

, удовлетворяющих

аналогичному (1) неравенству

kf(t)k ≤ Ce

γt

∀t ∈ [0, +∞) (3)

где k · k — евклидова норма вектора. В этом случае изображени-

ем вектор-функции f будет также вектор-функция F (p), определен-

ная в полуплоскости Re p > γ, причем ее координатные функции

(p) будут изображениями соответствующих координатных функ-

ций f

(t).

Здесь f(t) = (f

(t), . . . , f

(t)), F (p) = (F

(p), . . . , F

(p)).

2. Основные свойства преобразования Лапласа.

◦

. Оператор L, определенный формулой (2), линеен, т.е.

L[c

+ c

] = c

L[f

] + c

L[f

]

для любых f

, f

∈ F и любых c

, c

∈ R → C Другими словами,

L-образ линейной комбинации функций f

(t) и f

(t) равен линейной

комбинации их L-образов.

Свойство 1

◦

непосредственно следует из определения L.

◦

. Если функция f(t) ∈ F ∩C

[0, +∞), то преобразование L опре-

делено и для производной df(t)/dt, причем

df(t)

≡ L[Df(t)] = pL[f(t)] − f (0) (D =

). (4)

Аналогично, если f ∈ F ∩ C

[0, +∞), то определено L

f/dt

≡ L[D

f(t)] =

L[f(t)] − p

n−1

f(0) − p

n−2

Df(0) − . . . − D

n−1

f(0).

(5)

В частности,если D

f(0) = 0 для всех k = 0, 1, . . . , n − 1, то

L[D

f(t)] = p

L[f(t)]. (6)

Действительно, интегрируя по частям, получим

df(τ)

dτ

−pτ

dτ =

f(τ)e

−pτ

+ p

f(τ)e

−pτ

dτ.

Так как f ∈ F, то существует предел при t → +∞ правой части

и, следовательно, левой части последнего равенства. Отсюда следует

существование L[df/dt] и равенство (4).

Далее, рассуждая аналогично и применяя формулу (4) последова-

тельно n раз, найдем

L[D

f(t)] = L[D(D

n−1

f(t))] = pL[D

n−1

f(t)] − D

n−1

f(0) = . . .

. . . = p

L[f(t)] − p

n−1

f(0) − . . . − D

n−1

f(0).

Таким образом имеют место (5) и (6).

◦

. Для любой функции f ∈ F L-образ интеграла

f(τ) dτ равен

f(τ) dτ

L[f(t)]. (7)

В самом деле, применяя оператор L к обеим частям равенства

f(τ) dτ = f(t),

и используя формулу (4), получим

f(τ) dτ

= L[f(t)].

Отсюда следует (7).

◦

. Если f ∈ F, , то функция F (p) = L[f(t)] аналитична в обла-

сти D = {p : Re p > γ}, т.е. имеет в каждой точке области D

производную по комплексному переменному p. При этом производ-

ную dF (p)/dp можно вычислить путем дифференцирования (2) под

знаком интеграла:

dF (p)

+∞

f(t)(−t)e

−pt

dt (p ∈ D). (8)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим интеграл, получаемый

формальным дифференцированием интеграла (2) по p:

+∞

f(t)(−t)e

−pt

dt. (9)

Интеграл (9) в силу (1) сходится абсолютно и равномерно относи-

тельно p в любой полуплоскости D

= {Re p ≥ γ

} ⊂ D, где γ

> γ.

Действительно, для любой точки p = σ + iν ∈ D

в силу (1) имеем

|f(t)(−t)e

−pt

| ≤ Cte

−(σ−γ)t

≤ Cte

−(γ

−γ)t

∀t ≥ 0. (10)

Поскольку

lim

t→+∞

−

(γ

−γ)t

= 0,

то из (10) находим

|f(t)(−t)e

−pt

| ≤ C

−

(γ

−γ)

∀t ≥ 0,

где C

— некоторая положительная константа. Из последней оценки

следует абсолютная и равномерная по p сходимость интеграла (9) в

Теперь остается применить к интегралу Лапласа (2) известную

теорему из анализа о возможности дифференцирования по парамет-

ру под знаком несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Отсюда следует аналитичность функции F (p) в D и формула (8).

◦

. Если f ∈ F, то

F (p)

+∞

f(t)(−t)

−pt

dt (n = 1, 2, ···) ( Re p > γ). (11)

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из свойства 4

◦

и из абсолютной

и равномерной сходимости интеграла (11) при любом n ∈ N.

◦

. Если

L[f(t)] = F (p) (f(t) ∈ F),

то

L[e

λt

f(t)] = F (p − λ), (12)

где λ ∈ C.

Действительно,

L[e

λt

f(t)] =

+∞

λt

f(t)e

−pt

dt =

+∞

f(t)e

−(p−λ)t

dt = F (p − λ), Re (p − λ) > γ,

т.е. имеет место (12).

Сформулируем теперь важную теорему, носящую название тео-

ремы умножения или теоремы Бореля.

◦

. Теорема умножения. Если функции F (p) и G(p) — L-образы

функций f ∈ F и g ∈ F, т.е.

F (p) = L[f(t)], G(p) = L[g(t)] (p ∈ D),

то функция

H(p) = F (p) · G(p) (p ∈ D)

является L-образом функции

h(t) =

f(t − τ)g(τ) dτ, (13)

т.е.

H(p) = L[h(t)]. (14)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем:

H(p) = F (p) · G(p) =

∞

f(ξ)e

−pξ

dξ ·

∞

g(η)e

−pη

dη =

∞

f(ξ)g(η)e

−p(ξ+η)

dξdη.

(15)

Двойной интеграл в равенстве (15) абсолютно сходится для p ∈ D,

так как абсолютно сходятся интегралы Лапласа, определяющие функ-

ции F (p) и G(p). Сделаем в двойном интеграле замену переменных

интегрирования: ξ + η = t, η = τ . Тогда область интегрирования

{(ξ, η) : 0 ≤ ξ < +∞, 0 ≤ η < +∞} на плоскости (ξ, η) перейдет в

область E = {(t, τ) : 0 ≤ t < +∞, 0 ≤ τ ≤ t}. Следовательно, из (15)

будем иметь:

H(p) =

f(t − τ)g(τ)e

−pt

dtdτ.

Применив к последнему интегралу теорему из анализа о сведении

двойного интеграла к повторному, получим

H(p) =

∞

−pt

{

f(t − τ)g(τ)dτ} = L[h(t)],

т.е. справедливо равенство (14).

Замечание 1. Функция (13) называется сверткой функций f(t),

g(t) и обозначается так: h = f ∗ g . Повторяя рассуждения выше-

приведенного доказательства теоремы об умножении с конца к на-

чалу, получим следующую теорему, носящую название т е о р е м ы

о с в е р т к е : преобразование Лапласа свертки двух функций f ∈ F

и g ∈ F равна произведению их L-образов, т.е.

L[f ∗ g] = L[f] · L[g].

Таким образом, преобразование Лапласа переводит операцию сверт-

ки двух функций в более простую операцию умножения их L-образов.

Замечание 2. Свойства 1

◦

—7

◦

справедливы также и для вектор-

функций или матриц-функций, элементы которых принадлежат мно-

жеству F. При этом в теоремах умножения и свертки размерности

матриц L[f(t)] и L[g(t)] считаются согласованными.

Замечание 3. Из формулы (6) и линейности оператора L следует,

что

L[a(D)f(t)] = a(p)L[f(t)] (16)

для любого операторного многочлена степени n

a(D) = a

+ a

n−1

+ . . . + a

E (D =

), (17)

( и любой функции f(t) ∈ C

[0, +∞), у которой при t = 0 равны

нулю значения f(t) и ее производных вплоть до (n − 1)-й

f(0) = Df(0) = D

f(0) = . . . = D

n−1

f(0) = 0.

Здесь a(p) есть алгебраический многочлен, получающийся из выра-

жения a(D) заменой D на p, E есть единичный оператор.

Равенство (16) эквивалентно следующему операторному равенству

(в (16) опускаем “аргумент"f(t))

La(D) = a(p)L.

Последнее соотношение означает, что преобразование Лапласа пе-

реводит дифференциальный оператор a(D) в многочлен a(p) — дей-

ствию оператора a(D) на оригинал отвечает умножение изображения

на многочлен a(p), т.е. диаграмма

f •

a(D)

−→ • a(D)f



L[f] •

−→

a(p) • La(D)f = a(p)L[f]

коммутативна.

Из равенства (16) и свойства 1

◦

линейности оператора L следу-

ет, что преобразование Лапласа переводит линейную комбинацию и

произведение двух дифференциальных операторов a(D) и b(D) вида

(17) соответственно в линейную комбинацию и произведение соот-

ветствующих многочленов от комплексного переменного p ∈ C:

a(D) + c

b(D)

a(p) + c

b(p)

a(D)b(D)

= a(p)b(p)L.

Таким образом, преобразование Лапласа устанавливает определен-

ное соответствие между алгеброй дифференциальных операторов

вида (17) и алгеброй многочленов от комплексного переменного. На

этом факте, в частности, основан так называемый операторный ме-

тод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянны-

ми коэффициентами.

Выпишем L-образы некоторых элементарных функций (все они

находятся легко с помощью определения (2) и установленных выше

свойств преобразования L):

1) L[1] =

, 2) L[t

] =

n+1

(n ∈ N),

3) L[e

λt

] =

p − λ

, 4) L[e

λt

] =

(p − λ)

n+1

(n ∈ N),

5) L[sin ωt] =

+ ω

, 6) L[cos ωt] =

+ ω

7) L[e

λt

sin ωt] =

(p − λ)

+ ω

, 8) L[e

λt

cos ωt] =

p − λ

(p − λ)

+ ω

(Здесь формулы 1), 2); 5), 6) имеют место в области Re p > 0, а

формулы 3), 4); 7), 8) — в области Re p > Re λ).

§ 4. Передаточные функции и частотные характеристики

линейных блоков

Здесь мы введем важнейшие для всей теории управления линей-

ных систем понятия передаточной функции и частотной характери-

стики линейных блоков, описываемых системами вида

˙x = Ax + bu, y = c

∗

x (x ∈ R

, u ∈ R

, y ∈ R

), (1)

где A, b и c — вещественные постоянные (n ×n)−, (n ×m)- и (n ×`)-

матрицы соответственно.

1. Оценка норм вектора состояния и вектора выхода.

Пусть U = {u(t)} — класс кусочно-непрерывных вектор-функций,

заданных на полупрямой [0, +∞) и удовлетворяющих условию

ku(t)k ≤ Ce

γt

∀t ∈ [0, +∞), (2)

C и γ — константы. Как и выше, число C зависит от выбора функции

u(t) из множества U, а γ — нет). В качестве входов системы (1) будем

рассматривать функции из класса U.

Лемма 1. Пусть вход u(t) системы (1) удовлетворяет условию

(2). Тогда вектор состояния x(t) и выход y(t) системы (1) тоже

удовлетворяют аналогичному условию, т.е.

kx(t)k ≤ C

¯γt

, ky(t)k ≤ C

¯γt

∀t ∈ [0, +∞).